Системы уравнений 9 класс метод замены

Методы решения систем уравнений с двумя переменными

п.1. Метод подстановки

Вариант 1
Шаг 1. Из одного уравнения выразить y через x: y(x).
Шаг 2. Подставить полученное выражение во второе уравнение и найти x.
Шаг 3. Подставить найденный x в y(x) и найти y.
Шаг 4. Записать полученные пары решений. Работа завершена.

Вариант 2
Шаг 1. Из одного уравнения выразить x через y: x(y).
Шаг 2. Подставить полученное выражение во второе уравнение и найти y.
Шаг 3. Подставить найденный y в x(y) и найти x.
Шаг 4. Записать полученные пары решений. Работа завершена.

п.2. Метод сложения

п.3. Метод замены переменных

Иногда удобно ввести новые переменные и решить систему для них.
А затем, вернуться к исходным переменным и найти их значения.

п.4. Графический метод

Графический метод подробно рассмотрен в §15 данного справочника.

п.5. Примеры

Пример 1. Решите систему уравнений:
а) \( \left\< \begin < l >\mathrm & \\ \mathrm & \end\right. \)
Решаем методом подстановки: \( \left\< \begin < l >\mathrm & \\ \mathrm & \end\right. \)
Для нижнего уравнения: \( \mathrm \)
Подставляем в верхнее уравнение: \( \mathrm \)

б) \( \left\< \begin < l >\mathrm & \\ \mathrm <(x^2+y^2)xy=10>& \end\right. \)
Замена переменных: \( \left\< \begin < l >\mathrm & \\ \mathrm & \end\right. \)
Выразим (x 2 + y 2 ) через a и b:
x 2 + y 2 = (x 2 + y 2 + 2xy) – 2xy = (x + y) 2 – 2xy = a 2 – 2b
Подставляем: \( \left\< \begin < l >\mathrm & \\ \mathrm <(a^2-2b)b=10>& \end\right.\Rightarrow \left\< \begin < l >\mathrm & \\ \mathrm <9b-2b^2=10>& \end\right. \)
Решаем нижнее уравнение: 2b 2 – 9b + 10 = 0 $$ \mathrm< D=9^2-4\cdot 2\cdot 10=1,\ \ b=\frac<9\pm 1><4>> = \left[\begin < l >\mathrm & \\ \mathrm & \end\right. $$ Возвращаемся к исходным переменным: \( \left[\begin < l >\left\<\begin < l >\mathrm & \\ \mathrm & \end\right.& \\ \left\<\begin < l >\mathrm & \\ \mathrm & \end\right. \end\right. \)

Как решать систему уравнений

О чем эта статья:

8 класс, 9 класс, ЕГЭ/ОГЭ

Основные понятия

Алгебра в 8 и 9 классе становится сложнее. Но если изучать темы последовательно и регулярно практиковаться в тетрадке и онлайн — ходить на уроки математики будет не так страшно.

Уравнение — это математическое равенство, в котором неизвестна одна или несколько величин. Значение неизвестных нужно найти так, чтобы при их подстановке в исходное уравнение получилось верное числовое равенство.

Например, возьмем 3 + 4 = 7. При вычислении левой части получается верное числовое равенство, то есть 7 = 7.

Уравнением можно назвать, например, равенство 3 + x = 7 с неизвестной переменной x, значение которой нужно найти. Результат должен быть таким, чтобы знак равенства был оправдан, и левая часть равнялась правой.

Система уравнений — это несколько уравнений, для которых надо найти значения неизвестных, каждое из которых соответствует данным уравнениям.

Так как существует множество уравнений, составленных с их использованием систем уравнений также много. Поэтому для удобства изучения существуют отдельные группы по схожим характеристикам. Рассмотрим способы решения систем уравнений.

Линейное уравнение с двумя переменными

Уравнение вида ax + by + c = 0 называется линейным уравнением с двумя переменными x и y, где a, b, c — числа.

Решением этого уравнения называют любую пару чисел (x; y), которая соответствует этому уравнению и обращает его в верное числовое равенство.

Теорема, которую нужно запомнить: если в линейном уравнение есть хотя бы один не нулевой коэффициент при переменной — его графиком будет прямая линия.

