Системы рациональных уравнений 8 класс это

Рациональные уравнения с примерами решения

Содержание:

Рациональные уравнения. Равносильные уравнения

два уравнения называют равносильными, если они имеют одни и те же корни. Равносильными считают и те уравнения, которые корней не имеют.

Так, например, равносильными будут уравнения

Уравнения — не равносильны, так как корнем первого уравнения является число 10, а корнем второго — число 9.

Ранее, в 7 классе, вы знакомились со свойствами, которые преобразуют уравнения в равносильные им уравнения.

1) Если в любой части уравнения раскрыть скобки или привести подобные слагаемые, то получим уравнение, равносильное данному;

2) если в уравнении перенести слагаемое из одной части в другую, изменив его знак на противоположный, то получим уравнение, равносильное данному;

3) если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получим уравнение, равносильное данному.

Левая и правая части каждого из них являются рациональными выражениями.

Уравнении, левая и правая части которых являются рациональными выражениями, называют рациональными уравнениями.

В первых двух из записанных выше уравнений левая и правая части являются целыми выражениями. Такие уравнения называют целыми рациональными уравнениями. Если хотя бы одна часть уравнения — дробное выражение, то его называют дробным рациональным уравнением. Третье из записанных выше уравнений является дробным рациональным.

Как решать целые рациональные уравнения, мы рассмотрели при изучении математики в предыдущих классах. Рассмотрим теперь, как решать дробные рациональные уравнения, то есть уравнения с переменной в знаменателе.

Применение условия равенства дроби нулю

Напомним, что когда

Пример №202

Решите уравнение

Решение:

С помощью тождественных преобразований и свойств уравнений приведем уравнение к виду где и — целые рациональные выражения. Имеем:

Окончательно получим уравнение:

Чтобы дробь равнялась нулю, нужно, чтобы числитель равнялся нулю, а знаменатель не равнялся нулю.

Тогда откуда При знаменатель Следовательно, — единственный корень уравнения.

Решение последнего, равносильного данному, уравнения, учитывая условие равенства дроби нулю, удобно записывать так:

Значит, решая дробное рациональное уравнение, можно:

1) с помощью тождественных преобразований привести уравнение к виду

2) приравнять числитель к нулю и решить полученное целое уравнение;

3) исключить из его корней те, при которых знаменатель равен нулю, и записать ответ.

Использование основного свойства пропорции

Если то где

Пример №203

Решите уравнение

Решение:

Найдем область допустимых значений (ОДЗ) переменной в уравнении. Так как знаменатели дробей не могут равняться нулю, то Имеем: то есть ОДЗ переменной содержит все числа, кроме 1 и 2.

Сложив выражения в правой части уравнения, приведем его к виду: получив пропорцию:

По основному свойству пропорции имеем:

Решим это уравнение:

откуда

Так как число 4 принадлежит ОДЗ переменной исходного уравнения, то 4 является его корнем.

Запись решения, чтобы не забыть учесть ОДЗ, удобно закончить так:

Таким образом, для решения дробного рационального уравнения можно:

1) найти область допустимых значений (ОДЗ) переменной в уравнении;

2) привести уравнение к виду

3) записать целое уравнение и решить его;

4) исключить из полученных корней те, которые не принадлежат ОДЗ, и записать ответ.

Метод умножения обеих частей уравнения на общий знаменатель дробей

Пример №204

Решите уравнение

Решение:

Найдем ОДЗ переменной и простейший общий знаменатель всех дробей уравнения, разложив знаменатели на множители:

Областью допустимых значений переменной будут те значения при которых то есть все значения кроме чисел А простейшим общим знаменателем будет выражение

Умножим обе части уравнения на это выражение:

Получим: а после упрощения: то есть откуда или

Число 0 не принадлежит ОДЗ переменной исходного уравнения, поэтому не является его корнем.

Следовательно, число 12 — единственный корень уравнения. Ответ. 12.

Решая дробное рациональное уравнение, можно:

3) умножить обе части уравнения на этот общий знаменатель;

4) решить полученное целое уравнение;

5) исключить из его корней те, которые не принадлежат ОДЗ переменной уравнения, и записать ответ.

Пример №205

Являются ли равносильными уравнения

Решение:

Поскольку уравнения являются равносильными в случае, когда они имеют одни и те же, или не имеют корней, найдем корни данных уравнений.

Первое уравнение имеет единственный корень а второе — два корня (решите уравнения самостоятельно). Следовательно, уравнения не являются равносильными.

