Системы нормальных уравнений и параметры тренда

Тенденции развития и колебания

Методические основы изучения основной тенденции развития

Уровни ряда динамики формируются под совокупным влиянием множества долговременных и краткосрочных факторов, и, в том числе, различного рода случайных обстоятельств. В связи с чем, при статистическом изучении динамики необходимо четко разделить ее на два основных элемента – тенденцию и колеблемость.

Тенденция развития динамического ряда к увеличению либо снижению его уровней – основная закономерность изменения уровней ряда. В отдельные же годы уровни испытывают колебания, отклоняясь от основной тенденции.

Тенденция динамики связана с действием долговременно существующих причин и условий развития. Однако после какого-то периода времени эти причины и условия тоже могут измениться и породить уже другую тенденцию развития изучаемого явления. Основная тенденция развития ряда динамики выражается в форме уравнения, называемого трендом.

Колебания, напротив, связаны с действием краткосрочных или циклических (конъюнктурных) факторов, влияющих на отдельные уровни динамического ряда, и отклоняющих уровни от тенденции то в одну, то в другую сторону. Например, положительная тенденция динамики урожайности связана с прогрессом агротехники, с укреплением экономического положения определенной совокупности хозяйств, совершенствованием организации производства. Колеблемость урожайности может быть вызвана, например, чередованием благоприятных по погоде и неблагоприятных лет, колебаниями в развитии вредных насекомых и болезней растений, и т.п.

Тенденцию и колебания наглядно показывает график (рис. 10.1). По оси абсцисс на графике всегда отражается время, по оси ординат – уровни ряда динамики. По обеим осям строго соблюдается масштаб, иначе характер динамики будет искажен.

Изучение основной тенденции развития осуществляется в два этапа (рис. 10.2):

• на первом этапе ряд динамики проверяется на наличие тренда;
• на втором этапе проводится выравнивание временного ряда и непосредственное выделение тренда с экстраполяцией полученных результатов.

Проверка на наличие тренда в ряду динамики может быть осуществлена различными методами, в частности, приведенными на рис. 10.2.

Суть фазочастотного критерия знаков первой разности (Валлиса и Мура) заключается в том, что наличие тренда в динамическом ряду утверждается в том случае, если этот ряд не содержит или содержит в приемлемом количестве фазы – изменения знака разности первого порядка.

Суть критерия Кокса и Стюарта сводится к тому, что весь анализируемый ряд динамики разбивается на три равные по числу уровней группы и сравнивают между собой суммарные или средние уровни первой и последней групп. Существенное различие между ними позволяет сделать вывод о наличии тренда. Если количество уровней ряда динамики не делится на три, то недостающие уровни можно добавить, например, используя для этого условные уровни, повторив значения стоящие крайними в ряду, или фактические уровни смежных с крайними периодов.

В соответствии с методом серий каждый конкретный уровень временного ряда считается принадлежащим к одному из двух типов: например, если, уровень ряда меньше медианного значения, то считается, что он имеет тип А, в противном случае – тип В. После замены числовых значений уровней ряда буквами А и В последовательность уровней временного ряда выступает как последовательность типов. В образовавшейся последовательности типов определяется число серий (R). Серией называется любая последовательность элементов одинакового типа, граничащая с элементами другого типа. Если во временном ряду общая тенденция к росту или снижению отсутствует, то количество серий является случайной величиной (для n >10) и оказывается в доверительном интервале, характеризуемом неравенством:

где R – среднее число серий, определяемое по формуле:

n – число уровней ряда; t – нормированное отклонение – параметр, назначаемый в соответствии с принятым уровнем доверительной вероятности Р (вероятности, с которой число серий может оказаться в доверительном интервале). Значения t приводятся в таблицах нормального распределения вероятностей.

Наиболее часто используемые сочетания t и Р приведены в таблице 6.3; σ_R – среднее квадратическое отклонение числа серий, которое рассчитывается по формуле:

Полученные границы доверительного интервала округляют до целых чисел, уменьшая нижнюю границу и увеличивая верхнюю.

При графическом методе тип тренда устанавливают путем размещения на поле графика эмпирических уровней. Концентрированное вокруг определенной кривой или хаотическое размещение эмпирических уровней ряда позволяет сделать вывод о наличии или отсутствии основной тенденции развития.

Пример проверки ряда динамики на наличие тренда

По данным таблицы 10.1 необходимо определить наличие тренда в ряду динамики числа браков на 1000 человек населения Российской Федерации в 2005-2018 гг.

Число браков на 1000 человек населения Российской Федерации в 2005-2018 гг., ‰

Годы	2005	2006	2007	2008	2009	2010	2011	2012	2013	2014	2015	2016	2017	2018
Браки	7,4	7,8	8,8	8,3	8,4	8,5	9,2	8,5	8,5	8,4	7,9	6,7	7,1	6,1

Для применения фазочастотного критерия знаков первой разности необходимо определить наличие роста или уменьшение рассматриваемого показателя от года к году рассматриваемого периода, т.е. знак «+» или «-» цепного абсолютного прироста (формула 9.2, с. 154), для наглядности представив результаты в таблице 10.2.

Знаки первой разности числа браков на 1000 человек населения Российской Федерации в 2005-2018 гг.

Годы	2005	2006	2007	2008	2009	2010	2011	2012	2013	2014	2015	2016	2017	2018
Знак	…	+	+	—	+	+	+	—	0	—	—	—	+	—

Количество «+» и « — « оказалось одинаковым, что, на первый взгляд, однозначно свидетельствует об отсутствии какой-либо закономерности динамики браков в России в рассматриваемом периоде.

Для применения критерия Кокса и Стюарта необходимо представленный ряд динамики разбить на три равные части, для чего к нему добавим имеющиеся на период исследования в официальной статистике данные о числе браков на 1000 человек населения в 2004 году – 6,8‰.

Первая треть добавленного ряда будет охватывать данные 2004-2008 гг., а последняя – 2014- 2018 гг., соответственно: (6,8+7,4+7,8+8,8+8,3=39,1) и (8,4+7,9+6,7+7,1+6,1=36,2). Средний уровень числа браков на 1000 человек населения страны в 2004-2008 гг. и 2014-2018 гг. составил, соответственно: 39,1:5=7,82‰ и 36,2:5=7,24‰.

Численные различия рассматриваемого показателя по выделенным периодам не велики, что также не позволяет утверждать наличие определенного тренда заключения браков в Российской Федерации.

Для применения метода серий рассчитаем медианное значение числа браков на 1000 человек населения страны в 2005-2018 гг.

Упорядоченная по возрастанию последовательность числа браков на 1000 человек населения в 2005-2018 гг. приведена в таблице 10.3.

Число браков на 1000 человек населения Российской Федерации в 2005-2018 гг. в порядке возрастания, ‰

№ п./п.	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14
Браки	6,1	6,7	7,1	7,4	7,8	7,9	8,3	8,4	8,4	8,5	8,5	8,5	8,8	9,2

Так как ряд имеет четырнадцать значений уровней, то медиана будет равна половине суммы значений уровней седьмого и восьмого элемента упорядоченного ряда: Ме = 8,35 ‰.

К типу А относятся значения уровней рассматриваемого ряда динамики которые меньше медианного значения, к типу В – больше и ряд типов выглядит как ААВАВВВВВВАААА, отсюда число серий R = 5.

С вероятностью 0,954 найдем доверительный интервал, в котором может оказаться R, если количество серий является случайной величиной. Для этого предварительно найдем следующие показатели:

– с вероятностью 0,954 нормированное отклонение: t = 2 (см. табл. 10.1);

– среднее число серий: 7,5 (формула 10.2);

– среднее квадратическое отклонение числа серий: 1,803 (формула 10.3).

С вероятностью 0,954 можно утверждать, что количество серий случайная величина, если оно попадает в доверительный интервал 3 Исходный и выровненные методом скользящей средней ряды динамики выпуска продукции в течение месяца

Рабочие дни месяцаВыпуск продукции, млн. руб.Скользящая сумма, млн. руб.Скользящая средняя, млн. руб.ИнтервалыИнтервалытрехдневныепятидневныетрехдневныепятидневные123456137––––242112–37,3–333120215404344513623345,346,655815824752,749,465516928456,356,875618130860,361,68701953246564,89692133407164,8107421437071,36811712313707774128622739375,774137024838782,778,6149223040976,777,4156825340484,380,8169324242380,784,6178126342587,7851889264460889219942864769595,22010330649410298,821109311516103,7103,22299319–106,3–23111––––

Результаты расчетов скользящих сумм и скользящих средних приведены в 3-6 колонках таблицы 10.4.

Данные колонок 5 и 6 таблицы 10.4 показывают устойчивую тенденцию роста ежедневного выпуска продукции в течение месяца.

Аналитическое выравнивание рядов динамики

Под аналитическим выравниванием понимают определение основной проявляющейся во времени тенденции развития изучаемого явления, выраженной соответствующим уравнением регрессии. При этом развитие предстает как бы в зависимости только от течения времени, т.е. одного фактора — времени. В итоге выравнивания временного ряда получают наиболее общий, суммарный, проявляющий во времени результат действия всех причинных факторов. Отклонение конкретных уровней ряда от уровней, соответствующих общей тенденции, объясняют действием факторов, проявляющихся случайно или циклически.

На практике по имеющемуся временному ряду задают вид и находят параметры функции f(t), а затем анализируют поведение отклонений от тенденции.

