Системы уравнений 9 класс окружность

Уравнение с двумя переменными и его график. Уравнение окружности

п.1. Понятие уравнения с двумя переменными

Мы уже знакомы со многими функциями и умеем их записывать в виде формул:
y = 2x + 5 – прямая, y = 5x 2 + 2x – 1 – парабола, \(\mathrm\) – гипербола.

Если записать такое выражение: x 2 (x + y) = 1 – y – в нём тоже есть две переменные x и y, и постоянная 1.

Для наших примеров:
F(x; y) = 2x – y + 5 = 0 – прямая
F(x; y) = 5x 2 + 2x – y – 1 = 0 – парабола
F(x; y) = \(\mathrm<\frac1x>\) – y = 0 – гипербола
F(x; y)=x 2 (x + y) + y – 1 = 0 – некоторая кривая (график — ниже).

п.2. Обобщенные правила преобразования графика уравнения

Пусть F(x; y) = 0 – исходный график некоторой функции

Симметричное отображение относительно оси OY

Симметричное отображение относительно оси OX

Центральная симметрия относительно начала координат

Параллельный перенос графика на a единиц вправо

Параллельный перенос графика на a единиц влево

Параллельный перенос графика на b единиц вниз

Параллельный перенос графика на b единиц вверх

Сжатие графика к оси OY в a раз

Сжатие графика к оси OX в b раз

F(x; by) = 0
0 Например:

Окружность с центром в точке O(2; 1) и радиусом R = 3 задаётся уравнением: $$ \mathrm <(x-2)^2+(y-1)^2=9>$$

п.4. Примеры

Пример 1. Постройте график уравнения:
а) 2x + 7y – 14 = 0
Выразим y из уравнения: \( \mathrm<7>=-\frac<2> + 2 > \) – это прямая

б) xy + 4 = 0
Выразим y из уравнения: \( \mathrm> \) – это гипербола

в) ( x+ 2) 2 + y 2 = 4
Это – уравнение окружности с центром O(–2; 0), радиусом \( \mathrm=2> \)

г) x 2 + 5y – 2 = 0
Выразим y из уравнения: \( \mathrm<5>> \) – это парабола

Пример 2*. Постройте график уравнения:
а) 2|x| + 5y = 10
\( \mathrm<5>=-\frac25|x|+2> \)
Строим график для \( \mathrm \), а затем отражаем его относительно оси OY в левую полуплоскость.

б) 3x + |y| = 6
|y| = –3x + 6
Строим график для y > 0: y = –3x + 6, а затем отражаем его относительно оси OX в нижнюю полуплоскость.

в) |x| + |y| = 2
|y| = –|x| + 2
Строим график для x > 0, y > 0: y = –x + 2, а затем отражаем его относительно осей OX и OY.

г) |x – 1| + |y – 2| = 4
Получим тот же ромб (квадрат), что и в (в), но его центр будет перенесен из начала координат в точку O(1; 2).

д) \(\mathrm<\frac<|x-1|><2>+2|y-2|=4>\)
Ромб по x растянется в 2 раза по диагонали, а по y – сожмётся в 2 раза по диагонали.

Пример 3. Постройте график уравнения:
а) x 2 + y 2 + 4x – 6y + 4 = 0
Выделим полные квадраты:
(x 2 + 4x + 4) + (y 2 – 6y + 9) – 9 = 0
(x + 2) 2 + (y – 3) 2 = 3 2 – уравнение окружности с центром (–2; 3), радиусом 3.

Системы уравнений окружности 9 класс

Открытый урок в 9 классе по математике на тему: «Графический способ решения систем уравнений»

«Управление общеобразовательной организацией:
новые тенденции и современные технологии»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Выбранный для просмотра документ pril1.ppt

Дистанционные курсы для педагогов

Описание презентации по отдельным слайдам:

ГРАФИЧЕСКИЙ СПОСОБ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ у х А В

«Три пути ведут к знанию: путь размышления – это путь самый благородный, путь подражания – это путь самый легкий и путь опыта – это путь самый горький». Конфуций. Настоящий ученик умеет выводить известное из неизвестного и этим приближается к учителю. И.Гёте

Графиком функции называют множество всех точек координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты – соответствующим значениям функции =f(x) у Функцией называют такую зависимость переменной у от переменной х, при которой каждому значению переменной х соответствует единственное значение переменной у

