Системы уравнений как математическая модель 9 класс

Интегрированный урок по алгебре в 9 классе Системы уравнений как математические модели реальных ситуаций.
план-конспект урока по алгебре (9 класс) по теме

Интегрированный урок в 9 классе по алгебре (и литературе) «Системы уравнений как математические модели реальных ситуаций»

Скачать:

Предварительный просмотр:

Тема урока: Системы уравнений

как математические модели реальных ситуаций.

Эпиграф к уроку:

Учитель должен много знать ,

и не только свой предмет ,

он должен быть компетентным в разных областях. …

образовательная: систематизировать знания по данной теме; выработать умения решать задачи с помощью систем уравнений,

развивающая: развивать вычислительную технику, мыслительную активность, логическое мышление, способствовать формированию ключевых понятий, выполнять задания различного уровня сложности,

воспитательная : воспитывать внимательность, аккуратность, умение четко организовывать самостоятельную и индивидуальную работу.

Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний.

Формы работы: индивидуальная, групповая, фронтальная.

Методы обучения: словесный, практический.

Оборудование : тексты задач для решения в классе;

1. Организационный момент (сообщение о необходимости решения задач с помощью систем уравнений, связь темы урока с КИМами ОГЭ по математике).
2. Актуализация опорных знаний (повторение методов решения систем уравнений и алгоритма решения задач).
3. Закрепление материала (решение задач путем математического моделирования).
4. Итоги урока.
5. Домашнее задание.
6. Рефлексия.

Здравствуйте. Я рада видеть вас на уроке. Посмотрите друг на друга, улыбнитесь, и с хорошим настроением начнем урок. Всем желаю хорошей работы и успеха.

Актуализация опорных знаний.

Вспомним что мы изучали на предыдущем уроке

Решение задач с помощью системы уравнений как математической модели реальных ситуаций

Этапы решения задачи

1. Составить математическую модель.
2. Работа с математической моделью.
3. Записать ответ

Каков алгоритм решения задач с помощью системы уравнений?

Обозначить неизвестные величины буквами.

Выразить оставшиеся неизвестные величины.

Найти в задаче условия для составления уравнений.

Решить получившуюся систему.

Найденное решение использовать для ответа на вопрос задачи

Метод решения хорош, если с самого начала мы можем предвидеть

– и впоследствии подтвердить это,

— что, следуя этому методу, мы достигнем цели! Лейбниц

Какие методы решения системы уравнений вы знаете?

введение новых переменных,

Какие виды задач мы решали на последних уроках

Задачи на движение, на работу, геометрические задачи, задачи с числами

А в жизни где-то могут пригодиться нам системы уравнений?

На протяжении нескольких уроков мы с вами решали различные виды задач, для решения которых нам нужна система уравнений. Сегодня на уроке мы будем продолжать решать задачи с помощью систем уравнений .

«Мне приходится делить время

между политикой и уравнениями.

по-моему, гораздо важнее.

только для данного момента,

а уравнения будут существовать вечно».

Выразите одну переменную через другую

Какую фигуру задаёт уравнение ?

Определить для каждой системы уравнений рациональный метод решения:

Составьте уравнение с двумя переменными, если:

1. Сумма двух натуральных чисел равна 16.
2. Периметр прямоугольника равен 12 см.
3. Одна сторона прямоугольника на 8 см больше другой.
4. Произведение двух натуральных чисел равно 28.
5. Диагональ прямоугольника равна 5 см.

У двух мужиков 35 овец. У одного на 9 овец больше, чем у другого. Сколько у каждого овец?

I этап . Обозначим х – число овец у первого мужика, у – у второго.

II этап . (Решаем методом алгебраического сложения.)

IIIэтап . Ответ: 13 и 22.

А сейчас приступим к самостоятельному решению задач. Каждая группа решает задачу поэтапно и затем объясняет решение. У всех разные задачи. Время для решения 10 мин.

• Арифметическая задача: Отряд туристов вышли в поход на 9 байдарках, часть из которых двухместные, а часть – трехместные. Сколько двухместных и сколько трехместных байдарок было в походе, если отряд состоит из 23 человек?

Прямоугольный газон обнесен изгородью, длина которого 40 м. Площадь газона 96 м 2 . Найдите длины сторон газона.

Составим выражения по данным задачи, пусть 2(a+b)=40 будет периметр газона, тогда площадь газона выразим как . По данным выражениям составим систему уравнений и найдем решения данной системы.

Ответ: 12 м и 8 м.

• Прямолинейное равномерное движение.

Из двух городов, расстояние между которыми 700 км, одновременно навстречу друг другу отправляются два поезда и встречаются через 5 часов.

