Системы логарифмических уравнений с параметром

Показательные и логарифмические уравнения с параметром

Показательные уравнения c параметром

Как правило, чтобы решить показательные уравнения с параметром нужно привести их квадратному или линейному уравнению. Обычно это можно сделать при помощи метода замены переменных. Но надо быть внимательным – при замене \(t=a^x\), новая переменная \(t\) всегда положительна.

Найдите все значения параметра \(a\), при которых уравнение \((a+1)(4^x+4^<-x>)=5\) имеет единственное решение.

Заметим, что \(a+1 > 0\), так как \(4^x+4^ <-x>> 0\). Сделаем замену \(t=4^x\); \(t > 0\) $$ (a+1)(t+\frac<1>)=5;$$ $$(a+1)t^2-5t+a+1=0$$ $$_<1,2>=\frac<5±\sqrt<25-4(a+1)^2>> <2(a+1)>.$$
Уравнение будет иметь единственное решение, если $$D=25-4(a+1)^2=0 $$ $$a+1=±\frac<5><2>$$ \(a=-3.5 -\) не подходит;
\(a=1.5;\)

Логарифмические уравнения с параметром

Чтобы решить логарифмические уравнения, надо обязательно записывать ОДЗ, а затем провести необходимые равносильные преобразования или сделать замену, чтобы свести уравнение к более простому.

Решите уравнение \(log_a (x^2)+2log_a (x+1)=2\) для каждого \(a\).

Перейдем от суммы логарифмов к их произведению:

При условии, что \(1-4a≥0 ⇔ 0 0\).

При условии, что $$ 1+4a>0 ⇔ a>0$$ корень $$x=\frac<1><2>-\frac<\sqrt<1+4a>><2>$$ не подходит, так как \( x>0.\)

Найдите все значения параметра \(a\), при которых уравнение \(log_4 (16^x+a)=x\) имеет два действительных и различных корня.

При помощи равносильного преобразования приведем наше уравнение к виду:

Сделаем замену: \(t=4^x>0 ⇔ t^2-t+a=0,\)

Полученное квадратное уравнение должно иметь корни \(0 0, \\D≥0, \\D>0, \\ _<0>>0; \end $$ $$ \begin a>0, \\1-4a>0, \\ 1/2>0; \end $$ $$ \begin a>0, \\a

Логарифмические уравнения, неравенства и системы с параметром

п.1. Примеры

Пример 1. Решите уравнение:
a) \( \lg 2x+\lg(2-x)=\lg\lg a \)
ОДЗ: \( \begin 2x\gt 0\\ 2-x\gt 0\\ x\gt 0\\ \lg a\gt 0 \end \Rightarrow \begin x\gt 0\\ x\lt 2\\ a\gt 0\\ a\gt 1 \end \Rightarrow \begin 0\lt x\lt 2\\ a\gt 1 \end \)
\(\lg\left(2x\cdot(2-x)\right)=\lg\lg a\Rightarrow 2x\cdot(2-x)=\lg a\Rightarrow 2x^2-4x+\lg a=0 |: 2\)
\(x^2-2x+\frac12\lg a=0\)
Решаем квадратное уравнение. Исследуем дискриминант:
\(D=(-2)^2-4\cdot\frac<\lg a><2>=4-2\lg a\)
\(D\lt 0\) при \(4-2\lg a\lt 0\Rightarrow \lg a\gt 2\Rightarrow a\gt 100\) — решений нет
\(D=0\) при \(a=100,\ x=1\) — одно решение
\(D\gt 0\) при \(a\lt 100\) (учитывая ОДЗ, \(1\lt a\lt 100\))
\(x_<1,2>=\frac<2\pm\sqrt<4-2\lg a>><2>=1\pm\sqrt<1-\frac<\lg a><2>>\)
Т.к. \(\sqrt<1-\frac<\lg a><2>>\lt 1\) требование \(0\lt x_<1,2>\lt 2\) выполняется.