Функцию f(t) выбирают таким образом, чтобы она давала содержательное объяснение изучаемого процесса. Чаще всего при выравнивании используются следующие зависимости:

– линейная, выраженная уравнением:

f(t) = y = a + b×t; (10.4)

– параболическая, выраженная уравнением:

f(t) = y = a + b×t + c×t 2 ; (10.5)

– экспоненциальная, выраженная уравнением:

f(t) = y = a×k t ; (10.4)

где y – уровни, освобожденные от колебаний;
а – начальный уровень тренда в момент или период, принятый за начало отсчета времени t (t = 0);
t – номер периода;
b – среднегодовой абсолютный прирост; константа линейного тренда (параметр, показывающий, на сколько изменится результат при изменении времени на единицу);
с – квадратический параметр, равный половине ускорения; константа параболического тренда. Ускорение (Δ’_i) как разность между абсолютным приростом за данный период и абсолютным приростом за предыдущий период одинаковой длительности рассчитывается по формуле:

Δ’_i = Δ_i — Δ’_i-1. (10.7)
k – коэффициент роста; константа экспоненциального тренда.

Выравнивать динамические ряды по уравнению прямой линии целесообразно тогда, когда более или менее постоянны цепные абсолютные приросты, т.е. тогда, когда уровни ряда изменяются приблизительно в арифметической прогрессии.

Выравнивание динамических рядов по уравнению квадратической параболы необходимо применять в тех случаях, когда изменение уровней ряда происходит с приблизительно равномерным ускорением или замедлением цепных абсолютных приростов.

Выравнивание по экспоненциальной функции целесообразно использовать тогда, когда уровни ряда динамики выявляют тенденцию постоянства цепных темпов роста, т.е. в случае изменения уровней ряда динамики в геометрической прогрессии.

Кроме выше рассмотренных существуют логарифмическая, гиперболическая, логистическая и др. формы тренда.

Для расчета параметров уравнения тренда обычно используют метод наименьших квадратов.

Для каждого типа тренда МНК дает систему нормальных уравнений, решая которую вычисляют параметры тренда.

Для линейного тренда нормальные уравнения МНК имеют вид:

где y_i – уровни исходного ряда динамики;
t_i – номера периодов или моментов времени;
n – число уровней ряда.

Систему можно упростить, перенеся начало отсчета времени t_i в середину ряда. Тогда Σt_i будет равна 0 и система приобретет вид:

Отметим, что значение Σt 2 при четном числе n можно определить по формуле:

Для того, чтобы выйти на значение Σt 2 , полученное по формуле, при четном числе n шаг между t_i и t_i-1 или t_i+1 принимается равным 2 года.

Для тренда, выраженного квадратической параболой, нормальные уравнения МНК имеют вид:

После переноса начала отсчета ti в середину ряда получим:

Для экспоненциального тренда нормальные уравнения МНК имеют вид:

После переноса начала отсчета ti в середину ряда получим:

Построив уравнение регрессии, проводят оценку его надежности. Это делается посредством F-критерия Фишера, рассчитываемого по формуле 8.15. Если Fфакт > Fтеор, то уравнение регрессии значимо, т.е. построенная модель адекватна фактической временной тенденции.

Пример аналитического выравнивания ряда динамики

По данным таблицы 9.11 необходимо провести аналитическое выравнивание ряда динамики среднемесячной номинальной начисленной заработной платы работников организаций по экономике Российской Федерации в целом за 2000-2018 гг.

Проверку ряда динамики среднемесячной номинальной начисленной заработной платы работников организаций по экономике Российской Федерации за 2000-2018 гг. на наличие тренда проведем с помощью фазочастотного критерия знаков первой разности.

Данные таблицы 9.12 свидетельствуют о неуклонном росте среднемесячной заработной платы в стране и, соответственно, о положительных значениях знаков первой разности на протяжении всего исследованного периода.

Тенденция к росту уровней рассматриваемого ряда динамики очевидна.

Для определения тренда, наиболее точно отражающего закономерность изменения среднего уровня месячной заработной платы работников организаций по экономике Российской Федерации во времени, рассчитаем параметры уравнений линейной, параболической и экспоненциальной зависимостей, оценив их надежность с помощью F-критерия Фишера.

Результаты вспомогательных действий для расчета параметров уравнений регрессии приведены в таблице 10.5. Для упрощения расчетов начало отсчета времени ti перенесено в середину ряда.

Данные для расчета параметров уравнений регрессии, характеризующих динамику среднемесячной номинальной начисленной заработной платы работников организаций по экономике Российской Федерации в целом за 2000-2018 гг.

Годы	Среднемесячная зарплата, тыс. руб., уi,	Условное время, годы, ti	уiti	ti 2	уiti 2	ti 4	Ln уiti	(Ln уiti)×ti	Уровни трендов
									линейного	параболы II порядка	экспоненциального
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
2000	2,2	-9	-19,8	81	178,2	6561	0,8	-7,1	-1,3	-2,0	3,5
2001	3,2	-8	-25,6	64	204,8	4096	1,2	-9,3	1,0	0,5	4,1
2002	4,4	-7	-30,8	49	215,6	2401	1,5	-10,4	3,4	3,1	4,8
2003	5,5	-6	-33,0	36	198,0	1296	1,7	-10,2	5,7	5,6	5,7
2004	6,7	-5	-33,5	25	167,5	625	1,9	-9,5	8,1	8,2	6,6
2005	8,6	-4	-34,4	16	137,6	256	2,2	-8,6	10,4	10,6	7,8
2006	10,6	-3	-31,8	9	95,4	81	2,4	-7,1	12,8	13,1	9,1
2007	13,6	-2	-27,2	4	54,4	16	2,6	-5,2	15,2	15,5	10,6
2008	17,3	-1	-17,3	1	17,3	1	2,9	-2,9	17,5	17,9	12,4
2009	18,6	0	0	0	0	0	2,9	0,0	19,9	20,3	14,5
2010	21,0	1	21,0	1	21,0	1	3,0	3,0	22,2	22,6	17,0
2011	23,4	2	46,8	4	93,6	16	3,2	6,3	24,6	24,9	19,9
2012	26,6	3	79,8	9	239,4	81	3,3	9,8	26,9	27,2	23,3
2013	29,8	4	119,2	16	476,8	256	3,4	13,6	29,3	29,5	27,3
2014	32,5	5	162,5	25	812,5	625	3,5	17,4	31,7	31,7	31,9
2015	34,0	6	204,0	36	1224,0	1296	3,5	21,2	34,0	33,9	37,4
2016	36,7	7	256,9	49	1798,3	2401	3,6	25,2	36,4	36,1	43,7
2017	39,2	8	313,6	64	2508,8	4096	3,7	29,3	38,7	38,3	51,2
2018	43,7	9	393,3	81	3539,7	6561	3,8	34,0	41,1	40,4	59,9
Всего	377,6	0	1343,7	570	11982,9	30666	50,9	89,6	377,6	377,6	390,8

Рассчитаем параметры линейного тренда:

– начальный уровень тренда а в момент, принятый за начало отсчета времени (t = 0), по формуле 10.10 равен: 19,874 тыс. руб.;

– константа линейного тренда b по формуле 10.11 равна: 2,357 тыс. руб.

Уравнение линейного тренда имеет вид (формула 10.4): y = 19,874 + 2,357×t.

Параметры линейного уравнения означают, что среднемесячный уровень номинальной начисленной заработной платы работников организаций по экономике Российской Федерации в целом и его выровненный уровень, отнесенный к середине периода, т.е. к 2009 г., равняются 19,874 тыс. руб., а среднегодовой абсолютный прирост среднемесячной заработной платы за рассмотренный период составил 2,357 тыс. руб.

Рассчитаем параметры параболического тренда с помощью системы уравнений 10.14, установив начало отсчета времени (t = 0) в середине ряда, и осуществив соответствующую подстановку данных из столбцов 2-7 таблицы 10.5.

Полученная система имеет уравнений вид:

19a + 570c = 377,6;
570b = 1343,7;
570a + 30666c = 11982,9.

Решив эту систему уравнений имеем: a = 20,285, b = 2,357, c = -0,014.

Уравнение параболического тренда имеет вид (формула 10.5):

y = 20,285 + 2,357t + 0,014t 2 .

Значение параметра с (константы параболического тренда, равной половине ускорения изменения абсолютного цепного прироста) означает, что абсолютный прирост среднемесячной номинальной начисленной заработной работников организаций по экономике страны в рассматриваемом периоде замедлялся в среднем на 28 рубля (2×0,014×1000) в год. Сам же абсолютный прирост уже не является константой параболического тренда, а является средней величиной за период. В год, принятый за начало отсчета, т.е. 2009 г., тренд проходит через точку с ординатой 20,285 тыс. руб. Свободный член параболического тренда не является средним уровнем за период.

Рассчитаем параметры экспоненциального тренда, используя данные колонок 8 и 9 таблицы 10.5:

• по формуле 10.17 ln a = 2,679, отсюда, а = 14,543;
• по формуле 10.18 ln k = 0,157, отсюда k = 1,170.

Уравнение экспоненциального тренда имеет вид (формула 10.6): y = 14,543×1,17 t .

Значение параметра k (константы экспоненциального тренда) означает, что среднегодовой темп роста среднемесячной номинальной начисленной зарплаты работников организаций по экономике Российской Федерации в целом в 2000-2018 гг. составлял 117,0 %. В точке, принятой за начало отчета, тренд проходит точку с ординатой 14,543 тыс. руб.

Отметим, что суммы теоретических уровней линейного и параболического трендов (колонки 10 и 11 таблицы 10.5) совпадают с суммой фактических уровней среднемесячной заработной платы за 2000-2018 гг. (колонка 2 таблицы 10.5). Это свидетельствует не только о том, что параметры трендов рассчитаны правильно, но и позволяет предположить, что полученные уравнения регрессии адекватно характеризуют сложившуюся тенденцию.

Для составления прогнозов на будущее, рассмотренные тренды неравнозначны по степени адекватности отражения формы прогрессии уровней ряда динамики, поэтому проведем оценку надежности уравнений регрессии с помощью критерия Фишера при α = 0,05 (с вероятностью 0,95).

Рассчитаем теоретические и фактические значения F-критерия для линейного, параболического и экспоненциального трендов.

Для расчета общей и факторных дисперсий для всех видов трендов среднемесячной номинальной начисленной заработной платы работников организаций по экономике Российской Федерации в целом за 2000-2018 гг. построим вспомогательную таблицу 10.6.