Вот алгоритм построения графика ax + by + c = 0, где a ≠ 0, b ≠ 0:

Дать переменной 𝑥 конкретное значение x = x₁, и найти значение y = y₁ при ax₁ + by + c = 0.

Дать x другое значение x = x₂, и найти соответствующее значение y = y₂ при ax₂ + by + c = 0.

Построить на координатной плоскости xy точки: (x₁; y₁); (x₂; y₂).

Провести прямую через эти две точки и вуаля — график готов.

Нужно быстро привести знания в порядок перед экзаменом? Записывайтесь на курсы ЕГЭ по математике в Skysmart!

Система двух линейных уравнений с двумя переменными

Для ax + by + c = 0 можно сколько угодно раз брать произвольные значение для x и находить значения для y. Решений в таком случае может быть бесчисленное множество.

Система линейных уравнений (ЛУ) с двумя переменными образуется в случае, когда x и y связаны не одним, а двумя уравнениями. Такая система может иметь одно решение или не иметь решений совсем. Выглядит это вот так:

Из первого линейного уравнения a₁x + b₁y + c₁ = 0 можно получить линейную функцию, при условии если b₁ ≠ 0: y = k₁x + m₁. График — прямая линия.

Из второго ЛУ a₂x + b₂y + c₂ = 0 можно получить линейную функцию, если b₂ ≠ 0: y = k₂x + m₂. Графиком снова будет прямая линия.

Можно записать систему иначе:

Множеством решений первого ЛУ является множество точек, лежащих на определенной прямой, аналогично и для второго ЛУ. Если эти прямые пересекаются — у системы есть единственное решение. Это возможно при условии, если k₁ ≠ k₂.

Две прямые могут быть параллельны, а значит, они никогда не пересекутся и система не будет иметь решений. Это возможно при следующих условиях: k₁ = k₂ и m₁ ≠ m₂.

Две прямые могут совпасть, и тогда каждая точка будет решением, а у системы будет бесчисленное множество решений. Это возможно при следующих условиях: k₁ = k₂ и m₁ = m₂.

Метод подстановки

Разберем решение систем уравнений методом подстановки. Вот алгоритм при переменных x и y:

Выразить одну переменную через другую из более простого уравнения системы.

Подставить то, что получилось на место этой переменной в другое уравнение системы.

Решить полученное уравнение, найти одну из переменных.

Подставить поочередно каждый из найденных корней в уравнение, которое получили на первом шаге, и найти второе неизвестное значение.

Записать ответ. Ответ принято записывать в виде пар значений (x; y).

Потренируемся решать системы линейных уравнений методом подстановки.

Пример 1

Решите систему уравнений:

x − y = 4
x + 2y = 10

Выразим x из первого уравнения:

x − y = 4
x = 4 + y

Подставим получившееся выражение во второе уравнение вместо x:

x + 2y = 10
4 + y + 2y = 10

Решим второе уравнение относительно переменной y:

4 + y + 2y = 10
4 + 3y = 10
3y = 10 − 4
3y = 6
y = 6 : 3
y = 2

Полученное значение подставим в первое уравнение вместо y и решим уравнение:

x − y = 4
x − 2 = 4
x = 4 + 2
x = 6

Ответ: (6; 2).

Пример 2

Решите систему линейных уравнений:

x + 5y = 7
3x = 4 + 2y

Сначала выразим переменную x из первого уравнения:

x + 5y = 7
x = 7 − 5y

Выражение 7 − 5y подставим вместо переменной x во второе уравнение:

3x = 4 + 2y
3 (7 − 5y) = 4 + 2y

Решим второе линейное уравнение в системе:

3 (7 − 5y) = 4 + 2y
21 − 15y = 4 + 2y
21 − 15y − 2y = 4
21 − 17y = 4
17y = 21 − 4
17y = 17
y = 17 : 17
y = 1

Подставим значение y в первое уравнение и найдем значение x:

x + 5y = 7
x + 5 = 7
x = 7 − 5
x = 2

Ответ: (2; 1).

