Системы уравнений метод подстановки 11 класс

Решение задач по математике онлайн

//mailru,yandex,google,vkontakte,odnoklassniki,instagram,wargaming,facebook,twitter,liveid,steam,soundcloud,lastfm, // echo( ‘

Калькулятор онлайн.
Решение системы двух линейных уравнений с двумя переменными.
Метод подстановки и сложения.

С помощью данной математической программы вы можете решить систему двух линейных уравнений с двумя переменными методом подстановки и методом сложения.

Программа не только даёт ответ задачи, но и приводит подробное решение с пояснениями шагов решения двумя способами: методом подстановки и методом сложения.

Данная программа может быть полезна учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре. А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением.

Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается.

В качестве переменной может выступать любая латинсая буква.
Например: \( x, y, z, a, b, c, o, p, q \) и т.д.

При вводе уравнений можно использовать скобки. При этом уравнения сначала упрощаются. Уравнения после упрощений должны быть линейными, т.е. вида ax+by+c=0 с точностью порядка следования элементов.
Например: 6x+1 = 5(x+y)+2

В уравнениях можно использовать не только целые, но также и дробные числа в виде десятичных и обыкновенных дробей.

Правила ввода десятичных дробей.
Целая и дробная часть в десятичных дробях может разделяться как точкой так и запятой.
Например: 2.1n + 3,5m = 55

Правила ввода обыкновенных дробей.
В качестве числителя, знаменателя и целой части дроби может выступать только целое число.
Знаменатель не может быть отрицательным.
При вводе числовой дроби числитель отделяется от знаменателя знаком деления: /
Целая часть отделяется от дроби знаком амперсанд: &

Примеры.
-1&2/3y + 5/3x = 55
2.1p + 55 = -2/7(3,5p — 2&1/8q)

Решить систему уравнений

Немного теории.

Решение систем линейных уравнений. Способ подстановки

Последовательность действий при решении системы линейных уравнений способом подстановки:
1) выражают из какого-нибудь уравнения системы одну переменную через другую;
2) подставляют в другое уравнение системы вместо этой переменной полученное выражение;
3) решают получившееся уравнение с одной переменной;
4) находят соответствующее значение второй переменной.

Пример. Решим систему уравнений:
$$ \left\< \begin 3x+y=7 \\ -5x+2y=3 \end \right. $$

Выразим из первого уравнения y через x: y = 7-3x. Подставив во второе уравнение вместо y выражение 7-Зx, получим систему:
$$ \left\< \begin y = 7—3x \\ -5x+2(7-3x)=3 \end \right. $$

Нетрудно показать, что первая и вторая системы имеют одни и те же решения. Во второй системе второе уравнение содержит только одну переменную. Решим это уравнение:
$$ -5x+2(7-3x)=3 \Rightarrow -5x+14-6x=3 \Rightarrow -11x=-11 \Rightarrow x=1 $$

Подставив в равенство y=7-3x вместо x число 1, найдем соответствующее значение y:
$$ y=7-3 \cdot 1 \Rightarrow y=4 $$

Пара (1;4) — решение системы

Системы уравнений с двумя переменными, имеющие одни и те же решения, называются равносильными. Системы, не имеющие решений, также считают равносильными.

Решение систем линейных уравнений способом сложения

Рассмотрим еще один способ решения систем линейных уравнений — способ сложения. При решении систем этим способом, как и при решении способом подстановки, мы переходим от данной системы к другой, равносильной ей системе, в которой одно из уравнений содержит только одну переменную.

Последовательность действий при решении системы линейных уравнений способом сложения:
1) умножают почленно уравнения системы, подбирая множители так, чтобы коэффициенты при одной из переменных стали противоположными числами;
2) складывают почленно левые и правые части уравнений системы;
3) решают получившееся уравнение с одной переменной;
4) находят соответствующее значение второй переменной.

