Системы уравнений с одной переменной неравенства

Решение систем неравенств с одной переменной

Понятие системы неравенств с одной переменной и его решения

Несколько неравенств с одной переменной образуют систему , если нужно найти такое множество значений переменной, которое будет решением каждого из неравенств.

Решением системы неравенств с одной переменной является такое множество значений этой переменной, которое превращает каждое из неравенств в верное числовое неравенство.

Следствие: общим решением системы неравенств с одной переменной является пересечение частных решений каждого из неравенств системы .

Например: $<\left\< \begin x+7 \ge 2 \\ x-4 \lt 1 \end \right.> \iff <\left\< \begin x \ge -5 \\ x \lt 5 \end \right.> \iff -5 \le x \lt 5 или x \in \Bbb[-5;5)$ — полуинтервал

Алгоритм решения системы неравенств с одной переменной

Подробно о числовой прямой и видах числовых промежутков на ней рассказано в §16 данного справочника. Здесь мы изобразим числовые промежутки как решения неравенств на более простых примерах.

Шаг 1. Найти множество частных решений для каждого из неравенств системы. Если хотя бы одно из частных решений является пустым множеством, вся система неравенств не имеет решений; перейти к шагу 4.

Шаг 2. Начертить друг под другом числовые прямые, число которых равно числу полученных частных решений. Начала отсчёта числовых прямых должны находиться на общем перпендикуляре, единичный отрезок должен совпадать .

Шаг 3. На числовых прямых изобразить полученные частные решения, на отдельной прямой найти их пересечение – это и будет общим решением системы .

Шаг 4. Работа завершена.

Например: $<\left\< \begin x-2 \lt 1 \\ x+5 \ge 6 \end \right.> \iff <\left\< \begin x \lt 3 \\ x \ge 1 \end \right.> \iff 1 \le x \lt 3 или x \in \Bbb[1;3)$ — полуинтервал

Если в системе неравенств есть несколько неравенств со знаком «больше», то из них останется одно неравенство по принципу «больше большего».

Если в системе неравенств есть несколько неравенств со знаком «меньше», то из них останется одно неравенство по принципу «меньше меньшего» .

1) В системе $ <\left\< \begin x \gt 5 \\ x \gt 2 \\ x \gt 3 \end \right.> $ наибольшее число (условие) справа 5.

По принципу «больше большего» останется: $ <\left\< \begin x \gt 5 \\ x \gt 2 \\ x \gt 3 \end \right.> \iff x \gt 5 $

2) В системе $ <\left\< \begin x \lt 5 \\ x \lt 2 \\ x \lt 3 \end \right.> $ наименьшее число (условие) справа 2.

По принципу «меньше меньшего» останется: $ <\left\< \begin x \lt 5 \\ x \lt 2 \\ x \lt 3 \end \right.> \iff x \lt 2 $

Примеры

Пример 1. Решите системы уравнений:

$а) <\left\< \begin 2(x-8) \ge x-16 \\ 3(x+1) \le 11 \end \right.> \iff <\left\< \begin 2x-x \ge -16+16 \\ 2x \le 11-3 \end \right.> \iff <\left\< \begin x \ge 0 \\ 2x \le 8 \end \right.> \iff <\left\< \begin x \ge 0 \\ x \le 4 \end \right.> \iff 0 \le x \le 4$

$x \in [0;4]$ — интервал

$б) <\left\< \begin 5(x-6) \gt x-10 \\ 4(x-1) \lt x+5 \end \right.> \iff <\left\< \begin 5x-x \gt 30-10 \\ 4x-x \lt 5+4 \end \right.> \iff <\left\< \begin 4x \gt 20 \\ 3x \lt 9 \end \right.> \iff <\left\< \begin x \gt 5 \\ x \lt 3 \end \right.> \iff x \in \varnothing$

