Системы отсчета кинематические уравнения движения траектория

Уравнение движения материальной точки

Движение материальной точки в пространстве – это изменение ее положения относительно других тел с течением времени.

Имеет смысл говорить только о движении в некоторой системе отсчета.

Система отсчета. Системы координат

Точки, располагаемые в пустом пространстве, не различаются. Поэтому о точке рассуждают при условии нахождения в ней материальной точки. Определить ее положение можно при помощи измерений в системе координат, где и проводится нахождение пространственных координат. Если рассматривать в виде примера поверхность Земли, то следует учитывать широту и долготу располагаемой точки.

В теории используется декартова прямоугольная система координат, где определение точки возможно при наличии радиус-вектора r и трех проекций x , y , z – ее координат. Могут быть применены другие:

• сферическая система с положением точек и ее радиус-вектором, определенных координатами r , υ , φ ;
• цилиндрическая система с координатами p , z , α ;
• на полярной плоскости с параметрами r , φ .

В теории зачастую не принимают во внимание реальную систему отсчета, а сохраняют только ту, которая представляет собой ее математическую модель, применяемую во время практических измерений.

Кинематическое уравнение движения материальной точки

Любая система отсчета или координат предполагает определение координат материальной точки в любой момент времени.

При условии положения и определения материальной точки в данной системе отсчета считается, что ее движение задано или описано.

Это возможно при использовании кинематического уравнения движения:

Аналитически положение точки определяется совокупностью трех независимых между собой чисел. Иначе говоря, свободная точка имеет три степени свободы движения.

Ее перемещение по уравнению ( 1 ) определено, если имеется указанное положение в любой момент времени t . Для этого следует задавать декартовы координаты точки в качестве однозначных и непрерывных функций времени:

x ( t ) = x , y ( t ) = y , z ( t ) = z ( 2 ) .

Прямоугольные декартовы координаты x , y , z — это проекции радиус-вектора r ¯ , проведенного из начала координат. Очевидно, что длину и направление r ¯ можно найти из соотношений, где a , β , γ являются образованными радиус-вектором углами с координатными осями.

Равенства ( 2 ) считают кинематическими уравнениями движения материальной точки в декартовых координатах.

Они могут быть записаны в другой системе координат, которая связана с декартовой взаимно однозначным преобразованием. Если движение точки происходит в плоскости О х у , тогда применимы полярные координаты r , φ , относящиеся к декартовым преобразованиям. Данный случай подразумевает использование уравнения движения точки следующего вида:

r = r ( t ) , φ = φ ( t ) ( 3 ) .

Кинематическое уравнение движения точки в криволинейных координатах q 1 , q 2 , q 3 , связанных с декартовыми преобразованиями вида x = x ( q 1 , q 2 , q 3 ) , y = y ( q 1 , q 2 , q 3 ) , z = z ( q 1 , q 2 , q 3 ) ( 4 ) , записывается как

q 1 = q 1 ( t ) , q 2 = q 2 ( t ) , q 3 = q 3 ( t ) ( 5 ) .

Кривая радиус-вектора, описываемая концом вектора r при движении точки, совпадает с ее траекторией. Параметрическое уравнение траектории с t представлено кинематическими уравнениями ( 2 ) , ( 5 ) . Чтобы получить координатное уравнение траектории следует исключить время из кинематических уравнений.

Определение движения точки возможно с помощью задания траектории и мгновенного положения точки на ней. Ее положение на кривой определяется с помощью указания только одной величины: расстояния вдоль кривой от некоторой начальной точки с положительным направлением:

Это и есть уравнение движения точки по траектории. Способ его задания относят к естественному или траекторному.

Понятия координатного и естественного способа задания движения точки физически эквивалентны. С математической стороны это рассматривают как возможность применения разных методов, исходя из случая математической задачи.

Задание такого закона возможно аналитическим, графическим путем или с использованием таблицы, последние два из которых зачастую рассматривают в виде графиков и расписаний движений поездов.