Ответ:
При \(a\leq 1\cup a\gt 100\) решений нет, \(x\in\varnothing\)
При \(a=100\) один корень \(x=1\)
При \(1\lt a\lt 100\) два корня \(x_<1,2>=1\pm\sqrt<1-\frac<\lg a><2>>\)

б) \( x^<\log_a x>=a^2 x \)
ОДЗ: \( \begin x\gt 0\\ a\gt 0\\ a\ne 1 \end \)
Замена: \(t=\log_a x\Rightarrow x=a^t.\) Подставляем: \begin (a^t)^t=a^2\cdot a^t\Rightarrow a^=a^<2+t>\Rightarrow\\ \Rightarrow t^2=2+t\Rightarrow t^2-t-2=0\Rightarrow (t+1)(t-2)=0\Rightarrow \left[ \begin t_1=-1\\ t_2=2 \end \right. \end Возвращаемся к исходной переменной: \begin \left[ \begin \log_a x=-1\\ \log_a x=2 \end \right. \Rightarrow \left[ \begin x_1=a^<-1>=\frac1a\\ x_2=a^2 \end \right. \end Ответ:
При \(0\lt a\lt 1\cup a\gt 1\) два корня \(x_1=\frac1a,\ x_2=a^2\)
При \(a\lt 0\cup a=1\) решений нет.

в) \( 2-\log_(1+x)=3\log_a\sqrt-\log_(x^2-1)^2 \)
ОДЗ: \( \begin 1+x\gt 0\\ x-1\gt 0\\ x\ne \pm 1\\ a\gt 0,\ a\ne 1 \end \Rightarrow \begin x\gt -1\\ x\gt 1\\ x\ne \pm 1\\ a\gt 0,\ a\ne 1 \end \Rightarrow \begin x\gt 1\\ a\gt 0,\ a\ne 1 \end \)
Приведем к одному основанию: \(\log_a\sqrt=\log_(x-1)\)
\begin 2-\log_(1+x)=3\log_(x-1)-\log_(x^2-1)^2\\ \log_a^4-\log_(1+x)=\log_(x-1)^3-\log_(x^2-1)^2\\ \log_\frac=\log_\frac<(x-3)^3><(x^2-1)^2>\\ \frac=\frac<(x-1)^3><(x^2-1)^2>\Rightarrow \frac=\frac<(x-1)^3><(x-1)^2(x+1)^2>\Rightarrow a^4=\frac \end Т.к. \(x\gt 1\) все скобки можно сократить. $$ a^4(x+1)=x-1\Rightarrow x(a^4-1)=-a^4-1\Rightarrow x=\frac<1+a^4> <1-a^4>$$ Проверим требование \(x\gt 1\): \begin \frac<1+a^4><1-a^4>\gt 1\Rightarrow \frac<1+a^4-(1-a^4)><1-a^4>\gt 0 \Rightarrow \frac<2a^4><1-a^4>\gt 0\Rightarrow\\ \Rightarrow 1-a^4\gt 0\Rightarrow a^4\lt 1\Rightarrow |a|\lt 1\Rightarrow -1\lt a\lt 1 \end Учитывая, что \(a\gt 0\), получаем \(0\lt a\lt 1\).
Ответ:
При \(0\lt 1\lt 1\) один корень \(x=\frac<1+a^4><1-a^4>\)
При \(a\leq 0\cup a\geq 1\) решений нет.