Пример. Решим систему уравнений:
$$ \left\< \begin 2x+3y=-5 \\ x-3y=38 \end \right. $$

В уравнениях этой системы коэффициенты при y являются противоположными числами. Сложив почленно левые и правые части уравнений, получим уравнение с одной переменной 3x=33. Заменим одно из уравнений системы, например первое, уравнением 3x=33. Получим систему
$$ \left\< \begin 3x=33 \\ x-3y=38 \end \right. $$

Из уравнения 3x=33 находим, что x=11. Подставив это значение x в уравнение \( x-3y=38 \) получим уравнение с переменной y: \( 11-3y=38 \). Решим это уравнение:
\( -3y=27 \Rightarrow y=-9 \)

Таким образом мы нашли решение системмы уравнений способом сложения: \( x=11; y=-9 \) или \( (11; -9) \)

Воспользовавшись тем, что в уравнениях системы коэффициенты при y являются противоположными числами, мы свели ее решение к решению равносильной системы (сумировав обе части каждого из уравнений исходной симтемы), в которой одно из уравнений содержит только одну переменную.

Алгебра и начала математического анализа. 11 класс

Конспект урока

Алгебра и начала математического анализа, 11 класс

Урок №50. Системы уравнений. Методы решения систем уравнений.

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

• Методы решений систем: метод сложения, метод подстановки.
• Частные способы решения систем уравнений.
• Решение задач итоговой аттестации

Глоссарий по теме

Уравнение. Пусть заданы функции f(x) и g(x). Если относительно равенства поставлена задача отыскания всех значений переменной, при которых получается верное числовое равенство, то говорят, что задано уравнение с одной переменной.

Уравнение с двумя переменными. Уравнение с двумя переменными x и y имеет вид , где f и g — выражения с переменными x и y .

Система уравнений. Если ставится задача найти множество общих решений двух или нескольких уравнений с двумя переменными, то говорят, что надо решить систему уравнений. Систему двух уравнений с двумя переменными будем записывать так:

Колягин Ю.М., Ткачева М.В, Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 10 кл.– М.: Просвещение, 2014. С 238-239.

Открытые электронные ресурсы:

Открытый банк заданий ЕГЭ ФИПИ http://ege.fipi.ru/

Решу ЕГЭ образовательный портал для подготовки к экзаменам https://ege.sdamgia.ru/

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Рассмотрим методы решения систем уравнений

Выразим одну переменную из второго уравнения и подставим во второе:

Решим первое уравнение

Подставим найденное значение в первоначальную систему

Получим ответ: (4; 6)

Сложим почленно уравнения и найдем значение одной из переменных

Подставим полученное значение в первоначальную систему и найдем решение.

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

Решите систему уравнений

Выберите верный ответ из предлагаемых.

1. (4; 1);
2. (-1; -4); (9; 3)
3. (1; 4);

Правильный вариант: 1) (4; 1);

Рассмотрим первое уравнение.

Решим это уравнение методом замены переменной.

Найдем значение t = 2 т.е.

Подставим полученное значение во второе уравнение.

Решая второе уравнение получим значения y.

, или

, или

Ответ:

Решите систему уравнений

Выберите верный ответ из предложенных

Рассмотрим второе уравнение и преобразуем его:

Конспекты уроков по теме; «Решение систем линейных уравнений способом подстановки»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

«Актуальность создания школьных служб примирения/медиации в образовательных организациях»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Муниципальное общеобразовательное учреждение

«Чернослободская основная школа»

Шацкий муниципальный район

Конспекты уроков по теме;

«Решение систем линейных уравнений способом подстановки»

Автор: Трандина Л.Н. учитель математики

МОУ «Чернослободская ОШ»

Шацкого района Рязанской области

Тема урока : «Решение систем линейных уравнений способом подстановки»

Сформировать умение решать системы двух линейных уравнений с двумя переменными способом подстановки.

Вырабатывать умение выражать из какого-нибудь уравнения системы одну переменную через другую.

Развивать умение обобщать, анализировать, логически мыслить.

Воспитывать интерес к предмету через содержание учебного материала.

Оборудование: мультимедийный проектор, доска, мел, карточки.

Актуализация опорных знаний.

1. Является ли пара чисел (2; 3) решением системы уравнений:

а) б) в)

2. Сколько решений имеет система уравнений:

а) б) в)

Вывод: коэффициенты при х различны, то система имеет одно решение;

если коэффициенты при х одинаковы, то система не имеет решений.

3. Выразите у через х: а) х + у = 2; б) у – 6х = 1; в) х – у = 4.