Дано уравнение движения материальной точки x = 0 , 4 t 2 . Произвести запись формулы зависимости υ x ( t ) , построить график зависимости скорости от времени. На графике отметить площадь, численно равную пути, пройденному точкой за 4 секунды, произвести вычисление.

Дано: x = 0 , 4 t 2 , t = 4 c

Найти: υ x ( t ) , S — ?

Решение

При решении необходимо учитывать зависимость скорости от времени:

υ x = υ 0 x + a x t .

Зависимость координаты от времени и сравнение уравнения с заданным принимает вид:

x = x 0 + υ 0 x t + a x t 2 2 , x = 0 , 4 t 2 .

Очевидно, что x 0 = 0 , υ 0 x = 0 , a x = 0 , 8 м / с 2 .

После подстановки данных в уравнение:

Определим точки, изобразим график:

υ x = 0 , t = 0 , υ x = 4 , t = 5

Путь, по которому двигалось тело, равняется площади фигуры, ограниченной графиком, и находится с помощью формулы:

Конспект лекции «Механическое движение и его характеристики»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

« Реальность бесконечно сложна для нашего познания. Мы должны упрощать. »

английский писатель, (1894-1963)

МЕХАНИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ И ЕГО ХАРАКТЕРИСТИКИ

1. Механика. Разделы механики

2. Механическое движение. Материальная точка

3. Относительность движения. Система отсчёта

4. Траектория, путь и перемещение

Основные понятия темы:

Механика — наука, изучающая механическое движение тел и взаимодействия между телами.

Основная задача механики — познать законы механического движения и взаимодействия материальных тел, на основе этих законов предвидеть поведение тел и определять их механическое состояние (координаты и скорость движения) в любой момент времени.

Механическое движение — изменение взаимного положения тел (или частей тела) в пространстве с течением времени.

Материальная точка — это физическая модель тела, размерами которого в условиях данной задачи можно пренебречь.

Кинематика — – раздел механики, изучающий движение тел без учета причин его вызывающих.

Система отсчета — совокупность тела отсчета, связанной с ним системы координат и прибора для измерения времени.

Траектория — линия, описываемая и пространстве движущейся материальной точкой (телом).

Пройденный путь — скалярная величина, равная сумме длин всех участков траектории, пройденных материальной точкой за рассматриваемый промежуток времени.

Перемещение — вектор, проведенный из начального положения движущейся материальной точки в конечное положение.

Поступательное движение — движение, при котором прямая, соединяющая две любые точки тела, остается при движении параллельной самой себе.

Прямолинейное движение — движение, траектория которого в данной системе отсчета является прямой линией.

1. Механика. Разделы механики

Физика изучает разнообразные явления и процессы, происходящие вокруг нас. Как вам известно, в зависимости от их природы различают механические, тепловые, электрические, магнитные, световые и другие физические явления.

Раздел физики, который объясняет закономерности механического движения и причины, вызывающие или изменяющие это движение , называют механикой.

Механика — одна из древнейших наук. Ее возникновение и развитие связано с практическими потребностями человека. Первые труды по механике, в которых рассматривались свойства простых механизмов и машин, появились еще в Древней Греции. Весомый вклад в ее становление сделали такие корифеи науки, как Аристотель (IV в. до н. э.), Архимед (III в. до н. э.), Леонардо да Винчи (XV в.), Галилео Галилей (XVII в.) и другие. В завершенном виде как классическая теория она получила обоснование в работе Исаака Ньютона «Математические начала натуральной философии» (1687 г . ).

Основные законы механики были сформулированы в конце XVII — начале XVIII века великим английским учёным Исааком Ньютоном. И на протяжении нескольких веков законы механики Ньютона считались фундаментальными законами природы.

Сформулировав основные законы механики, Исаак Ньютон фактически создал математическое описание множества процессов, с которыми мы сталкиваемся в повседневной жизни.

