Системы уравнений 3 на 3 контрольная работа

Контрольная работа по алгебре 7 класс по теме: «Системы уравнений»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

«Актуальность создания школьных служб примирения/медиации в образовательных организациях»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Контрольная работа по теме: «Системы уравнений»

Решите методом подстановки систему уравнений:

Решите методом сложения систему уравнений:

Решите графически систему уравнений:

Из двух сёл, расстояние между которыми равно 20 км, одновременно вышли навстречу друг другу два пешехода и встретились через 2 ч после начала движения. Найдите скорость каждого пешехода, если известно, что первый пешеход проходит за 4 ч на 12 км больше, чем второй за 3 ч.

Решите систему уравнений:

7 х + 5у = 19, 3х — 2у = 6,

4 х- 3у= 5; 12х-8у = 20.

Контрольная работа по теме: «Системы уравнений»

Решите методом подстановки систему уравнений:

Решите методом сложения систему уравнений:

Решите графически систему уравнений:

4. Из двух городов, расстояние между которыми равно 52 км, одновременно выехали навстречу друг другу два велосипедиста и встретились через 2 ч после начала движения. Найдите скорость каждого велосипедиста, если известно, что первый велосипедист проезжает за 3 ч на 18 км больше, чем второй за 2 ч.

5. Решите систему уравнений:

3 х — 2у = 5, 5х — 4у = 8,

11 х+ 3у= 39; 15х-12у = 18.

Контрольная работа по теме: «Системы уравнений»

Решите методом подстановки систему уравнений:

Решите методом сложения систему уравнений:

Решите графически систему уравнений:

За 5 ручек и 4 карандаша заплатили 96 р. Сколько стоит ручка и сколько карандаш, если 3 ручки дороже, чем 2 карандаша, на 18р.?

5.Решите систему уравнений:

3 х — у = 3, 2х — 3у = 1,

3 х- 2у= 0; 3х+ у = 7.

Контрольная работа по теме: «Системы уравнений»

Решите методом подстановки систему уравнений:

Решите методом сложения систему уравнений:

Решите графически систему уравнений:

4. Моторная лодка за 2 ч движения по течению реки и 5 ч против течения проходит 120 км. Найдите скорость по течению и её скорость против течения, если за 7 ч движения против течения она проходит на 52 км больше, чем за 3 ч движения по течению.

5. Решите систему уравнений:

2 х + у = 1, х + у = 6,

5 х+2у= 0; 5х-2у = 9.

Контрольная работа по теме: «Системы уравнений»

Решите методом подстановки систему уравнений:

Решите методом сложения систему уравнений:

Решите графически систему уравнений:

Петя с Димой собирают марки. Если Петя отдаст Диме 10 своих марок, то у мальчиков станет поровну. Если же Петя отдаст Диме 50 марок, то у него останется в 5 раз меньше марок, чем станет у Димы. Сколько марок в коллекции у каждого мальчика?

5. Решите систему уравнений:

х +5у = 7, х + у = 7,

3 х+2у= -5; 5х-7у = 11.

Контрольная работа по теме: «Системы уравнений»

Решите методом подстановки систему уравнений:

Решите методом сложения систему уравнений:

Решите графически систему уравнений:

За 7 тетрадей и 4 ручки заплатили 130 р. После того как тетради подешевели на 40 %, а ручки — 20 %, одна ручка стала дороже одной тетради на 6 р. Сколько стоила ручка и тетрадь первоначально?

5. Решите систему уравнений:

4 х -3 у =- 1, х + 2 у = -2,

Контрольная работа по теме: «Системы уравнений»

Решите методом подстановки систему уравнений:

Решите методом сложения систему уравнений:

Решите графически систему уравнений:

За 7 кг апельсинов и 4 кг лимонов заплатили 700 р. Сколько стоит 1 кг апельсинов и сколько 1 кг лимонов, если 5 кг апельсинов дороже, чем 2 кг лимонов, на 160 р.?

5. Решите систему уравнений:

2 х -5 у = -7, х — у = 3,

Х -3у= -5; 3х+ 4у = 2.

Контрольная работа по теме: «Системы уравнений»

Решите методом подстановки систему уравнений:

Решите методом сложения систему уравнений:

Решите графически систему уравнений:

4. Лодка за 3 ч движения по течению реки и 4 ч против течения проходит 114 км. Найдите скорость лодки по течению и её скорость против течения, если за 6 ч движения против течения она проходит такой же путь, как за 5 ч по течению.

