Системы уравнений двумя переменными презентация

Система уравнений с двумя переменными
презентация к уроку по алгебре (9 класс) на тему

Презентация к уроку по теме «Система уравнений с двумя переменными» по УМК Макарычева, Феоктистова и др.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Подписи к слайдам:

Урок № 58 Система уравнений с двумя переменными

у = а y = kx y = kx + m y = x 2 y = 1/x Прямая, параллельная оси О х Парабола Гипербола Прямая, проходящая через начало координат Прямая Выберите описание каждой математической модели.

Найдите соответствия: 1. 3. 2. 4.

у = а х 3 х 2 +у 2 =а ах+ b у+с=0 y = а x 2 + b х+с ху =1 Кубическая парабола Парабола Гипербола Окружность Прямая Выберите описание каждой математической модели.

Читаем пункт 19 стр.130 и отвечаем на вопросы: Что такое система уравнений? Что такое решение системы уравнений? Что значит решить систему уравнений? В чем состоит графический способ решения системы уравнений? Его достоинства и недостатки.

Графический метод решения систем , как и графический метод решения уравнений , красив , но ненадежен : во-первых , потому , что графики уравнений мы сумеем построить далеко не всегда ; во-вторых , даже если графики уравнений удалось построить , точки пересечения могут быть не такими «хорошими» , как в специально подобранных примерах учебника, а то и вовсе могут оказаться за пределами чертежа . Но покажем то , где способ применим . Для этого вам необходимо знать алгоритм действий .

1) В уравнениях системы выразить y через x так , чтобы получить функции . 2) Построить графики этих функций в одной системе координат . 3) Найти координаты точек пересечения графиков. 4) Выписать в ответ пары чисел, которые служат координатами точек пересечения графиков. Алгоритм

Пример 1 . Решить систему уравнений: x 2 + y 2 =16, y – x = 4. Решение: 1)Построим график уравнения x 2 + y 2 =16 – окружность с центром в начале координат и радиусом 4 . 2) Построим график уравнения y –x = 4. Это прямая , проходящая через точки (0 ; 4) и (-4 ; 0) . y x 0 4 4 -4 -4

Пример 1 (продолжение) . 3) Окружность и прямая пересекаются в точках A и B. Судя по построенной геометрической модели , точка A имеет координаты (-4;0), а точка B – координаты (0 ; 4) . Проверка показывает: пары (-4 ; 0) и (0 ;4) являются решениями каждого уравнения системы , а значит , и решениями системы уравнений . y x 0 4 4 -4 -4 Следовательно , заданная система уравнений имеет два решения : (-4 ;0) и (0; 4) . Ответ : (-4 ; 0) и (0 ; 4) A B

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Разработка урока по алгебре в 9 классе «Системы уравнений с двумя переменными»

Предлагаю разработку обобщающего урока по алгебре в 9 классе. Тема: «Системы уравнений с двумя переменными», на данном уроке систематизируются знания по теме «Системы уравнений».

урок в 9 классе по алгебре «Основные понятия. Графический способ решения системы уравнений с двумя переменными»

урок с применением технологии деятельностного подхода.

Тест 3 по теме: «Системы уравнений с двумя переменными»

Уже совсем скоро закончится учебный год для учащихся 9-х классов. Самое время подумать о тематической подготовке к экзамену по математике, который будет проводиться в форме частичного тестирован.

Системы уравнений с двумя переменными

урок «Графический метод решения системы уравнений с двумя переменными»

Цель: научить решать системы линейных уравнений с двумя переменными графическим способом.

Контрольная работа «Системы уравнений с двумя переменными» (9 класс)

Контрольная работа № 3 к УМК Мордкович А.Г. «Алгебра 9», составлена на основе дидактических материалов «Контрольные работы по алгебре 9 класс» ,Л.А. Александрова , «Контрольные и самостоятельные работ.

Открытый урок для 9 класса по теме: «Системы уравнений с двумя переменными» к учебнику: Г.В. Дорофеев, С.Б. Суворова, Е.А. Бунимович, Л.В. Кузнецова, С.С. Минаева, Л.О. Рослова

Урок открытия новой учебной информации по теме: «Системы уравнений с двумя переменными» к учебнику Г.В. Дорофеев, С.Б. Суворова, Е.А. Бунимович, Л.В. Кузнецова, С.С. Минаева, Л.О. Рослова «Алгебра 9».

Презентация «Системы уравнений с двумя переменными»

Код для использования на сайте:

Скопируйте этот код и вставьте себе на сайт

Для скачивания поделитесь материалом в соцсетях

После того как вы поделитесь материалом внизу появится ссылка для скачивания.

