Системы тригонометрических уравнений для 10 класса

Е.П. Нелин, В.А. Лазарев

АЛГЕБРА

и начала математического

анализа

10 класс

учреждений. Базовый и

§ 21. РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

Работу выполнила: Мусина В.А. студентка группы 45.3

Системы тригонометрических уравнений решаются с помощью тех же методов, что и алгебраические системы, в частности это исключение неизвестных и замена переменных. Исключить неизвестные можно с помощью одного из двух приемов:из одного уравнения выразить какое-то неизвестное (или функцию от него) и подставить его в другие или преобразовать данные уравнения и потом составить из них комбинации, в которых число неизвестных уменьшается.

Задача 1 . Решите систему уравнений

Из первого уравнения находим и подставляем во второе.

Получаем

Замечание. Если бы для нахождения значения y мы не рассмотрели отдельно формулу (1) со знаком «+» и знаком «–», то вместе с верными решениями получили бы и посторонние решения заданной системы.

Действительно, в таком случае имеем

Тогда, например, при n = 0 получаем

Таким образом, кроме решений, которые вошли в ответ, мы имеем еще две возможности:

Но эти пары значений х и у не являются решениями заданной системы, поскольку они не удовлетворяют первому уравнению.

Поэтому следует запомнить:

Когда решение уравнения cos x = а приходится применять для дальнейших преобразований, то удобно записывать его в виде двух формул: отдельно со знаком «+» и отдельно со знаком «–».

Задача 2 . Решите систему уравнений

Почленно сложим и вычтем эти уравнения. Получим равносильну систему

Представим последнюю систему в виде совокупности двух систем, записывая решения второго уравнения отдельно со знаком «+» и отдельно со знаком «–»:

Почленно складывая и вычитая уравнения этих систем, находим x и y:

Замечание. В запись ответа вошли два параметра n и k, которые независимо друг от друга «пробегают» множество целых чисел. Если попробовать при решении заданной системы воспользоваться только одним параметром, например n, то это приведет к потере решений. Таким образом, в каждом случае, когда система тригонометрических уравнений приводится к системе, состоящей из элементарных тригонометрических уравнений (то есть из уравнений вида sin x = a, cos x = a, tg x = a, ctg x = a), при решении каждого из этих уравнений необходимо использовать свой целочисленный параметр.

Вопросы для контроля

1. Какие методы используются для решения систем тригонометрических уравнений?
2. Объясните, в каком случае при формальном решении системы уравнений мы можем потерять часть решений, а в каком случае —получить посторонние решения. Решите эту систему.

Упражнения

Решите систему уравнений (1–8).

Алгебра и начала математического анализа. 10 класс

Конспект урока

Алгебра и начала математического анализа, 10 класс

Урок № 49. Системы тригонометрических уравнений.

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

• что такое система тригонометрических уравнений;
• как решать системы тригонометрических уравнений;
• какие приемы можно использовать при решении систем тригонометрических уравнений.

Глоссарий по теме

Система уравнений – это условие, состоящее в одновременном выполнении нескольких уравнений относительно нескольких (или одной) переменных.

Записывается с помощью знака <

– система из трех уравнений с тремя неизвестными.

Решением системы уравнений называется упорядоченный набор чисел (значений переменных), при подстановке которых вместо переменных каждое из уравнений обращается в верное равенство.

Колягин Ю.М., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа. 11 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений: базовый и профил. Уровни – М.: Просвещение, 2010. — 368 с.

Амелькин,, В.В., Рабцевич В.Л., Задачи с параметрами: Справ. пособие по математике – М.: «Асар», 1996. – 752 с.

Открытые электронные ресурсы:

Решу ЕГЭ образовательный портал для подготовки к экзаменам https://ege.sdamgia.ru/

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Основными методами решения систем уравнений являются:

— метод замены переменной.

Также при решении систем тригонометрических уравнений используются многие тригонометрические формулы.

Рассмотрим решение систем тригонометрических уравнений.

При решении этой системы можно действовать по-разному:

1) можно использовать формулы преобразования произведения в сумму синусов (в первом уравнении) или косинусов (во втором уравнении)

2) можно использовать формулами косинуса суммы и разности во втором уравнении.

Воспользуемся формулой преобразования произведения косинусов в сумму косинусов:

.

Теперь, учитывая, что косинус двойного аргумента может быть выражен через квадрат синуса и косинуса аргумента, возведем в квадрат первое уравнение. Но, так как возведение в квадрат не является равносильным преобразованием, введем ограничение:

, то есть и должны быть одного знака.

.

Теперь введем новые переменные:

, (*) и решим вспомогательную систему:

.

Решим ее методом подстановки.

.

.

. Вернемся к исходным переменным.

,

.

С учетом условия получим две системы:

или

Ответ:

Или

Рассмотрим еще один пример.

С учетом области определения уравнений преобразуем каждое уравнение:

.

Теперь сложим эти уравнение, оставив в системе, например, первое уравнение:

,

,

.

Теперь выразим из второго уравнения y:

,

,

,

,

,

,

.

Ответ: .

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

Пример 1. Решите систему уравнений:

Введем новые переменные: .

Тогда вспомогательная система будет иметь вид:

.

,

или

.

Получаем четыре пары решений для вспомогательной системы:

; ; ; .

Так как , то решение имеет только первая система: .

.

Решите систему уравнений: .

Пусть .