5. Решите систему уравнений:

3 х -5 у = 16, 2 х +3 у = -7,

Контрольная работа по теме: «Системы уравнений»

Решите методом подстановки систему уравнений:

Решите методом сложения систему уравнений:

Решите графически систему уравнений:

В двух ящиках лежат яблоки. Если из первого ящика переложить во второй 45 яблок, то в ящиках их станет поровну. Если же из второго ящика переложить в первый 20 яблок, то в первом станет в 3 раза больше яблок, чем во втором. Сколько яблок лежит в каждом ящике?

5. Решите систему уравнений:

2 х + 5у = -7, х -3 у = 8,

3 х- у= 15; 2х-у = 6.

Контрольная работа по теме: «Системы уравнений»

Решите методом подстановки систему уравнений:

Решите методом сложения систему уравнений:

Решите графически систему уравнений:

Известно, что 2 стола и 6 стульев стоили 7 600 р. После того как столы подешевели на 10 %, а стулья — на 20 % , стол и два стула стали стоить 2 760 р. Какова была начальная цена одного стола и одного стула?

5. Решите систему уравнений:

2 х -3 у = 5, х -4 у = -1,

Контрольная работа по теме: «Системы уравнений»

Решите методом подстановки систему уравнений:

Решите методом сложения систему уравнений:

Решите графически систему уравнений:

Один металлический слиток содержит 30 % меди, второй — 70 % меди. Сколько килограммов каждого слитка надо взять, чтобы получить 120 кг сплава, содержащего 40 % меди?

5. Решите систему уравнений:

5 х -4 у = 12, 6 х + у = 5,

Контрольная работа по теме: «Системы уравнений»

Решите методом подстановки систему уравнений:

Решите методом сложения систему уравнений:

Решите графически систему уравнений:

Сумма цифр двузначного числа равна 8. Если поменять местами его цифры, то получим число, которое больше данного на 18. Найдите данное число.

5. Решите систему уравнений:

2 х -3у = 11, х -6 у = -2,

5 х+у= 2; 2х+3у = 11.

Контрольная работа по теме: «Системы уравнений»

Решите методом подстановки систему уравнений:

Решите методом сложения систему уравнений:

Решите графически систему уравнений:

Расстояние между двумя пунктами по реке равно 80 км. Это расстояние лодка проплывает по течению реки за 4 ч, а против течения — за 5 ч. Найдите собственную скорость лодки и скорость течения реки.

5. Решите систему уравнений:

3 х -2у = 16, 2 х + 3 у = 3,

Контрольная работа по теме: «Системы уравнений»

Решите методом подстановки систему уравнений:

Решите методом сложения систему уравнений:

Решите графически систему уравнений:

Два пешехода отправились одновременно навстречу друг другу из пунктов М и N , расстояние между которыми 38 км. Через 4 ч расстояние между ними сократилось до 2 км, а еще через 3 ч первому пешеходу осталось пройти до пункта N на 7 км меньше, чем второму до М. Найдите скорости пешеходов.

5. Решите систему уравнений:

4 х -2 у = -6, 3 х + 2 у = 8,

6 х+у= 11; 2х+6у = 10.

Контрольная работа по теме: «Системы уравнений»

Решите методом подстановки систему уравнений:

Решите методом сложения систему уравнений:

Решите графически систему уравнений:

Из пунктов А и В, расстояние между которыми 30 км, навстречу друг другу одновременно вышли два пешехода и встретились через 3 ч 20 мин. Если бы первый вышел на 2 ч раньше второго, то встреча произошла бы через 2,5 ч после выхода второго. Найдите скорости пешеходов.

5. Решите систему уравнений:

5 х + у = 14, 3 х -2 у = 5,

3 х-2у= -2; 2х+5у = 16.

Контрольная работа по теме: «Системы уравнений»

Решите методом подстановки систему уравнений:

Решите методом сложения систему уравнений:

Решите графически систему уравнений:

Катер за 4 ч по течению реки проплывает на 10 км меньше, чем за 6 ч против течения. Найдите собственную скорость катера, если плот по этой реке за 15 ч проплывает такое же расстояние, что и катер за 2 ч по озеру.