Линейная функция y = кх + b, где к и b некоторые числа График функции – прямая Если к>0 Если к 5 слайд

Прямая пропорциональность у = кх, где к – некоторое число График – прямая, проходящая через начало координат Если к>0 Если к 6 слайд

Обратная пропорциональность , где к – число, х ≠ 0 График — гипербола Если к 0

Квадратичная функция у = ах2 + bx + c, где а, b, с – числа и а ≠ 0 График — парабола Если а > 0

Если а 9 слайд

Уравнение окружности (х – а)2 + (у – b)2 = R2 а b R O где О(а; b) — центр окружности, R — радиус окружности

R Окружность с центром в начале координат х2 + у2 = R2

Графиком уравнения с двумя переменными называется, как вы знаете, множество точек координатной плоскости, координаты которых обращают уравнение в верное равенство. Причем иногда уравнения могут быть достаточно сложными, а графики таких уравнений – очень необычными по форме. Давайте рассмотрим несколько примеров таких уравнений, используемых в высшей математике.

Графиком этого уравнения будет кривая, называемая строфоидой

График этого уравнения называется лемнискатой Бернулли

График этого уравнения называется астроидой

Эта кривая называется кардиоидой

1. Выразите переменную у через переменную х: а) у –х 2 = 0 б) х + у + 2 = 0 в) 2х – у = — 3 г) ху = -12 2. Является ли пара чисел (1; 0) решением уравнения а) х2 +у = 1; б) ху + 3 = х; в) у(х + 2) = 0. 3. Что является решением системы уравнений с двумя переменными? 4. Какая из пар чисел является решением системы уравнений х – у = 3 х2 – у2 = 3 а) (6; 3); б) (-3; -6); в) (2; — 1); г) (3; 0) Да Нет Да 5. Из каких уравнений можно составить систему уравнений, решением которой будет пара чисел (2; 1) а) 2х — у = 3; б) 3х — 2у = 5; в) х2 + у2 = 4; г) ху = 2 2х – у = 3, ху = 2

ГРАФИЧЕСКИЙ СПОСОБ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ у х А В

Графический способ решения систем уравнений Вспомнить алгоритм решения систем уравнений графическим способом Уметь определять сколько решений может иметь система уравнений Научиться находить решения систем уравнений графическим способом

х1 -2,2, у1 -4,5 х2 0, у2 5 х3 2,2, у3 4,5 х4 4, у4 -3 х2 + у2 = 25 у = — х2 + 2х + 5

Чтобы решить систему двух уравнений с двумя неизвестными графически, нужно: 1) Построить в одной системе координат графики уравнений, входящих в систему; 2) Определить координаты всех точек пересечений графиков (если они есть); 3) Координаты этих точек и будут решениями системы. Помните о трех вещах! Если точек пересечения графиков нет, то система решений не имеет; Если графики совпадают, то система имеет бесконечно много решений; 3) Координаты точек пересечения определяются приблизительно, поэтому и решения могут получиться приблизительными; Чтобы проверить точность полученных решений, их нужно подставить в уравнения системы!

А(1; 3); В(-1; -3) А В Ответ: (1; 3); (-1; -3) 1 2 3 4 5 1 2 3 4 -1 -2 -3 -4 -1 -2 -3 -4

Перед Вами графики двух уравнений. Запишите систему, определяемую этими уравнениями, и ее решение. 3х+2у=18 х — у = 1 3х + 2у = 18 (4; 3) Ответ: 1 2 3 4 5 6 7 2 1 3 4 5 -1 -2 -3 -1 -2 -3

Для решения какой системы выполнен рисунок? х2 + у2 = 4 х + у = — 2 А. у = — х2 + 4 у = — х — 2 Б. у = х2 + 4 у = — х — 2 В. у = — х2 + 4 у = х — 2 Г.