Подписи к слайдам:

С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ

МБОУ «Гимназия № 94» Московского района г. Казани

Решением системы уравнений с двумя переменными называется пара значений переменных (x;y), обращающая каждое уравнение системы в верное равенство. Решением системы уравнений с двумя переменными называется пара значений переменных (x;y), обращающая каждое уравнение системы в верное равенство. Решить систему уравнений – значит найти все её решения или доказать, что решений нет.

Метод подстановки

• Выразить из какого-нибудь уравнения системы одну переменную через другую.
• Подставить в другое уравнение системы вместо этой переменной полученное выражение.
• Решить получившееся уравнение с одной переменной.
• Найти соответствующее значение второй переменной.

Умножьте почленно уравнения системы, подбирая множители так, чтобы коэффициенты при одной из переменных стали противоположными числами.

• Умножьте почленно уравнения системы, подбирая множители так, чтобы коэффициенты при одной из переменных стали противоположными числами.
• Сложите почленно левые и правые части уравнений системы.
• Решите получившееся уравнение с одной переменной.
• Найдите соответствующее значение второй переменной.

Построить график функции, заданной первым уравнением системы.

• Построить график функции, заданной первым уравнением системы.
• Построить график функции, заданной вторым уравнением системы.
• Определить координаты точек пересечения графиков функций.

Замени одно или два выражения в уравнениях системы новыми переменными так, чтобы вновь полученные уравнения стали более простыми.

• Замени одно или два выражения в уравнениях системы новыми переменными так, чтобы вновь полученные уравнения стали более простыми.
• Реши полученную систему уравнений методом, наиболее подходящим для этой системы уравнений.
• Сделай обратную замену, для того, чтобы найти значения первоначальных переменных.
• Запиши ответ в виде пар значений (x,y), которые были найдены на третьем шаге.

Введение новой переменной

a) x²=-y²-3xy-1, б) x²+y²+3xy =-1, в) x²+y²+3xy =-1,

Какой из учеников применил метод подстановки

Презентация по алгебре «Методы решения систем двух линейных уравнений с двумя переменными»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Описание презентации по отдельным слайдам:

«Кто приобрёл навык общаться легко и свободно со всевозможными алгебраическими и геометрическими выкладками, приобрёл умение выражать мысли ясным и точным языком, тот смело может взяться за любую отрасль самостоятельных знаний». Д.И.Писарев

Задачи: обобщить знания по теме «Методы решения систем двух линейных уравнений с двумя переменными»; расширить представления о методах решения систем двух линейных уравнений с двумя переменными; продолжить формирование информационных навыков с научными текстами, коммуникативных – работе в паре, в группе; воспитывать волю и настойчивость при решении систем уравнений

Историческая справка. Основные понятия. Графический метод. Метод подстановки. Метод алгебраического сложения. Правило Крамера. Системы линейных уравнений с параметрами.

Механическое правило решения систем двух линейных уравнений по их коэффициентам (с помощью определителей) дал в своей книге «О великом искусстве» в 1545 году итальянский математик Джероламо Кардано.

Франсуа Виет — французский математик. По профессии юрист. В 1591 ввёл буквенные обозначения не только для неизвестных величин, но и для коэффициентов уравнений; благодаря этому стало впервые возможным выражение свойств уравнений и их корней общими формулами.

Габриэ́ль Кра́мер (31 июля 1704, Женева, Швейцария—4 января 1752, Баньоль-сюр-Сез, Франция) — швейцарский математик, ученик и друг Иоганна Бернулли, один из создателей линейной алгебры.

Общий вид системы двух линейных уравнений с двумя переменными x и y: Решение системы – это пара чисел (x; y), при подстановке которых каждое уравнение превращается в верное равенство.

графический метод; метод подстановки; метод алгебраического сложения

Графический метод решения систем, как и графический метод решения уравнений, красив, но ненадежен. Даже если графики уравнений удалось построить, точки пересечения могут быть не такими ‘’хорошими’’, как в специально подобранных примерах учебника, а то и вовсе могут оказаться за пределами чертежа.

В уравнениях системы выразить y через x так, чтобы получить функции. Построить графики этих функций в одной системе координат. Найти координаты точек пересечения графиков. Выписать ответы пары чисел, которые служат координатами точек пересечения графиков.