5. Решите систему уравнений:

х + 4у = 7, 2 х — 3 у = 5,

х -2у= -5; 3х+ 2у = 14.

Контрольная работа по теме: «Системы уравнений»

Решите методом подстановки систему уравнений:

Решите методом сложения систему уравнений:

Решите графически систему уравнений:

Теплоход 120 км проходит за 5 ч против течения реки и 180 км за 6 ч по течению. Найдите скорость течения реки и собственную скорость теплохода.

5. Решите систему уравнений:

х -2у = 7, 4 х -6 у =2 6,

Контрольная работа по теме: «Системы уравнений»

Решите методом подстановки систему уравнений:

Решите методом сложения систему уравнений:

Решите графически систему уравнений:

По течению реки лодка за 3 ч 20 мин проходит расстояние 30 км, а против течения за 4 ч — расстояние 28 км. Какое расстояние по озеру пройдет лодка за 1,5 ч?

5. Решите систему уравнений:

х + 3у = 7 , 8 х + 3 у = -21,

Контрольная работа по теме: «Системы уравнений»

Решите методом подстановки систему уравнений:

Решите методом сложения систему уравнений:

Решите графически систему уравнений:

Найдите два числа, если известно, что утроенная разность этих чисел на 6 больше их суммы, а удвоенная разность этих чисел на 9 больше их суммы.

5. Решите систему уравнений:

х -2 у = 8, 8 х + 2 у = 11,

х -3у= 6; 6х-4у = 11.

Контрольная работа по теме: «Системы уравнений»

Решите методом подстановки систему уравнений:

Решите методом сложения систему уравнений:

Решите графически систему уравнений:

Два тракториста вспахали вместе 678 га. Первый тракторист работал 8 дней, а второй — 11 дней. Сколько гектаров вспахивал за день каждый тракторист, если первый тракторист за каждые 3 дня вспахивал на 22 га меньше, чем второй за 4 дня?

5. Решите систему уравнений:

2 х — у = 13, 7 х + 3 у = 1,

2 х+3у= 9; 2х-6у = -10.

Контрольная работа по теме: «Системы уравнений»

Решите методом подстановки систему уравнений:

Решите методом сложения систему уравнений:

Решите графически систему уравнений:

Две бригады работали на уборке картофеля. В первый день одна бригада работала 2 ч, а вторая — 3 ч, причем ими было собрано 23 ц картофеля. Во второй день первая бригада за 3 ч работы собрала на 2 ц больше, чем вторая за 2 ч. Сколько центнеров картофеля собирала каждая бригада за 1 ч работы?

5. Решите систему уравнений:

2 х + 3у = 10, 3 х -2 у = 5 ,

Контрольная работа по теме: «Системы уравнений»

Решите методом подстановки систему уравнений:

Решите методом сложения систему уравнений:

Решите графически систему уравнений:

Зерно перевозилось на двух автомашинах различной грузоподъемности. В первый день было вывезено 27 т зерна, причем одна машина сделала 4 рейса, а другая — 3 рейса. На следующий день вторая машина за 4 рейса перевезла на 11 т зерна больше, чем первая машина за 3 рейса. Сколько тонн зерна перевозили на каждой машине за один рейс?

5. Решите систему уравнений:

2 х + у = -5, 2 х + 3 у = 1,

Контрольная работа по теме: «Системы уравнений»

Решите методом подстановки систему уравнений:

Решите методом сложения систему уравнений:

Решите графически систему уравнений:

Для перевозки руды из карьера были отправлены пятитонные и трехтонные самосвалы. За 1 рейс пятитонные самосвалы перевозят руды на 18 т больше, чем трехтонные. За ра бочий день пятитонные самосвалы совершили 4 рейса, а трех тонные — 6 рейсов, и всего ими перевезено за день 192 т руды. Сколько самосвалов каждой грузоподъемности перевозили руду?

5. Решите систему уравнений:

5 х + у = 7, 6 х -5 у = 23,

7 х -4у= -1; 2х-7у = 13.

Контрольная работа по теме: «Системы уравнений»

Решите методом подстановки систему уравнений:

Решите методом сложения систему уравнений:

3. Решите графически систему уравнений:

На рынке было закуплено 84 кг черешни и вишни, причем черешни куплено на 3 ящика меньше, чем вишни. Сколько ящиков черешни и вишни закуплено по отдельности, если в 1 ящике черешни 8 кг, а вишни 10 кг?