4. Выразите х через у: а) х + у = 6; б) х – 2у = 4; в) 2у – х = 1.

II. Объяснение нового материала.

Объяснение проводится согласно пункту 43 учебника.

1. Рассмотрите пример 1, учебника, что данный способ решения систем уравнений называется способом подстановки.

2. Выучите определение равносильных систем уравнений.

3. Записываем в тетрадях алгоритм решения систем уравнений способом подстановки . При этом каждый шаг алгоритма должен отражаться соответствующим действием в решении системы уравнений.

Выразить из какого-нибудь уравнения системы
одну переменную через другую

Подставить в другое уравнение системы вместо
этой переменной полученное выражение

Решить полученное уравнение с одной
переменной

Найти соответствующее значение второй
переменной

Обращаю ваше внимание , что выражать следует ту переменную, при которой стоит более «удобный» коэффициент (в частности ±1).

III. Формирование умений и навыков.

Желательно, чтобы вы запомнили алгоритм решения систем уравнений способом подстановки и могли его применять, не обращаясь к записям в тетрадях и разобранным примерам.

1. Выразите в уравнениях х через у и у через х .

Проверка а) х + у = 5; х = 5 – у; у= 5 – х .

б) у – х = –2; — х = — у – 2; х = у +2; у= х – 2.

Выразим у через х, подставим во второе уравнение.

а)

Вычислим, соответствующее значение переменной у

в)

– Что называется решением системы уравнений с двумя переменными?

– Какие вы знаете способы решения систем уравнений?

– Сформулируйте алгоритм решения систем уравнений способом подстановки.

– Из какого уравнения системы лучше выражать переменную?

V. На дом : п.43; № 1069(б,г,д,е).

Тема урока : «Решение систем линейных уравнений способом подстановки »

Цели: продолжить формирование умения решать системы уравнений способом подстановки. проверить первоначальный уровень усвоения материала.

Образовательные: обобщение и систематизация знаний и умений учащихся при решении систем линейных уравнений с двумя переменными.

Развивающие: развитие математического и общего кругозора, мышления и речи учащихся, способствовать формированию умений применять приёмы: обобщения, сравнения, выделения главного.

Воспитательные: воспитание интереса к математике, активности, общей культуры, организованности и взаимопомощи через работу в парах.

Тип урока: урок закрепления знаний

I. Устная работа.

1.Является ли пара чисел (–3; 1) решением системы уравнений:

а)

2. Выразите в уравнении х через у и у через х .

II. Формирование умений и навыков.

На этом уроке мы будем решать системы уравнений, в которых ни один коэффициент при переменных не равен ±1. Сначала нужно разобрать пример 2 из учебника, сделать соответствующие выводы, а затем приступить к выполнению заданий (стр.212-213)

Обращаю ваше внимание , что иногда удобнее выражать переменную вместе с её коэффициентом.

а)

v = ;

2 u = –5 ∙ = –1;

u = .

б) Здесь не получится сделать, как в предыдущей системе, поскольку коэффициенты при переменных не являются кратными.

3 p + 4 ∙ p = 29;

3 · 3 р + 4 · 5 р = 29 · 3;

q = p = ∙ 3 = 5.

в)

u = .

3 v = 14 – 4 ∙ 4 ;

3 v = 14 – 17 = –3 ;

v = –1 .

Ответ : .

г)

2 р = –17,5 + 22 = 4,5;

2. Рата по учебнику : № 1073.

Чтобы найти координаты точки пересечения двух прямых, нужно составить и решить соответствующую систему уравнений.

а)

16 х – 5 (23 – 7 х ) = 38;

16 х – 115 + 35 х = 38;

III. Обучающая самостоятельная раюота.

1. Решите систему уравнений способом подстановки и сделайте проверку.

а) б)

– Что называется решением системы уравнений с двумя переменными?

– Сформулируйте алгоритм решения систем уравнений способом подстановки.

– В каких случаях при решении системы уравнений можно выражать переменную вместе с её коэффициентом?

IV. На дом: п. 43; № 1070(в,г),№ 1071(в),1073(б)

Тема урока: «Решение систем линейных уравнений способом подстановки»

Цели: продолжить формирование умения решать системы уравнений способом подстановки., проверить уровень усвоения материала.

