Системы нелинейных уравнений с двумя

Системы с нелинейными уравнениями

Нелинейные уравнения с двумя неизвестными

Системы из двух уравнений, одно из которых линейное

Однородные уравнения второй степени с двумя неизвестными

Системы из двух уравнений, одно из которых однородное

Системы из двух уравнений, сводящиеся к системам, в которых одно из уравнений однородное

Примеры решения систем уравнений других видов

Нелинейные уравнения с двумя неизвестными

Определение 1 . Пусть A – некоторое множество пар чисел (x ; y) . Говорят, что на множестве A задана числовая функция z от двух переменных x и y , если указано правило, с помощью которого каждой паре чисел из множества A ставится в соответствие некоторое число.

Задание числовой функции z от двух переменных x и y часто обозначают так:

причем в записи (1) числа x и y называют аргументами функции , а число z – значением функции , соответствующим паре аргументов (x ; y) .

Определение 2 . Нелинейным уравнением с двумя неизвестными x и y называют уравнение вида

где f (x , y) – любая функция, отличная от функции

где a , b , c – заданные числа.

Определение 3 . Решением уравнения (2) называют пару чисел (x ; y) , для которых формула (2) является верным равенством.

Пример 1 . Решить уравнение

Решение . Преобразуем левую часть уравнения (3):

Таким образом, уравнение (3) можно переписать в виде

Поскольку квадрат любого числа неотрицателен, то из формулы (4) вытекает, что неизвестные x и y удовлетворяют системе уравнений

решением которой служит пара чисел (6 ; 3) .

Пример 2 . Решить уравнение

вытекает, что уравнение (5) решений не имеет.

Ответ : Решений нет.

Пример 3 . Решить уравнение

Следовательно, решением уравнения (6) является бесконечное множество пар чисел вида

где y – любое число.

Системы из двух уравнений, одно из которых линейное

Определение 4 . Решением системы уравнений

называют пару чисел (x ; y) , при подстановке которых в каждое из уравнений этой системы получается верное равенство.

Системы из двух уравнений, одно из которых линейное, имеют вид

где a , b , c – заданные числа, а g(x , y) – функция двух переменных x и y .

Пример 4 . Решить систему уравнений

(7)

Решение . Выразим из первого уравнения системы (7) неизвестное y через неизвестное x и подставим полученное выражение во второе уравнение системы:

Таким образом, решениями системы (7) являются две пары чисел

и

Ответ : (– 1 ; 9) , (9 ; – 1)

Однородные уравнения второй степени с двумя неизвестными

Определение 5 . Однородным уравнением второй степени с двумя неизвестными x и y называют уравнение вида

где a , b , c – заданные числа.

Пример 5 . Решить уравнение

Решение . Для каждого значения y рассмотрим уравнение (8) как квадратное уравнение относительно неизвестного x . Тогда дискриминант D квадратного уравнения (8) будет выражаться по формуле

откуда с помощью формулы для корней квадратного уравнения найдем корни уравнения (8):

Ответ . Решениями уравнения (8) являются все пары чисел вида

( y ; y) или

где y – любое число.

Следствие . Левую часть уравнения (8) можно разложить на множители

Системы из двух уравнений, одно из которых однородное

Системы из двух уравнений, одно из которых однородное, имеют вид

где a , b , c – заданные числа, а g(x , y) – функция двух переменных x и y .

Пример 6 . Решить систему уравнений

(9)

рассматривая его как квадратное уравнение относительно неизвестного x :

.

В случае, когда x = – y , из второго уравнения системы (9) получаем уравнение

корнями которого служат числа y₁ = 2 , y₂ = – 2 . Находя для каждого из этих значений y соответствующее ему значение x , получаем два решения системы: (– 2 ; 2) , (2 ; – 2) .

,

из второго уравнения системы (9) получаем уравнение

которое корней не имеет.

Ответ : (– 2 ; 2) , (2 ; – 2)

Системы из двух уравнений, сводящиеся к системам, в которых одно из уравнений однородное

Пример 7 . Решить систему уравнений

(10)

Решение . Совершим над системой (10) следующие преобразования:

• второе уравнение системы оставим без изменений;
• к первому уравнению, умноженному на 5 , прибавим второе уравнение, умноженное на 3 , и запишем полученный результат вместо первого уравнения системы (10).