5. Решите систему уравнений:

5 х -2у = 16, 5 х -4 у = 10,

8 х+3у= 38; 2х-3у = -3.

Контрольная работа по теме: «Системы уравнений»

Решите методом подстановки систему уравнений:

Решите методом сложения систему уравнений:

Решите графически систему уравнений:

Двое рабочих изготовили 162 детали. Первый работал 8 дней, а второй — 15 дней. Сколько деталей изготовил каждый рабочий, если первый изготовил за 5 дней на 3 детали больше, чем второй за 7 дней?

5. Решите систему уравнений:

4 х +6у = 9, 9 х -13 у = 22,

3 х -5у= 2; 2х +3у = -1.

Контрольная работа по теме: «Системы уравнений»

Решите методом подстановки систему уравнений:

Решите методом сложения систему уравнений:

Решите графически систему уравнений:

Из двух сёл, расстояние между которыми равно 20 км, одновременно вышли навстречу друг другу два пешехода и встретились через 2 ч после начала движения. Найдите скорость каждого пешехода, если известно, что первый пешеход проходит за 4 ч на 12 км больше, чем второй за 3 ч.

5. Решите систему уравнений:

4 х -3у = 15, 2 х -3 у = 2,

3 х -4у= 6; 5х+2у = 24.

Контрольная работа по теме: «Системы уравнений»

Решите методом подстановки систему уравнений:

Решите методом сложения систему уравнений:

Решите графически систему уравнений:

4. Из двух городов, расстояние между которыми равно 52 км, одновременно выехали навстречу друг другу два велосипедиста и встретились через 2 ч после начала движения. Найдите скорость каждого велосипедиста, если известно, что первый велосипедист проезжает за 3 ч на 18 км больше, чем второй за 2 ч.

5. Решите систему уравнений:

5у-6х = 4, 4 х +5 у = 1,

7 х -4у= -1; 8х-2у = 38.

Контрольная работа по теме: «Системы уравнений»

Решите методом подстановки систему уравнений:

Решите методом сложения систему уравнений:

Решите графически систему уравнений:

За 5 ручек и 4 карандаша заплатили 96 р. Сколько стоит ручка и сколько карандаш, если 3 ручки дороже, чем 2 карандаша, на 18р.?

5. Решите систему уравнений:

5 х -4у = 3, 8 х -2 у = 11,

2 х -3у= 11; 9х +4у = 8.

Контрольная работа по теме: «Системы уравнений»

Решите методом подстановки систему уравнений:

Решите методом сложения систему уравнений:

Решите графически систему уравнений:

Моторная лодка за 2 ч движения по течению реки и 5 ч против течения проходит 120 км. Найдите скорость по течению и её скорость против течения, если за 7 ч движения против течения она проходит на 52 км больше, чем за 3 ч движения по течению.

5. Решите систему уравнений:

5 х + 2у = 15, 7 х + 4 у = 5,

8 х+3у= 20; 3х+2у = 3.

Контрольная работа по теме: «Системы уравнений»

Решите методом подстановки систему уравнений:

Решите методом сложения систему уравнений:

Решите графически систему уравнений:

4.Леша с Димой собирают марки. Если Леша отдаст Диме 10 своих марок, то у мальчиков станет поровну. Если же Леша отдаст Диме 50 марок, то у него останется в 5 раз меньше марок, чем станет у Димы. Сколько марок в коллекции у каждого мальчика?

5. Решите систему уравнений:

8 х -5у = -1 1, 6 х -5 у = -38,

5 х -4у= -6; 2х +7у = 22.

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

• Сейчас обучается 949 человек из 80 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

• Сейчас обучается 681 человек из 75 регионов

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

• Сейчас обучается 314 человек из 70 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Дистанционные курсы для педагогов

Самые массовые международные дистанционные

Школьные Инфоконкурсы 2022

33 конкурса для учеников 1–11 классов и дошкольников от проекта «Инфоурок»

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 568 561 материал в базе

Материал подходит для УМК

«Алгебра», Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С.