Образовательные: обобщение и систематизация знаний и умений учащихся при решении систем линейных уравнений с двумя переменными; первичная проверка знаний и умений.

Развивающие: развитие математического и общего кругозора, мышления и речи учащихся, способствовать формированию умений применять приёмы: обобщения, сравнения, выделения главного.

Воспитательные: воспитание интереса к математике, активности, общей культуры, организованности и взаимопомощи через работу в парах.

Тип урока: урок закрепления знаний.

I. Устная работа. Актуализация знаний.

1. Является ли пара чисел (–2; –2) решением системы уравнений:

а)

2. Из какого уравнения системы и какую переменную выразить «удобнее»? Ответ объясните.

а) б)

II. Формирование умений и навыков.

На этом уроке мы будут решать системы уравнений, в которых до применения алгоритма решения системы уравнений с двумя переменными способом подстановки предварительно необходимо провести ряд тождественных преобразований.

Я думаю, решение таких систем не должно у вас вызывать затруднений.

Необходимо раскрыть скобки, привести подобные слагаемые – и система станет похожей на те которые мы уже решали.

3(х – 5) -1 = 6 – 2х 3х – 15-1=6-2х 3х+2х=22

3( х- у) – 7у = -4, 3х – 3у – 7у= -4, 3х -10у=-4,

3х – 10у =-4; 34,4 – 10у =-4; 13,2 -10у=-4 ; -10у= -13,2-4; -10у=-17,2; у=1,72

Мы уже знаем, что если в линейном уравнении встречаются дроби, то обе части уравнения нужно умножать на наименьший общий знаменатель этих дробей.

Таким же приёмом пользуются и при решении систем уравнений .

а)

Замечание . Обращаем внимание на опечатку: во втором уравнении системы вместо –2 должно стоять –1.

в)

2 (35 п + 120) + 5 п = 15;

70 п + 240 + 5 п = 15;

3 т = 35 · (–3) + 120;

3 т = –105 + 120 = 15;

Первичная проверка знаний и умений ( самостоятельная работа).

1. Решите систему уравнений способом подстановки

а) б)

в )

– Что называется решением системы уравнений с двумя переменными?

– Сформулируйте алгоритм решения системы уравнений способом подстановки.

– Как, не выполняя построений, найти координаты точки пересечения графиков двух уравнений?

– Как следует начать решение системы уравнений, в которой встречаются дробные коэффициенты?

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

• Сейчас обучается 949 человек из 80 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

• Сейчас обучается 681 человек из 75 регионов

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

• Сейчас обучается 314 человек из 70 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Дистанционные курсы для педагогов

Самые массовые международные дистанционные

Школьные Инфоконкурсы 2022

33 конкурса для учеников 1–11 классов и дошкольников от проекта «Инфоурок»

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 566 399 материалов в базе

Материал подходит для УМК

«Алгебра», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др. / Под ред. Теляковского С.А.

§ 16. Решение систем линейных уравнений

Другие материалы

• 27.10.2020
• 925
• 87

• 20.07.2020
• 503
• 6

• 15.06.2020
• 489
• 22

• 08.06.2020
• 3035
• 79

• 26.05.2020
• 885
• 21

• 15.05.2020
• 239
• 0

• 07.05.2020
• 171
• 4

• 05.05.2020
• 248
• 4

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Добавить в избранное

• 03.11.2020 350
• DOCX 64.8 кбайт
• 23 скачивания
• Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Трандина Людмила Николаевна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

• На сайте: 4 года и 4 месяца
• Подписчики: 0
• Всего просмотров: 4694
• Всего материалов: 10

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

Количество бюджетных мест в вузах по IT-программам вырастет до 160 тыс.

Время чтения: 2 минуты

У 76% российских учителей оклад ниже МРОТ

Время чтения: 2 минуты

ЕГЭ в 2022 году будут сдавать почти 737 тыс. человек

Время чтения: 2 минуты

Рособрнадзор не планирует переносить досрочный период ЕГЭ

Время чтения: 0 минут

В Воронеже продлили удаленное обучение для учеников 5-11-х классов

Время чтения: 1 минута

В России могут объявить Десятилетие науки и технологий

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.