Если второй поезд отправится на 7 ч раньше первого, то они встретятся через 2 ч после отправления первого поезда. Найдите скорость каждого поезда.

Два комбайнера, работая одновременно, могут убрать урожай за 16 часов. Сколько времени потребуется каждому комбайнеру, чтобы собрать весь урожай, если первый выполнит это задание на 24 часа медленнее, чем второй?

Слова великого русского математика Пафнутия Львовича Чебышева:

«Сближение теории с практикой

дает самые благотворные результаты,

и не одна только практика от этого выигрывает»

Имеется 2 сосуда, содержащие 48 кг 42 кг раствора кислоты различной концентрации. Если их слить вместе, то получится раствор, содержащий 42% кислоты. Если же слить равные массы этих растворов, то полученный раствор будет содержать 40 % кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится во втором растворе?

Переведем проценты в дроби: 42%=0,42; 40%=0,41;

I этап: Обозначим через х% кислоты содержится в 1растворе а во втором у% . Составим первое уравнение: 0,48х+ 0,42у=(48+42)0,42

Если слить же равные массы этих растворов, то составим второе уравнение

0,42х + 0,42у = (42+42)0,4

II этап: (метод алгебраического сложения)

Решив систему уравнений, получим у=10%

III этап: Ответ: 4,2 кг кислоты содержится во втором растворе

«Да, много решено загадок

От прадеда и до отца.

И нам с тобой продолжить надо

Тропу, которой нет конца»

Старинная русская задача.

Роскошно липа расцвела.

Под ней червяк завелся малый.

Да вверх пополз во всю он мочь –

Четыре локтя делал в ночь.

Но днем сослепу полз обратно

Он на два локтя аккуратно.

Трудился наш червяк отважный,

И вот итог работы важной,

Награда девяти ночей:

Он на верхушке липы сей.

— Теперь, мой друг, поведай ты,

Какой та липа высоты.

Задание 6 Улитка за день залезает вверх по дереву на 3 м, а за ночь спускается на 2 м. Высота дерева 10 м. За сколько дней улитка поднимется на вершину дерева?

1. Этап. Подведение итогов урока. Заполнить оценочный лист.

Все закройте глаза, расслабьтесь, представьте море, солнце, пальмы. Мы отдыхаем. А теперь открывают глаза только те учащиеся, у которых есть трудности в решении задач. Теперь все откройте глаза.

Домашнее задание. «3» — №7.12

Спасибо всем за урок! Удачи! И помните : “Учение без размышления бесполезно,

Системы уравнений как математические модели реальных ситуаций

Разделы: Математика

Классы: 8 , 9

Ключевые слова: Текстовые задачи , вызывают затруднения

Цели:

• Обобщить решение задач с помощью систем уравнений различными методами.
• Воспитывать интерес к предмету через межпредметные связи с химией и литературой, обращая внимание на аккуратность, дисциплинированность и самостоятельность.
• Развивать устную и письменную речь, внимание и логическое мышление.

Оборудование:

• компьютер и проектор;
• тексты задач для решения в классе;
• тексты задач для решения дома;

Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний.

Подготовка к уроку: повторение способов решения задач с помощью систем уравнений различными методами.

Комментарий к уроку: использование презентации Microsoft Power Point.

Эпиграф к уроку: Учитель должен много знать, и не только свой предмет, он должен быть компетентным в разных областях. …

План урока:

1. Организационный момент (сообщение о необходимости решения задач с помощью систем уравнений, связь темы урока с КИМами ГИА по математике).
2. Актуализация опорных знаний (повторение методов решения систем уравнений).
3. Закрепление материала (решение задач путем математического моделирования).
4. Итоги урока. Домашнее задание.

Слайд 1: Системы уравнений как математические модели реальных ситуаций.

Слайд 2: “Все науки настолько связаны между собою, что легче изучать их все сразу, нежели какую-либо одну из них в отдельности от всех прочих”. Рене Декарт

Слайд 3: Методы решения систем уравнений:

– подстановки;
– алгебраического сложения;
– введения новых переменных;
– графический.

Слайд 4: Алгоритм решения задачи с помощью системы уравнений:

1. Обозначить неизвестные элементы переменными;
2. Составить по условию задачи систему уравнений;
3. Определить метод решения системы уравнений;
4. Выбрать ответ, удовлетворяющий условию задачи.

Слайд 5: Этапы решения задачи:

Первый этап.
Составление математической модели.

Второй этап.
Работа с составленной моделью.

Третий этап.
Ответ на вопрос задачи.

Слайд 6: Л.Н. Толстой “Арифметика”

У двух мужиков 35 овец. У одного на 9 овец больше, чем у другого. Сколько у каждого овец?