Решить графически систему уравнений у – х2 = 0 2х – у + 3 = 0 А) Б) х2 + у 2 = 9 у = — х2 — 4

ТЕСТ 1 ВАРИАНТ 1. Какая из перечисленных пар чисел является решением системы уравнений: а) (1; 4), б) (4; 1), в) (- 1; 4), г) (-4; 1) 2. Из каких уравнений можно составить систему уравнений, решением которой будет данная пара чисел (1; 0). а) ху = 4; б) 5х + у = 8; в) 4х + у = 4; г) х2 + у2 = 1 3. Сколько решений имеет система уравнений а) одно; б) два; в) три; г) четыре; 4. Решите систему уравнений а) (2; 6) б) (6; 2) в) (2; 6) и (6; 2) г) (-2; -6) и (-6; -2). 2 ВАРИАНТ 1. Какая из перечисленных пар чисел является решением системы уравнений: а) (3; 2); б) (2; 3); в) (- 3; 2); г) (-2; 3) 2. Из каких уравнений можно составить систему уравнений, решением которой будет данная пара чисел (0; 1). а) 5х – 4у = 3; б) 7х + 2у = 2; в) х2 + у2 = 1; г) ху = 7 3. Сколько решений имеет система уравнений а) одно; б) два; в) три; г) четыре; 4. Решите систему уравнений а) (2; 9) б) (9; 2) в) (2; 9) и (9; 2) г) (-2; -9) и (-9; -2).

Что называется решением системы уравнений с двумя переменными? С каким способом решения систем уравнений с двумя переменными мы познакомились? В чём заключается его суть? Дает ли данный способ точные результаты? В каком случае система не будет иметь решений?

Домашнее задание П. 18, №№ 420(236), 425(237)

Спасибо за урок !

Автор урока: Воронина Вера Владимировна – учитель математики I квалификационной категории МКОУ Поповская СОШ

Выбранный для просмотра документ pril2.doc

1 ВАРИАНТ

1. Какая из перечисленных пар чисел является решением системы уравнений:

а) (1; 4) б) (4; 1) в) (- 1; 4) г) (-4; 1)

2. Из каких уравнений можно составить систему уравнений, решением которой будет данная пара чисел (1; 0).

а) ху = 4 б) 5 х + у = 8 в) 4 х + у = 4 г) х 2 + у 2 = 1

3. Сколько решений имеет система уравнений

а) одно б) два в) три г) четыре

4. Решите систему уравнений

а) (2; 6) б) (6; 2) в) (2; 6) и (6; 2) г) (-2; -6) и (-6; -2).

1 ВАРИАНТ

1. Какая из перечисленных пар чисел является решением системы уравнений:

а) (1; 4) б) (4; 1) в) (- 1; 4) г) (-4; 1)

2. Из каких уравнений можно составить систему уравнений, решением которой будет данная пара чисел (1; 0).

а) ху = 4 б) 5 х + у = 8 в) 4 х + у = 4 г) х 2 + у 2 = 1

3. Сколько решений имеет система уравнений

а) одно б) два в) три г) четыре

4. Решите систему уравнений

а) (2; 6) б) (6; 2) в) (2; 6) и (6; 2) г) (-2; -6) и (-6; -2).

2 ВАРИАНТ

1. Какая из перечисленных пар чисел является решением системы уравнений:

а) (3; 2) б) (2; 3) в) (- 3; 2) г) (-2; 3)

2. Из каких уравнений можно составить систему уравнений, решением которой будет данная пара чисел (0; 1).

а) 5 х – 4 у = 3 б) 7 х + 2 у = 2 в) х 2 + у 2 = 1 г) ху = 7

3. Сколько решений имеет система уравнений

а) одно б) два в) три г) четыре

4. Решите систему уравнений

а) (2; 9) б) (9; 2) в) (2; 9) и (9; 2) г) (-2; -9) и (-9; -2).

2 ВАРИАНТ

1. Какая из перечисленных пар чисел является решением системы уравнений:

а) (3; 2) б) (2; 3) в) (- 3; 2) г) (-2; 3)

2. Из каких уравнений можно составить систему уравнений, решением которой будет данная пара чисел (0; 1).

а) 5 х – 4 у = 3 б) 7 х + 2 у = 2 в) х 2 + у 2 = 1 г) ху = 7

3. Сколько решений имеет система уравнений

а) одно б) два в) три г) четыре

4. Решите систему уравнений

а) (2; 9) б) (9; 2) в) (2; 9) и (9; 2) г) (-2; -9) и (-9; -2).