В результате система (10) преобразуется в равносильную ей систему (11), в которой первое уравнение является однородным уравнением:

(11)

рассматривая его как квадратное уравнение относительно неизвестного x :

.

В случае, когда x = – 5y , из второго уравнения системы (11) получаем уравнение

которое корней не имеет.

,

из второго уравнения системы (11) получаем уравнение

,

корнями которого служат числа y₁ = 3 , y₂ = – 3 . Находя для каждого из этих значений y соответствующее ему значение x , получаем два решения системы: (– 2 ; 3) , (2 ; – 3) .

Ответ : (– 2 ; 3) , (2 ; – 3)

Примеры решения систем уравнений других видов

Пример 8 . Решить систему уравнений (МФТИ)

Решение . Введем новые неизвестные u и v , которые выражаются через x и y по формулам:

(13)

Для того, чтобы переписать систему (12) через новые неизвестные, выразим сначала неизвестные x и y через u и v . Из системы (13) следует, что

(14)

Решим линейную систему (14), исключив из второго уравнения этой системы переменную x . С этой целью совершим над системой (14) следующие преобразования:

• первое уравнение системы оставим без изменений;
• из второго уравнения вычтем первое уравнение и заменим второе уравнение системы на полученную разность.

В результате система (14) преобразуется в равносильную ей систему

из которой находим

(15)

Воспользовавшись формулами (13) и (15), перепишем исходную систему (12) в виде

(16)

У системы (16) первое уравнение – линейное, поэтому мы можем выразить из него неизвестное u через неизвестное v и подставить это выражение во второе уравнение системы:

Следовательно, решениями системы (16) являются две пары чисел

Из формул (13) вытекает, что , поэтому первое решение должно быть отброшено. В случае u₂ = 5, v₂ = 2 из формул (15) находим значения x и y :

Определение 6 . Решением системы из двух уравнений с тремя неизвестными называют тройку чисел (x ; y ; z) , при подстановке которых в каждое уравнение системы получается верное равенство.

Пример 9 . Решить систему из двух уравнений с тремя неизвестными

(17)

Решение . У системы (17) первое уравнение – линейное, поэтому мы можем выразить из него неизвестное z через неизвестные x и y и подставить это выражение во второе уравнение системы:

(18)

Перепишем второе уравнение системы (18) в другом виде:

Поскольку квадрат любого числа неотрицателен, то выполнение последнего равенства возможно лишь в случае x = 4, y = 4 .

Ответ : (4 ; 4 ; – 4)

Замечание . Рекомендуем посетителю нашего сайта, интересующемуся методами решения систем уравнений, ознакомиться также c разделом справочника «Системы линейных уравнений» и нашим учебным пособием «Системы уравнений».

Нелинейные уравнения с двумя переменными и их система

Уравнения с двумя переменными \(x \ и \ y\) имеет вид \(f(x,y)= \varphi(x,y)\) , где \( f\ и \ \varphi\) – выражения с переменными \(x \ и \ y\) .

Если в уравнении \(x(x-y)=4\) подставить вместо переменной х ее значение –1, а вместо у – значение 3, то получится верное равенство: \(1\cdot(-1-3)=4\) . Пара (–1; 3) значений переменных х и у является решением уравнения \(x(x-y)=4\) .

То есть решением уравнения с двумя переменными называют множество упорядоченных пар значений переменных, образующих это уравнение в верное равенство.

Нелинейные уравнения с двумя переменными решаются так же, как и линейные уравнения с двумя переменными, – с помощью графика. При этом желательно переменную у выразить через х и построить график полученной функции. Все соответствующие координаты точек графика будут являться парами ответов данного уравнения.

Система вида \(\left\< \begin f_1 (x,y) = C_1 \\ f_2 (x,y) = C_2 \\ \end \right.\) , называется системой нелинейных уравнений с двумя переменными, если хотя бы одно из уравнений нелинейное. Нелинейные системы не имеют универсального способа решения, поэтому при решении конкретной системы уравнений нужно учитывать особенности заданных уравнений, переходя к равносильным системам.