I этап. Обозначим х – число овец у первого мужика, у – у второго.

II этап. (Решаем методом алгебраического сложения.)

IIIэтап. Ответ: 13 и 22.

Слайд 7: Илья Ильф и Евгений Петров “Двенадцать стульев”

Слайд 8: Задача: Потом отец Федор подошел к комоду и вынул из конфетной коробки 50 рублей трехрублевками и пятирублевками. В коробке оставалось еще 20 рублей.

Сколько трех- и пятирублевок отец Федор взял и сколько оставил?

Ну, а чтобы обеспечить единственность решения, добавим условие: отец Федор взял с собой большую часть трехрублевок и большую часть пятирублевок. Теперь найдите решение.

а) Пусть взято x трехрублевок и y пятирублевок
3x+5y=50 находим пары: 5 и 7, 10 и 4, 15 и 1

б) а – осталось трехрублевок
b – осталось пятирублевок
3а+5b=20 находим пары: 5 и 1, 0 и 4

Значит, отец Федор взял 5 трехрублевок и 7 пятирублевок или 10 трехрублевок и 4 пятирублевок.

Слайд 10: Задачи от Н.Носова из книги “Витя Малеев школе и дома”

Задача 1.
Мальчик и девочка рвали в лесу орехи. Они сорвали всего 120 штук. Девочка сорвала в два раза меньше мальчика. Сколько орехов собрал каждый из них?

I этап. Пусть мальчик сорвал х ор., а девочка у ор.

II этап. (Решаем методом подстановки.)

III этап. Ответ: мальчик сорвал 80 ор., а девочка сорвала 40 ор.

Задача 2.
В магазине было 8 пил, а топоров в три раза больше. Одной бригаде плотников продали половину топоров и три пилы за 84 рубля. Оставшиеся топоры и пилы продали другой бригаде плотников за 100 рублей. Сколько стоит один топор и одна пила?

I этап. Пусть топор стоит х руб., а пила стоит у руб.

II этап. (Решаем методом алгебраического сложения.)

III этап. Ответ: топор стоит 5 руб. и пила стоит 8 руб.

Слайд 13: Задача из рассказа А.П. Чехова “Репетитор”

Купец купил 138 аршин черного и синего сукна за 540 руб. Спрашивается, сколько аршин купил он того и другого сукна, если синее стоило 5 руб. за аршин, а черное – 3 руб?

Слайд 14: Решение:

Пусть черного сукна приобрел купец – х м и синего сукна – у м. Так как синее сукно стоит 5 руб. за 1м, а черное – 3 руб. за 1м, то составим и решим систему уравнений:

II этап. (метод подстановки)

x = 138 – y
5(138 – y) + 3y = 540
5(138 – y) + 3y = 540
690 – 5y +3y = 540
-2y = -150
y = 75 x = 138 – 75 = 63.

III этап. Ответ: 63 (аршина) – синего и 75 (аршин) – черного сукна приобрел купец.

Имеются два сплава меди со свинцом. Один сплав содержит 15% меди, а другой 65%. Сколько нужно взять каждого сплава, чтобы получилось 200г сплава, содержащего 30% меди?

I этап: Пусть первого сплава взяли х г и второго – у г.

Имеется руда из двух пластов с содержанием меди 6% и 11%. Сколько “бедной” руды надо взять, чтобы получить при смешивании с “богатой” 20 т руды с содержанием меди 8%?

Переведем проценты в дроби: 6%=0,06; 11%=0,11; 8%=0,08

I этап:
Пусть надо взять х т “бедной” руды, которая будет содержать 0,06х т меди, а “богатой” руды надо взять у т, которая будет содержать 0,11у т меди. Составим первое уравнение: х + у = 20.

Так как получившиеся 20 т руды будут содержать 20*0,08=1,6 т меди, то получим уравнение:

II этап: (метод подстановки)

Решив систему уравнений, получим х = 12.

III этап: Ответ: 12 т руды с 6% содержанием меди

Имеются сплавы золота и серебра. В одном эти металлы находятся в отношении 2: 3, а в другом в отношении 3: 7. Сколько нужно взять от каждого сплава, чтобы получить 1 кг нового, в котором золото и серебро находились бы в отношении 5: 11?

I этап: По этой схеме уравнение х + у =1 показывает массу нового сплава.

Определяем массу золота в каждом сплаве и получаем уравнение

* х + * у = * 1

Аналогично массу серебра и получаем уравнение

* х + * у = * 1

II этап: Записываем одну из систем:

	х + у = 1 х + у =
	х + у = 1 х + у =

Решая ее, получаем х = 0,125 и у = 0,875

III этап: Ответ: 125 г золота и 875 г серебра.