2 Решение: В уравнениях системы выразить y через x: а) Построим график уравнения y = 3x — 1. Это прямая, проходящая через точки (0; -1) и (1;2). б) Построим график уравнения y = -2x + 4. Это прямая, проходящая через точки (0;4) и (2;0). y x 2 1 4 0 3x — y -1= 0 2x + y – 4 = 0 -1

2 Прямые пересекаются в точке (1;2) 4) Проверка показывает, что на самом деле пара (1;2) является решением каждого уравнения системы, а значит, решением системы уравнений. Ответ: (1;2). y x 2 1 4 0 3x — y -1= 0 2x + y – 4 = 0 -1

Решение: В уравнениях системы выразить y через x: а) Построим график уравнения y = -0,5x + 2,5. Это прямая, проходящая через точки (5; 0) и (1;2). б) Построим график уравнения y = -0,5x — 0,75. Это прямая, проходящая через точки (0,5;-1) и (2,5;-2). Прямые параллельны. Ответ: система не имеет решений y x 5 -1 x +2y -5=0 2x +4y +3 =0

Решение: В уравнениях системы выразить y через x: а) Построим графики уравнений. Это прямые, проходящая через точки (-2; -4) и (-4;1). Прямые совпадают. Ответ: система имеет бесконечно много решений. y x -4 -4 5x + 2y + 18=0 15x +6y + 54=0

Линейные функцииАлгебраическое условиеГеометрический выводКоличество решений y = k1 x + m1 y = k2 x + m2 k1 = k2, m1 ≠ m2Прямые y =k1 x + m1 и y = k2 x + m2 параллельныРешений нет k 1 = k2, m1 = m2 Прямые y = k1 x +m2 и y = k1 x + m2 совпадаютБесконечно много решений k1 ≠ k2Прямые y = k1 x + m1 и y = k2 x + m2 пересекаютсяЕдинственное решение

Метод постановки – это универсальный алгебраический метод. Им можно решать почти все системы из уз учебника. Активно применяется в решении и более сложных систем. Этот метод может быть не всегда эффективен (т.е. не всегда быстро приводит к цели), но достаточно надёжен.

Выразить y через x из первого уравнения системы; Подставить полученное на первом шаге выражение вместо y во второе уравнение системы; Решить полученное на втором шаге уравнение относительно x. Подставить найденное на третьем шаге значение x в выражении y через x, полученное на первом шаге; Записать ответ в виде пары значений (x;y), которые были найдены соответственно на третьем и четвёртом шагах.

Решение: Выразим x через y из второго уравнения: x = Подставим найденное выражение вместо x в первое уравнение системы: 4 · — 5y =1 Решим полученное уравнение: 6y + 4 – 5y=1, y +4=1, y= — 3.

4) Подставим найденное значение y в формулу x = = = -3,5 5) Пара x = -3,5, y = -3 – единственное решение заданной системы. Ответ: (-3,5; -3).

Систему уравнений легче решать методом сложения, когда коэффициенты при x и y сразу являются противоположными числами. Метод позволяет быстро исключить одну из неизвестных переменных и найти другую. .

Преобразовать коэффициенты так, чтобы коэффициенты при x или при y были противоположными числами. Сложить уравнения. Решить уравнения с одной переменной. Найти y, подставляя х в одно из первоначальных уравнений. Записать ответ в виде пары значений (x;y).

Решение: Умножив первое уравнение на 5, а второе на 2, получим коэффициенты при y противоположные числа. Сложим получившиеся уравнения. 25x + 8x +10y -10y = -45 + 12,

3) Решим полученное уравнение. 25x + 8x = -45 + 12, 33x = -33, x = -1 4) Найдём y, подставляя х в одно из первоначальных уравнений: 5 · (-1) + 2y = -9, 2y = -4, y = -2 5) Пара x = -1, y = -2- решение заданного уравнения. Ответ: (-1; -2)

1) Если главный определитель ∆≠ 0, то система имеет единственное решение (прямые пересекаются): 2) Если ∆=0 и хотя бы один из вспомогательных определителей не равен нулю, то система не имеет решений (прямые параллельны, но не совпадают). 3) В случае система сводится к одному линейному уравнению с двумя неизвестными и имеет бесчисленное множество решений (прямые совпадают).

Решение: Найдём определители системы: =2·(-5) — 3·7= -31 = =8·(-5) – 3·(- 3) = -31 = = 2·(-3) -8·7 = -62 , следовательно система имеет единственное решение: x= =1, y= =2. Ответ: (1; 2).

Решение: Найдём определители системы: ∆ = =2·4 – 3· 4 = 0, = =8· 6 – 3· 10=18≠0. Ответ: система не имеет решений.

Решение: Найдём определители системы: ∆= =2·6 – 3·4 = 0, = = 8· 6 – 3·16 =0, = = 2· 16 – 8·4 = 0. Ответ: система имеет бесконечно много решений.