Данные для расчета дисперсий среднемесячной номинальной начисленной заработной платы работников организаций по экономике Российской Федерации в целом за 2000-2018 гг.

Годы	Среднемесячная зарплата, тыс. руб., уi,	уi 2	Линейный тренд		Параболический тренд		Экспоненциальный тренд
			y’i	(y’i— y ) 2	y’i	(y’i— y ) 2	y’i	(y’i— y ) 2
1	2	3	4	5	6	7	8	9
2000	2,2	4,84	-1,3	450,13	-2,0	480,29	3,5	267,04
2001	3,2	10,24	1,0	355,66	0,5	373,46	4,1	247,74
2002	4,4	19,36	3,4	272,30	3,1	280,97	4,8	226,08
2003	5,5	30,25	5,7	200,06	5,6	202,39	5,7	201,99
2004	6,7	44,89	8,1	138,93	8,2	137,32	6,6	175,51
2005	8,6	73,96	10,4	88,91	10,6	85,33	7,8	146,89
2006	10,6	112,36	12,8	50,01	13,1	46,03	9,1	116,63
2007	13,6	184,96	15,2	22,23	15,5	18,99	10,6	85,65
2008	17,3	299,29	17,5	5,56	17,9	3,84	12,4	55,45
2009	18,6	345,96	19,9	0,00	20,3	0,17	14,5	28,41
2010	21,0	441,00	22,2	5,56	22,6	7,59	17,0	8,14
2011	23,4	547,56	24,6	22,23	24,9	25,72	19,9	0,00
2012	26,6	707,56	26,9	50,01	27,2	54,17	23,3	11,81
2013	29,8	888,04	29,3	88,91	29,5	92,57	27,3	54,84
2014	32,5	1056,25	31,7	138,93	31,7	140,55	31,9	145,20
2015	34,0	1156,00	34,0	200,06	33,9	197,74	37,4	305,76
2016	36,7	1346,89	36,4	272,30	36,1	263,77	43,7	568,71
2017	39,2	1536,64	38,7	355,66	38,3	338,29	51,2	979,22
2018	43,7	1909,69	41,1	450,13	40,4	420,95	59,9	1600,40
Всего	377,6	10715,74	377,6	3167,60	377,6	3170,15	390,8	5225,47

Общую дисперсию рассчитываем по данным колонок 2 и 3 таблицы 10.6, используя способ разности (формула 5.12),

169,0. Факторную дисперсию по теоретическим значениям рассчитываем по формуле 8.9, а остаточную дисперсию – по формуле 8.11. Напомним, что у = 19,874 тыс. руб.

Для линейного тренда:

• факторная дисперсия по данным столбца 5 таблицы 10.6 равна: 166,7;
• остаточная дисперсия: = 169,0 – 166,7 = 2,3.

Для тренда, характеризуемого параболой второго порядка:

• факторная дисперсия по данным столбца 7 таблицы 10.6 равна: 166,9;
• остаточная дисперсия: = 169,0 – 166,9 = 2,1.

Для экспоненциального тренда:

• факторная дисперсия по данным столбца 9 таблицы 10.6 равна: 275,0;
• остаточная дисперсия: 169,0 – 275,0 = -106,0.

Фактическое значение критерия Фишера для каждого типа тренда определим по формуле 8.15, а значения степеней свободы k1 и k2 дисперсий – по формулам 8.16 и 8.17.

Итак, для линейного тренда при k1 = 2 – 1 = 1 и k2 = 19 – 2 = 17 фактическое значение критерия Фишера равно: 1232,1; теоретическое значение критерия Фишера по данным таблицы 7.10 равно: Fт ≈ 4,4. Так как Fф > Fт (1232,1 > 4,4), то с вероятностью 0,95 можно утверждать, что линейная регрессия адекватно отражает динамику среднемесячной номинальной начисленной заработной платы работников организаций по экономике Российской Федерации в целом в 2000-2018 гг.

Для тренда, характеризуемого параболой второго порядка, при k1 = 3 – 1 = 2 и k2 = 19 – 3 = 16 фактическое значение критерия Фишера равно: 635,8; теоретическое значение критерия Фишера по данным таблицы 7.10 равно: Fт = 3,6. Так как Fф > Fт (635,8 > 3,6), то с вероятностью 0,95 можно утверждать, что и параболическая регрессия адекватно отражает динамику номинальной среднемесячной заработной платы работников организаций России в 2000-2018 гг.

Для экспоненциального тренда фактическое значение критерия Фишера равно отрицательной величине, что не позволяет рассматривать данный тренд на предмет адекватности.

Наиболее адекватно сложившуюся в исследуемом ряду динамики тенденцию отражает линейный тренд (рис. 10.4).

Понятие о колеблемости

При изучении и измерении тенденции динамики колебания уровней играли лишь роль помех, «информационного шума», от которого следовало по возможности абстрагироваться. Однако факторы, обусловливающие колебания уровней временного ряда, как правило, объективны, что предопределяет самостоятельное исследование колеблемости.

Значение изучения колебаний уровней динамического ряда определяется, в первую очередь, тем, что регулирование рыночной экономики, как со стороны государства, так и производителей в значительной мере состоит в регулировании колебаний экономических процессов. Например, колебания урожайности, продуктивности скота, производства сельхозпродукции экономически нежелательны, так как потребность в продукции агрокомплекса постоянна. Эти колебания следует уменьшать, применяя прогрессивную технологию и другие меры. Напротив, сезонные колебания объемов производства зимней и летней одежды, обуви, мороженного, прохладительных напитков и т.п. – необходимы и закономерны, так как спрос на эти товары тоже колеблется по сезонам и равномерное производство требует лишних затрат на хранение запасов.

Типы колебаний статистических показателей весьма разнообразны. Три основных типа колебаний: пилообразная или маятниковая колеблемость, циклическая долгопериодическая колеблемость и случайно распределенная во времени колеблемость показаны на рис. 10.5, на котором хорошо видны их свойства и отличия друг от друга.

Пилообразная или маятниковая колеблемость состоит в попеременных отклонениях уровней ряда от тренда то в одну, то в другую сторону. Такие колебания можно наблюдать в динамике урожайности при невысоком уровне агротехники: высокий урожай при благоприятных условиях погоды выносит из почвы больше питательных веществ, чем их образуется естественным путем за год, следовательно, почва обедняется, что вызывает снижение следующего урожая ниже тренда, который выносит меньше питательных веществ, чем образуется за год и плодородие возрастает, и т.д.

Циклическая долгопериодическая колеблемость свойственна, например, солнечной активности (10-летние циклы), а, значит, и связанным с ней на Земле процессами – урожайности отдельных культур в ряде районов, некоторым заболеваниям людей, растений и т.п. Для этого типа колеблемости характерны редкая смена знаков отклонений от тренда и кумулятивный эффект отклонений одного знака, который может тяжело отражаться на экономике. Зато эти колебания хорошо прогнозируются.

Случайно распределенная во времени колеблемость – нерегулярная, хаотическая. Она может возникнуть при наложении множества колебаний с разными по длительности циклами. Но может возникать и в результате столь же хаотической колеблемости главной причины существования колебаний, например суммы осадков за летний период, температуры воздуха в среднем за месяц в разные годы.

На предположении, что параметры тренда и колебаний сохраняются до прогнозируемого периода, т.е. на экстраполяции, основана методика статистического прогноза по тренду и колеблемости. Экстраполяция справедлива, если система развивается эволюционно в достаточно стабильных условиях.

Сезонные колебания

Особого внимания при изучении колеблемости заслуживают сезонные колебания. Сезонные колебания строго цикличны – повторяются через каждый год.

Сезонными колебаниями называют периодические колебания уровней, возникающие под влиянием смены времени года.

Роль сезонных колебаний велика в агропромышленном комплексе, торговле многими товарами, заболеваемости, строительстве, деятельности рекреационных учреждений, на транспорте.

Сезонность наносит большой ущерб народному хозяйству, связанный с неравномерным использованием оборудования и рабочей силы, с неравномерной загрузкой транспорта и т.д.

Для изучения сезонных колебаний необходимо иметь уровни за каждый месяц (квартал) года, а, чтобы сгладить случайные колебания и точнее измерить сезонные, их изучают за несколько лет.

Уровень сезонности и форма «сезонной волны» изучаются с помощью индексов сезонности.

Способы определения индексов сезонности зависят от наличия или отсутствия основной тенденции.

Индивидуальные индексы сезонности показывают, во сколько раз фактический уровень ряда в момент (интервал) времени t больше или меньше среднего уровня, соответствующего данному моменту (интервалу) времени, либо уровня, вычисляемого по уравнению тенденции f(t).

Индекс сезонности (I_t,сез), если тренда нет или он незначителен, рассчитывают по формуле:

где y _t – средний уровень показателя по одноименным месяцам (кварталам) за ряд лет;
t – номер месяца (квартала);
y _o – общий средний уровень показателя за период исследования.

При наличии тренда индекс сезонности определяется на основе методов, исключающих влияние тенденции. Порядок расчета индекса сезонности при наличии тренда следующий:

1) для каждого уровня (y_t,i) определяются выровненные значения по тренду f(t) = y_t,i;

2) рассчитываются индивидуальные индексы уровней исследуемых показателей для каждого месяца (квартала) каждого года по формуле:

3) индексы сезонности определяются по формуле:

где n – число лет (i = 1, …, n).

Совокупность исчисленных для каждого месяца годового цикла индексов сезонности характеризует «сезонную волну» развития изучаемого явления во внутригодовой динамике.

Пример расчета индексов сезонности при условии отсутствия четко выраженной тенденции изменения уровней ряда динамики

По данным таблицы 10.7 необходимо проанализировать внутригодовую динамику потерь рабочего времени на предприятиях города N по причине неявок персонала на работу в 2016-2018 гг.