Глава 4. Системы линейных уравнений с двумя переменными

Другие материалы

• 16.08.2020
• 10025
• 175

• 16.08.2020
• 59708
• 1117

• 16.08.2020
• 1863
• 16

• 16.08.2020
• 223
• 6

• 14.08.2020
• 375
• 5

• 12.08.2020
• 152
• 6

• 11.08.2020
• 167
• 13

• 03.08.2020
• 499
• 75

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Добавить в избранное

• 16.08.2020 21688
• DOCX 67.7 кбайт
• 672 скачивания
• Рейтинг: 5 из 5
• Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Ханаева Татьяна Петровна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

• На сайте: 4 года
• Подписчики: 0
• Всего просмотров: 149170
• Всего материалов: 44

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

В Воронеже продлили удаленное обучение для учеников 5-11-х классов

Время чтения: 1 минута

ЕГЭ в 2022 году будут сдавать почти 737 тыс. человек

Время чтения: 2 минуты

В Забайкалье в 2022 году обеспечат интернетом 83 школы

Время чтения: 1 минута

Тринадцатилетняя школьница из Индии разработала приложение против буллинга

Время чтения: 1 минута

Объявлен конкурс дизайн-проектов для школьных пространств

Время чтения: 2 минуты

Рособрнадзор не планирует переносить досрочный период ЕГЭ

Время чтения: 0 минут

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Контрольная работа «Системы уравнений» 9 класс

Контрольная работа № 3 «Системы уравнений»

Просмотр содержимого документа
«Контрольная работа «Системы уравнений» 9 класс»

Контрольная работа № 3 «Системы уравнений»

1 о . Решите методом подстановки систему уравнений a) ху = 4,

б)

2 о .Решите методом алгебраической подстановки систему уравнений

3 о . Решите методом замены переменных систему уравнений

2(х + у) 2 – 7(х + у) + 3 = 0,

4. Решите графически систему уравнений:

5. Ре­ши­те си­сте­му урав­не­ний

6 * . Площадь прямоугольного треугольника равна 15 дм 2 , а сумма его катетов равна 11дм. Найдите катеты.

Контрольная работа № 3 «Системы уравнений»

1 о . Решите методом подстановки систему уравнений а) ху = 2,

б)

2 о .Решите методом алгебраической подстановки систему уравнений

3y 2 — xy=14

3 о . Решите методом замены переменных систему уравнений

2(х + у) 2 – 7(х + у) + 3 = 0,

4. Решите графически систему уравнений:

5. Ре­ши­те си­сте­му урав­не­ний

6*.Площадь прямоугольника равна 12 дм 2 , а его периметр равен 14 дм. Найдите стороны прямоугольника.

Контрольная работа на тему: системы линейных уравнений

Системы линейных уравнений

Задание: Решение систем линейных уравнений по правилу Крамера и методом Гаусса.

Цель: формирование умения решать системы линейных уравнений по правилу Крамера и методом Гаусса.

Задание для самостоятельной внеаудиторной работы:

5.1. Изучите теоретические основы решения системы линейных уравнений по правилу Крамера и методом Гаусса.

5.2. Решите систему уравнений, используя правило Крамера:

5.3. Решите систему линейных уравнений по методу Гаусса:

5.4. Фирма для перевозки грузов может заказывать машины трех видов. Если она закажет по одной машине каждого вида, то перевезёт 12 тонн груза. Если закажет по две машины первого и второго вида и одну машину третьего вида, то перевезёт 19 тонн груза. Если же фирма закажет по две машины первого и третьего вида и одну машину второго вида, то перевезёт 20 тонн груза. Какова грузоподъемность каждого вида машин?

Методические указания по выполнению работы:

Для решения систем линейных уравнений применяют правило Крамера и метод Гаусса.

1. Правило Крамера решения системы линейных уравнений с неизвестными.

Система линейных уравнений с неизвестными имеет единственное решение, если определитель , составленный из коэффициентов при неизвестных, отличен от нуля:

где — определитель, полученный из определителя заменой столбца коэффициентов при столбцом свободных членов;

— определитель, полученный из определителя заменой столбца коэффициентов при столбцом свободных членов;

— определитель, полученный из определителя заменой столбца коэффициентов при столбцом свободных членов.

Пример 1.