Две системы называются равносильными, если множества их решений совпадают или обе системы не имеют решений.

Утверждения о равносильности систем уравнений:

• если одно из уравнений системы заменить на равносильное уравнение, то получим систему, равносильную исходной;
• если одно из уравнений системы заменить суммой каких-либо двух уравнений данной системы, то получим систему, равносильную исходной;
• если одно из уравнений системы выражает зависимость какой-либо переменной, например x, через другие переменные, то, заменив в каждом уравнении системы переменную x на ее выражение через другие переменные, получим систему, равносильную исходной.

Рассмотрим некоторые методы решения нелинейных систем уравнений.

Метод разложения на множители

Пример 1. Решить систему: \(\left\< \begin x^2-2y^2-xy+2x-y+1=0, \\ 2x^2-y^2+xy+3y-5=0. \\ \end \right.\)

Заметим, что множитель \(x+y+1\ne0\) , так как в этом случае правая часть второго уравнения системы также обратилась бы в нуль. Следовательно, система равносильна системе \(\left\< \begin x-2y+1=0 \\ (2x-y+1)(x+y+1)=6 \\ \end \right. \Rightarrow \left\< \begin x=2y-1 \\ (2x-y+1)(x+y+1)=6 \\ \end \right. \)

Решим второе уравнение:

\((2(2y-1)-y +1)(2y-1+y+1) =6 \\( 4y — 2 -y + 1)\cdot 3y = 6 \\(3y-1)\cdot 3y = 6 \\9y ^2-3y -2 = 0 \\y_1= 1; y_2 = -\frac23\)

Выразив x из первого уравнения и подставив во второе, получили уравнения для нахождения у. В первое уравнение системы вместо у подставляем найденное значение и находим значения x: \(x_1=1; \ x_2=-\frac73\) .

Ответ: \((1; 1); (- \frac73; — \frac23 )\) .

Метод исключения одной из неизвестных

Метод исключения неизвестных позволяет последовательно сводить решение данной системы к решению системы (или совокупности систем), содержащей на одну переменную меньше.

Пример 2. Решить систему: \(\left\< \begin 3x^2y^2+x^2-3xy=7, \\ 10x^2y^2+3x^2-20xy=3. \\ \end \right. \)

Решение: Левые части уравнений системы содержат одни и те же комбинации неизвестных. Умножим уравнения на подходящие множители с тем, чтобы исключить из системы одно из неизвестных. Из системы исключим х 2 . Для этого умножим первое уравнение на –3 и сложим со вторым уравнением.

В результате получаем уравнение \((xy)^2-11xy+18=0\) .

Решим данное уравнение путем замены.

Пусть \(xy = t\) , тогда \( t^2 — 11t + 18= 0\) , откуда \(t_1 = 2; t_2 = 9\) .

Таким образом, исходная система распадается на системы:

В первом случае находим \(x^2=1\) . Если \(x = 1, то\ y = 2 , \ а \ если\ x = -1, \ то\ y = -2\) .

Во втором случае получаем \(x^2=-209\) , т. е. не имеет действительных решений.

Метод подстановки

Пример 3. Решить систему: \(\left\< \begin x + y = 3, \\ x^3 + x^2 y = 12. \\ \end \right.\)

Решение: \(\left\< \begin x + y = 3 \\ x^3 + x^2 y = 12 \\ \end \right. \Rightarrow \left\< \begin x + y = 3 \\ x^2 \left( \right) = 12 \\ \end \right. \Rightarrow \left\< \begin x + y = 3 \\ x^2 \cdot 3 = 12 \\ \end \right. \Rightarrow \left\< \begin x + y = 3 \\ x^2 =4 \\ \end \right. \)

\(\left\< \begin x + y = 3 \\ x_1=2; x_2=-2 \\ \end \right. \Rightarrow y=3-x \Rightarrow y_1=3-2=1, y_2=3-(-2)=5\)

Метод введения новых переменных

Пример 4. Решить систему: \(\left\< \begin x + y +\frac=\frac12, \\ \frac<(x+y)x>=-\frac12. \\ \end \right.\)

Решение: Введем новые неизвестные \(u =x+y, v = \frac\) и получим симметричную систему уравнений: \(\left\< \begin u+v=\frac12 \\ uv=-\frac12 \\ \end \right.\) . Решения этой системы: \(u_1=1, v_1=-\frac12; u_2=-\frac12, v_2=1\) . Получаем системы уравнений: \(\left\< \begin x+y=1 \\ \frac=-\frac12 \\ \end \right. \ и \ \left\< \begin x+y=-\frac12 \\ \frac=1 \\ \end \right. \) , которые являются линейными. Решение первой системы – \((-1;2)\) , второй – \((- \frac 1 <4>; — \frac 1<4>)\) .