Система примет вид: , то есть мы получили простую линейную систему.

Ее можно решить методом подстановки или методом алгебраического сложения:

,

,

,

,

.

Ответ:.

Разработка 10 класса «Системы тригонометрических уравнений и их решение.»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Дата проведения: 14.12.2015

Тема урока: Системы тригонометрических уравнений и их решение

повторение основных методов решения тригонометрических уравнений и их систем;

контроль уровня подготовки выпускников к государственной итоговой аттестации по теме «Решение тригонометрических уравнений и их систем»

развитие умения работать в группе;

воспитание активности и интерес к математике.

Тип урока : урок обобщения и систематизации знаний, комбинированный.

Оборудование урока : карточки для заполнения пропусков, карточки для выполнения работы в парах, карточки для самостоятельной работы

Организационный момент – 1 мин.

Актуализация опорных знаний- 4 мин.

Устная работа – 4 мин.

Математический диктант – 4 мин.

Работа в группах – 15 мин.

Самостоятельная работа – 15 мин.

Подведение итогов урока- 2 мин.

Актуализация опорных знаний. Прежде чем мы приступим к решению уравнений , нам необходимо освежить в памяти основные формулы по решению тригонометрических уравнений, для этого вам нужно самостоятельно заполнить пропуски в таблицах:(таблицы выданы всем учащимся)

Таблица 1.Формулы для решения простейших тригонометрических уравнений

Таблица2. Частные случаи решения простейших тригонометрических уравнений Проверка: учащиеся сверяются с таблицами на слайдах и выставляют себе баллы в таблицу

самооценки – максимум 3,5 балла, т.е. по 0,25 б за каждую верно заполненную ячейку.

x= ± arccos a+2pk, kÎZ

x= arctg a+pk, kÎZ

Устная работа. Задания представлены на слайдах:

Задание1.Выбрать из чисел те, которые принадлежат промежутку[0;2π]

Задание 3.Корнями некоторого тригонометрического уравнения являются числа . Запишите единую формулу корней этого уравнения.

Математический диктант ( выполняется по вариантам на отдельных листках)

Проверка: учащиеся сверяются с таблицами на слайдах и выставляют себе баллы в таблицу

самооценки – максимум 2 балла, т.е. по 0,25 б за каждую верно заполненную ячейку.

Работа в парах. Учащиеся представляют решение на доске по очереди.

_{4) Решите систему уравнений:}

Если учащиеся верно решили уравнения, то в таблицу самооценки все участники группы ставят себе 2 балла.

Самостоятельная работа . Решить уравнения.

cos3 x cos x — sin3 x sin x = -1.

Проверка: учащиеся сверяются с таблицей на слайде и выставляют себе баллы в таблицу

самооценки – максимум 5 баллов, т.е. по 1б за каждое верно решенное уравнение 1-3, 2 балла за верно решенное 4 уравнение..

Подведение итогов урока . Выставление оценок за урок

Ключ для выставления оценки:

10,5-12,5- оценка «5»

6,25-8,75 – оценка «3»

Домашнее задание : тестовые задания из сборников ЕНТ.

Тригонометрические уравнения и системы.

1. Решите уравнение: 3 tg 3 x =3.

2. Решите уравнение:

3. Решите уравнение:

A )

4. Решите уравнение:

5. Решите уравнение:

6. Решите уравнение:

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

• Сейчас обучается 920 человек из 80 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

• Сейчас обучается 685 человек из 75 регионов

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

• Сейчас обучается 309 человек из 69 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Дистанционные курсы для педагогов

«Взбодрись! Нейрогимнастика для успешной учёбы и комфортной жизни»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 585 255 материалов в базе

Самые массовые международные дистанционные

Школьные Инфоконкурсы 2022

33 конкурса для учеников 1–11 классов и дошкольников от проекта «Инфоурок»

«Психологические методы развития навыков эффективного общения и чтения на английском языке у младших школьников»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Другие материалы

• 06.04.2017
• 3323
• 114

• 06.04.2017
• 941
• 7

• 06.04.2017
• 600
• 0

• 06.04.2017
• 344
• 0

• 06.04.2017
• 310
• 1

• 06.04.2017
• 1216
• 6

• 06.04.2017
• 1605
• 2

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Добавить в избранное

• 06.04.2017 1101
• DOCX 121.6 кбайт
• 11 скачиваний
• Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Сыздыкова Мадина Сундеткановна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

• На сайте: 5 лет и 3 месяца
• Подписчики: 0
• Всего просмотров: 29411
• Всего материалов: 16

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

Инфоурок стал резидентом Сколково

Время чтения: 2 минуты

Школьник из Сочи выиграл международный турнир по шахматам в Сербии

Время чтения: 1 минута

В Ростовской и Воронежской областях организуют обучение эвакуированных из Донбасса детей

Время чтения: 1 минута

РДШ организовало сбор гуманитарной помощи для детей из ДНР

Время чтения: 1 минута

Минпросвещения подключит студотряды к обновлению школьной инфраструктуры

Время чтения: 1 минута

Количество бюджетных мест в вузах по IT-программам вырастет до 160 тыс.

Время чтения: 2 минуты

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Получите новую специальность со скидкой 10%

Цена от 4900 740 руб. Промокод (до 23 февраля): Промокод скопирован в буфер обмена ПП2302 Выбрать курс Все курсы профессиональной переподготовки