$x \in \varnothing$ — решений нет

$в) <\left\< \begin -5 \lt 3x+1 \le 4 \\ 3 \lt 2x+5 \lt 9 \end \right.> \iff <\left\< \begin -5-1 \lt 3x \le 4-1 \\ 3-5 \lt 2x \lt 9-5 \end \right.> \iff <\left\< \begin -6 \lt 3x \le 3 \\ -2 \lt 2x \lt 4 \end \right.> \iff <\left\< \begin -2 \lt x \le 1 \\ -1 \lt x \lt 2 \end \right.> \iff$

$$\iff -1 \lt x \le 1$$

$x \in (-1;1] $ — полуинтервал

Пример 2. При каких значениях переменной x имеет смысл выражение:

$ <\left\< \begin x+2 \ge 0 \\ 4-x \ge 0 \end \right.> \iff <\left\< \begin x \ge -2 \\ x \le 4 \end \right.> \iff -2 \le x \le 4 $

$x \in [-1,5;4) \cup (4;+ \infty) $

$ <\left\< \begin x-5 \gt 0 \\ 1-x \gt 0 \end \right.> \iff <\left\< \begin x \gt 5 \\ x \lt 1 \end \right.> \iff x \in \varnothing$

$x \in \varnothing $ — решений нет

Пример 3*. У космического пирата Шутзема несколько затруднительное финансовое положение и только 510 астротугриков в кармане. Однако ему нужно пополнить запасы топлива и продовольствия. Одна капсула с топливом стоит 50 астротугриков, а одна капсула с едой – 30 астротугриков. Какой вариант покупок есть у Шутзема на всю сумму без сдачи, если топлива нужно не менее 4 капсул, а еды – не менее 5?

Пусть x — количество капсул с топливом, y – количество капсул с едой.

По условию задачи:

$$ <\left\< \begin 50x+30y \le 500 \\ x \ge 4 \\ y \ge 5 \\ x,y \in \Bbb N \end \right.> \iff <\left\< \begin 5x+3y \le 50 \\ x \ge 4 \\ y \ge 5 \\ x,y \in \Bbb N \end \right.> $$

Изобразим полученные полуплоскости графически и найдём их пересечение.

Прямая сверху – это бюджетное ограничение.

На этой прямой в области допустимых значений (закрашенный треугольник, стороны включительно) есть только одно целое решение: $ <\left\< \begin x = 6 \\ y = 7 \end \right.> $

Ответ: 6 капсул топлива и 7 капсул еды.

Системы линейных неравенств с одной переменной

Примеры решения систем линейных неравенств с одной переменной

Несколько линейных неравенств, удовлетворяющих одним и тем же решениям, образуют систему.

Рассмотрим простейший пример. Система состоит из двух неравенств, которые уже решены.

Решениями первого неравенства являются все числа, которые больше 4. Решениями второго неравенства являются все числа, которые меньше 9.

Изобразим множество решений каждого неравенства на координатной прямой и запишем ответы к ним в виде числовых промежутков:

Но дело в том, что неравенства x > 4 и x соединены знаком системы, а значит зависимы друг от друга. Им не дозволяется раскидываться решениями как им захочется. Наша задача указать решения, которые одновременно будут удовлетворять и первому неравенству и второму.

Говоря по-простому, нужно указать числа, которые больше 4, но меньше 9. Очевидно, что речь идет о числах, находящихся в промежутке от 4 до 9.

Значит решениями системы являются числа от 4 до 9. Границы 4 и 9 не включаются во множество решений системы, поскольку неравенства x > 4 и x строгие. Ответ можно записать в виде числового промежутка:

Также, нужно изобразить множество решений системы на координатной прямой.

Для системы линейных неравенств решение на координатной прямой изображают так:

Сначала указывают границы обоих неравенств:

На верхней области отмечают множество решений первого неравенства x > 4

На нижней области отмечают множество решений второго неравенства x (4; 9) , например, число 8

Видим, что решение 8 удовлетворяет обоим неравенствам.