Методы решения систем нелинейных уравнений
статья по алгебре (9 класс) по теме

В работе рассмотрены раличные методы решения систем неленейных уравнений: 1) метод подстановки; 2) метод независимого решения одного из уравнений; 3) сведение системы к объединению более простых систем; 4) метод алгебраического сложения; 5) метод умножения уравнений;6) метод деления уравнений; 7) метод введения новых переменных ;8) применение теоремы Виета; 9) симметричные системы;10) «Граничные задачи»;11) графический метод.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Методы решения систем нелинейных уравнений.

( Работа педагога дополнительного образования Куца Федора Ивановича, МБОУ ДОД ДДТ г, Зверево РО, объединение «Школа решения нестандартных задач по математике»)

1) Метод подстановки.

a) Метод прямой подстановки.

Идея метода. Выбирается уравнение, в котором одна из переменных наиболее просто выражается через остальные переменные. Полученное выражение этой переменной подставляется в оставшиеся уравнения системы.

Решить систему уравнений

Корнями уравнения у 2 +2у –3 = 0 являются у 1 = 1, у 2 = — 3.

b) Комбинирование с другими методами.

Идея метода . Если метод прямой подстановки не применим на начальном этапе решения, то используются равносильные преобразования систем (почленное сложение, вычитание, умножение, деление), а затем проводят непосредственно прямую подстановку.

Решить систему уравнений

Поскольку х и у не могут принимать нулевые значения, разделим первое уравнение системы на второе, в результате получим линейное уравнение.

2) Метод независимого решения одного из уравнений.

Идея метода . Если в системе содержится уравнение, в котором находятся взаимно обратные выражения, то вводится новая переменная и относительно её решается уравнение. Затем система распадается на несколько более простых систем.

Решить систему уравнений

Рассмотрим первое уравнение системы: .

Сделав замену t = , где t ≠ 0, получаем t + = , 4t 2 — 17t + 4 = 0.

Откуда t 1 = 4, t 2 = .

Возвращаясь к старым переменным, рассмотрим два случая.

Корнями уравнения 4у 2 – 15у – 4 = 0 являются у 1 = 4, у 2 = — .

Корнями уравнения 4х 2 + 15х – 4 = 0 являются х 1 = — 4, х 2 = .

3)Сведение системы к объединению более простых систем.

a) Разложение на множители способом вынесения общего множителя.

Идея метода. Если в одном из уравнений есть общий множитель, то это уравнение раскладывают на множители и, учитывая равенство выражения нулю, переходят к решению более простых систем.

Решить систему уравнений

Разложим на множители второе уравнение системы.

Решим первую систему (1) или (2)

Решим вторую систему

b) Разложение на множители через решение однородного уравнения .

Идея метода. Если одно из уравнений представляет собой однородное уравнение ( , то решив его относительно одной из переменных, раскладываем на множители, например: a(x-x 1 )(x-x 2 ) и, учитывая равенство выражения нулю, переходим к решению более простых систем.

Решить систему уравнений

Решим уравнение относительно х.

D = (-5у) 2 – 4 ∙1 ∙ 25у 2 – 16у 2 = 9у 2 .

х 1,2 = = . х 1 = 4у, х 2 = у.

Система принимает вид: Откуда:

Решим первую систему

D = (-2) 2 – 4 ∙3 ∙ 4 + 96 = 100.

у 1,2 = = . у 1 = 2, у 2 = — .

Решим вторую систему

D = (-1) 2 – 4 ∙24 ∙ 1 + 384 = 385.

у 1,2 = у 1 = , у 2 = .

c) Использование однородности.