Данные о потерях рабочего времени на предприятиях города N по причине неявок персонала на работу в 2016-2018 гг., чел.-дн. (данные условные)

Годы	Месяцы
	январь	февраль	март	апрель	май	июнь	июль	август	сентябрь	октябрь	ноябрь	декабрь
2016	186	165	192	80	48	54	52	78	35	64	221	175
2017	174	180	204	123	50	46	68	84	43	58	179	198
2018	182	174	165	126	68	42	47	65	54	74	187	170

Проверим ряд динамики потерь рабочего времени на предприятиях города N в 2016-2018 гг. на наличие тренда. Для этого рассчитаем годовые потери рабочего времени, т.е. проведем укрупнение месячных уровней в годовые, и определим темпы роста. Расчет базисных темпов роста в данном примере соответствует методике проверки ряда динамики на наличие тренда с помощью критерия Кокса и Стюарта.

Просуммировав месячные уровни, получили потери рабочего времени в 2016 г. – 1350 чел.- дн.; в 2017 г. – 1407 чел.-дн.; в 2018 г. – 1354 чел.-дн.

Базисные темпы роста потерь рабочего времени на предприятиях города N в 2016-2018 гг., рассчитанные по формуле 9.5, составили 100,3 % (1354 : 1350 × 100); цепные темпы роста потерь рабочего времени внутри этого периода, рассчитанные по формуле 9.6, составили в 2017 г. по сравнению с 2016 г. 104,2 % (1407 : 1350 × 100), а в 2018 г. по сравнению с 2017 г. – 96,2 % (1354 : 1407 × 100).

Рассчитанные значения темпов роста годовых уровней ряда динамики потерь рабочего времени на предприятиях города N в 2016-2018 гг., позволяют сделать вывод, что изучаемое явление не имеет четко выраженной тенденции к росту, поэтому индексы сезонности рассчитываются по формуле 10.19.

Средние уровни потерь рабочего времени по одноименным месяцам за три года ( y _t) и их общий среднемесячный уровень за период исследования ( y _o) найдем по формуле 4.21.

Результаты расчетов соответствующих индексов сезонности представим в таблице 10.8.

Результаты расчета индексов сезонности внутригодовой динамики потерь рабочего времени на предприятиях города N по причине неявок персонала на работу в 2016-2018 гг.

Годы	Месяцы												Всего, чел.-дн.
	I	II	III	IV	V	VI	VII	VIII	IX	X	XI	XII
2016	186	165	192	80	48	54	52	78	35	64	221	175	1350
2017	174	180	204	123	50	46	68	84	43	58	179	198	1407
2018	182	174	165	126	68	42	47	65	54	74	187	170	1354
Итого, чел.-дн.	542	519	561	329	166	142	167	227	132	196	587	543	4111
y t, чел.-дн.	180,7	173,0	187,0	109,7	55,3	47,3	55,7	75,7	44,0	65,3	195,3	181,0	х
It,сез, %	158,2	151,5	163,8	96,0	48,5	41,4	48,7	66,3	38,5	57,2	171,3	158,5	х

Расчеты y _t проводились следующим образом: y _I = 542 : 3 = 180,7 чел.-дн.; y _II = 519 : 3 = 151,5 чел.-дн.; и т.д.; y _o = 4111 : 36 = 114,2 чел.-дн.

Наглядное представление о сезонной волне потерь рабочего времени на предприятиях города N дает график на рис. 10.4.

На рис. 10.4 четко видно, что наибольшие потери рабочего времени на предприятиях города N по причине неявок персонала на работу в 2016-2018 гг. приходились на март и ноябрь – пик сезонной заболеваемости острыми респираторными заболеваниями. Ярко выраженный спад потерь рабочего времени по причине неявок работников на предприятия города N приходился на период с мая по октябрь, что соответствует общей тенденции динамики потерь рабочего времени в экономике страны.

Пример расчета индексов сезонности при условии наличия тренда

По данным таблицы 10.9 необходимо проанализировать внутригодовую динамику потерь рабочего времени на предприятиях города К по причине неявок персонала на работу в 2016- 2018 гг.

Просуммировав внутригодовые уровни потерь рабочего времени на предприятиях города К по годам (2016 г. – 3010 чел.-дн.; 2017 г. – 2760 чел.-дн.; 2018 г. – 2510 чел.-дн.), видим наличие ярко выраженной тенденции их снижениях их уровня.

Данные о потерях рабочего времени на предприятиях города К по причине неявок персонала на работу в 2016-2018 гг., чел.-дн. (данные условные)

Годы	Месяцы
	январь	февраль	март	апрель	май	июнь	июль	август	сентябрь	октябрь	ноябрь	декабрь
2016	420	560	300	270	110	20	50	240	180	180	380	300
2017	340	480	250	260	180	70	40	170	130	220	370	250
2018	400	290	360	240	90	30	40	110	150	210	350	240

Для исключения влияния выявленной тенденции при анализе внутригодовой динамики потерь рабочего времени на предприятиях города К используем метод, основанный на аналитическом выравнивании уровней ряда.

Выравнивание уровней рассматриваемого ряда динамики по месяцам 2016-2018 гг. проведем, используя уравнение прямой (формула 10.4). Параметры линейного тренда рассчитаем по данным таблицы 10.10 упрощенным способом, выбрав начало отсчета t таким образом, чтобы было выполнено условие Σt = 0.

Данные для расчета параметров линейного тренда потерь рабочего времени на предприятиях города К по причине неявок персонала на работу по месяцам 2016-2018 гг.

Период	yt,i, чел.-дн.	t	yt,i×t	t 2	y’t,i, чел.-дн.	it,i, %
1	2	3	4	5	6	7
Январь 2016 г.	420	-35	-14700	…	279	150,5
Февраль 2016 г.	560	-33	-18480	…	276	202,8
Март 2016 г.	300	-31	-9300	…	273	109,7
Апрель 2016 г.	270	-29	-7830	…	271	99,8
Май 2016 г.	110	-27	-2970	…	268	41,1
Июнь 2016 г.	20	-25	-500	…	265	7,5
Июль 2016 г.	50	-23	-1150	…	262	19,1
Август 2016 г.	240	-21	-5040	…	259	92,5
Сентябрь 2016 г.	180	-19	-3420	…	257	70,1
Октябрь 2016 г.	180	-17	-3060	…	254	70,9
Ноябрь 2016 г.	380	-15	-5700	…	251	151,4
Декабрь 2016 г.	300	-13	-3900	…	248	120,9
Январь 2017 г.	340	-11	-3740	…	245	138,5
Февраль 2017 г.	480	-9	-4320	…	243	197,9
Март 2017 г.	250	-7	-1750	…	240	104,3
Апрель 2017 г.	260	-5	-1300	…	237	109,7
Май 2017 г.	180	-3	-540	…	234	76,9
Июнь 2017 г.	70	-1	-70	…	231	30,3
Июль 2017 г.	40	1	40	…	229	17,5
Август 2017 г.	170	3	510	…	226	75,3
Сентябрь 2017 г.	130	5	650	…	223	58,3
Октябрь 2017 г.	220	7	1540	…	220	100,0
Ноябрь 2017 г.	370	9	3330	…	217	170,2
Декабрь 2017 г.	250	11	2750	…	215	116,5
Январь 2018 г.	400	13	5200	…	212	188,9
Февраль 2018 г.	290	15	4350	…	209	138,8
Март 2018 г.	360	17	6120	…	206	174,6
Апрель 2018 г.	240	19	4560	…	203	118,0
Май 2018 г.	90	21	1890	…	201	44,9
Июнь 2018 г.	30	23	690	…	198	15,2
Июль 2018 г.	40	25	1000	…	195	20,5
Август 2018 г.	110	27	2970	…	192	57,2
Сентябрь 2018 г.	150	29	4350	…	189	79,2
Октябрь 2018 г.	210	31	6510	…	187	112,5
Ноябрь 2018 г.	350	33	11550	…	184	190,4
Декабрь 2018 г.	240	35	8400	…	181	132,6
Всего	8280	0	-21360	15540	8280	х

По формуле 10.10 и данным столбца 2 таблицы 10.10: а = 8280 : 36 = 230 чел.-дн.

По формуле 10.11 и данным столбцов 3 и 4 таблицы 10.10: b = -21360 : 15540 = -1,4 чел.-дн.

В соответствии с формулой 10.4 уравнение прямой выровненного ряда динамики потерь рабочего времени на предприятиях города К по причине неявок персонала на работу за 2016-2018 гг. имеет вид: y’_t = 230 — 1,4×t.

На основании этого уравнения рассчитаем значения уровней выровненного ряда динамики y’_t,i (см. столбец 6 табл. 10.10) и сопоставим с ними исходные уровни ряда y_t,i, т. е. найдем индивидуальные индексы уровней исследуемых показателей для каждого квартала каждого года i_t,i, (см. столбец 7 табл. 10.10).

Индексы сезонности для каждого квартала определяем по формуле 10.21.

Так, для января индекс сезонности равен: 1,593 (159,3%); для февраля – 1,798 (179,8%); и т.д. Результаты расчетов индексов сезонности сведены в таблице 10.11.

Результаты расчета индексов сезонности внутригодовой динамики потерь рабочего времени на предприятиях города К по причине неявок персонала на работу в 2016-2018 гг.

Месяцы	I	II	III	IV	V	VI	VII	VIII	IX	X	XI	XII
It,сез, %	159,3	179,8	129,5	109,2	54,3	17,7	19,0	75,0	69,2	94,5	170,7	123,3

Наглядное представление о внутригодовой динамике потерь рабочего времени на предприятиях города К по месяцам рассмотренного периода дает графическое изображение «сезонной волны» (рис. 10.4), отражающее наиболее высокие уровни потерь рабочего времени в феврале и ноябре.

Анализ временных рядов, тренд ряда динамики, точечная оценка прогноза

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ

Анализ временных рядов

Временной ряд (или ряд динамики) – это упорядоченная по времени последовательность значений некоторой произвольной переменной величины. Тем самым, временной ряд существенным образом отличается от простой выборки данных. Каждое отдельное значение данной переменной называется отсчётом (уровнем элементов) временного ряда.