Параметр, будучи фиксированным, но неизвестным числом, имеет как бы двойственную природу. Во-первых, предполагаемая известность позволяет «общаться» с параметром как с числом, а во-вторых, — степень свободы общения ограничивается его неизвестностью.

Дана система уравнений Известно, что пара чисел (2;-1) является её решением. Найти значения a и b. Решение: Зная, что решением системы являются координаты точки (2; -1), подставляем x = 2, y= -1

Сложим получившиеся уравнения: 2a +2a -1b + 1b= 36 + 8 4a = 44 a=11 Найдём b, подставляя a в одно из первоначальных уравнений: 2 · 11-1b = 36 22- b = 36 b= 22 – 36 b = -14 Ответ: a=11, b = -14

Если а =0, то имеем уравнение 0·х = b. Тогда, если, кроме того, b ≠ 0, то уравнение не имеет решений, а если b = 0, то уравнение имеет вид 0 · х = 0 и удовлетворяется при любом х, т.е. решением уравнения будет множество всех действительных чисел. Если а ≠ 0, то уравнение имеет единственное решение х = . .

Решение: Из второго уравнения найдём х=1–аy и подставим в первое уравнение: a(1 – аy) — 3аy = 2а + 3 -a(a + 3) y = a + 3 Исследуем это линейное уравнение. Возможны случаи: 1) a=0. Тогда уравнение имеет вид: 0·(0+3) y = 0 + 3 0· y = 3 Нет корней. Следовательно, при a=0 система не имеет решений.

2) a= -3. Тогда 3(-3 + 3) y = -3 +3 → 0· y = 0 Следовательно, y – любое число. При этом x = 1 – аy = 1 –(-3) y = 1+ 3y 3) a ≠ 0, a ≠ -3. Тогда из уравнения -a(a + 3) y = a + 3 выразим y: y = = — , а полученное значение y подставим во второе уравнение: x = 1 – аy = 1 – a(- ) = 2. Ответ: если a=0, то система не имеет решений; если a= -3, то x = 1+ 3y, y – любое число; если a ≠ 0, a ≠ -3, то x = 2, y = —

Решение: Найдём определители системы: ∆ = =(а+5)(5а+6) — (2а+3)(3а+10)=а(2-а) = (3а + 2)(5а + 6) — (2а + 3)(2а + 4) = = а(11а + 14) = (а + 5)(2а + 4) — (3а + 2)(3а + 10) = = -а(7а + 22)

∆ = а(2 — а) ≠ 0 а ≠ 0 и а ≠ 2. Тогда x = = = y = = — = — = 2) ∆ = а(2 — а) = 0, тогда а = 0 или а = 2. При а = 0 определители = а(11а + 14) = 0·(11·0 + 14) = 0, = — а(7а + 22) = — 0·(7·0 + 22) = 0, 0. Тогда система имеет вид 5x + 3y = 2 x – произвольное число

б) при а = 2 определитель а(11а + 14) = 2·( 11·2 + 14) = 72 ≠ 0. Этого достаточно, чтобы утверждать, что система не имеет решений. Ответ: если а ≠ 0 и а ≠ 2, то x = , y = ; если а = 0, то x – любое число, y = — x; если а = 2, то система не имеет решений.

Алгебра: Учеб. Для 7 кл. общеобразоват. учреждений / Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.Н. Нешков, С.Б. Суворова; Под ред. С.А.Теляковского.- 10-е изд.- М.: Просвещение, 2001. – 223с. Выготский М.Я. Справочник по высшей математике. 10-е изд., стереотипное.- М.: Издательство «Наука», главная редакция физико-математической литературы, 1973.- 872с. Горнштейн П.И., Полонский В.Б., Якир М.С. Задачи с параметрами. 3-е издание, дополненное и переработанное.- М.: Илекса, Харьков: Гимназия, 1999. – 336с. Кузнецова Л.В., Суворова С.Б. и др. Государственная итоговая аттестация выпускников 9 классов в новой форме. Алгебра. 2009/ФИПИ.- М.: Интеллект-Центр, 2009. Математический энциклопедический словарь. / Гл. ред. Ю.В.Прохоров; Ред. кол.: СИ. Адян, Н.С Бахвалов, В.И. Битюцков, А.П. Ершов, Л.Д. Кудрявцев, А.Л. Онищик, А.П. Юшкевич.- М.: Сов. энциклопедия, 1988.- 847 с, ил. Мордкович А.Г. Алгебра. 7 кл.: В двух частях.- 9-е изд.- М.: Мнемозина, 2010. Мочалов В.В., Сильвестров В.В. Уравнения и неравенства с параметрами: Учебное пособие.- 2-е изд., доп., перераб.- Чебоксары: изд-во Чуваш. ун-та, 2000. – 144с.