Пример 3

Решите систему линейных уравнений:

x − 2y = 3
5x + y = 4

Из первого уравнения выразим x:

x − 2y = 3
x = 3 + 2y

Подставим 3 + 2y во второе уравнение системы и решим его:

5x + y = 4
5 (3 + 2y) + y = 4
15 + 10y + y = 4
15 + 11y = 4
11y = 4 − 15
11y = −11
y = −11 : 11
y = −1

Подставим получившееся значение в первое уравнение и решим его:

x − 2y = 3
x − 2 (−1) = 3
x + 2 = 3
x = 3 − 2
x = 1

Ответ: (1; −1).

Метод сложения

Теперь решим систему уравнений способом сложения. Алгоритм с переменными x и y:

При необходимости умножаем почленно уравнения системы, подбирая множители так, чтобы коэффициенты при одной из переменных стали противоположными числами.

Складываем почленно левые и правые части уравнений системы.

Решаем получившееся уравнение с одной переменной.

Находим соответствующие значения второй переменной.

Запишем ответ в в виде пар значений (x; y).

Система линейных уравнений с тремя переменными

Системы ЛУ с тремя переменными решают так же, как и с двумя. В них присутствуют три неизвестных с коэффициентами и свободный член. Выглядит так:

Решений в таком случае может быть бесчисленное множество. Придавая двум переменным различные значения, можно найти третье значение. Ответ принято записывать в виде тройки значений (x; y; z).

Если x, y, z связаны между собой тремя уравнениями, то образуется система трех ЛУ с тремя переменными. Для решения такой системы можно применять метод подстановки и метод сложения.

Решение задач

Разберем примеры решения систем уравнений.

Задание 1. Как привести уравнение к к стандартному виду ах + by + c = 0?

5x − 8y = 4x − 9y + 3

5x − 8y = 4x − 9y + 3

5x − 8y − 4x + 9y = 3

Задание 2. Как решать систему уравнений способом подстановки

Выразить у из первого уравнения:

Подставить полученное выражение во второе уравнение:

Найти соответствующие значения у:

Задание 3. Как решать систему уравнений методом сложения

1. Решение систем линейных уравнений начинается с внимательного просмотра задачи. Заметим, что можно исключить у. Для этого умножим первое уравнение на минус два и сложим со вторым:

1. Решаем полученное квадратное уравнение любым способом. Находим его корни:

1. Найти у, подставив найденное значение в любое уравнение:

1. Ответ: (1; 1), (1; -1).

Задание 4. Решить систему уравнений

Решим второе уравнение и найдем х = 2, х = 5. Подставим значение переменной х в первое уравнение и найдем соответствующее значение у.

Задание 5. Как решить систему уравнений с двумя неизвестными

При у = -2 первое уравнение не имеет решений, при у = 2 получается:

Урок алгебры в 9-м классе «Системы уравнений второй степени»

Разделы: Математика

Цели урока:

• Систематизировать, расширить и углубить знания, умения учащихся применять различные способы решения систем уравнений второй степени с учетом дифференцированного подхода.
• Способствовать развитию наблюдательности, умения анализировать, сравнивать, делать выводы.
• Побуждать учеников к самоконтролю, вызывать у них потребность в обосновании своих высказываний.

Оборудование:

• Мультимедийный проектор, экран .
• Компьютеры
• CD-диск “Интерактивный задачник. Алгебра 9. Решаем задачи из учебника под ред. С. А. Теляковского”
• Рабочая карта урока.

Тип урока. Урок систематизации и проверки знаний, умений и навыков.

Ход урока

Презентация

1. Организационный момент (3 мин).

Здравствуйте! Сегодняшний урок мне хотелось бы начать словами великого ученого и политика Альберта Эйнштейна (слайд):

“Мне приходится делить время между политикой и уравнениями. Однако уравнение, по-моему, гораздо важнее. Политика существует только для данного момента, а уравнения будут существовать вечно”.

Тема нашего сегодняшнего урока “Системы уравнений второй степени” (слайд). Мы повторим, закрепим изученные способы решения систем уравнений, познакомимся с новыми, попробуем свои силы в ходе выполнении теста и самостоятельного решения систем. У вас у всех есть “Рабочая карта урока”, куда вы будете заносить свои оценки за каждый этап урока, а затем подведете итог и выставите итоговую оценку за урок, которая пойдет в журнал.

Рабочая карта урока

Фамилия, имя _____________________________________________

А девизом урока будут слова “Дорогу осилит идущий, а математику – мыслящий” (слайд).