Пример 2. Решите неравенство:
a) \( \log_a(x-1)+\log_a x\gt 2 \)
\(\log_a(x(x-1))\gt\log_a a^2\) \begin \left[ \begin \begin a\gt 1\\ x-1\gt 0\\ x\gt 0\\ x^2-x\gt a^2 \end \\ \begin 0\lt a\lt 1\\ x-1\gt 0\\ x\gt 0\\ x^2-x\lt a^2 \end \end \right. \Rightarrow \left[ \begin \begin a\gt 1\\ x\gt 1\\ x^2-x-a^2\gt 0 \end \\ \begin 0\lt a\lt 1\\ x-1\gt 0\\ x\gt 1\\ x^2-x-a^2\lt 0 \end \end \right. \end Исследуем параболу \(f(x)=x^2-x-a^2\)
\(D=1+4a^2\gt 0, \forall a\)
\(x_<1,2>=\frac<1\pm\sqrt<1+4a^2>><2>\)
Эта парабола всегда имеет две различных точки пересечения с осью OX.
\(f(x)\gt 0\), при \(x\lt x_1\cup x\gt x_2\)
\(f(x)\lt 0\), при \(x_1\lt x\lt x_2\)
Подставляем в совокупность: \begin \left[ \begin \begin a\gt 1\\ x\gt 1\\ x\lt\frac<1-\sqrt<1+4a^2>><2>\cup x\gt\frac<1+\sqrt<1+4a^2>> <2>\end \\ \begin 0\lt a\lt 1\\ x\gt 1\\ \frac<1-\sqrt<1+4a^2>><2>\lt x\lt \frac<1+\sqrt<1+4a^2>> <2>\end \end \right. \Rightarrow \left[ \begin \begin a\gt 1\\ x\gt \frac<1+\sqrt<1+4a^2>> <2>\end \\ \begin 0\lt a\lt 1\\ a\lt x\lt \frac<1+\sqrt<1+4a^2>> <2>\end \end \right. \end Ответ:
При \(a\gt 1\) луч \(x\in\left(\frac<1+\sqrt<1+4a^2>><2>;+\infty\right)\)
При \(0\lt a\lt 1\) интервал \(x\in\left(1;\frac<1+\sqrt<1+4a^2>><2>\right)\)
При \(a\leq 0\cup a=1\) решений нет.

б) \( \log_x(x-a)\gt 2 \)
\(\log_x(x-a)\gt\log_x x^2\) \begin \left[ \begin \begin x\gt 1\\ x-a\gt x^2\\ x-a\gt 0 \end \\ \begin 0\lt x\lt 1\\ x-a\lt x^2\\ x-a\gt 0 \end \end \right. \Rightarrow \left[ \begin \begin x\gt 1\\ x^2-x+a\lt 0\\ x\gt a \end \\ \begin 0\lt x\lt 1\\ x^2-x+a\gt 0\\ x\gt a \end \end \right. \end Исследуем параболу \(f(x)=x^2-x+a\)
\(D=1-4a\)

Для первой системы в совокупности получаем: \(x^2-x+a\lt 0\) при \(D\gt 1\Rightarrow 1-4a\gt 0\Rightarrow a\lt\frac14\)
Если \(x\gt 1\) и \(a\lt\frac14,\) то \(x\gt a\), противоречий нет.
\(x_<1,2>=\frac<1\pm\sqrt<1-4a>><2>\)
Парабола ниже 0 на участке \(x_1\lt x\lt x_2\). \begin \begin x\gt 1\\ x^2-x+a\lt 0\\ x\gt a \end \Rightarrow \begin x\gt 1\\ \frac<1-\sqrt<1-4a>><2>\lt x\lt \frac<1+\sqrt<1-4a>><2>\\ a\lt \frac14 \end \end \(x_1=\frac<1-\sqrt<1-4a>><2>\lt 1\) при всех \(a\lt\frac14\)
Рассмотрим требование \begin x_2=\frac<1+\sqrt<1-4a>><2>\gt 1\Rightarrow 1+\sqrt<1-4a>\gt 2\Rightarrow \sqrt<1-4a>\gt 1\Rightarrow\\ \Rightarrow 1-4a\gt 1\Rightarrow 4a\lt 0\Rightarrow a\lt 0 \end \(x_2=\frac<1+\sqrt<1-4a>><2>\gt 1\) при \(a\lt 0\)
Решение первой системы: \( \begin 0\lt a\lt x\lt 1\\ x^2-x+a\gt 0 \end \)
Если \(a\gt\frac14,\ D\lt 0\) и \(x^2-x+a\gt 0\) для всех \(x\)
Если \(a=\frac14,\ D=0\) и \(x^2-x+a\gt 0\) для всех \(x\), кроме \(x=\frac12\)
Если \(0\lt a\lt \frac14,\ x^2-x+a\gt 0\) для \(x\lt x_1\cup x\gt x_2\)
Как было показано выше, при \(0\lt a\lt \frac14,\ x_2=\frac<1+\sqrt<1-4a>><2>\lt 1\) и \(a\lt x_2\lt x\lt 2\)
Кроме того \(a\lt x\lt x_1\lt 1\) \begin \begin 0\lt x\lt 1\\ x^2-x+a\gt 0\\ x\gt a \end \Rightarrow \left[ \begin \begin \frac14\lt a\lt 1\\ a\lt x\lt 1 \end \\ \begin a=\frac14\\ \frac14\lt x\lt 1,\ x\ne\frac12 \end \\ \begin 0\lt a\lt \frac14\\ a\lt x\lt\frac<1-\sqrt<1-4a>><2>\cup \frac<1+\sqrt<1-4a>> <2>\lt x\lt 1 \end \end \right. \end Для наглядности отложим по оси OX параметр a, по оси OY — значение x(a).
Парабола \(f(x)=x^2-x-a^2\) в осях a и x(a) имеет ось симметрии \(x=\frac12\) и вершину в точке \(\left(\frac14;\frac12\right)\).
Получаем следующий график:

Синим заштрихована область первой системы неравенств совокупности, желтым – второй системы неравенств.
Ответ:
При \(a\lt 0,\ x\in\left(1;\frac<1+\sqrt<1-4a>><2>\right)\)
При \(0\lt a\lt\frac14,\ x\in\left(a;\frac<1-\sqrt<1-4a>><2>\right)\cup \left(\frac<1+\sqrt<1-4a>><2>;1\right)\)
При \(a=\frac14,\ x\in\left(\frac14;\frac12\right)\cup\left(\frac12;1\right)\)

в) \( \frac<\log_a(35-x^3)><\log_a(5-x)>\gt 3 \) \begin \frac<\log_a(35-x^3)><\log_a(5-x)>-3\gt 0\\ \frac<\log_a(35-x^3)-3\log_a(5-x)><\log_a(5-x)>\gt 0\\ \left[ \begin \begin \log_a(35-x^3)\gt 3\log_a(5-x)\\ \log_a(5-x)\gt 0 \end \\ \begin \log_a(35-x^3)\lt 3\log_a(5-x)\\ \log_a(5-x)\lt 0 \end \end \right. \Rightarrow \left[ \begin \begin \log_a(35-x^3)\gt \log_a(5-x)^3\\ \log_a(5-x)\gt 0 \end \\ \begin \log_a(35-x^3)\lt \log_a(5-x)^3\\ \log_a(5-x)\lt 0 \end \end \right. \Rightarrow \\ \Rightarrow \left[ \begin \begin a\gt 1\\ \left[ \begin \begin 35-x^3\gt(5-x)^3\gt 0\\ 5-x\gt 1 \end \\ \begin 0\lt 35-x^3\lt(5-x)^3\\ 0\lt 5-x\lt 1 \end \end \right. \end \\ \begin 0\lt a\lt 1\\ \left[ \begin \begin 0\lt 35-x^3\lt(5-x)^3\\ 0\lt 5-x\lt 1 \end \\ \begin 35-x^3\gt (5-x)^3\gt 0\\ 5-x\gt 1 \end \end \right. \end \end \right. \Rightarrow \begin 0\lt a\lt 1\cup a\gt 1\\ \left[ \begin \begin 35-x^3\gt(5-x)^3\gt 0\\ 5-x\gt 1 \end \\ \begin 0\lt 35-x^3\lt (5-x)^3\\ 0\lt 5-x\lt 1 \end \end \right. \end \end Решим основное неравенство: \begin 35-x^3\gt(5-x)^3\\ 35-x^3\gt 125-75x+15x^2-x^3\\ 15x^2-75x+90\lt 0\\ x^2-5x+6\lt 0\\ (x-2)(x-3)\lt 0\\ 2\lt x\lt 3 \end Подставляем в систему: \begin \begin 0\lt a\lt 1\cup a\gt 1\\ \left[ \begin \begin 2\lt x\lt 3\\ x\lt 4 \end \\ \begin x\lt 2\cup x\gt 3\\ x\lt\sqrt[3]<35>\\ 4\lt x\lt 5 \end \end \right. \end \Rightarrow \begin 0\lt a\lt 1\cup a\gt 1\\ \left[ \begin 2\lt x\lt 3\\ \varnothing \end \right. \end \Rightarrow \begin 0\lt a\lt 1\cup a\gt 1\\ 2\lt x\lt 3 \end \end Ответ:
При \(0\lt a\lt 1\cup a\gt 1,\ x\in(2;3)\)
При \(a\leq 0\cup a=1\) решений нет

