Системы уравнений равносильность систем уравнений презентация

Урок + презентация «Равносильность уравнений» 11класс.
презентация к уроку (алгебра, 11 класс) по теме

Урок, объяснение нового материала, составлен для учащихся 11 класса профильного уровня.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Урок алгебры и начала анализа по теме: «Равносильность уравнений».

Пашкина Любовь Владимировна, учитель математики.

Краткая аннотация урока:

Учебный предмет – алгебра и начала анализа.

Уровень образования школьников : 11 класс общеобразовательной школы, профильный уровень.

Раздел программы : Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств.
Место урока в изучении раздела : первый урок.

Форма учебной работы – классно-урочная.

Продолжительность урока: 45 минут .

Дидактическое оснащение урока и ТСО: компьютер учителя, проектор.

Основные понятия: равносильные уравнения, уравнения – следствия, теоремы равносильности («спокойные» и «беспокойные»), лишние корни, потеря корней.

Тип урока: комбинированный.

Форма проведения: традиционный урок.

Методы обучения: фронтальный, индивидуальный, групповой, наглядно-практический.
Приобретаемые навыки детей: применение знаний к решению уравнений.

Формы организации работы детей : индивидуальная и групповая работа.

1. выработать у учащихся умение пользоваться теоремами равносильности уравнений.
2. осуществить формирование первоначальных знаний в виде отдельных навыков после определенной тренировки решения уравнений.
3. познакомить учащихся с частными случаями и отработать навыки по решению таких уравнений

Учебник.11 класс/Под ред. Мордкович А.Г. – изд. «Мнемозина» Москва 2008г.

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Методическая разработка: предполагаемый план проведения урока — При подготовке к уроку использовать как вспомпгательный ориентир для каждого этапа урока. Презентация отражает создание условий для учебных действий на уроке.

При подготовке к уроку использовать как вспомпгательный ориентир для каждого этапа урока. Презентация отражает создание условий для учебных действий на уроке.

Методическая разработка урока литературы по теме «Творчество Сергея Есенина»(11 класс). Тема урока — «Голубая Русь» Сергея Есенина. Тип урока –урок-исследование.

Знакомство со стихотворениями С.Есенина, посвящёнными теме родины, с творческим методом поэта.

Конспект открытого урока по технологии в 6 классе. Тема урока: Игровые технологии на уроках обслуживающего труда. Одежда и требование к ней. Снятие мерок для построения чертежа юбки. (Презентация к уроку)

Разработка урока с презентацией помогает учителю более доступно и понятно познакомить учащихся с историей юбки. На уроке используются игровые технологии, что помогают учащимся лучше усвоить материал у.

Урок изобразительного искусства в 5-ом классе.Тема урока: « Деревья как люди». Вид работы: рисование по представлению Тип урока: комбинированный, урок – сказка

Тема урока: « Деревья как люди».Вид работы: рисование по представлениюТип урока: комбинированный, урок – сказка Цель урока:ü Средствами изобразительного языка .

Класс 9 Урок №24. Тема урока: Системы счисления. Перевод чисел Тип урока; Урок «построения » системы знания.

Урок для учащихся 9 класса по теме «Системы счисления. Перевод чисел». Урок в разделе программы по счету третий. Цель:Образовательная: систематизация и расширение знаний обучающихся о операциях п.

Урок обобщающего повторения по теме Южная Америка.Урок-игра.Особый колорит уроку придаёт просмотр ролика»Танго и футбол», вопрос от шеф повара с угощением мамалыгой и синквейн. Легенда рассказанная в начале урока настраивает ребят на работу.

Урок географии в 7-м классе по теме «Южная Америка». Подготовила и провела: учитель географии 1квалификационной категории Васильева Елена Тихоновна в МБОУ СОШ №21 г. Коврова, в рамках подго.

Конспект урока Вторая война Рима с Карфагеном 5 класс, Конспект урока кубановедения Появление человека современного облика 5 класс, Конспект урока Королевство франков и христианская церковь в VI— VIII вв. 6 класс, Конспект урока Московское княжество и его

В ходе подготовки к урокам использовались современные информационные технологии. Участники проектной деятельности в ходе подготовки к уроку использовали свободное образовательное пространство сети Инт.

Презентация по математике на тему: «Равносильность уравнений и их систем»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

«Актуальность создания школьных служб примирения/медиации в образовательных организациях»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Выберите документ из архива для просмотра:

Выбранный для просмотра документ Презентация к уроку.pptx

Описание презентации по отдельным слайдам:

Уравнения и неравенства Уравнения и системы уравнений. Равносильность уравнений и их систем

Определение 1. Два уравнения с одной переменной f(x) = g(x) и p(x) = h(x) называются равносильными, если множества их корней совпадают.