Исходя из рассмотренного примера, можно сформировать правило для решения системы линейных неравенств:

Чтобы решить систему линейных неравенств, нужно по отдельности решить каждое неравенство, и указать в виде числового промежутка множество решений, удовлетворяющих каждому неравенству.

Пример 2. Решить систему неравенств

Решениями первого неравенства являются все числа, которые больше 17. Решениями второго неравенства являются все числа, которые больше 12.

Решениями же обоих неравенств являются все числа, которые больше 17.

Изобразим множество решений системы на координатной прямой и запишем ответ в виде числового промежутка.

Для начала отметим на координатной прямой границы обоих неравенств:

На верхней области отметим множество решений первого неравенства x > 17

На нижней области отметим множество решений второго неравенства x > 12

Нас интересует область, которая отмечена штрихами с обеих сторон. В этой области и располагаются решения системы . Видно, что эта область располагается в промежутке от 17 до плюс бесконечности. Запишем ответ в виде числового промежутка:

Пример 3. Решить систему неравенств

Решим каждое неравенство по отдельности. Делать это можно внутри системы. Если испытываете затруднения при решении каждого неравенства, обязательно изучите предыдущий урок

Получили систему . На этом решение завершается. Осталось изобразить множество решений системы на координатной прямой и записать ответ в виде числового промежутка.

Как и в прошлом примере, сначала нужно отметить границы обоих неравенств, затем отметить множество решений каждого неравенства ( x > 6 и x > 3 ). Область координатной прямой, отмеченная с обеих сторон, будет промежутком, в котором располагается множество решений системы

Пример 4. Решить систему неравенств

Решим каждое неравенство по отдельности:

Изобразим множество решений системы на координатной прямой и запишем ответ в виде числового промежутка:

Пример 5. Решить неравенство

Решим каждое неравенство по отдельности:

Изобразим множество решений системы на координатной прямой и запишем ответ в виде числового промежутка:

Когда решений нет

Если неравенства, входящие в систему, не имеют общих решений, то говорят, что система не имеет решений.

Пример 1. Решить неравенство

Решим каждое неравенство по отдельности:

Решениями первого неравенства являются все числа, которые больше 7, включая число 7. Решениями второго неравенства являются все числа, которые меньше −3, включая число −3.

Видим, что у данных неравенств нет общих решений. Увидеть это наглядно позволит координатная прямая. Отметим на ней множество решений каждого неравенства:

На координатной прямой нет областей, которые отмечены штрихами с обеих сторон. Это говорит о том, что неравенства y ≥ 7 и y ≤ −3 не имеют общих решений. Значит не имеет решений система

А если не имеет решений приведённая равносильная система , то не имеет решений и исходная система

Ответ: решений нет.

Пример 2. Решить систему неравенств

Решим каждое неравенство по отдельности:

Изобразим множество решений неравенств x ≤ −3 и x ≥ 9 на координатной прямой:

Видим, что на координатной прямой нет областей, которые отмечены штрихами с обеих сторон. Значит неравенства x ≤ −3 и x ≥ 9 не имеют общих решений. А значит не имеет решений система

А если не имеет решений приведённая равносильная система , то не имеет решений и исходная система

Ответ: решений нет.

Пример 3. Решить систему неравенств

Решим каждое неравенство по отдельности:

Получили неравенства 0 и a > 5 . Первое неравенство не является верным и не имеет решений. Решением второго неравенство a > 5 являются все числа, которые больше 5. Но поскольку первое неравенство не будет верным ни при каком a , то можно сделать вывод, что у неравенств нет общих решений. А значит не имеет решений исходная система

Как решать системы линейных неравенств с одной переменной

Линейные неравенства: свойства и правила

Линейные неравенства — неравенства, записанные в виде:

В перечисленных выражениях a и b являются какими-либо числами, а отлично от нуля, х играет роль неизвестной переменной.