Идея метода. Если в системе есть выражение, представляющее собой произведение переменных величин, то применяя метод алгебраического сложения, получают однородное уравнение, а затем используют метод разложение на множители через решение однородного уравнения.

Решить систему уравнений

Умножим первое уравнение на (-3), второе — на 5 и сложим.

Решим уравнение относительно х.

D = (3у) 2 – 4 ∙(-4) ∙ 9у 2 +112у 2 = 121у 2 .

х 1,2 = = . х 1 = у, х 2 = — у.

Система принимает вид: Откуда 1) или 2)

Решим первую систему

Решим вторую систему

4) Метод алгебраического сложения.

Идея метода. В одном из уравнений избавляемся от одной из неизвестных, для этого уравниваем модули коэффициентов при одной из переменных, затем производим или почленное сложение уравнений, или вычитание.

Решить систему уравнений

Уравняем модули коэффициентов при переменной величине у, для этого первое уравнение умножим на 3, а второе на 2.

Прибавив к первому уравнению второе, получаем

Решим первое уравнение системы ,

Так как 15 + 14 — 29 = 0, то х 1 = 1, х 2 = — .

5) Метод умножения уравнений.

Идея метода. Если нет таких пар (х;у), при которых обе части одного из уравнений обращаются в ноль одновременно, то это уравнение можно заменить произведением обоих уравнений системы.

Решить систему уравнений

Решим второе уравнение системы.

; Возведя обе части уравнения в квадрат, имеем:

(у – 3)( + 2) 2 = у 2 ; (у – 3)(у + 4 + 4) = у 2 ;

у 2 + 4у + 4у – 3у — 12 -12 = у 2 ; 4у + 4у – 3у — 12 — 12 = 0.

Пусть = t, тогда 4t 3 + t 2 -12t -12 = 0.

Применяя следствие из теоремы о корнях многочлена, имеем t 1 = 2.

Р(2) = 4∙2 3 + 2 2 — 12∙2 – 12 = 32 + 4 — 24 — 12 = 0.

Понизим степень многочлена, используя метод неопределенных коэффициентов.

4t 3 + t 2 -12t -12 = (t – 2) (at 2 + bt + c).

4t 3 +t 2 -12t -12 = at 3 + bt 2 + ct — 2at 2 -2bt — 2c.

4t 3 + t 2 — 12t -12 = at 3 + (b – 2a) t 2 + (c -2b) t — 2c.

Получаем уравнение 4t 2 + 9t + 6 = 0, которое не имеет корней, так как D = 9 2 — 4∙4∙6 = -15

Возвращаясь к переменной у, имеем = 2, откуда у = 4.

6) Метод деления уравнений.

Идея метода. Если нет таких пар (х; у), при которых обе части одного из уравнений обращаются в ноль одновременно, то это уравнение можно заменить уравнением, которое получается при делении одного уравнения системы на другое.

Решить систему уравнений

Разделим первое уравнение на второе

7) Метод введения новых переменных.

Идея метода. Некоторые выражения от исходных переменных принимаются за новые переменные, что приводит к более простой, чем первоначальная, системе от этих переменных. После того как новые переменные будут найдены, нужно найти значения исходных переменных.

Решить систему уравнений

Введем новые переменные: х + у = u, = v.

Возвращаясь к старым переменным, имеем:

Решаем первую систему.

Находим решение второй системы.

8) Применение теоремы Виета .

Идея метода. Если система составлена так, одно из уравнений представлено в виде суммы, а второе — в виде произведения некоторых чисел, которые являются корнями некоторого квадратного уравнения, то применяя теорему Виета составляем квадратное уравнение и решаем его.

Решить систему уравнений

х, у корни уравнения: а 2 — 5а + 4 = 0. Откуда а 1 = 1, а 2 = 4.

Следовательно(1) или (2)

9) Симметричные системы.

Идея метода. (Многочлен от двух переменных х и у называется симметричным, если он не изменяется при замене х на у и у на х.). Свойство симметричных систем: если пара чисел (х 0 ;у 0 ) является решением системы, то и пара (у 0 ;х 0 ) также является ее решением.

Для решения симметричных систем применяется подстановка: х + у = а; ху = в.