Конечно же, с развитием физики оказалось, что не все явления можно объяснить, основываясь на представлениях и законах Ньютона. Так, например, у электромагнитных явлений абсолютно иная физическая природа. А во время движения тел со скоростями, близкими к скорости света, у них обнаруживаются свойства, о существовании которых Ньютон даже не подозревал.

На современном этапе различают механику:

– классическую (механика Галилея — Ньютона) — изучает законы движения макроскопических тел, скорости которых малы по сравнению со скоростью света в вакууме;

– релятивистскую (основана на специальной теории относительности Эйнштейна) — рассматривает законы движения макроскопических тел со скоростями, сравнимыми со скоростью света в вакууме;

– квантовую — описывает законы движения микроскопических тел (отдельных атомов и элементарных частиц).

Тела, которые нас окружают, двигаются сравнительно медленно. Размеры тел, которые мы в состоянии увидеть, довольно велики. Поэтому, их движение отлично описывается с помощью классической механики Ньютона.

Основу классической механики составляют кинематика, динамика статика и законы сохранения. Кинематика рассматривает способы математического описания движения тел. Динамика изучает законы движения тел и причины, которые вызывают или изменяют это движение. Статика изучает покоящиеся тела при действии на них внешних сил. Важнейшими законами сохранения являются законы сохранения энергии и количества движения (импульса).

Изучение механики традиционно начинается с кинематики, так как её понятия лежат в основе всей классической физики.

Кинематикой называют раздел механики, в котором рассматривают способы описания механического движения тел без выяснения причин изменения характера их движения.

Задача кинематики — определение кинематических характеристик движения (траектории движения, перемещения, пройденного пути, координаты, скорости и ускорения тела), а также получение уравнений зависимости этих характеристик от времени .

2. Механическое движение. Материальная точка

Приступим к изучению механического движения. Человечеству понадобилось около двух тысяч лет, чтобы встать на верный путь, который завершился открытием законов механического движения.

Механическим движением называется перемещение тел или частей тел в пространстве друг относительно друга с течением времени. Описать механическое движение — значит, предоставить способ определить его положение в пространстве в каждый момент времени.

Как же описывают движение тела? Например, как описать движение облаков? Или движение корабля в океане? Описать движение человека или полет бабочки математически — это также крайне сложная задача. Но физики — народ хитрый. Для описания таких движений ими были введены физические модели реальных тел. Самой простой такой моделью является материальная точка (ведь движение точки гораздо проще описать, чем движение всего тела). И действительно, когда мы говорим, что самолёт пролетел 800 километров, никто же не будет спрашивать, какая именно часть самолёта преодолела такое расстояние. Хотя самолёт — это совсем не точка. Или, например, при составлении туристического маршрута для велосипедиста нет необходимости детально описывать движение колёс, педалей велосипеда или частей тела туриста. Для решения поставленной задачи достаточно рассмотреть движение какой-либо одной точки велосипедиста или вообще считать его точкой. Другими словами, при решении некоторых задач реальное тело можно заменить на точечное (материальную точку).

Материальной точкой называется тело, обладающее массой, размерами которого в данных условиях можно пренебречь

С лова «в данных условиях» означают, что одно и то же тело при одних его движениях можно считать материальной точкой, при других — нет.

Например, изучая движение планет вокруг Солнца, их можно считать материальными точками, несмотря на внушительные размеры некоторых из них. Однако это ничто по сравнению с теми расстояниями, которые они проходят по своим орбитам.

Но вот при рассмотрении задач, связанных с суточным вращением планеты, считать её материальной точкой нельзя, так как результат будет зависеть от размеров планеты и от скорости движения её различных точек. Так, например, из-за суточного вращения Земли в Санкт-Петербурге полдень наступает примерно на 29 мин позднее, чем в Москве.

Понятие материальной точки играет важную роль в механике. Тело можно рассматривать как материальную точку в следующих случаях.

