Системы одновременных уравнений оценка систем уравнений

Системы эконометрических уравнений

Пример . Рассмотрим модель зависимости общей величины расходов на питание от располагаемого личного дохода (х) и цены продуктов питания (р):у = а₀ + а₁х + а₂р + ε. Определим класс модели и вид переменных модели: регрессионная модель с одним уравнением; эндогенная переменная — расходы на питание, экзогенные переменные — располагаемый личный доход и цена продуктов питания.

Принципиальные сложности применения систем эконометрических уравнений связаны с ошибками спецификации модели.

Система уравнений в эконометрических исследованиях может быть построена по-разному. Выделяют следующие 3 вида систем уравнений.

1. Система независимых уравнений, когда каждая зависимая переменная (y ) рассматривается как функция только от предопределенных переменных (х):
   
2. Система рекурсивных уравнений, когда в каждом последующем уравнении системы зависимая переменная представляет функцию от зависимых и предопределенных переменных предшествующих уравнений:

От структурной формы легко перейти к так называемой приведенной форме модели. Число уравнений в приведенной форме равно числу эндогенных переменных модели. В каждом уравнении приведенной формы эндогенная переменная выражается через все предопределенные переменные модели:

Так как правая часть каждого из уравнений приведенной формы содержит только предопределенные переменные и остатки, а левая часть только одну из эндогенных переменных, то такая система является системой независимых уравнений. Поэтому параметры каждого из уравнений системы в приведенной форме можно определить независимо обычным МНК.
Зная оценки этих приведенных коэффициентов можно определить параметры структурной формы модели. Но не всегда, а только если модель является идентифицируемой.

Проблема идентификации

Количество структурных и приведенных коэффициентов одинаково в модели идентифицируемой.

Правила идентификации

Ранг данной матрицы равен 1, что меньше К-1=2, следовательно, 1-ое уравнение модели неидентифицированно.
Составим матрицу А для 2-ого уравнения системы. Во 2-ом уравнении отсутствуют переменные y₃, x₂, х₃:
y₃ x ₂ x₃
b₁₃ a ₁₃ 0 — в 1-ом уравнении
1 a₃₂ a₃₃ — в 3-ем уравнении
Ранг данной матрицы равен 2, что равно К-1=2, следовательно, 2-ое уравнение модели точно идентифицированно.
Составим матрицу А для 3-его уравнения системы. В 3-ем уравнении отсутствуют переменные y₁, x₂:
y ₁ x ₂
1 a₁₂ — в 1-ом уравнении
b₂₁ 0 — во 2-ом уравнении
Ранг данной матрицы равен 1, что меньше К-1=2, следовательно, 3-е уравнение модели неидентифицированно.

Сделаем выводы: 1-ое и 3-е уравнения системы неидентифицированны (т.к. не выполняются достаточные условия идентификации, а в случае 1-ого уравнения и необходимое условие также). 2-ое уравнение системы сверхидентифицированно. Следовательно, система в целом является неидентифицируемой.
Для оценки параметров 2-ого уравнения можно применить двухшаговый МНК. Параметры 1-ого и 3-его уравнений определить по коэффициентам приведенной формы нельзя. Поэтому модель должна быть модифицирована.

Система одновременных эконометрических уравнений

Вы будете перенаправлены на Автор24

Общие сведения о системе одновременных эконометрических уравнений

Система одновременных экономических уравнений – это совокупность уравнений, которые позволяют исследователям установить наличие и степень связи (взаимозависимости) между эконометрическими переменными.

Выделяют две группы экономических переменных, из которых образуют эконометрические уравнения:

• эндогенные переменные, чьи значения определяют в результате функционирования изучаемой экономической системы (эндогенные переменные зависят как от экзогенных, так и от других эндогенных переменных);
• экзогенные переменные, чьи значения задаются извне (т.е. определяются вне эконометрической модели) и являются основой для определения значений эндогенных переменных (экзогенные переменные являются независимыми).

Функционирование сложных экономических систем может быть объяснено благодаря построению изолированных уравнений регрессии и измерению на их основе тесноты связи между переменными. Однако истинное влияние отдельных признаков на вариацию результирующей переменной не может быть описано одним отдельно взятым уравнением регрессии. В связи с этим в изучении экономических процессов важное значение приобрело структурирование связей между системой переменных.

В качестве примера системы одновременных эконометрических уравнений можно привести простейшую макроэкономическую (кейнсианскую) модель, которая состоит из двух уравнений:

В данной модели эндогенными переменными являются C (расходы на потребление) и Y (доход), а экзогенной переменной – I (инвестиции). b представляет собой коэффициент, который выражает предельную склонность к потреблению.

Характеристика структурной и приведенной форм системы уравнений

Данная система от всех других систем уравнения отличается наличием определенной структурной формы эконометрической модели. Это форма предполагает, что в правых и левых частях разных уравнений системы находятся одни и те же экономические переменные. Структурная форма системы одновременных эконометрических уравнений в случае переноса всех эндогенных переменных в левую часть может быть представлено в следующем матричном виде: YA = XB + E.

Готовые работы на аналогичную тему

Кроме структурной также выделяют приведенную (прогнозную) форму системы. По сути она есть представление системы, в котором эндогенные переменные выражены через экзогенные, то есть в каждом уравнении имеется только одна эндогенная переменная. Тогда она выглядит так: Y = XП + U.

Приведенную форму системы всегда можно получить, если задана структурная форма. Однако обратное действие не всегда возможно, а если оно и возможно, то не всегда получается однозначный результат.