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

• Сейчас обучается 934 человека из 80 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

• Сейчас обучается 701 человек из 75 регионов

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

• Сейчас обучается 323 человека из 72 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

• Гузиева Вера ВладимировнаНаписать 2274 31.01.2017

Номер материала: ДБ-153173

31.01.2017 535

31.01.2017 514

31.01.2017 2360

31.01.2017 3029

31.01.2017 937

31.01.2017 257

31.01.2017 483

Не нашли то, что искали?

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

В Роспотребнадзоре заявили о широком распространении COVID-19 среди детей

Время чтения: 1 минута

Более половины россиян сталкиваются с конфликтами в родительских чатах

Время чтения: 2 минуты

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

Утвержден список федеральных инновационных площадок в образовании на 2022 год

Время чтения: 1 минута

В Госдуме обсудят введение обязательных тестов на наркотики в школах

Время чтения: 1 минута

Федеральный перечень учебников будет дополнен новыми учебниками

Время чтения: 3 минуты

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Уравнение с двумя переменными и его график. Уравнение окружности

п.1. Понятие уравнения с двумя переменными

Мы уже знакомы со многими функциями и умеем их записывать в виде формул:
y = 2x + 5 – прямая, y = 5x 2 + 2x – 1 – парабола, \(\mathrm \) – гипербола.

Если записать такое выражение: x 2 (x + y) = 1 – y – в нём тоже есть две переменные x и y, и постоянная 1.

Для наших примеров:
F(x; y) = 2x – y + 5 = 0 – прямая
F(x; y) = 5x 2 + 2x – y – 1 = 0 – парабола
F(x; y) = \(\mathrm \) – y = 0 – гипербола
F(x; y)=x 2 (x + y) + y – 1 = 0 – некоторая кривая (график — ниже).

п.2. Обобщенные правила преобразования графика уравнения

Пусть F(x; y) = 0 – исходный график некоторой функции

Симметричное отображение относительно оси OY

Симметричное отображение относительно оси OX

Центральная симметрия относительно начала координат

Параллельный перенос графика на a единиц вправо

Параллельный перенос графика на a единиц влево

Параллельный перенос графика на b единиц вниз

Параллельный перенос графика на b единиц вверх

Сжатие графика к оси OY в a раз

Сжатие графика к оси OX в b раз

F(x; by) = 0
0 Например:

Окружность с центром в точке O(2; 1) и радиусом R = 3 задаётся уравнением: $$ \mathrm $$

п.4. Примеры

Пример 1. Постройте график уравнения:
а) 2x + 7y – 14 = 0
Выразим y из уравнения: \( \mathrm =-\frac + 2 > \) – это прямая

б) xy + 4 = 0
Выразим y из уравнения: \( \mathrm > \) – это гипербола

в) ( x+ 2) 2 + y 2 = 4
Это – уравнение окружности с центром O(–2; 0), радиусом \( \mathrm =2> \)

г) x 2 + 5y – 2 = 0
Выразим y из уравнения: \( \mathrm > \) – это парабола

Пример 2*. Постройте график уравнения:
а) 2|x| + 5y = 10
\( \mathrm =-\frac25|x|+2> \)
Строим график для \( \mathrm \), а затем отражаем его относительно оси OY в левую полуплоскость.

б) 3x + |y| = 6
|y| = –3x + 6
Строим график для y > 0: y = –3x + 6, а затем отражаем его относительно оси OX в нижнюю полуплоскость.

в) |x| + |y| = 2
|y| = –|x| + 2
Строим график для x > 0, y > 0: y = –x + 2, а затем отражаем его относительно осей OX и OY.

г) |x – 1| + |y – 2| = 4
Получим тот же ромб (квадрат), что и в (в), но его центр будет перенесен из начала координат в точку O(1; 2).

д) \(\mathrm +2|y-2|=4>\)
Ромб по x растянется в 2 раза по диагонали, а по y – сожмётся в 2 раза по диагонали.

Пример 3. Постройте график уравнения:
а) x 2 + y 2 + 4x – 6y + 4 = 0
Выделим полные квадраты:
(x 2 + 4x + 4) + (y 2 – 6y + 9) – 9 = 0
(x + 2) 2 + (y – 3) 2 = 3 2 – уравнение окружности с центром (–2; 3), радиусом 3.

Графический способ решения систем уравнений. 9-й класс

Разделы: Математика

Класс: 9

Тип урока: урок изучения нового материала.