Временные ряды состоят из двух элементов:

• периода времени, за который или по состоянию на который приводятся числовые значения;
• числовых значений того или иного показателя, называемых уровнями ряда.

Временные ряды классифицируются по следующим признакам:

• по форме представления уровней: ряды абсолютных показателей, относительных показателей, средних величин;
• по количеству показателей, когда определяются уровни в каждый момент времени: одномерные и многомерные временные ряды;
• по характеру временного параметра: моментные и интервальные временные ряды. В моментных временных рядах уровни характеризуют значения показателя по состоянию на определенные моменты времени. В интервальных рядах уровни характеризуют значение показателя за определенные периоды времени. Важная особенность интервальных временных рядов абсолютных величин заключается в возможности суммирования их уровней. Отдельные же уровни моментного ряда абсолютных величин содержат элементы повторного счета. Это делает бессмысленным суммирование уровней моментных рядов;
• по расстоянию между датами и интервалами времени выделяют равноотстоящие – когда даты регистрации или окончания периодов следуют друг за другом с равными интервалами и неполные (неравноотстоящие) – когда принцип равных интервалов не соблюдается;
• по наличию пропущенных значений: полные и неполные временные ряды. Временные ряды бывают детерминированными и случайными: первые получают на основе значений некоторой неслучайной функции (ряд последовательных данных о количестве дней в месяцах); вторые есть результат реализации некоторой случайной величины;
• в зависимости от наличия основной тенденции выделяют стационарные ряды – в которых среднее значение и дисперсия постоянны и нестационарные – содержащие основную тенденцию развития.

Временные ряды, как правило, возникают в результате измерения некоторого показателя. Это могут быть как показатели (характеристики) технических систем, так и показатели природных, социальных, экономических и других систем (например, погодные данные). Типичным примером временного ряда можно назвать биржевой курс, при анализе которого пытаются определить основное направление развития (тенденцию или тренда).

Анализ временных рядов – совокупность математико-статистических методов анализа, предназначенных для выявления структуры временных рядов и для их прогнозирования. Сюда относятся, в частности, методы регрессионного анализа. Выявление структуры временного ряда необходимо для того, чтобы построить математическую модель того явления, которое является источником анализируемого временного ряда. Прогноз будущих значений временного ряда используется для эффективного принятия решений.

Прогноз, характеристики и параметры прогнозирования

Прогноз (от греч. – предвидение, предсказание) – предсказание будущего с помощью научных методов, а также сам результат предсказания. Прогноз – это научная модель будущего события, явлений и т.п.

Прогнозирование, разработка прогноза; в узком значении – специальное научное исследование конкретных перспектив развития какого-либо процесса.

• по срокам: краткосрочные, среднесрочные, долгосрочные;
• по масштабу: личные, на уровне предприятия (организации), местные, региональные, отраслевые, мировые (глобальные).

К основным методам прогнозирования относятся:

• статистические методы;
• экспертные оценки (метод Дельфи);
• моделирование.

Прогноз – обоснованное суждение о возможном состоянии объекта в будущем или альтернативных путях и сроках достижения этих состояний. Прогнозирование – процесс разработки прогноза. Этап прогнозирования – часть процесса разработки прогнозов, характеризующаяся своими задачами, методами и результатами. Деление на этапы связано со спецификой построения систематизированного описания объекта прогнозирования, сбора данных, с построением модели, верификацией прогноза.

Прием прогнозирования – одна или несколько математических или логических операций, направленных на получение конкретного результата в процессе разработки прогноза. В качестве приема могут выступать сглаживание динамического ряда, определение компетентности эксперта, вычисление средневзвешенного значения оценок экспертов и т. д.

Модель прогнозирования – модель объекта прогнозирования, исследование которой позволяет получить информацию о возможных состояниях объекта прогнозирования в будущем и (или) путях и сроках их осуществления.

Метод прогнозирования – способ исследования объекта прогнозирования, направленный на разработку прогноза. Методы прогнозирования являются основанием для методик прогнозирования.

Методика прогнозирования – совокупность специальных правил и приемов (одного или нескольких методов) разработки прогнозов.

Прогнозирующая система – система методов и средств их реализации, функционирующая в соответствии с основными принципами прогнозирования. Средствами реализации являются экспертная группа, совокупность программ и т. д. Прогнозирующие системы могут быть автоматизированными и неавтоматизированными.

Прогнозный вариант – один из прогнозов, составляющих группу возможных прогнозов.

Объект прогнозирования – процесс, система, или явление, о состоянии которого даётся прогноз.

Характеристика объекта прогнозирования – качественное или количественное отражение какого-либо свойства объекта прогнозирования.

Переменная объекта прогнозирования – количественная характеристика объекта прогнозирования, которая является или принимается за изменяемую в течение периода основания и (или) периода упреждения прогноза.

Период основания прогноза – промежуток времени, за который используют информацию для разработки прогноза. Этот промежуток времени называют также периодом предыстории.

Период упреждения прогноза – промежуток времени, на который разрабатывается прогноз.

Прогнозный горизонт – максимально возможный период упреждения прогноза заданной точности.

Точность прогноза – оценка доверительного интервала прогноза для заданной вероятности его осуществления.

Достоверность прогноза – оценка вероятности осуществления прогноза для заданного доверительного интервала.

Ошибка прогноза – апостериорная величина отклонения прогноза от действительного состояния объекта.

Источник ошибки прогноза – фактор, способный привести к появлению ошибки прогноза. Различают источники регулярных и нерегулярных ошибок.

Верификация прогноза – оценка достоверности и точности или обоснованности прогноза.

Статистические методы прогнозирования – научная и учебная дисциплина, к основным задачам которой относятся разработка, изучение и применение современных математико-статистических методов прогнозирования на основе объективных данных; развитие теории и практики вероятностно-статистического моделирования экспертных методов прогнозирования; методов прогнозирования в условиях риска и комбинированных методов прогнозирования с использованием совместно экономико-математических и эконометрических (как математико-статистических, так и экспертных) моделей. Научной базой статистических методов прогнозирования является прикладная статистика и теория принятия решений.

Простейшие методы восстановления используемых для прогнозирования зависимостей исходят из заданного временного ряда, т. е. функции, определённой в конечном числе точек на оси времени. Временной ряд при этом часто рассматривается в рамках той или иной вероятностной модели, вводятся другие факторы (независимые переменные), помимо времени, например, объем денежной массы. Временной ряд может быть многомерным. Основные решаемые задачи – интерполяция и экстраполяция. Метод наименьших квадратов в простейшем случае (линейная функция от одного фактора) был разработан К. Гауссом в 1794–1795 гг. Могут оказаться полезными предварительные преобразования переменных, например, логарифмирование. Наиболее часто используется метод наименьших квадратов при нескольких факторах.

Оценивание точности прогноза (в частности, с помощью доверительных интервалов) – необходимая часть процедуры прогнозирования. Обычно используют вероятностно-статистические модели восстановления зависимости, например, строят наилучший прогноз по методу максимального правдоподобия. Разработаны параметрические (обычно на основе модели нормальных ошибок) и непараметрические оценки точности прогноза и доверительные границы для него (на основе Центральной Предельной Теоремы теории вероятностей). Применяются также эвристические приемы, не основанные на вероятностно-статистической теории: метод скользящих средних, метод экспоненциального сглаживания.

Многомерная регрессия, в том числе с использованием непараметрических оценок плотности распределения – основной на настоящий момент статистический аппарат прогнозирования. Нереалистическое предположение о нормальности погрешностей измерений и отклонений от линии (поверхности) регрессии использовать не обязательно; однако для отказа от предположения нормальности необходимо опереться на иной математический аппарат, основанный на многомерной Центральной Предельной Теореме теории вероятностей, технологии линеаризации и наследования сходимости. Он позволяет проводить точечное и интервальное оценивание параметров, проверять значимость их отличия от 0 в непараметрической постановке, строить доверительные границы для прогноза.

Уравнение тренда временного ряда

Рассматривая временной ряд как множество результатов наблюдений изучаемого процесса, проводимых последовательно во времени, в качестве основных целей исследования временных рядов можно выделить: выявление и анализ характерного изменения параметра у, оценка возможного изменения параметра в будущем (прогноз).

Значения временного ряда можно представить в виде: , где f (t) – неслучайная функция, описывающая связь оценки математического ожидания со временем, – случайная величина, характеризующая отклонение уровня от f(t ).

Неслучайная функция f (t) называется трендом. Тренд отражает характерное изменение (тенденцию) y_t за некоторый промежуток времени. На практике в качестве тренда выбирают несколько возможных теоретических или эмпирических моделей. Могут быть выбраны, например, линейная, параболическая, логарифмическая, показательная функции. Для выявления типа модели на координатную плоскость наносят точки с координатами ( t, y_t ) и по характеру расположения точек делают вывод о виде уравнения тренда. Для получения уравнения тренда применяют различные методы: сглаживание с помощью скользящей средней, метод наименьших квадратов и другие.

Уравнение тренда линейного вида будем искать в виде y_t=f(t ), где f (t) = a₀+a₁(t ).

Пример 1. Имеется временной ряд:

ti	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
xti	2	1	4	4	6	8	7	9	12	11

Построим график x_ti во времени. Добавим на графике линию тренда исходных значений ряда. При этом, щелкнув правой кнопкой мыши по линии тренда, можно вызвать контекстное меню «Формат линии тренда», а в нем поставить флажок «показывать уравнение на диаграмме», тогда на диаграмме высветится уравнение линии тренда, вычисленное встроенными возможностями Excel .

Чтобы определить уравнение тренда, необходимо найти значения коэффициентов а₀ и а₁. Эти коэффициенты следует определять, исходя из условия минимального отклонения значений функции f (t) в точках t_i от значений исходного временного ряда в тех же точках t_i . Это условие можно записать в виде (на основе метода наименьших квадратов):

где n – количество значений временного ряда.