Если через коэффициенты приведенной формы можно выразить коэффициенты структурного уравнения, то оно называется идентифицируемым (в противном случае оно – неидентифицируемое). Точная индентифицируемость свойственна ситуации, когда способ подобного выражения является единственным. Если же их несколько, то говорят о сверхидентифицируемости.

Чтобы имела место идентифицируемость, требуется выполнение такого необходимого условия, как непревышение количества переменных правой части уравнения над количеством всех экзогенных переменных системы. Формулировка этого условия может отличаться. Так, часто говорят: количество экзогенных переменных, которые исключены из данного уравнения, должно быть не меньше количества эндогенных переменных, которые включены в уравнение, за вычетом единицы.

Также выделяют условие, достаточное для признания идентифицируемости системы. Оно заключается в том, чтобы общее число эндогенных переменных системы за вычетом единицы не превышало ранг матрицы, который составлен из коэффициентов (в других уравнениях) при переменных, отсутствующих в данном уравнении.

Методы оценки систем одновременных эконометрических уравнений

Для того, чтобы оценить представленные в структурной форме уравнения системы, нецелесообразно непосредственно применять обычный метод наименьших квадратов. Это связано с тем, что подобное применение нарушит важнейшее условие регрессионного анализа — экзогенность (предопределенность, независимость) факторов. Тогда будут получены смещённые и несостоятельные оценки параметров.

Поэтому системы одновременных эконометрических уравнений оценивают посредством применения следующих методов:

• косвенный метод наименьших квадратов – подстановка в аналитическое выражение зависимости структурных коэффициентов от их приведённых оценок, которые получают в результате применения обычного метода наименьших квадратов;
• двухшаговый метод наименьших квадратов – оценивание сначала зависимости эндогенных переменных от всех экзогенных (первый шаг), а затем – структурной формы модели, в которой эндогенные переменные заменены на их оценки, полученные на первом шаге (второй шаг);
• трехшаговый метод наименьших квадратов – предыдущий метод дополняется третьим шагом, с помощью которого оценивают ковариационную матрицу вектора случайных ошибок системы уравнений;
• методы максимального правдоподобия – использование всей информации об ограничениях на приведённую форму эконометрической модели.

Система одновременных уравнений

— совокупность эконометрических уравнений (часто линейных), определяющих взаимозависимость экономических переменных. Важным отличительным признаком системы «одновременных» уравнений от прочих систем уравнений заключается в наличии одних и тех же переменных в правых и левых частях разных уравнений системы (речь идет о так называемой структурной форме модели).

Эндогенными называются переменные, значения которых определяются в процессе функционирования изучаемой экономической системы. Их значения определяются «одновременно» исходя из значений некоторых экзогенных переменных, значения которых определяются вне модели, задаются извне. В системах одновременных уравнений эндогенные переменные зависят как от экзогенных переменных, так и от эндогенных.

Измерение тесноты связи между переменными, построение изолированных уравнений регрессии недостаточно для объяснения функционирования сложных экономических систем. Изменение одной переменной не может происходить при абсолютной неизменности других. Её изменение повлечет за собой изменения во всей системе взаимосвязанных признаков. Таким образом отдельно взятое уравнение регрессии не может характеризовать истинное влияние отдельных признаков на вариацию результирующей переменной. Поэтому в экономических исследованиях важное место заняла проблема описания структуры связей между системой переменных.

Структурной формой системы называется представление системы, в котором в уравнениях может присутствовать более одной эндогенной переменной (в стандартной записи это означает, что в правой части уравнений, то есть в качестве регрессоров, имеются эндогенные переменные). Структурная форма системы описывает систему взаимозависимостей между экономическими переменными.

Перенеся эндогенные переменные в левую часть структурную форму можно представить в следующем матричном виде

Приведённой (прогнозной) формой системы называется представление системы, в котором в каждом уравнении имеется только одна эндогенная переменная, то есть эндогенные переменные выражены через экзогенные:

Это так называемая неограниченная приведённая форма. Структурную форму можно записать следующим образом:

Это так называемая ограниченная приведённая форма, то есть приведённая форма с ограничением на коэффициенты следующего вида: .

Если задана структурная форма, то всегда можно получить ограниченную приведённую форму (предполагается, что матрица А невырождена). Однако, обратное не всегда возможно, а если возможно, то не всегда однозначно.

18. Проблема идентификации систем одновременных уравнений (СОУ).Проблема оценивания параметров и возможности преобразования структурной формы к приведённой тесно связана с понятием идентификации модели.

Исходную систему уравнений называют идентифицируемой (точно определенной), если по коэффициентам приведённой формы уравнений можно однозначно определить значения коэффициентов структурной формы уравнений.

Исходную систему называют неидентифицируемой (недоопределенной), если по коэффициентам приведённой формы уравнений невозможно определить значения всех коэффициентов структурной формы уравнений. В этом случае система, связывающая коэффициенты структурной и приведённой форм несовместна.

Исходную систему уравнений называют сверхидентифицируемой (переопределенной), если по коэффициентам приведённой формы уравнений можно получить несколько значений коэффициентов структурной формы уравнений.

Для оценки параметров СОУ используются косвенный и двухшаговый МНК (подробно в 19-м вопросе).

Для быстрого формального определения идентифицируемости структурной формы уравнения применяются следующие необходимые условия: СОУ включает в себя N уравнений относительно N эндогенных переменных. Пусть в системе M предопределенных (экзогенных) переменных, а число эндогенных (зависимых) и экзогенных (предопределённых) переменных в проверяемом уравнении n и m соответственно. Разница M-m – число предопределённых переменных, не включённых в проверяемое уравнение, но присутствующее в системе. Тогда существует 3 случая:

— если M-m >n-1, то уравнение сверхидентифицируемо;

— если M-m = n-1, то уравнение идентифицируемо;