1. Устная работа (4 мин).

Знаете ли вы, ребята, что означает словосочетание “блицтурнир”? Каково происхождение слова “блиц”? Давайте выясним это вместе. Сначала узнайте по таблице, из какого языка к нам попало это слово. Для этого решите задание и найдите верный ответ в таблице (слайд).

Задание. Решите систему уравнений:

Немецкий

Французский(2; 1)

(0,5; -0,5)

Теперь, когда вы узнали, что слово “блиц” пришло к нам из немецкого языка, давайте определим, что оно означает в переводе на русский язык. Для этого выполните ряд заданий и составьте слово соответственно найденным ответам.

Задания(слайды с заданиями).

1. Подберите решения системы уравнений.

Ответ: (15; -11) — М

1. Используя графические представления, определите, сколько решений имеет система:

Ответ: 1 – О

1. Используя теорему Виета и теорему, обратную теореме Виета, решите систему уравнений:

Ответ: (10; -2);(-2; 10) – Л

1. Решите систему уравнений:

Ответ: (20; 10) – Н

1. Используя графические представления, определите, сколько решений имеет система:

Ответ: 2 – И

1. На рисунке изображены графики функций у = х + 3, у = 1 — х и у = — х 2 – 2х + 3. Пользуясь рисунком, решите систему:

Ответ: (-3; 0); (0; 3) – Я.

Итак, “блицтурнир” — это молния. В телеигре “Что? Где? Когда?” всегда присутствует вопрос – “блиц”. Это означает, что на обдумывание вопроса время сокращается в три раза – три вопроса – за одну минуту, тогда как на другие вопросы время – 1 минута.

Давайте, ребята, мы с вами тоже сыграем в “блицтурнир”. Я буду задавать вопросы, вы же будете писать ответы в столбик (такой небольшой математический диктант).

1. Математический диктант (5 мин).

(Слайды с заданиями)

1. Найдите х + у:
2. Найдите ху:
3. Подберите решение системы уравнений:
4. Используя теорему Виета и теорему, обратную теореме Виета, решите систему уравнений:
5. Используя графические представления, определите, сколько решений имеет система уравнений:

Ответы: 1. 8; 2. 5,5; 3. (-1; 1); 4. (2; 1); 5. 3

Занесите, пожалуйста, оценки за диктант в рабочие карты.

1. Теоретический опрос (2мин).

(Слайд). “Кто не знает, в какую гавань он плывет, для того нет попутного ветра” . (Сенека).

• Что называется системой уравнений с двумя или несколькими переменными?
• Что значит решить систему уравнений?
• Сформулируйте алгоритм графического решения системы уравнений.
• Сформулируйте алгоритмы решения систем методом подстановки и методом сложения.

1. Творческое домашнее задание (5 мин).

(Слайды).

1. Системы симметрических уравнений (метод замены переменной)

Существует универсальный метод решения: вводится подстановка:

Преобразуем первое уравнение системы, прибавив к обеим частям ху.

х 2 + 2ху + у 2 = 4 + ху,

Используем универсальную подстановку:

Делаем обратную замену:

По теореме Виета z 2 + 3z + 5 = 0.

D = 9 – 20 3 – 2х 2 – 1 х – 1 3х 3 – 2х 2 – 1 = (х — 1)( 3х 2 + х + 1)

3х 3 – 3х 2 3х 2 + х + 1 D

1. Итог урока, домашнее задание (1 мин).

Поставьте оценку за решение упражнений с помощью таблицы согласно вашему этапу (слайд). Учитель выставляет оценки некоторым учащимся. Подведите итог. Запишите домашнее задание. Приложение 3.

А закончить урок я хочу словами великой женщины-математика Софьи Ковалевской (слайд):

Если в жизни ты хоть на мгновенье
Истину в сердце своем ощутил,
Если луч света сквозь мрак и
сомненье
Ярким сияньем твой путь озарил:
Что бы в решенье твоем неизменном
Рок ни назначил тебе впереди,
Память об этом мгновенье священном
Вечно храни, как святыню в груди.
Тучи сберутся громадой нестройной,
Небо покроется чёрною мглой,
С ясной решимостью, с верой
спокойной
Бурю ты встреть и померься с грозой.