Слайд 18: Задания из тестов ГИА:

1. Найти пары чисел, являющиеся решением системы уравнений

1) (1; 6); (6; 1) 2) (6; 1); (?0, 5; ?12)

Слайд 19:
2. Прямая y=2x-3 пересекает параболу y=x2-x-7 в двух точках.
Вычислите координаты точки B.

Слайд 20:
3. Вычислите координаты точки B.

Слайд 21:
Домашнее задание

Задачник под ред. Мордковича А.Г. №7.37, 7.40 и 7.53)

Спасибо всем за урок! Удачи! И помните: “Учение без размышления бесполезно, но и размышление без учения опасно”. (Конфуций.)

Технологическая карта урока по алгебре по теме: «Системы уравнений как математические модели реальных ситуаций» для 9 класса.

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

УМК (название учебника, автор, год издания)

Алгебра 9 класс Авт.: А.Г. Мордкович, М.: Мнемозина -2010

Системы уравнений как математические модели реальных ситуаций.

Место урока в системе уроков по теме

5 урок по теме. Урок обобщения и систематизации знаний.

Научить учащихся решать задачи с помощью систем уравнений как математических моделей реальных ситуаций.

Общеобразовательные: обеспечить овладение основными алгоритмическими приемами применения систем уравнений при решении задач; формировать умения переносить знания в новую ситуацию; обобщить и систематизировать знания и умения учащихся в решении задач с помощью систем уравнений различными методами.

Развивающие: развитие аналитического мышления; познавательной активности мышления, умения работать с текстовой, графической информацией через использование задач моделирующих жизненные ситуации

Воспитательные: воспитание самостоятельности, познавательной активности, создание условий для сотрудничества, самоконтроля, формирования самооценки

Учащийся должен знать:

основные алгоритмические приемы применения систем уравнений при решении задач.

Учащийся должен уметь:

составлять систему уравнений к условию задачи;

использовать таблицы при интерпретации задач;

исследовать построенную модель.

1. Организационный момент.

Здравствуйте, друзья! Рада приветствовать Вас на нашем уроке.

Если хотите научиться плавать,

то смело входите в воду,

а если хотите научиться решать задачи,

то решайте их.
Дьёрдь Пойа

3. Актуализация опорных знаний. Проверка д/з.

Работа с составленной моделью.

Ответ на вопрос задачи.

Каков алгоритм решения задач с помощью системы уравнений?

Обозначить неизвестные величины буквами.

Выразить оставшиеся неизвестные величины.

Найти в задаче условия для составления уравнений.

Решить получившуюся систему.

Найденное решение использовать для ответа на вопрос задачи

Назовите основные методы решения системы уравнений

Алгебраического сложения, подстановки, введение новых переменных, графический.

Какие виды задач мы решали на последних уроках

Задачи на движение, на работу, геометрические задачи, задачи с числами

Ответы на вопросы по Д\з.

3. Включение с систему знаний и повторения. Решение задач.

Сегодня у нас важный и ответственный урок. Мы будем решать разные задачи. Запишите число в рабочих тетрадях. Сформулируем тему урока ( Решение задач с помощью систем уравнений как математической модели реальных ситуаций ).

Ваша задача… Алгоритм решения задачи с помощью системы уравнений:

1. Обозначить неизвестные элементы переменными;
2. Составить по условию задачи систему уравнений;
3. Определить метод решения системы уравнений;
4. Выбрать ответ, удовлетворяющий условию задачи.

Будьте внимательны, в течение урока постарайтесь выделить общее в решении в разных задач, а также что-то особенное, что отличает одно решение от другого.

Для каждой задачи учащиеся заполняют на доске таблицу и составляют систему уравнений, указывают метод решения системы. Все с проговариванием во внешней речи. Фронтальная работа.

Задача из рассказа А.П. Чехова “Репетитор”

Купец купил 138 аршин черного и синего сукна за 540 руб. Спрашивается, сколько аршин купил он того и другого сукна, если синее стоило 5 руб. за аршин, а черное – 3 руб?

Iэтап. Пусть черного сукна приобрел купец – х м и синего сукна – у м. Так как синее сукно стоит 5 руб. за 1м, а черное – 3 руб. за 1м, то составим и решим систему уравнений:

источники:

http://urok.1sept.ru/articles/600344

http://infourok.ru/tehnologicheskaya-karta-uroka-po-algebre-po-teme-sistemy-uravnenij-kak-matematicheskie-modeli-realnyh-situacij-dlya-9-klassa-4288130.html