Степень с целым показателем

Напомним, что в 7 классе мы изучали степень с натуральным показателем. По определению:

где — натуральное число,

В математике, а также при решении задач практического содержания, например в физике или химии, встречаются степени, показатель которых равен нулю или является целым отрицательным числом. Степень с отрицательным показателем можно встретить и в научной или справочной литературе. Например, массу атома гелия записывают так: кг. Как понимать смысл записи

Рассмотрим степени числа 3 с показателями — это соответственно

В этой строке каждое следующее число втрое больше предыдущего. Продолжим строку в противоположном направлении, уменьшая каждый раз показатель степени на 1. Получим:

Число должно быть втрое меньше числа равного числу 3. Но втрое меньшим числа 3 является число 1, следовательно, Равенство справедливо для любого основания при условии, что

Нулевая степень отличного от нуля числа а равна единице, то есть при

Вернемся к строке со степенями числа 3, где слева от числа записано число Это число втрое меньше, чем 1, то есть равно Следовательно, Рассуждая аналогично получаем: и т. д.

Приходим к следующему определению степени с целым отрицательным показателем:

если натуральное число, то

Открытый урок по алгебре 8 класс решение рациональных уравнений

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

«Актуальность создания школьных служб примирения/медиации в образовательных организациях»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Выберите документ из архива для просмотра:

Выбранный для просмотра документ 17.04.19 алгебра 8кл.ppt

Описание презентации по отдельным слайдам:

Системы уравнений Графический способ Аналитический способ Метод подстановки Метод сложения Метод замены пере менной

Методы решения систем уравнений Метод подстановки a) x²=-y²-3xy-1, б) x²+y²+3xy =-1, в) x²+y²+3xy =-1, x+2y= 0; 2y=-x; x=-2y. x²+y²+3xy =-1, x+2y= 0; Какой из учеников применил метод подстановки наиболее рационально?

Методы решения систем уравнений Метод сложения x²-2y² =14, x²+2y²= 18; 2x² =32, + x² =16, x =4; Можно ли записывать ответ?

На рисунке изображена парабола и три прямые. Укажите систему уравнений, которая не имеет решений. у х 0

Сколько решений имеет система уравнений? у = — x2 + 9 x²+y²=81

Решите систему уравнений Графики пересекаются в точках (-2; -1) и (1; 2). Графиком у = 3 – х2 является парабола Графиком х – у + 1 = 0 является прямая, Ответ: (-2; -1), (1; 2).

Решите систему уравнений Решите систему уравнений Ответ: (-4; -5), (2; 1).

Группа №3 Ответ: (-4; -1), (-4; 1), (4; -1), (4;1).

4. Решить красиво систему уравнений: 2х-у=2, 2×2 –ху=6. 2х-у=2, Х(2х-у)=6; 2х-у=2, 2х=6; Х=3, У=4. Решение.

Самостоятельная работа с взаимопроверкой С.121 №585 (в) и (е) по вариантам

. Домашнее задание Решить систему уравнений различными способами № 609(б)-вариант 1 611(в) — вариант 2

1. Я все знаю, понял и могу объяснить другим! 2. Я все знаю, понял, но не уверен, что смогу объяснить другому. 3. Я сам знаю, понял, но объяснить другому не смогу. 4. У меня остались некоторые вопросы.

Благодарю всех за проделанную работу Порой задача не решается, Но это, в общем, не беда. Ведь солнце все же улыбается, Не унывай никогда. Друзья тебе всегда помогут Они с тобой, ты не один. Поверь в себя – и ты все сможешь, Иди вперед и победишь.

Выбранный для просмотра документ 8 кл откр урок.doc

Тема: «Решение систем рациональных уравнений».

Тип урока: актуализации знаний и умений (урок повторения)

обобщить и систематизировать способы решения системы уравнений с двумя переменными и умения применять их в различных ситуациях

продолжить формирование навыков сознательного выбора способов решения системы уравнений с двумя неизвестными

Развить потребность в нахождении рациональных способов решения

Овладение опытом творческой деятельности при решении систем уравнений с двумя неизвестными

Развитие мышления, внимания, памяти, умения выделять главное;

Развитие коммуникативных навыков продолжать формирование математической речи и графической культуры ,

, умению выслушивать других и умению общаться, прививать аккуратность и трудолюбие, воспитание интереса к предмету

Оборудование: учебник, плакаты, карточки-задания, проектор.

— Прекрасное весеннее утро. Ещё один чудесный день начинает свой путь , начнем и свой путь и мы.

— Настроитесь на работу, будьте доброжелательны друг к другу и у вас все получится!

— Эпиграф: Знание – самое прекрасное из владений. Все стремятся к нему, само же оно не приходит. (слайд 1)

-Я желаю вам, каждый день и каждый час стремиться к знаниям. А контролировать ваши приобретённые знания нам поможет лист самооценки, который лежит у вас на столе

2. Постановка цели и сообщение темы урока. решить систему уравнений из банка задач по подготовке е ОГЭ

Проверим д/з решим систему. как можно решить эту систему? кто готов? какими методами вы решили систему?