– Когда размеры тела малы по сравнению с расстоянием, пройденным телом. В этом случае различие в движении разных точек тела несущественно (например, самолёт можно считать материальной точкой, если надо найти время его перелёта между двумя городами, но его нельзя считать материальной точкой при рассмотрении фигур высшего пилотажа).

– При поступательном движении тела .

Поступательным называется такое движение, когда все части тела движутся одинаково. При поступательном движении отрезок, соединяющий любые две точки тела, остаётся параллельным самому себе.

При поступательном движении тело может двигаться вдоль прямой (например, санки соскальзывают с наклонной плоскости) и по кривой линии (поступательно движется кабинка колеса обозрения, если она не вращается вокруг своей оси)

В отличие от реального, точечное тело не имеет размеров и в каждый момент времени находится в определённой точке пространства. Понятно, что в природе точечных тел нет. Точечное тело — это модель.

Система материальных точек, расстояние между которыми с течением времени не изменяется, называется абсолютно твёрдым телом. Размеры и форма абсолютно твёрдого тела при движении не изменяются, т. е. тело не может быть деформировано. Но п ри воздействии на реальное тело всегда возникают деформации. Строго говоря, абсолютно твёрдых тел в природе не существует, однако в очень многих случаях, когда деформация тела мала и ею можно пренебречь, реальное тело может (приближённо) рассматриваться как абсолютно твёрдое тело .

Под действием внешних сил твердое тело может двигаться поступательно , вращательно или находиться в покое .

3. Относительность движения. Система отсчёта

Движение одного и того же тела относительно разных тел оказывается различным. Например, автомобиль движется по дороге. В автомобиле находятся люди. Люди движутся вместе с автомобилем по дороге. То есть люди перемещаются в пространстве относительно дороги. Но относительно самого автомобиля люди не движутся, т. е. находятся в покое. Значит, движение и покой относительны. Механическое движение подчиняется закону относительности движения :

Характер движения тела зависит от того, относительно каких тел мы рассматриваем данное движение.

Для описания движения какого-либо тела, необходимо условиться, относительно какого иного тела рассматривается положение данного тела.

Тело, относительно которого рассматривают положение других тел, называют телом отсчёта.

Тело отсчёта считается неподвижным (для данной задачи). Телом отсчёта может быть: фонарный столб, светофор, дом, стол, Земля, Солнце и т. д.

С телом отсчёта связывают систему координат, с помощью которой определяют положение тела в пространстве.

Системы координат бывают: одномерная — положение тела на прямой определяется одной координатой ; двумерная — положение точки на плоскости определяется двумя координатами и ; трехмерная — положение точки в пространстве определяется тремя координатами , и .

Реальное пространство трёхмерно, поэтому, как правило, используют прямоугольную декартову систему координат в которой положение точки определяется тремя координатами или радиус-вектором (его проводят из начала координат в точку ).

Координаты движущегося тела с течением времени изменяются. Поэтому для описания движения нужно знать, какому моменту времени соответствует та или иная координата. Для этого необходим прибор, чтобы измерять время — часы.

Тело отсчёта, связанную с ним систему координат и прибор для измерения времени (часы) называют системой отсчёта

Систему отсчета можно выбрать произвольно. При кинематических исследованиях все системы отсчета равноправ ны. Но в различных системах отсчёта движение одного и того же тела может быть описано по-разному, поэтому важно, чтобы в ней движение тела было наиболее простым и при этом можно было ответить на все вопросы, поставленные в задаче.

Например, с каким телом следует связать систему отсчёта, для объяснения смены дня и ночи на Земле?

Для правильного ответа на поставленный вопрос вспомним, что смена времени суток происходит из-за вращения Земли вокруг своей оси. То есть наша планета бывает обращена к Солнцу то одной, то другой своей стороной. А само Солнце в этом случае является неподвижным объектом. Поэтому рациональней связать систему отсчёта именно с ним.