Для того, чтобы найти значения а₀ и а₁, необходимо иметь систему из двух уравнений. Эти уравнения можно получить, используя условие равенства нулю производной функции в точках её экстремума. В нашем случае эта функция имеет вид . Обозначим её через Q . Найдем производные функции Q(а₀, а₁) по переменным а₀ и а₁. Получим систему уравнений:

Полученная система может быть преобразована (математически) в систему так называемых нормальных уравнений. При этом уравнения примут вид:

Теперь необходимо решить преобразованную систему уравнений относительно а₀ и а₁. Однако предварительно следует составить и заполнить вспомогательную таблицу:

t	t 2	хt	хtt
1	1	2	2
2	4	1	2
3	9	4	12
4	16	4	16
5	25	6	30
6	36	8	48
7	49	7	49
8	64	9	72
9	81	12	108
10	100	11	110

Подставив значения n = 10 в систему уравнений (2), получим

Решив систему уравнений относительно а₀ и а₁, получим а₀ = -0,035, а₁ = 1,17. Тогда функция тренда заданного временного ряда f (t) имеет вид:

f (t) = -0,035 + 1,17t.

Изобразим полученную функцию на графике.

Временной ряд приведен в таблице. Используя средства MS Excel :

1. построить график временного ряда;
2. добавить линию тренда и ее уравнение;
3. найти уравнение тренда методом наименьших квадратов, сравнить уравнения (выше на графике и полученное);
4. построить график временного ряда и полученной функции тренда в одной системе координат.

1. Реализация аспирина по аптеке (у.е.) за последние 7 недель приведена в таблице:

t	1	2	3	4	5	6	7
хti	3,2	3,3	2,9	2,2	1,6	1,5	1,2

2. Динамика потребления молочных продуктов (у.е.) по району за последние 7 месяцев:

t	1	2	3	4	5	6	7
хti	30	29	27	24	25	24	23

3. Динамика числа работников, занятых в одной из торговых сетей города за последние 8 лет приведена в таблице:

t	1	2	3	4	5	6	7	8
хti	280	361	384	452	433	401	512	497

4. Динамика потребления сульфаниламидных препаратов в клинике по годам (тыс. упаковок):

t	1	2	3	4	5	6	7	8
хti	14	21	29	33	38	44	46	50

5. Динамика продаж однокомнатных квартир в городе за последние 8 лет (тыс. ед.):

t	1	2	3	4	5	6	7	8
уt	39	40	36	34	36	37	33	35

6. Динамика потребления антибиотиков в клинике (тыс. упаковок):

t	1	2	3	4	5	6	7	8
хti	10	17	18	13	17	21	25	29

7. Динамика производства хлебобулочных изделий на хлебозаводе (тонн):

t	1	2	3	4	5	6	7	8
хti	510	502	564	680	523	642	728	665

8. Динамика потребления противовирусных препаратов по аптечной сети в начале эпидемии гриппа (тыс. единиц):

t	1	2	3	4	5	6	7	8
хti	36	42	34	38	12	32	26	20

9. Динамика потребления противовирусных препаратов по аптечной сети в конце эпидемии гриппа (тыс. единиц):

t	1	2	3	4	5	6	7	8
хti	46	52	44	48	32	42	36	30

10. Динамика потребления витаминов по аптечной сети в весенний период (с марта по апрель) в разные годы (у.е.):

t	1	2	3	4	5	6	7	8
хti	0,9	1,7	1,5	1,7	1,5	2,1	2,5	3,6

Пример 2. Используя данные примера 1, приведенного выше, вычислить точечный прогноз исходного временного ряда на 5 шагов вперед.

Исходя из условия задачи, необходимо определить точечную оценку прогноза для t = 11, 12, 13, 14, 15, где t в данном случае – шаг упреждения.

Рассмотрим решение этой задачи средствами Microsoft Excel . При решении данной задачи следует так же, как и в примере 1, ввести исходные данные. Выделив данные, построить точечный график, щелкнув правой кнопкой мыши по ряду данных, вызвать контекстное меню и выбрать «Добавить линию тренда».

Щелкнув правой кнопкой мыши по линии тренда, вызвать контекстное меню, выбрать «Формат линии тренда», в окне Параметры линии тренда указать прогноз на 5 периодов и поставить флажок в окошке «Показывать уравнение на диаграмме (рис. 14.3 рис. 14.3.). В версии Excel ранее 2007 окно диалога представлено на рисунке 14.4 рис. 14.4.

Итоговый график представлен на рисунке 14.5 рис. 14.5.

Значения прогноза для 11, 12, 13, 14 и 15 уровней получим, используя функцию ПРЕДСКАЗ( ). Данная функция позволяет получить значения прогноза линейного тренда. Вычисленные значения: 12,87, 14,04, 15,22, 16,39, 17,57.

Значения точечного прогноза для исходного временного ряда на 5 шагов вперед можно вычислить и с помощью уравнения функции тренда f(t ), найденного по методу наименьших квадратов. Для этого в полученное для f (t) выражение необходимо подставить значения t = 11, 12, 13, 14, 15. В результате получим (эти значения следует рассчитать, сформировав формулу в табличном процессоре MS Excel ):

Сравнивая результаты точечных прогнозных оценок, полученных разными способами, выявляем, что данные отличаются незначительно, таким образом, в любом из способов расчета присутствует определенная погрешность (ошибка) прогноза ().

Используя значения временного ряда Задания 1 согласно вашего варианта, вычислить точечный прогноз на 4 шага вперед. Продлить линию тренда на 4 прогнозных значения, вывести уравнение тренда, определить эти значения с помощью функции ПРЕДСКАЗ() или ТЕНДЕНЦИЯ(), а также по выражению функции тренда f(t ), полученному по методу наименьших квадратов в Задании 1. Сравнить полученные результаты.

9.6. Методика измерения параметров тренда

Когда тип тренда установлен, необходимо вычислить оптимальные значения параметров тренда исходя из фактических уровней. Для этого обычно используют метод наименьших квадратов (МНК). Его значение уже рассмотрено в предыдущих главах учебного пособия, в данном случае оптимизация состоит в минимизации суммы квадратов отклонений фактических уровней ряда от выравненных уровней (от тренда). Для каждого типа тренда МНК дает систему нормальных уравнений, решая которую вычисляют параметры тренда. Рассмотрим лишь три такие системы: для прямой, для параболы 2-го порядка и для экспоненты. Приемы определения параметров других типов тренда рассматриваются в специальной монографической литературе.

Для линейного тренда нормальные уравнения МНК имеют вид:

Нормальные уравнения МНК для экспоненты имеют следующий вид:

По данным табл. 9.1 рассчитаем все три перечисленных тренда для динамического ряда урожайности картофеля с целью их сравнения (см. табл. 9.5).

Расчет параметров трендов

Согласно формуле (9.29) параметры линейного тренда равны а = 1894/11 = 172,2 ц/га; b = 486/110 = 4,418 ц/га. Уравнение линейного тренда имеет вид:

у̂ = 172,2 + 4,418t, где t = 0 в 1987 г Это означает,что средний фактический и выравненный уровень, отнесенный к середине периода, т.е. к 1991 г., равен 172 ц с 1 ra a среднегодовой прирост составляет 4,418 ц/га в год

Параметры параболического тренда согласно (9.23) равны- b = 4,418; a = 177,75; с = -0,5571. Уравнение параболического тренда имеет вид у̃ = 177,75 + 4,418t — 0.5571t 2 ; t = 0 в 1991 г. Это означает, что абсолютный прирост урожайности замедляется в среднем на 2·0,56 ц/га в год за год. Сам же абсолютный прирост уже не является константой параболического тренда, а является средней величиной за период. В год, принятый за начало отсчета т.е. 1991 г., тренд проходит через точку с ординатой 77,75 ц/га; Свободный член параболического тренда не является средним уровнем за период. Параметры экспоненциального тренда вычисляются по формулам(9.32) и (9.33) lnа = 56,5658/11 = 5,1423; потенцируя, получаем а = 171,1; lnk = 2,853:110 = 0,025936; потенцируя, получаем k = 1,02628.

Уравнение экспоненциального тренда имеет вид: y̅ = 171,1·1,02628 t .

Это означает, что среднегодовой темп поста урожайности за период составил 102,63%. В точке принятК начало отсчета, тренд проходит точку с ординатой 171,1 ц/га.

Рассчитанные по уравнениям трендов уровни записаны в трех последних графах табл. 9.5. Как видно по этим данным. расчетные значения уровней по всем трем видам трендов различаются ненамного, так как и ускорение параболы, и темп роста экспоненты невелики. Существенное отличие имеет парабола — рост уровней с 1995 г. прекращается, в то время как при линейном тренде уровни растут и далее, а при экспоненте их ост ускоряется. Поэтому для прогнозов на будущее эти три тренда неравноправны: при экстраполяции параболы на будущие годы уровни резко разойдутся с прямой и экспонентой, что видно из табл. 9.6. В этой таблице представлена распечатка решения на ПЭВМ по программе «Statgraphics» тех же трех трендов. Отличие их свободных членов от приведенных выше объясняется тем, что программа нумерует года не от середины, а от начала, так что свободные члены трендов относятся к 1986 г., для которого t = 0. Уравнение экспоненты на распечатке оставлено в логарифмированном виде. Прогноз сделан на 5 лет вперед, т.е. до 2001 г.. При изменении начала координат (отсчета времени) в уравнении параболы меняется и средний абсолютной прирост, параметр b. так как в результате отрицательного ускорения прирост все время сокращается, а его максимум — в начале периода. Константой параболы является только ускорение.