сформулируем тему урока « Решение систем рациональных уравнений»

цель: обобщить и систематизировать способы решения системы уравнений с двумя переменными и умения применять их в различных ситуациях

. 2.Актуализация опорных знаний (слайд ).

— Какую математическую модель называют системой уравнений с двумя переменными?( Система уравнений — это условие, состоящее в одновременном выполнении нескольких уравнений относительно нескольких переменных.)

-Что называют решением системы уравнений? (Пару значений переменных, которая одновременно является решением и первого и второго уравнения системы, называю решением системы уравнений)

-Что значит решить систему уравнений? (Решить систему уравнений – это значит найти все ее решения или установить, что решений нет)

— Какие методы решения систем уравнений вы знаете? ( слайд 2)

-С геометрической точки зрения, что является решением системы уравнений с двумя переменными (точки пересечения графиков)

Какой из учеников применил метод подстановки наиболее рационально? (Слайд №3) метод сложения, в чем состоит? ( Слайд №4) На рисунке изображена парабола и три прямые. Укажите систему уравнений, которая не имеет решений.( Слайд №5)

с целью подготовки к контрольному уроку

Решение систем уравнений различными способами. групповая работа

Класс разделен на три группы:

1 группа решает уравнения функционально- графическим методом,

2 группа методом подстановки

3 группа методом сложения

консультанты помогают остальным решить систему.

1 группа: по уровню сложности 3 системы

1).Решить систему уравнений

2).Решить систему уравнений методом подстановки

3)Решить систему уравнений

.

Существует универсальный метод решения: вводится подстановка

5) Применение знаний и умений в новой ситуации

Самостоятельная работа с взаимопроверкой . Решить систему любым способом

Вариант I №585(в) Вариант 2 №585(е)

Ответы: Вариант 1 – (1;1), (2;-0,5)

Вариант 2 – (2;6), (-2;3)

6) Подведение итогов урока. Рефлексия (4 мин)

Что нового вы узнали сегодня на уроке?

Чему вы сегодня научились на уроке?

Что вызвало у Вас затруднение и почему?

Что вам понравилось на уроке? (работать в парах, рассуждать, узнавать новое, решать необычные задания и т.п.)

Достигли ли вы, поставленной в начале урока, цели?

Какую цель вы для себя ставите на следующем уроке?

4.3 Оцените свою деятельность ( в баллах и в словесной форме) : Критерии выставления отметок «5»-9-10+, «4»7-8+, «3»-5-6+.

Ребята подсчитывают количество «+» на полях и выставляют себе на полях в тетради отметку.

Решить систему уравнений различными способами.

№ 609(б) – 1 вариант

№ 611 (в) – 2 вариант

Решение 1 способом – оценка 3;

Решение 2мя способами – оценка 4;

Решение 3мя способами – оценка 5.

Лист самоконтроля. Группа №1:

Оценка учебной деятельности всей группы —

Каждое верно выполненное задание оценивается в 3 балла

— в пределах от 2 до 12

12б-максимальная оценка(верно, активно, самостоятельно),

2б -минимальная оценка,

6б -удовлетворительная отметка

11-12б – оценка 5

Самостоятельная работа Способ 1й

Самостоятельная работа Способ 2ой

Лист самоконтроля. Группа № 2

Оценка учебной деятельности всей группы —

Каждое верно выполненное задание оценивается в 3 балла

— в пределах от 2 до 12

12б-максимальная оценка(верно, активно, самостоятельно),

2б -минимальная оценка,

6б -удовлетворительная отметка

11-12б – оценка 5

Самостоятельная работа Способ 1й

Самостоятельная работа Способ 2ой

Оценка учебной деятельности всей группы —

Каждое верно выполненное задание оценивается в 3 балла

— в пределах от 2 до 12

12б-максимальная оценка(верно, активно, самостоятельно),

2б -минимальная оценка,

6б -удовлетворительная отметка

11-12б – оценка 5

Самостоятельная работа Способ 1й

Самостоятельная работа Способ 2ой

Выбранный для просмотра документ Самоанализ урока.doc

алгебры в 8 классе

по теме « Решение систем рациональных уравнений »

Раздел программы : «Системы рациональных уравнений»

Тема урока : Повторение и закрепление по теме «Решение систем рациональных уравнений»

Тип урока : актуализации знаний и умений (урок повторения)

Цель : Способствовать актуализации знаний и умений по пройденной теме «Системы рациональных уравнений»; способствовать развитию положительной мотивации учебной деятельности; способствовать развитию устной речи, умению высказывать свою точку зрения, слушать окружающих, решать