Однако, если мы скажем, что смена дня и ночи обусловлена восходом и заходом Солнца, то в этом случае неподвижным объектом считается Земля. А Солнце как бы вращается вокруг неё, описывая дугу в небе. Поэтому в этом случае разумнее систему отсчёта связать с Землёй.

Главное запомнить следующее: если для изучения движения выбрали тело отсчета, то все наблюдения, вычисления и уравнения должны быть связаны именно с этим телом отсчёта, как с началом координат.

Изучить движение тела — значит уметь находить его положение в пространстве в любой момент времени. В этом и заключается основная задача механики.

4. Траектория, путь и перемещение

При механическом движении тело с течением времени изменяет своё положение в пространстве относительно других тел. С оответствующая телу материальная точка описывает в пространстве некоторую воображаемую линию, которую называют траекторией движения тела (или, для краткости, просто траекторией). Если тело оставляет за собой след, траектория тела становится видимой.

Например, если зажечь прутик и быстро вращать его в воздухе, особенно в темной комнате, то отчетливо будет видна траектория движения уголька на конце прутика.

Если траектория точечного тела в выбранной системе отсчёта представляет собой прямую линию, то движение тела называют прямолинейным, а если кривую — криволинейным

Вид траектории движущегося тела зависит от выбора системы отсчёта. Например, траектория точки обода вращающегося колеса относительно оси его вращения представляет собой окружность. Траектория точки обода вращающегося колеса в другой системе отсчёта — связанной с Землёй, имеет вид дуги окружности.

Таким образом, понятие формы траектории имеет относительный смысл. Нельзя говорить о форме траектории вообще; речь может идти лишь о форме траектории в заданной системе отсчета.

Длину траектории называют путём, пройденным телом

Если тело проходит какой-то участок траектории несколько раз, то путь равен длине этого участка, умноженной на число, показывающее, сколько раз тело прошло этот участок. Например, если автомобиль делает три круга по шоссе длиной 100 км, то пройденный им путь равен 300 км.

Путь является скалярной величиной (то есть характеризуется только числовым значением). Пути, пройденные точкой за последовательные промежутки времени, складываются алгебраически.

График зависимости пути от времени называется графиком пути . По известному графику пути можно определить путь, пройденный материальной точкой за определённый промежуток времени.

При движении материальной точки путь не может уменьшаться и не бывает отрицательным.

Пусть тело (материальная точка), двигаясь по некоторой траектории, переместилось из начального положения в положение . Эти положения точки в системе координат определяются соответственно радиусами-векторами и . Вектор , проведённый из конца вектора (из точки ) в конец вектора (в точку ) является перемещением точки за промежуток времени : .

Перемещение — вектор, соединяющий положения движущейся точки в начале и в конце некоторого промежутка времени

Перемещение является векторной величиной , которая характеризуется неотрицательным числовым значением (модулем) и направлением. Обозначается (или ).

Так как перемещение — вектор, то последовательные перемещения тела можно складывать по правилам сложения векторов (по правилу параллелограмма или по правилу треугольника). Как видно из рисунка, перемещение тела равно геометрической разности радиус-векторов тела в начальный и конечный моменты времени.

Если из равенства выразить радиус-вектор в любой момент времени, то получим равенство , которое называют уравнением движения точки, записанным в векторном виде. Если оно известно, то мы можем для любого момента времени рассчитать радиус-вектор точки, а значит, определить её положение.

Поскольку радиус-вектор определяется с помощью координат, то одно векторное уравнение эквивалентно двум скалярным уравнениям: , или , которые называют уравнением движения точки, записанным в координатной форме. Здесь — это изменения координат движущейся точки, которые называют проекциями вектора перемещения.

Если направление от проекции начала к проекции конца вектора, совпадает с положительным направлением координатной оси, то проекция положительна, в противном случае — отрицательна. Кроме того, проекция вектора может быть равной нулю.

Чтобы задать положение точки в пространстве нужно три координаты . Положение такой точки точно также можно задать с помощью радиус-вектора. Его модуль будет находиться с помощью геометрической суммы координат точки.