Пример 3. При каких значениях \(a\) уравнение $$ 2\lg(x+3)=\lg(ax) $$ имеет единственный корень?

\( \begin (x+3)^2=ax\\ x+3\gt 0\\ ax\gt 0 \end \Rightarrow \begin x^2+(6-a)x+9=0\\ x\gt -3\\ ax\gt 0 \end \)
Решим графически в осях a и x(a).
Найдем уравнение ветвей кривой: \begin D=(6-a)^2-36=36-12a+a^2-36=a^2-12a=a(a-12)\\ x=\frac><2>\\ \left(2x-(a-6)\right)^2=a(a-12)\\ \left(2x-(a-6)\right)^2+36=a(a-12)+36\\ \left(2x-(a-6)\right)^2+36=(a-6)^2\\ (a-6)^2-\left(2x-(a-6)\right)^2=36 \end Получаем уравнение гиперболы: \begin \frac<(a-6)^2><6^2>-\frac<\left(2x-(a-6)\right)^2><6^2>=1 \end Уравнения асимптот: \begin \frac<(a-6)^2><6^2>-\frac<\left(2x-(a-6)\right)^2><6^2>=0\\ a-6=\pm\left(2x-(a-6)\right)\Rightarrow \left[ \begin 2(a-6)=2x\\ 0=-2x \end \right. \Rightarrow \left[ \begin x=a-6\\ x=0 \end \right. \end Гипербола находится между этими асимптотами.
Строим ОДЗ: \( \begin x\gt -3\\ ax\gt 0 \end \)
Отмечаем точки, для которых \(D=0:\) $$ \begin a=0\\ x=-3 \end ,\ \ \ \begin a=12\\ x=3 \end $$ Над этими точками будет ветка гиперболы с \(x_2\), под ними – с \(x_1\).

При \(a=0\) корень \(x=-3\), но не выполняется требование ОДЗ \(ax\gt 0\)
При \(a=12\) корень \(x=3\), требования ОДЗ выполняются. Это ответ.
При \(a\gt 12\) всегда будет два решения.
При \(a\lt 0\) всегда будет только одно решение, т.к. \(x_1\lt -3\) и выходит из ОДЗ. Это тоже ответ.
Получаем: \(a\lt 0\cup a=12\)

Логарифмы с параметрами

В России появится перечень разрешённых электронных образовательных ресурсов

К 1 января в России появится перечень электронных ресурсов, разрешенных к использованию в школах. Об этом в интервью «Российской газете» рассказала глава Комитета Госдумы по просвещению Ольга Казакова.

Госслужащих заставят сдавать экзамен по русскому языку

Чиновников скоро заставят сдавать экзамен на знание русского языка и умение говорить на нем правильно, красиво, без канцелярита. Об этом сообщила ректор Государственного института русского языка имени Пушкина, член Совета при президенте РФ по русскому языку Маргарита Русецкая.

Пробный вариант ЕГЭ-2022 по русскому языку

Соответствует демоверсии ЕГЭ-2022. Вариант составлен на основе заданий открытого банка ФИПИ.