Учебные задачи направленные на достижение личностных результатов обучения: проявлять интерес к математике; осваивать роль ученика на основе выполнения правил поведения на уроке, взаимодействия с учителем и учениками

Учебные задачи направленные на достижение метапредметных результатов:

Регулятивные: учиться принимать учебную задачу, сохранять её в течение всего урока; осуществлять под руководством учителя итоговый контроль по результату, оценивать правильность выполнения действия;

Познавательные: понимать простейшие модели; учиться строить простые рассуждения;

Коммуникативные: использовать простые речевые средства; включаться в диалог с учителем и сверстниками, в коллективное обсуждение; отвечать на вопросы учителя;

Учебные задачи направленные на достижение предметны результатов:

Учиться решать системы рациональных уравнений различными способами, уметь различать функции и строить соответствующие им графики при графическом способе решения систем.

Оборудование для урока: проектор, ноутбук, карточки для самостоятельной работы, лист самооценки.

Урок построен в соответствии с ФГОС, с использованием информационно-коммуникативных технологий.

На данном уроке применялся деятельностный подход в обучении.

Любой процесс познания начинается с импульса, побуждающего к действию. Необходима мотивация, побуждающая ученика к вступлению к деятельности. Помня об этом, я тщательно продумывала каждый этап урока, составляла задания, подбирала вопросы, использовала различные приёмы активизации учеников. На этапе актуализации знаний учащиеся активно работали, формулировали выводы.

В содержание урока были включены элементы обучения школьников универсальным учебным действиям: цель урока определяли сами ученики, исходя из соответствующей ситуации. Используя знаковую систему, учебную задачу зафиксировали на доске.

На всех этапах урока ученики были вовлечены в активную мыслительную и практическую деятельность исследовательского характера (решение системы различными способами), ученикам надо было вспомнить и использовать уже имеющиеся знания.

Первичное закрепление происходило при решении примеров в группах.

Работа в парах и взаимопомощь позволили снизить тревожность учащихся, проверка результатов способствовала формированию у детей адекватной самооценки.

Включение нового знания в систему знаний было организовано при решении задачи. Самопроверка решения задачи по образцу на доске позволила каждому ребёнку почувствовать себя успешным.

Тренировочные упражнения выполнялись самостоятельно, с взаимопроверкой. Выставляемые оценки (по баллам) аргументировались.

При подведении итогов и рефлексии был применен самоанализ деятельности учеников.

Этапы урока были тесно взаимосвязаны между собой, чередовались различные виды деятельности. Учебный материал на протяжении всего урока работал на организацию посильного поиска, соответствовал их жизненному опыту.

Для каждого ученика была создана ситуация успеха, что также способствовало повышению мотивации и поддержанию познавательного интереса к учению.

При постановке вопросов и определении заданий на уроке я учитывала индивидуальные особенности учеников, давала только положительную характеристику результатам их деятельности, что стимулировало детей и повышало их активность на уроке.

Учебный материал урока соответствовал принципу научности, доступности и был посилен для учеников первого класса. Учебная информация была наглядной и привлекательной для детей. За счёт привлекательности содержания заданий и подачи учебного материала повысились возможности учеников в достижении поставленных целей на уроке.

Учебное время на уроке использовалось эффективно, запланированный объём урока выполнен. Интенсивность урока была оптимальной с учётом физических и психологических особенностей класса.

На уроке наблюдалось рациональное использование времени, предупреждение перегрузки детей обеспечивалось за счёт быстрой смены видов деятельности. Применялись здоровье сберегающие технологии (физминутка общего воздействия). Все предлагаемые задания направлены именно на развитие детей. При проведении урока были использованы различные формы обучения: индивидуальная и фронтальная работа, работа в парах. Детям оказывалась индивидуальная помощь. При проведении урока была использована мультимедийная презентация, задействованы все возможные ресурсы кабинета. Урок был очень динамичный, проведён в доброжелательной рабочей обстановке.

Считаю, что урок реализовал поставленные цели.

Перспективы на будущее:

Продолжать учить ребят работать в паре и в группе.

Учить детей грамотно выражать свои мысли.

Добиваться от ребят точных и правильных ответов.

Рациональные неравенства и их системы. Системы уравнений

Этот видеоурок доступен по абонементу

У вас уже есть абонемент? Войти

К изучению предлагается тема «Рациональные неравенства и их системы. Системы уравнений». Для более уверенного решения систем рациональных неравенств и систем уравнений ученикам к рассмотрению предлагается рассмотреть решение систем уравнений. Решением системы является такая пара чисел, при подстановке которых получаем из системы верные равенства. Первое решение систем осуществляется методом подстановки, второе – графическим методом.

Если у вас возникнет сложность в понимании темы, рекомендуем посмотреть урок «Уравнения и неравенства»