В строке «Data» приводятся уровни исходного ряда; «Forecast summary» означает сводные данные для прогноза. В следующих строках — уравнения прямой, параболы, экспоненты — в логарифмическом виде. Графа ME означает среднее расхождение между уровнями исходного ряда и уровнями тренда (выравненными). Для прямой и параболы это расхождение всегда равно нулю. Уровни экспоненты в среднем на 0,48852 ниже уровней исходного ряда. Точное совпадение возможно,, если истинный тренд — экспонента; в данном случае совпадения нет, но различие , мало. Графа МАЕ -это дисперсия s 2 — мера колеблемости фактических уровней относительно тренда, о чем сказано в п. 9.7. Графа МАЕ — среднее линейное отклонение уровней от тренда по модулю (см. параграф 5.8); графа МАРЕ — относительное линейное отклонение в процентах. Здесь они приведены как показатели пригодности выбранного вида тренда. Меньшую дисперсию и модуль отклонения имеет парабола: она за период 1986 — 1996 гг. ближе к фактическим уровням. Но выбор типа тренда нельзя сводить лишь к этому критерию. На самом деле замедление прироста есть результат большого отрицательного отклонения, т. е. неурожая в 1996 г.

Вторая половина таблицы — это прогноз уровней урожайности по трем видам трендов на годы; t = 12, 13, 14, 15 и 16 от начала отсчета (1986 г.). Прогнозируемые уровни по экспоненте вплоть до 16-го года ненамного выше,.чем по прямой. Уровни тренда-параболы — снижаются, все более расходясь с другими трендами.

Как видно в табл. 9.4, при вычислении параметров тренда уровни исходного ряда входят с разными весами — значениями t_p и их квадратов. Поэтому влияние колебаний уровней на параметры тренда зависит от того, на какой номер года приходится урожайный либо неурожайный год. Если резкое отклонение приходится на год с нулевым номером (t_i = 0), то оно никакого влияния на параметры тренда не окажет, а если попадет на начало и конец ряда, то повлияет сильно. Следовательно, однократное аналитическое выравнивание неполно освобождает параметры тренда от влияния колеблемости, и при сильных колебаниях они могут быть сильно искажены, что в нашем примере случилось с параболой. Для дальнейшего исключения искажающего влияния колебаний на параметры тренда следует применить метод многократного скользящего выравнивания.

Этот прием состоит в том, что параметры тренда вычисляются не сразу по всему ряду, а скользящим методом, сначала за первые т периодов времени или моментов, затем за период от 2-го до т + 1, от 3-го до (т + 2)-го уровня и т.п. Если число исходных уровней ряда равно п, а длина каждой скользящей базы расчета параметров равна т, то число таких скользящих баз t или отдельных значений параметров, которые будут по ним определены, составит:

Применение методики скользящего многократного выравнивания рассматривать, как видно из приведенных расчетов, возможно только при достаточно большом числе уровней ряда, как правило 15 и более. Рассмотрим эту методику на примере данных табл. 9.4 -динамики цен на нетопливные товары развивающихся стран, что опять же дает возможность читателю участвовать в небольшом научном исследовании. На этом же примере продолжим и методику прогнозирования в разделе 9.10.

Если вычислять в нашем ряду параметры по 11 -летним периодам (по 11 уровням), то t = 17 + 1 — 11 = 7. Смысл многократного скользящего выравнивания в том, что при последовательных сдвигах базы расчета параметров на концах ее и в середине окажутся разные уровни с разными по знаку и величине отклонениями от тренда. Поэтому при одних сдвигах базы параметры будут завышаться, при других — занижаться, а при последующем усреднении значений параметров по всем сдвигам базы расчета произойдет дальнейшее взаимопогашение искажений параметров тренда колебаниями уровней.

Многократное скользящее выравнивание не только позволяет получить более точную и надежную оценку параметров тренда, но и осуществить контроль правильности выбора типа уравнения тренда. Если окажется, что ведущий параметр тренда, его константа при расчете по скользящим базам не беспорядочно колеблется, а систематически изменяет свою величину существенным образом, значит, тип тренда был выбран неверно, данный параметр константой не является.

Что касается свободного члена при многократном выравнивании, то нет необходимости и, более того, просто неверно вычислять его величину как среднюю по всем сдвигам базы, ибо при таком способе отдельные уровни исходного ряда входили бы в расчет средней с разными весами, и сумма выравненных уровней разошлась бы с суммой членов исходного ряда. Свободный член тренда — это средняя величина уровня за период, при условии отсчета времени от середины периода. При отсчете от начала, если первый уровень t_i = 1, свободный член будет равен: a₀ = у̅ — b((N-1)/2). Рекомендуется длину скользящей базы расчета параметров тренда выбирать не менее 9-11 уровней, чтобы в достаточной мере погасить колебания уровней. Если исходный ряд очень длинный, база может составлять до 0,7 — 0,8 его длины. Для устранения влияния долго-периодических (циклических) колебаний на параметры тренда, число сдвигов базы должно быть равно или кратно длине цикла колебаний. Тогда начало и конец базы будут последовательно «пробегать» все фазы цикла и при усреднении параметра по всем сдвигам его искажения от циклических колебаний будут взаимопогашаться. Другой способ — взять длину скользящей базы, равной длине цикла, чтобы начало базы и конец базы всегда приходились на одну и ту же фазу цикла колебаний.

Поскольку по данным табл. 9.4, уже было установлено, что тренд имеет линейную форму, проводим расчет среднегодового абсолютного прироста, т. е. параметра b уравнения линейного тренда скользящим способом по 11-летним базам (см. табл. 9.7). В ней же приведен расчет данных, необходимых для последующего изучения колеблемости в параграфе 9.7. Остановимся подробнее на методике многократного выравнивания по скользящим базам. Рассчитаем параметр b по всем базам:

Многократное скользящее выравнивание по прямой

Уравнение тренда: у̂ = 104,53 — 1,433t; t = 0 в 1987 г. Итак, индекс цен в среднем за год снижался на 1,433 пункта. Однократное выравнивание по всем 17 уровням может исказить этот параметр, ибо начальный уровень содержит значительное отрицательное отклонение, а конечный уровень — положительное. В самом деле, однократное выравнивание дает величину среднегодового изменения индекса всего на 0,953 пункта.

9.7. Методика изучения и показатели колеблемости

Если при изучении и измерении тенденции динамики колебания уровней играли лишь роль помех, «информационного шума», от которого следовало по возможности абстрагироваться, то в дальнейшем сама колеблемость становится предметом статистического исследования. Значение изучения колебаний уровней динамического ряда очевидно: колебания урожайности, продуктивности скота, производства мяса экономически нежелательны, так как потребность в продукции агрокомплекса постоянна. Эти колебания следует уменьшать, применяя прогрессивную технологию и другие меры. Напротив, сезонные колебания объемов производства зимней и летней обуви, одежды, мороженого, зонтиков, коньков — необходимы и закономерны, так как спрос на эти товары тоже колеблется по сезонам и равномерное производство требует лишних затрат на хранение запасов. Регулирование рыночной экономики как со стороны государства, так и производителей в значительной мере состоит в регулировании колебаний экономических процессов.

Типы колебаний статистических показателей весьма разнообразны, но все же можно выделить три основных: пилообразную или маятниковую колеблемость, циклическую долгопериодическую и случайно распределенную во времени колеблемость. Их свойства и отличия друг от друга хорошо видны при графическом изображении рис. 9.2.

Пилообразная или маятниковая колеблемость состоит в попеременных отклонениях уровней от тренда в одну и в другую сторону. Таковы автоколебания маятника. Такие автоколебания можно наблюдать в динамике урожайности при невысоком уровне агротехники: высокий урожай при благоприятных условиях погоды выносит из почвы больше питательных веществ, чем их образуется естественным путем за год; почва обедняется, что вызывает снижение следу- ющего урожая ниже тренда, он выносит меньше питательных веществ, чем образуется за год, плодородие возрастает и т.д.

Рис. 9.2. Виды колебаний

Циклическая долгопериодическая колеблемость свойственна, например, солнечной активности (10-11-летние циклы), а значит, и связанным с ней на Земле процессам — полярным сияниям, грозовой деятельности, урожайности отдельных культур в ряде районов, некоторым заболеваниям людей, растений. Для этого типа характерны редкая смена знаков отклонений от тренда и кумулятивный (накапливающийся) эффект отклонений одного знака, который может тяжело отражаться на экономике. Зато колебания хорошо прогнозируются.

Случайно распределенная во времени колеблемость — нерегулярная, хаотическая. Она может возникать при наложении (интерференции) множества колебаний с разными по длительности циклами. Но может возникать в результате столь же хаотической колеблемости главной причины существования колебаний, например суммы осадков за летний период, температуры воздуха в среднем за месяц в разные годы.

Для определения типа колебаний применяются графическое изображение, метод «поворотных точек» М. Кендэла, вычисление коэффициентов автокорреляции отклонений от тренда. Эти методы будут рассмотрены далее.

Основными показателями, характеризующими силу колеблемости уровней, выступают уже известные по главе 5 показатели, характеризующие вариацию значений признака в пространственной совокупности. Однако вариация в пространстве и колеблемость во времени принципиально различны. Прежде всего различны их основные причины. Вариация значений признака у одновременно существующих единиц возникает из-за различий в условиях существования единиц совокупности. Например, разная урожайность картофеля в совхозах области в 1990 г. вызвана различиями в плодородии почв, в качестве семян, в агротехнике. А вот суммы эффективных температур за вегетационный период и осадков не являются причинами пространственной вариации, так как в одном и том же году на территории области эти факторы почти не варьируют. Напротив, главными причинами колебания урожайности картофеля в области за ряд лет как раз являются колебания метеорологических факторов, а качество почв колебаний почти не имеет. Что же касается общего прогресса агротехники, то он является причиной тренда, но не колеблемости.

Второе коренное отличие состоит в том, что значения варьирующего признака в пространственной совокупности можно считать в основном не зависимыми друг от друга, напротив, уровни динамического ряда, как правило, являются зависимыми: это показатели развивающегося процесса, каждая стадия которого связана с предыдущими состояниями.