Определение 2. Если каждый корень уравнения f(x) = g(x) (1) является в то же время корнем уравнения p(x) = h(x), (2) то уравнение (2) называют следствием уравнения (1). Два уравнения равносильны тогда и только тогда, когда каждое из них является следствием другого.

Теоремы о равносильности Теорема 1. Если какой-нибудь член уравнения перенести из одно части уравнения в другую с противоположным знаком, то получится уравнение, равносильное данному.

Теоремы о равносильности Теорема 2. Если обе части уравнения возвести в одну и ту же нечетную степень, то получится уравнение, равносильное данному.

Теоремы о равносильности Теорема 3. Показательное уравнение (где а  0, а  1) равносильно уравнению . f(x) = g(x)

Определение 3. Областью определения уравнения f(x) = g(x) или областью допустимых значений (ОДЗ) называют множество тех значений переменной х, при которых одновременно имеют смысл выражения f(x) и g(x).

Теорема 4. Если обе части уравнения f(x) = g(x) умножить на одно и то же выражение h(x), которое: а) имеет смысл всюду в области определения ( в области допустимых значений) уравнения f(x) = g(x); б) нигде в этой области не обращается в нуль, то получится уравнение f(x)h(x) =g(x)h(x), равносильное данному в его ОДЗ.

Теорема 5. Если обе части уравнения f(x) = g(x) неотрицательны в ОДЗ уравнения, то после возведения обеих частей в одну и ту же четную степень n получится уравнение , равносильное данному в его ОДЗ.

Теорема 6. Пусть а  0 и а  1, Х – решение системы неравенств f(x)  0 g(x)  0. Тогда уравнение равносильно на множестве Х уравнению f(x) = g(x)

Системы линейных уравнений: Система линейных уравнений — это объединение из m линейных уравнений, каждое из которых содержит m переменных. Две системы называются равносильными, если множества их решений совпадают или обе системы не имеют решений.

Решить системы линейных уравнений:

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

• Сейчас обучается 956 человек из 80 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

• Сейчас обучается 685 человек из 75 регионов

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

• Сейчас обучается 314 человек из 70 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Дистанционные курсы для педагогов

Самые массовые международные дистанционные

Школьные Инфоконкурсы 2022

33 конкурса для учеников 1–11 классов и дошкольников от проекта «Инфоурок»

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 569 686 материалов в базе

Другие материалы

• 11.10.2018
• 567
• 2

• 11.10.2018
• 1957
• 70

• 11.10.2018
• 141
• 0

• 11.10.2018
• 2209
• 195

• 11.10.2018
• 319
• 4

• 11.10.2018
• 1597
• 75

• 11.10.2018
• 1130
• 10

• 11.10.2018
• 187
• 0

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Добавить в избранное

• 11.10.2018 737
• RAR 129.6 кбайт
• 82 скачивания
• Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Кадырова Мавиле Редвановна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

• На сайте: 3 года и 4 месяца
• Подписчики: 14
• Всего просмотров: 44671
• Всего материалов: 61

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

Тринадцатилетняя школьница из Индии разработала приложение против буллинга

Время чтения: 1 минута

Объявлен конкурс дизайн-проектов для школьных пространств

Время чтения: 2 минуты

Полный перевод школ на дистанционное обучение не планируется

Время чтения: 1 минута

Рособрнадзор не планирует переносить досрочный период ЕГЭ

Время чтения: 0 минут

В Воронеже продлили удаленное обучение для учеников 5-11-х классов

Время чтения: 1 минута

У 76% российских учителей оклад ниже МРОТ

Время чтения: 2 минуты

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Презентация на тему: Равносильность уравнений

Равносильность уравнений Выполнила: Цыденова Б.Проверила: Щербакова И. И.

Определение: Два уравнения называются равносильными, если их множества решений равны

Теорема 1: Пусть уравнение f(x) = g(x)задано на множестве X и h(x) – выражение, определенное на том же множестве. Тогда уравнение равносильны на множестве Х.

Доказательство: Обозначим через Т1 множество решений уравнения (1), а через Т2 множество решений уравнения (2). Тогда уравнения (1) и (2) будут равносильны, если Т1 = Т2. Но чтобы убедиться в этом, необходимо показать, что любой корень из Т1 является корнем уравнения (2) и, наоборот, любой корень из Т2 является корнем уравнения (1).