При решении симметричных систем используются следующие преобразования:

х 2 + у 2 = (х + у) 2 – 2ху = а 2 – 2в; х 3 + у 3 = (х + у)(х 2 – ху + у 2 ) = а(а 2 -3в);

х 2 у + ху 2 = ху (х + у) = ав; (х +1)∙(у +1) = ху +х +у+1 =а + в +1;

Решить систему уравнений

Сделаем замену: х + у = а; ху = в; х 2 + у 2 = (х + у) 2 – 2ху = а 2 – 2в.

Решим уравнение . а 1 = 2, а 2 = 3.

Возвращаясь к исходным переменным, рассмотрим два случая.

10) «Граничные задачи».

Идея метода. Решение системы получаются путем логических рассуждений, связанных со структурой области определения или множества значений функций, исследование знака дискриминанта квадратного уравнения.

Решить систему уравнений

Особенность этой системы в том, что число переменных в ней больше числа уравнений. Для нелинейных систем такая особенность часто является признаком «граничной задачи».

Исходя из вида уравнений, попытаемся найти множество значений функции , которая встречается и в первом, и во втором уравнении системы. Так как х 2 + 4 ≥ 4, то из первого уравнения следует, что ≥ 4, а значит, ≥ 16. С другой стороны, исходя из области определения функции , получаем, что 16 – ≥ 0, откуда ≤ 16.Таким Образом,16 ≤ ≤ 16, т. е. = 16. Подставим полученное значение в систему:

11) Графический метод.

Идея метода . Строят графики функций в одной системе координат и находят координаты точек их пересечения.

Решить систему уравнений

1) Переписав первое уравнение систем в виде у = х 2 , приходим к выводу: графиком уравнения является парабола.

2) Переписав второе уравнение систем в виде у = , приходим к выводу: графиком уравнения является гипербола.

3) Парабола и гипербола пересекаются в точке А. Точка пересечения только одна, поскольку правая ветвь параболы служит графиком возрастающей функции, а правая ветвь гиперболы — убывающей. Судя по построенной геометрической модели точка А имеет координаты (1;2). Проверка показывает, что пара (1;2) является решением обоих уравнений системы.

Решите системы уравнений.

1.Алгебра. ЕГЭ: шаг за шагом / А.А.Черняк, Ж.А.Черняк.- Волгоград: Учитель,2012.

2.Методы решения задач по математике: Пособие для поступающих в НПИ. Ч1 / Ред. журн. « Изв. вузов. Электромеханика». Новочеркасск,1993.

3.Алгебра, 9 класс, В 2 ч. Ч.1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений/ А.Г. Мордкович, П.В. Семенов. – 12-е изд., стер. – М. : Мнемозина, 2010.

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Методы решения систем уравнений

Урок по алгебре в 9 классе по теме: «Методы решения систем уравнений» учителя математики Шевченко ТИИспользованные программы:1C Математический конструктор 3.0Диск Алгебра. Электронное сопр.

Урок алгебры в 9классе по теме «методы решения систем уравнений»

Подготовка к ГИА по теме «Решение систем уравнений».

Методическая разработка урока алгебры в 7 классе «Различные способы решения систем линейных уравнений» способы решения систем уравнений

Урок алгебры в 7 классе направлен на обобщение и систематизацию различных способов решения систем уравнений: метода сравнения, сложения, подстановки, графического метода, метода Крамера, выбора рацион.

Материалы к практическому занятию по математике для студентов специальности Экономика и бухгалтерский учет по теме «Графический метод решения систем линейных уравнений»

Данная разработка содержит конспект и презентацию к практическому занятию «Графический метод решения экономических задач» , завершающему изучение темы «Графический метод решения систем линейных уравне.

Методы решения систем логических уравнений

Методы решения систем логических уравнений при подготовке к ЕГЭ (задание В15).

Презентация Методы решения систем линейных уравнений (метод подстановки)

Системы уравнений с двумя переменными. Графический метод решения систем двух линейных уравнений с двумя переменными

Урок объяснения нового материала по учебнику «Алгебра, 7 класс» А.Г. Мерзляк, параграф 26. Презентация составлена для объяснения новой темы в Zoom при дистанционном обучении.