Линейные неравенства с одной переменной:

Заметим, что в приведенных примерах, которые можно встретить в контрольной работе, отсутствуют неизвестные, возведенные в квадрат, куб и другие степени. Также выражения не содержат операции деления на х, и переменная не расположена под знаком корня.

Система неравенств с одной переменной представляет собой совокупность, в которую включены несколько неравенств, содержащие одинаковую переменную.

Решением системы неравенств с одной переменной является значение, которое принимает переменная, и каждое из неравенств становится верным.

Решить систему неравенств — определить все решения данной системы, либо доказать их отсутствие.

При решении самостоятельно или на уроке задач с неравенствами, содержащими одну переменную, полезно знать свойства числовых неравенств:

1. При a > b и b > c получаем, что a > c. Например, 8 > 4 и 4 > 3, что означает 8 > 3.
2. При a > b получим, что a + const > b + const. Здесь const может обладать произвольным числовым значением. Например, x — 3 > 0, поэтому x — 3 + 8 > 0 + 8.
3. Когда a > b и m > 0, получим, что am > bm. В том случае, если a > b и m , > на b на -1, результатом станет: -a b и c > d получим, что a + c > b + d. Например, 8 > 4 и 3 > 2, тогда 8 + 3 > 4 + 2.
4. При значениях a, b, c, d больше нуля и a > b, c > d получим, что ac > bd. Например, 8 > 4 и 3 > 2, тогда 8 × 3 > 4 × 2 .

Правило 1

Какой-либо член неравенства допускается перенести в другую часть неравенства при условии изменения знака на противоположный.

В качестве примера применения данного правила можно разобрать действие с неравенством:

3 x — 4 > 7 ⇒ 3 x > 7 + 4 ⇒ 3 x > 11

Заметим, что выражение 3 x — 4 > 7 является равносильным 3 x > 11 .

12 + 4 x ≤ 7 — 3 x

Выполним перенос слагаемых, содержащих переменную, влево. Свободные члены оставим в правой части:

12 + 4 x ≤ 7 — 3 x

12 + 4 x ≤ 7 — 3 x

4 x + 3 x ≤ 7 — 12

Все части неравенства допустимо умножать или делить на одинаковое число, большее нуля. Результатом подобных действий является неравенство, которое равносильно исходному неравенству.

С помощью записанного правила выполним деление неравенства на 3:

Знак неравенства не изменился по той причине, что деление осуществлялось на число, большее нуля.

Попробуем поделить обе части неравенства, записанного ниже, на число 7:

Здесь знак неравенства остается без изменений, так как общий делитель является положительным числом.

При умножении или делении обеих частей неравенства на число, меньшее нуля, знак неравенства меняется на противоположный: > на знак , ≥ на знак ≤ , и наоборот.

Рассмотрим пример неравенства:

Разделим неравенство на число -4:

Заметим, что в процессе деления был изменен знак неравенства на противоположный.

Попробуем разделить это неравенство на число -7, записав результат с противоположным знаком:

Алгоритм решения линейных неравенств графическим способом

Линейные неравенства могут быть записаны в виде систем. Тогда решать подобные примеры следует, руководствуясь следующим алгоритмом:

• найти решения для каждого неравенства;
• перенести найденные значения на координатную прямую;
• определить пересечение решений неравенств;
• записать ответ как числовой промежуток.

Определение 5

Несовместимая система представляет собой систему, у которой нет решений.

Системы линейных неравенств с одной переменной имеют вид:

a x + b 0 ; c x + d 0 .

Рассмотрим решение системы неравенств:

2 x — 3 ≥ 0 — 3 x + 11 > 0 ⇔ 2 x ≥ 3 — 3 x > — 11 ⇔ x ≥ 3 2 x 11 3

Перенесем точечные множества на координатную прямую и получим ответ:

Ответ: x ∈ [ 3 2 ; 11 3 ) .

