Системы уравнений на егэ по математике

Системы алгебраических уравнений

Систему уравнений можно решать методом подстановки – выражать переменную из одного уравнения и подставлять в другое.

Уравнения в системе можно также складывать друг с другом и вычитать одно из другого. Например, левую часть одного уравнения складываем с левой частью другого, правую – с правой.

Можно умножать и даже делить одно уравнение на другое! Конечно, при этом надо следить, чтобы не умножить или не поделить на ноль.

Обратите внимание – когда мы решаем систему уравнений, она не распадается на «кусочки», на отдельные уравнения. Каждый раз мы переходим от системы уравнений к равносильной ей системе.

1. Решите систему уравнений:

Раскроем скобки в каждом уравнении:

Вычтем из первого уравнения системы второе: . И подставим во второе уравнение.

2. Решите систему уравнений:

Мы разложили левую часть первого уравнения на множители по формуле суммы кубов.

Поделим первое уравнение системы на второе

Подставим в уравнение

3. Решите систему уравнений:

Дальше – цепочка равносильных переходов.

Решения первой системы:

Решим квадратное уравнение . Его корни:
и .

Это полезно

Узнаете, чем отличаются официально-деловой, публицистический, научный, художественный и разговорный стили.

Системы уравнений

СОДЕРЖАНИЕ

1. Метод последовательного исключения неизвестных
2. Простейшие нелинейные системы из двух алгебраических уравнений с двумя неизвестными
3. Системы, сводящиеся к однородным уравнениям
4. Системы из трех уравнений с тремя неизвестными
5. Линейные системы, содержащие параметр. Число решений системы в зависимости от параметра
6. Системы, содержащие логарифмы
7. Системы, содержащие показательные функции

ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

Скачать пособие «Системы уравнений» (формат pdf, 247кб)

С необходимыми теоретическими сведениями, используемыми при решении задач, можно ознакомиться в разделе «Алгебра» нашего «Справочника по математике для школьников».

Рекомендуем также ознакомиться с методами и примерами решения систем уравнений, представленных в разделах нашего справочника «Системы линейных уравнений», «Системы с нелинейными уравнениями».

Со свойствами логарифмов можно ознакомиться в разделе «Логарифмы» нашего справочника.

С понятиями степени с целочисленным показателем и арифметического корня можно также ознакомиться в разделе «Степень с целочисленным показателем и арифметический корень» нашего справочника.

С понятием степени с рациональным показателем и свойствами степеней можно ознакомиться в разделе «Степень с рациональным показателем» нашего справочника.

Графики логарифмических функций представлены в разделе «Графики степенных, показательных и логарифмических функций» нашего справочника.

Задания по теме «Системы уравнений с параметром»

Открытый банк заданий по теме системы уравнений с параметром. Задания C6 из ЕГЭ по математике (профильный уровень)

Задание №1227

Условие

Найдите все значения a > 0, при каждом из которых система \begin(x-4)^2+(|y|-4)^2=9,\\ x^2+(y-4)^2=a^2\end имеет ровно 2 решения.

Решение

Если y \geqslant 0, то первое уравнение задаёт окружность \phi _1 с центром в точке C_1 (4; 4) радиуса 3 , а если y то оно задаёт окружность \phi _2 с центром в точке C_2 (4; -4) того же радиуса.

При a > 0 второе уравнение задаёт окружность \phi с центром в точке C(0; 4) радиуса a . Поэтому задача состоит в том, чтобы найти все значения параметра a , при каждом из которых окружность \phi имеет ровно две общие точки с объединением окружностей \phi _1 и \phi _2.

Координаты точки касания окружностей \phi и \phi _1 явно видны на чертеже — точки A_1 (1; 4) и B_1 (7; 4) . То есть при a=CA_1=1 и a=CB_1=7 окружности \phi и \phi _1 касаются. При a > 7 и a окружности \phi и \phi _1 не пересекаются, при 1 окружности \phi и \phi _2 имеют 2 общие точки.

Далее, из точки C проведём луч CC_2 и обозначим A_2 и B_2 точки его пересечения с окружностью \phi_2 , где A_2 лежит между C и C_2. Заметим, что длина отрезка CC_2= \sqrt <4^2+(4-(-4))^<2>>= \sqrt <80>= 4\sqrt 5.

При a или a > CB_2 окружности \phi и \phi_2 не пересекаются. При CA_2 окружности \phi и \phi _2 имеют 2 общие точки. При a =CA_2=4\sqrt 5-3 или a=CB_2=4\sqrt 5+3, окружности \phi и \phi _2 касаются.

Исходная система имеет ровно 2 решения тогда и только тогда, когда окружность \phi с одной из окружностей \phi _1 и \phi _2 имеет 2 общие точки, а с другой не пересекается, либо касается одновременно двух окружностей.

Так как 1 то условию задачи удовлетворяют значения a\in (1;4\sqrt 5-3) \cup (7; 4\sqrt 5+3).