Пусть число а – корень уравнения (1). Тогда а Є Т1 и при подстановке в уравнение (1) обращает его в истинное числовое равенство f(a) = g(a), а выражение h(x) обращает в числовое выражение h(a). Поставим к обеим частям истинное равенства f(a) = g(a) числовое выражение h(a). Получим согласно свойства истинных числовых равенств истинное числовое равенство f(a) + h(a) = g(a) + h(a)

Итак, доказано, что каждый корень уравнения (1) является корнем уравнения (2), т.е. Т1СТ2.Пусть, теперь b – корень уравнения (2). Тогда b ЄT2 и при подстановке в уравнение обращает его в истинное числовое равенство f(b) + h(b) = g(b) + h(b).Прибавим к обеим частям этого равенства числовое выражение – h(b). Получим истинное числовое равенство f(b) = g(b), которое говорит о том, что число b – корень уравнения (1).

Итак, доказано, что каждый корень уравнения (2) является и корнем уравнения (1), т.е. Т2 С Т1.Так как Т1С Т2 и Т2 С Т1, то по определению равных множеств Т1С Т2 , а значит, уравнения (1) и (2) равносильны на множестве Х.При решении уравнений чаще всего используется не сама данная теорема, а следствия из нее:1. Если к обеим частям уравнения прибавить одно и то же число, то получим уравнение, равносильное данному.2. Если какое- либо слагаемое (числовое выражение или выражение с переменной) перенести из одной части уравнения в другую, поменяв знак слагаемого на противоположный, то получим уравнение, равносильное данному.

Теорема 2: Пусть уравнение f(x) = g(x) на множестве X и h (x) – выражение, определенное на том же множестве и не обращающееся в нуль ни при каких значениях х из множества Х. Тогда уравнения f(x) = g(x) и f(x) * h(x) = g(x) * h(x) равносильны на множестве Х.

Доказательство этой теоремы аналогично доказательству теоремы 1.Из теоремы 2 вытекает следствие, которое часто воспользуется при решении уравнений. Если обе части уравнений умножить (или разделить) на одно и то же число, отличное от нуля, то получим уравнение, равносильное исходному.Решим уравнение 1-х/3 = х/6, хЄR, и выясним, какие теоретические положения при этом были использованы.

Возьмем теперь уравнение х(х — 1) = 2х, хЄR. Иногда учащиеся решают его так: делят обе части на х, получают уравнение х – 1 = 2, откуда находят, что х = 3, и заключают: <3>– множество решений данного уравнения.Но верно ли решено данное уравнение? Найдены ли все такие действительные значения х, которые обращают уравнение х(х – 1) = 2 в истинное числовое равенство?Нетрудно видеть, что при х = 0 данное уравнение обращается в истинное числовое равенство 0*( 0 – 1) = 2*0. Значит, 0 – корень данного уравнения. Почему же произошла потеря этого корня?Дело в том, что уравнение х – 1 = 2 не равносильно уравнению 2( х – 1) = 2х на множестве действительных чисел, так как получено из последнего умножением на выражение 1/х, которое определено не для всех действительных чисел (в частности, при х = 0 оно не имеет смысла), т.е. нами не выполнено условие теоремы 2, что и привело к потере корня.Как правильно решить уравнение х(х — 1) = 2х? Рассмотрим один из возможных вариантов решения.

Таким образом, множество решений данного уравнения состоит из двух чисел 0 и 3, т.е. имеет вид <0, 3>.Заметим, что невыполнение условий теорем 1 и 2 может привести не только к потере корней уравнения, но ик появлению так называемых посторонних корней. Какие корни считают посторонними?Пусть даны уравнения: f1(x) = g1(x) и f2(x) = g2(x) (2). Если известно, что все корни уравнения (1) являются корнями уравнения (2), то про уравнение (2) можно сказать, что оно следует из уравнения (1) или что уравнение (2) есть следствие уравнения (1). Если же уравнение (2)имеет корни, не удовлетворяющие уравнению (1), то они будут посторонними для уравнения (1). Например, решая уравнение 5х – 15/(х + 2)(х — 3) = 0, мы освобождаемся от знаменателя, умножив обе части уравнения на (х + 2)(х — 3), и получаем 5х – 15 = 0, откуда х = 3. Но при х = 3 знаменатель дроби 5х – 15/(х + 2)(х — 3) обращается в нуль, и поэтому х = 3 не может быть корнем исходного уравнения, т.е. х = 3 оказывается для него посторонним корнем.

Вообще если при решении уравнения его заменяют следствием, (а не равносильным уравнением), то надо найти все корни уравнения-следствия, а затем их проверить, подставив в исходное уравнение. Посторонние корни отбрасывают.Следует заметить, что приобретение посторонних корней менее «опасное» явление, чем их потеря. Поэтому при решении уравнений необходимо в первую очередь строго следить за правильным применением теорем о равносильности.