В-третьих, вариация в пространственной совокупности измеряется отклонениями индивидуальных значений признака от среднего значения, а колеблемость уровней динамического ряда измеряется не их отличиями от среднего уровня (эти отличия включают и тренд, и колебания), а отклонениями уровней от тренда.

Поэтому лучше использовать разные термины: различия признака в пространственной совокупности называть только вариацией, но не колебаниями: никто же не станет называть различия численности населения Москвы, Петербурга, Киева и Ташкента «колебаниями числа жителей»! Отклонения уровней динамического ряда от тренда будем называть всегда колеблемостью. Колебания всегда происходят во времени, не может существовать колебаний вне времени, в фиксированный момент.

На основе качественного содержания понятия колеблемости строится и система ее показателей. Показателями силы колебании уровней являются: амплитуда отклонений уровней отдельных периодов или моментов от тренда (по модулю), среднее абсолютное отклонение уровней от тренда (по модулю), среднее квадратическое откло;-нение уровней от тренда. Относительные меры колеблемости: относительное линейное отклонение от тренда и коэффициент колеблемости — аналог коэффициента вариации.

Особенностью методики вычисления средних отклонений от тренда является необходимость учета потерь степеней свободы колебаний на величину, равную числу параметров уравнения тренда. Например, прямая линия имеет два параметра, и, как известно из геометрии, через любые две точки можно провести прямую линию. Значит, имея лишь два уровня, мы проведем линию тренда точно через эти два уровня, и никаких отклонений уровней от тренда не окажется, хотя на самом деле и эти два уровня включали колебания, не были свободны от действия факторов колеблемости. Парабола второго порядка пройдет точно через любые три точки и т.п.

Учитывая потерю степеней свободы, основные абсолютные показатели колеблемости вычисляются по формулам (9.34) и (9.35):

среднее линейное отклонение

(9.34)

среднее квадратичное отклонение

(9.35)

где y_i — фактический уровень;

n — число уровней;

р — число параметров тренда.

Знак времени «t» в скобках после показателя означает, что это показатель не обычной пространственной вариации, как в главе V, а показатель колеблемости во времени.

Относительные показатели колеблемости вычисляются делением абсолютных показателей на средний уровень за весь изучаемый период. Расчет показателей колеблемости проведем по результатам анализа динамики индекса цен (см. табл. 9.7). Тренд примем по результатам многократного скользящего выравнивания, т. е. у̂ = 104,53 — 1,433t ; t = 0 в 1987 г.

1. Амплитуда колебаний составила от -14,0 в 1986 г. до +15,2 в 1984 г., т.е. 29,2 пункта.

2. Среднее линейное отклонение по модулю найдем, сложив модули |u_i| (их сумма равна 132,3), и разделив на (п — р), согласно формуле (9.34):

=8,82 пункта.

3. Среднее квадратическое отклонение уровней от тренда по формуле (9.35) составило:

= 9,45 пункта.

Небольшое превышение среднего квадратического отклонения над линейным указывает на отсутствие среди отклонений резко выделяющихся по абсолютной величине.

4. Коэффициент колеблемости: или 9,04%. Колеблемость умеренная, не сильная. Для сравнения приводим показатели (без расчета) по колебаниям урожайности картофеля, данные таблиц 9.1 и 9.5 — отклонение от линейного тренда:

Для выявления типа колебаний воспользуемся приемом, предложенным М. Кендэлом. Он состоит в подсчете так называемых «поворотных точек» в ряду отклонений от тренда и_i т. е. локальных экстремумов. Отклонение, либо большее по алгебраической величине, либо меньшее двух соседних, отмечается точкой. Обратимся к рис. 9.2. При маятниковой колеблемости все отклонения, кроме двух крайних, будут «поворотными», следовательно, их число составит п —1. При долгопериодических циклах на цикл приходятся один минимум и один максимум, а общее число точек составит 2(n:l), где l — длительность цикла. При случайно распределенной во времени колеблемости, как доказал М. Кендэл, число поворотных точек в среднем составит: 2/3 (n — 2). В нашем примере при маятниковой колеблемости было бы 15 точек, при связанной с 11-летним циклом было бы 2-(17 : 11) ≈ 3 точки, при случайно распределенной во времени в среднем было бы (2/3)·(17-2) =10 точек.

Фактическое число точек 6 выходит за границы двукратного среднего квадратического отклонения числа поворотных точек, которое по Кендэлу равно , в нашем случае .

Наличие 6 точек, при 2 точках за цикл, означает, что в ряду могут быть примерно 3 цикла, продолжительность периода которых 5,5 — 6 лет. Возможно сочетание таких циклических колебаний со случайными.

Другой метод анализа типа колеблемости и поиска длины цикла основан на вычислении коэффициентов автокорреляции отклонений от тренда.

Автокорреляция — это корреляция между уровнями ряда или отклонениями от тренда, взятыми со сдвигом во времени: на 1 период (год), на 2, на 3 и т. д., поэтому говорят о коэффициентах автокорреляции разных порядков: первого, второго и т. д. Рассмотрим сначала коэффициент автокорреляции отклонений от тренда первого порядка.

Одна из основных формул для расчета коэффициента автокорреляции отклонений от тренда имеет вид:

(9.36)

Как легко видеть по табл. 9.7, первое и последнее в ряду отклонения участвуют только в одном произведении в числителе, а все прочие отклонения от второго до (п — 1)-го — в двух. Поэтому и в знаменателе квадраты первого и последнего отклонений следует взять с половинным весом, как в хронологической средней. По данным табл. 9.7 имеем:

Теперь обратимся к рис. 9.2. При маятниковой колеблемости все произведения в числителе будут отрицательными величинами, и коэффициент автокорреляции первого порядка будет близок к -1. При долголериодических циклах будут преобладать положительные произведения соседних отклонений, а смена знака происходит лишь дважды за цикл. Чем длиннее Цикл, тем больше перевес положительных произведений в числителе, и коэффициент автокорреляции первого порядка ближе к +1. При случайно распределенной во времени колеблемости знаки отклонений чередуются хаотически, число положительных произведений близко к числу отрицательных, ввиду чего коэффициент автокорреляции близок к нулю. Полученное значение говорит о наличии как случайно распределенных во времени колебаний, так и циклических. Коэффициенты автокорреляции следующих порядков: II = — 0,577; Ш = -0,611; IV == -0,095; V = +0,376; VI = +0,404; VII = +0,044. Следовательно, противофаза цикла ближе всего кЗ годам (наибольший отрицательный коэффициент при сдвиге на 3 года), а совпадающие фазы ближе к б годам, что и дает длину цикла колебаний. Эти максимальные по абсолютной величине коэффициенты не близки к единице. Это означает, что циклическая колеблемость смешана со значительной случайной колеблемостью. Таким образом, подробный автокорреляционный анализ в целом дал те же результаты, что и выводы по автокорреляции первого порядка.

Если динамический ряд достаточно длинен, можно поставить и решить задачу об изменении показателей колеблемости с течением времени. Для этого рассчитывают эти показатели по подпериодам, но длительностью не менее 9-11 лет, иначе измерения колеблемости ненадежны. Кроме того, можно рассчитывать показатели колеблемости скользящим способом, а затем произвести их выравнивание, т. е. вычислить тренд показателей колеблемости. Это полезно, чтобы сделать вывод о действенности мер, применявшихся для уменьшения колебаний урожайности и других нежелательных колебаний, а также для того, чтобы по тренду сделать прогноз ожидаемых в будущем размеров колебаний.

9.8. Измерение устойчивости в динамике

Понятие «устойчивость» используется в весьма различных смыслах. По отношению к статистическому изучению динамики мы рассмотрим два аспекта этого понятия: 1) устойчивость как категория, противоположная колеблемости; 2) устойчивость направленности изменений, т. е. устойчивость тенденции.

В первом понимании показатель устойчивости, который может быть только относительным, должен изменяться от нуля до единицы (100%). Это разность между единицей и относительным показателем колеблемости. Коэффициент колеблемости составил 9,0%. Следовательно, коэффициент устойчивости равен 100% — 9,0% = 91,0%. Этот показатель характеризует близость фактических уровней к тренду и совершенно не зависит от характера последнего. Слабая колеблемость и высокая устойчивость уровней в данном смысле могут существовать даже при полном застое в развитии, когда тренд выражен горизонтальной прямой.

Устойчивость во втором смысле характеризует не сами по себе уровни, а процесс их направленного изменения. Можно узнать, например, насколько устойчив процесс сокращения удельных затрат ресурсов на производство единицы продукции, является ли устойчивой тенденция снижения детской смертности и т. д. С этой точки зрения полной устойчивостью направленного изменения уровней динамического ряда следует считать такое изменение, в процессе которого каждый следующий уровень либо выше всех предшествующих (устойчивый рост), либо ниже всех предшествующих (устойчивое снижение). Всякое нарушение строго ранжированной последовательности уровней свидетельствует о неполной устойчивости изменений.

Из определения понятия устойчивости тенденции вытекает и метод построения ее показателя. В качестве показателя устойчивости можно использовать коэффициент корреляции рангов Ч. Спирмэна (Spearman) — r_x.

где п — число уровней;

Δ_i — разность рангов уровней и номеров периодов времени.

При полном совпадении рангов уровней, начиная с наименьшего, и номеров периодов (моментов) времени по их хронологическому порядку коэффициент корреляции рангов равен +1. Это значение соответствует случаю полной устойчивости возрастания уровней. При полной противоположности рангов уровней рангам лет коэффициент Спирмэна равен -1, что означает полную устойчивость процесса сокращения уровней. При хаотическом чередовании рангов уровней коэффициент близок к нулю, это означает неустойчивость какой-либо тенденции. Приведем расчет коэффициента корреляции Спирмэна по данным о динамике индекса цен (табл. 9.7) в табл. 9.8.

Расчет коэффициентов корреляции рангов Спирмена

23.01.2012, 17:50