Рассмотрим, как соотносятся траектория, путь и модуль перемещения тела.

Траектория тела может быть сколь угодно сложной, и именно она будет определять пройденный путь. Перемещение же представляет собой направленный отрезок, соединяющий начальную и конечную точки. А если тело в процессе движения вернулось в исходную точку, то его перемещение будет равно нулю.

Пройденный путь не может быть равен нулю, если тело совершало какое-либо движение. При прямолинейном движении в одном направлении пройденный телом путь всегда равен модулю перемещения. Если же тело в процессе движения изменяет направление движения, то путь всегда больше модуля перемещения.

Задача. В системе координат отметьте точку , постройте соответствующий радиус-вектор и найдите его длину.

Контрольные вопросы и упражнения

1. Что называют механическим движением?

2. Что изучает кинематика?

3. Что называют системой отсчёта?

4. Может ли тело отсчёта быть точечным?

5. Что называют траекторией точечного тела?

6. Какое движение тела называют прямолинейным? Какое — криволинейным?

7. Что означает утверждение, что движение тела относительно?

8. Что называют перемещением тела

9. Что такое путь? Может ли путь быть положительным; нулевым; отрицательным? Ответ поясните.

10. Может ли модуль вектора перемещения быть больше пройденного телом пути; быть равным пройденному пути; быть меньше его? Приведите примеры, поясняющие ответ.

11. Как записывают уравнение движения в векторном виде? в координатной форме?

Упражнения

1. Какие из графиков, приведённых на рисунке, не могут отображать зависимость пути от времени? Почему?

2. Что принято за тело отсчёта в следующих случаях: а) автомобиль едет со скоростью 100 км/ч; б) стюардесса идёт со скоростью 1 м/с; в) скорость Луны равна 1 км/с.

3. С верхней полки вагона поезда, движущегося прямолинейно, уронили предмет. Можно ли считать движение предмета прямолинейным в системе отсчёта, связанной с вагоном? в системе отсчёта, связанной с землёй?

4. Длина минутной и секундной стрелок часов равна 10 см. В начальный момент концы стрелок совпадают. Чему равны модули перемещений концов этих стрелок за 20 мин? Какой путь прошёл конец каждой стрелки за это время?

5. Как движется тело, если: а) модуль его перемещения равен пройденному пути? б) перемещение равно нулю, но путь не равен нулю?

6. Изобразите в тетради как можно более простую траекторию движения, для которой: а) путь в 3 раза больше модуля перемещения; б) путь в раз больше модуля перемещения.

7. Улитка проползла прямолинейно 1м, затем сделала поворот, описав четверть окружности радиусом 1м, и проползла далее перпендикулярно первоначальному направлению движения еще 1м. Сделать чертеж, рассчитать пройденный путь и модуль перемещения, на чертеже не забыть показать вектор перемещения улитки.

8. Движущийся автомобиль сделал разворот, описав половину окружности. Сделать чертеж, на котором указать пути и перемещения автомобиля за все время разворота и за треть этого времени. Во сколько раз пути, пройденные за указанные промежутки времени, больше модулей векторов соответствующих перемещений?

Литература

1. Мякишев Г. Я., Физика 10 класс, 2016 год, стр. 10-14, 18-19.

Кинематика. Механическое движение. Система отсчета. Материальная точка. Траектория. Путь

Этот видеоурок доступен по абонементу

У вас уже есть абонемент? Войти

Сегодня мы поговорим о систематическом изучении физики и первом ее разделе – механике. Физика изучает разные виды изменений или процессов, происходящих в природе, а какие процессы в первую очередь интересовали наших предков? Конечно, это процессы, связанные с движением. Им было интересно, долетит ли копье, которое они бросили, и попадет ли оно в мамонта; им было интересно, успеет ли гонец с важной вестью добежать до заката к соседней пещере. Все эти виды движения и вообще механическое движение как раз и изучает раздел, который называется механика.