Решите систему уравнений по правилу Крамера:

Решение:

Составим определитель из коэффициентов при неизвестных и вычислим его:

Определитель отличен от 0, следовательно, система имеет единственное решение. Для его нахождения вычислим , и :

По правилу Крамера найдем неизвестные:

Замечание. Для проверки правильности решения системы уравнений необходимо подставить найденные значения неизвестных в каждое из уравнений данной системы. При этом, если все уравнения обратятся в тождества, то система решена верно.

Истинно.

Итак, решение системы найдено правильно.

Ответ:

2. Метод Гаусса решения систем линейных уравнений

1. Составьте расширенную матрицу системы — матрицу, состоящую из коэффициентов при неизвестных и столбца свободных членов.
2. С помощью элементарных преобразований приведите полученную матрицу к ступенчатому виду.
3. Восстановите систему линейных уравнений, равносильную исходной, начиная с последнего уравнения, и найдите значения неизвестных.

Метод Гаусса является более универсальным, чем правило Крамера, так как позволяет находить решения в следующих случаях:

1. число уравнений не равно числу неизвестных.
2. если в правиле Крамера .

Ответ на вопрос о существовании и количестве решений системы линейных уравнений дает теорема Кронекера-Капелли (критерий совместности системы линейных уравнений): система линейных уравнений с неизвестными совместна тогда и только тогда, когда ранг основной матрицы (матрицы, составленной из коэффициентов при неизвестных) равен рангу расширенной матрицы , причем:

1. если (ранг матрицы равен числу неизвестных), то система имеет единственное решение;
2. если (ранг матрицы меньше числа неизвестных), то система имеет бесконечное множество решений.

Все возможные случаи решения системы линейных уравнений (одно решение, нет решений, множество решений) разобраны в примерах 2-4.

Пример 2.

Решите систему уравнений методом Гаусса:

Решение:

Выпишем расширенную матрицу системы и приведем её к ступенчатому виду:

Поменяем местами первую и третью строки матрицы, что равносильно перестановке первого и третьего уравнений системы. Это позволит нам избежать появления дробных коэффициентов
при последующих вычислениях.

Первую строку полученной матрицы умножаем последовательно на (-2) и (-3) и сложим соответственно со второй и третьей строками, при этом будет иметь вид:

Для упрощения вычислений умножим третью строку на (-0,1) и поменяем ее местами со второй строкой. Тогда получим:

Далее, умножая вторую строку матрицы на 9 и складывая с третьей, окончательно получим:

Восстановим из полученной матрицы систему уравнений, равносильную данной, начиная с последнего уравнения:

Из последнего уравнения находим: .

Подставим во второе уравнение системы: .

После подстановки и в первое уравнение получим: ; . Итак, .

Следовательно, решение системы найдено верно.

Ответ: .

Пример 3.

Найдите все решения системы линейных уравнений:

Решение:

Составим расширенную матрицу системы и приведем ее к ступенчатому виду.

Домножим первую строку на (-2) и сложим ее со второй строкой:

Сложим первую и третью строки:

Домножим вторую строку на 2 и сложим ее с третьей строкой:

Вычеркнем нулевую строку:

Видим, что ранг основной матрицы равен рангу расширенной матрицы и равен двум. Следовательно, в силу критерия Кронеккера-Капелли, система имеет решения. Так как ранг матрицы (два) меньше числа неизвестных (три), то система имеет бесчисленное множество решений. Найдем эти решения.

Восстановим систему уравнений, равносильную исходной:

Пусть — свободная переменная, которая может принимать любые числовые значения. Выразим из первого уравнения : .

Подставим данное выражение во второе уравнение:

Такое решение будем называть общим решением системы. Запишем общее решение системы в виде тройки чисел: .

Ответ: .

Пример 4.

Докажите, что система линейных уравнений не имеет решений:

Решение:

Составим расширенную матрицу системы и приведем ее к ступенчатому виду.

Домножим первую строку на (-3) и сложим ее со второй строкой:

Домножим первую строку на 2 и сложим ее с третьей строкой:

Сложим вторую и третью строки:

Видим, что ранг основной матрицы (2) не равен рангу расширенной матрицы (3). Следовательно, в силу критерия Кронеккера-Капелли, система не имеет решений.

На этой странице вы сможете посмотреть все остальные темы готовых контрольных работ по высшей математике:

Обратите внимание на похожие контрольные работы возможно они вам будут полезны:

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.

© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института