Цели урока:

• открыть совместно с учащимися новый способ решения систем уравнений;
• вывести алгоритм решения систем уравнений графическим способом;
• уметь определять сколько решений имеет система уравнений;
• учить находить решения системы уравнений графическим способом;
• повторить построение графиков элементарных функций;
• создать условия для контроля (самоконтроля) учащихся:

• воспитание ответственного отношения к труду,
• аккуратности ведения записей.

Ход урока.

I. Организационный момент.

II. Повторение. Подготовка к изучению нового материала. (Приложение 1)

1. Что такое функция? (слайд 3-11)
2. Что называется графиком функции?
3. Какие виды функций вы знаете?
4. Какой формулой задается линейная функция? Что является графиком линейной функции?
5. Какой формулой задается прямая пропорциональность? Что является ее графиком?
6. Какой формулой задается обратная пропорциональность? Что является ее графиком?
7. Какой формулой задается квадратичная функция? Что является ее графиком?
8. Каким уравнением задается уравнение окружности?
9. Что называют уравнением с двумя переменными; (слайд 12)
10. Выразите переменную у через переменную х:
    а) у – х² = 0
    б) х + у +2 = 0
    в) 2х – у + 3 = 0
    г) ху = -12
11. Является ли пара чисел (1; 0) решением уравнения
    а) х² +у = 1;
    б) ху +3 = х;
    в) у(х +2) = 0.
12. Что является решением системы уравнений с двумя переменными?
13. Какая из пар чисел является решением системы уравнений
    а) (6; 3)
    б) (- 3; — 6)
    в) (2; — 1)
    г) (3; 0)

III. Изучение нового материала. (слайд 16, 17)

Сегодня мы разберем один из способов решения систем уравнений. Изучение нового материала осуществляется с помощью наглядного восприятия (на слайде представлено графическое решение системы уравнений):

Графиком уравнения с двумя переменными называется множество точек координатной плоскости, координаты которых обращают уравнение в верное равенство. Графики уравнений с двумя неизвестными весьма разнообразны.

Вопросы по данному слайду:

• Что является графиком уравнения x² +y²=25?
• Что является графиком уравнения y = —x² +2x +5?

Координаты любой точки окружности будут удовлетворять уравнению x² + y²=25, координаты любой точки параболы будут удовлетворять уравнению y = — x² +2x +5.

• Координаты каких точек будут удовлетворять и первому и второму уравнениям?
• Сколько точек пересечения у данных графиков?
• Сколько решений имеет данная система?
• Назвать эти решения?
• Что нужно сделать, чтобы графически решить систему уравнений с двумя переменными?

Предлагается слайд, на котором приведен алгоритм графического способа решения систем уравнений с двумя неизвестными.

Графический способ применим к решению любой системы, но с помощью графиков уравнений можно приближенно находить решения системы. Лишь некоторые найденные решения системы могут оказаться точными. В этом можно убедиться, подставив их координаты в уравнения системы.

IV. Первичное осмысление и применение изученного способа решения систем уравнений.

1. Решить графически систему уравнений (слайд 18)

Постановка наводящих вопросов:

• Что является графиком уравнения ху = 3?
• Что является графиком уравнения 3х – у =0?
• Сколько точек пересечения имеют данные графики?
• Сколько решений имеет данная система уравнений?
• Назвать решения данной системы уравнений?

2. Запишите систему, определяемую этими уравнениями и ее решение. (слайд 19)

Постановка наводящих вопросов:

• Запишите систему, определяемую данными уравнениями?
• Сколько точек пересечения имеют данные графики?
• Сколько решений имеет данная система уравнений?
• Назвать решения данной системы уравнений?

3. Выполнение задание из ГИА (слайд 20).

4. Решить графически систему уравнений (слайд 21)

а) б)

Задание выполняется учащимися в тетрадях. Решение проверяется.

5. Тест. (Приложение 2)

Графический метод решения системы уравнений

Этот видеоурок доступен по абонементу

У вас уже есть абонемент? Войти

На этом уроке мы будем рассматривать решение систем двух уравнений с двумя переменными. Вначале рассмотрим графическое решение системы двух линейных уравнений, специфику совокупности их графиков. Далее решим несколько систем графическим методом.