Многие неравенства можно решать графическим методом. Смысл такого способа поиска решений заключается в определении промежутков для последующего их изображения на графике.

Метод интервалов

Рассмотрим неравенство с переменной:

А ( х ) > 0 ( А ( х ) 0 )

Разложим записанное неравенство на линейные множители:

A ( x ) = ( k 1 x + b 1 ) ( k 2 x + b 2 ) … ( k n x + b n )

В таком случае для решения неравенства допускается применить метод интервалов. В основе данного способа свойства функции. Рассмотрим его применение на примере неравенства:

А ( х ) > 0 ( А ( х ) 0 )

где A ( x ) = ( k 1 x + b 1 ) ( k 2 x + b 2 ) … ( k n x + b n )

Определим корни уравнения А ( х ) = 0 :

Отметим корни на координатной прямой:

Заметим, что знак неравенства будет изменяться при переходе через корни:

Определить знак на каждом интервале можно с помощью выбора некого значения х = х0. Это значение следует подставить в левую часть неравенства, чтобы определить знак. Далее нужно отметить промежутки, в рамках которых неравенство выполняется.

Использование равносильных преобразований

Решить неравенство вида a x + b 0 ( ≤ , > , ≥ ) можно с помощью равносильных преобразований. Данный способ заключается в определенной последовательности действий. Рассмотрим случай, когда коэффициент a отличен от нуля:

1. Перенос b вправо с изменением знака на противоположный.
2. Запись равносильного неравенства: a x − b .
3. Деление всех частей неравенства на число, отличное от нуля.

Важно, что при a больше нуля, знак сохраняется без изменений. Когда a имеет отрицательное значение, следует изменить знак на противоположный.

Здесь а = 4 и b = 16. Коэффициент при неизвестном отличен от нуля, что позволяет использовать в решении рассмотренный алгоритм.

Выполним перенос 16 вправо и изменим его знак на противоположный:

Разделим неравенство на 4:

4 x ÷ 4 ≤ − 16 ÷ 4 ⇒ x ≤ − 4

Неравенство x ≤ − 4 является равносильным. Таким образом, решением исходного неравенства станет какое-либо действительное число, которое меньше или равно -4.

Ответ: x ≤ − 4 , и л и ( − ∞ , − 4 ]

В процессе решения задач можно встретить неравенство вида a x + b 0 , где a равно нулю. В таком случае:

Тогда следует определить, является ли верным полученное неравенство:

Возможно два варианта:

Заметим, что х может иметь любое значение, так как:

Примеры решения заданий

Требуется решить неравенство:

З х — 5 ≥ 7 х — 15

Воспользуемся рассмотренным ранее правилом, чтобы перенести одночлен 7х влево. Свободный член -5 следует переместить вправо. В процессе требуется поменять знаки у этих членов. В результате:

З х — 7 х ≥ — 15 + 5

Выполним деление неравенства на -4. Знак выражения при этом необходимо изменить на противоположный. Таким образом:

В ответ нужно записать определенный промежуток координатной прямой, то есть ( — ∞ ; 2 , 5 ] .

Требуется найти решения неравенства:

3 x + 2 > 2 ( x + 3 ) + x

Избавимся от скобок справа:

3 x + 2 > 2 x + 6 + x

3 x — 2 x — x > 6 — 2

Полученное неравенство не является верным. Это означает, что начальное неравенство не имеет решений.

Ответ: решения отсутствуют.

Дано неравенство, которое нужно решить:

2 ( x — 1 ) + 3 > 2 x – 5

Избавимся от скобок слева:

2 x — 2 + 3 > 2 x – 5

2 x — 2 x > 2 — 5 — 3

Полученное в результате неравенство является верным. Поэтому начальное неравенство также верно при любом значении х.

Решить систему линейных неравенств с одной переменной:

5 x + 6 ≤ 1 2 x + 1 ≥ 3

Следует решать каждое неравенство отдельно:

Используя координатную прямую, объединим полученные решения: