Решение систем линейных уравнений с параметрами
Разделы: Математика
Цель:
- повторить решение систем линейных уравнений с двумя переменными
- дать определение системы линейных уравнений с параметрами
- научит решать системы линейных уравнений с параметрами.
Ход урока
- Организационный момент
- Повторение
- Объяснение новой темы
- Закрепление
- Итог урока
- Домашнее задание
2. Повторение:
I. Линейное уравнение с одной переменной:
1. Дайте определение линейного уравнения с одной переменной
[Уравнение вида ax=b, где х – переменная, а и b некоторые числа, называется линейным уравнением с одной переменной]
2. Сколько корней может иметь линейное уравнение?
[- Если а=0, b0, то уравнение не имеет решений, х
— Если а=0, b=0, то х R
— Если а0, то уравнение имеет единственное решение, х =
3. Выясните, сколько корней имеет уравнение (по вариантам)
I ряд – I вариант |
Ответ: много корней
Ответ: корней нет
Ответ: единственный корень
II. Линейное уравнение с 2 –мя переменными и система линейных уравнений с 2- мя переменными.
1. Дайте определение линейного уравнения с двумя переменными. Приведите пример.
[Линейным уравнением с двумя переменными называются уравнения вида ах +by=с, где х и у – переменные, а, b и с – некоторые числа. Например, х-у=5]
2. Что называется решением уравнения с двумя переменными?
[Решением уравнения с двумя переменными называются пара значений переменных, обращающие это уравнение в верное равенство.]
3. Является ли пара значений переменных х = 7, у = 3 решением уравнения 2х + у = 17?
4. Что называется графиком уравнения с двумя переменными?
[Графиком уравнения с двумя переменными называется множество всех точек координатной плоскости, координаты которых является решениями этого уравнения.]
5. Выясните, что представляет собой график уравнения:
[Выразим переменную у через х: у=-1,5х+3
Формулой у=-1,5х+3 является линейная функция, графиком которой служит прямая. Так как, уравнения 3х+2у=6 и у=-1,5х+3 равносильны, то эта прямая является и графиком уравнения 3х+2у=6]
6. Что является графиком уравнения ах+bу=с с переменными х и у, где а0 или b0?
[Графиком линейного уравнения с двумя переменными, в котором хотя бы один из коэффициентов при переменных не равен нулю, является прямая.]
7. Что называется решением системы уравнений с двумя переменными?
[Решением системы уравнений с двумя переменными называется пара значений переменных, обращающая каждое уравнение системы в верное равенство]
8. Что значит решить систему уравнений?
[Решить систему уравнений – значит найти все ее решения или доказать, что решений нет.]
9. Выясните, всегда ли имеет такая система решения и если имеет, то сколько (графическим способом).
10. Сколько решений может иметь система двух линейных уравнений с двумя переменными?
[Единственное решение, если прямые пересекаются; не имеет решений, если прямые параллельны; бесконечно много, если прямые совпадают]
11. Каким уравнением обычно задается прямая?
12. Установите связь между угловыми коэффициентами и свободными членами:
I вариант:
|
k1 = k2, b1b2, нет решений;
- y=-х+8
- y=2x-1,
k1k2, одно решение;
- y=-x-1
- y=-x-1,
k1 = k2, b1 = b2, много решений.
Вывод:
- Если угловые коэффициенты прямых являющихся графиками этих функций различны, то эти прямые пересекаются и система имеет единственное решение.
- Если угловые коэффициенты прямых одинаковы, а точки пересечения с осью у различны, то прямые параллельны, а система не имеет решений.
- Если угловые коэффициенты и точки пересечения с осью у одинаковы, то прямые совпадают и система имеет бесконечно много решений.
На доске таблица, которую постепенно заполняет учитель вместе с учениками.
III. Объяснение новой темы.
где A1, A2, B1,B2, C1 C2 – выражения, зависящие от параметров, а х и у – неизвестные, называется системой двух линейных алгебраических уравнений с двумя неизвестными в параметрах.
Возможны следующие случаи:
1) Если , то система имеет единственное решение
2) Если , то система не имеет решений
3) Если , то система имеет бесконечно много решений.
IV. Закрепление
Пример 1.
При каких значениях параметра а система
- 2х — 3у = 7
- ах — 6у = 14
а) имеет бесконечное множество решений;
б) имеет единственное решение
а) , а=4
б) , а?4
а) если а=4, то система имеет бесконечное множество решений;
б) если а4, то решение единственное.
Пример 2.
Решите систему уравнений
- x+(m+1)y=1
- x+2y=n
Решение: а) , т.е. при m1 система имеет единственное решение.
б) , т.е. при m=1 (2=m+1) и n1 исходная система решений не имеет
в) , при m=1 и n=1 система имеет бесконечно много решений.
Ответ: а) если m=1 и n1, то решений нет
б) m=1 и n=1, то решение бесконечное множество
- у — любое
- x=n-2y
в) если m1 и n — любое, то
y= x=
Пример 3.
Для всех значений параметра а решить систему уравнений
- ах-3ау=2а+3
- х+ау=1
Решение: Из II уравнения найдем х=1-ау и подставим в I уравнение
1) а=0. Тогда уравнение имеет вид 0*у=3 [у ]
Следовательно, при а=0 система не имеет решений
Следовательно, у . При этом х=1-ау=1+3у
3) а0 и а-3. Тогда у=-, х=1-а(-=1+1=2
1) если а=0, то (х; у)
2) если а=-3, то х=1+3у, у
3) если а0 и а?-3, то х=2, у=-
Рассмотрим II способ решения системы (1).
Решим систему (1) методом алгебраического сложения: вначале умножим первое уравнение системы на В2, второе на – В1 и сложим почленно эти уравнения, исключив, таким образом, переменную у:
Т.к. А1В2-А2В10, то х =
т.к. А2В1-А1В2 0 у =
Для удобства решения системы (1) введем обозначения:
— главный определитель
Теперь решение системы (1) можно записать с помощью определителей:
х= ; у=
Приведенные формулы называют формулами Крамера.
— Если , то система (1) имеет единственное решение: х=; у=
— Если , или , , то система (1) не имеет решений
— Если , , , , то система (1) имеет бесконечное множество решений.
В этом случае систему надо исследовать дополнительно. При этом, как правило, она сводится к одному линейному уравнению. В случае часто бывает удобно исследовать систему следующим образом: решая уравнение , найдем конкретные значения параметров или выразим один из параметров через остальные и подставим эти значения параметров в систему. Тогда получим систему с конкретными числовыми коэффициентами или с меньшим числом параметров, которую надо и исследовать.
Если коэффициенты А1, А2, В1, В2, системы зависят от нескольких параметров, то исследовать систему удобно с помощью определителей системы.
Пример 4.
Для всех значений параметра а решить систему уравнений
- (а+5)х+(2а+3)у=3а+2
- (3а+10)х+(5а+6)у=2а+4
Решение: Найдем определитель системы:
= (а+5)(5а+6) – (3а+10) (2а+3)= 5а 2 +31а+30-6а 2 -29а-30=-а 2 +2а=а(2-а)
= (3а+2) (5а+6) –(2а+4)(2а+3)=15а 2 +28а+12-4а 2 -14а-12=11а 2 +14а=а(11а+14)
=(а+5) (2а+4)-(3а+10)(3а+2)=2а 2 +14а+20-9а 2 -36а-20=-7а 2 -22а=-а(7а+22)
1) Тогда
х= у=
2) или а=2
При а=0 определители
Тогда система имеет вид:
- 5х+3у=2 5х+3у=2
- 10х+6у=4
При а=2 Этого достаточно, чтобы утверждать, что система не имеет решений.
1) если а и а, то х= у=
2) если а=0, то х,
3) если а=2, то (х; у)
Пример 5.
Для всех значений параметров а и b решить систему уравнений
Решение: = =а+1-2b
= = b -6; = 3a+3-b
1) . Тогда
х= у=
2)
Подставив выражение параметра а в систему, получим:
- 2bx+2y=b 2bx+2y=b
- bx+y=3 2bx+2y=6
Если b6, то система не имеет решений, т.к. в этом случае I и II уравнения системы противоречат друг другу.
Если b=6, а=2b-1=2*6-1=11, то система равносильна одному уравнению
12х+2у=6 у=3-6х
1) если , (а), то x=, y=
2) если b, a, то система не имеет решений
3) если b=6, а=11, то х, у=3-6х
Итог урока: Повторить по таблице и поставить оценки.
При каких значениях параметра система уравнений
- 3х-2у=5
- 6х-4у=b
а) имеет бесконечное множество решений
б) не имеет решений
б) b10
Системы уравнений с двумя переменными и параметрами
п.1. Решение системы линейных уравнений с параметром
Например:
При каком значении a система уравнений имеет одно решение: \( \left\< \begin
Система имеет одно решение, если главный определитель не равен нулю: $$ \Delta = \begin
Ответ: при всех действительных a, кроме a ≠ ± 1.
п.2. Решение системы нелинейных уравнений с параметром
При решении системы нелинейных уравнений с параметром чаще всего используем графический метод (см. §15 данного справочника).
Например:
При каком значении a система уравнений имеет одно решение: \( \left\< \begin
\( \mathrm
\( \mathrm
Система имеет одно решение, если прямая является касательной к окружности:
Точка A является решением: x = 1, y = 1.
Подставляем найденное решение в уравнение для окружности: 1 2 + 1 2 = 2 $$ \mathrm> $$
п.3. Примеры
Пример 2. Найти все значения параметра a, при каждом из которых система
\( \left\< \begin
Первое уравнение – квадрат с вершинами (±4; 0),(0; ±4); второе уравнение – окружность переменного радиуса с центром в точке (3; 3).
Единственное решение соответствует радиусу \( \mathrm
При увеличении радиуса будет 2, 3 или 4 точки пересечения. При дальнейшем увеличении окружность становится слишком большой, пересечений с квадратом нет.
Получаем:\( \mathrm<|a+1|=\sqrt<2>\Rightarrow a+1=\pm\sqrt<2>\Rightarrow a_<1,2>=-1\pm\sqrt<2>>. \)
Пример 3. Найти все значения параметра a, при каждом из которых система
\( \left\< \begin
При (a – 1) 2 2 = 4 одно решение.
При (a – 1) 2 > 4 два решения.
Получаем:\( \mathrm <(a-1)^2=4\Rightarrow a-1=\pm 2\Rightarrow>\left[\begin
Уравнения с параметром — алгоритмы и примеры решения
Общие сведения
Уравнением является любое математическое тождество или физический закон, в котором присутствуют неизвестные величины. Последние необходимо находить. Этот процесс называется поиском корней. Однако не во всех случаях у равенства с переменными бывают решения, а это также нужно доказать.
Корень — величина или диапазон, превращающие искомое выражение в верное равенство. Например, в 5s=10 переменная эквивалентна 2, поскольку только это значение позволяет получить верное тождество, то есть 5*2=10.
Примером диапазона или интервала решений является выражение следующего вида: 0/t=0. Его корнем может быть любое действительное число, кроме нуля. Записывается решение в таком виде: t ∈ (-inf;0)U (0;+inf), где «∈» — знак принадлежности, «-inf» и «inf» — минус и плюс бесконечно большие числа соответственно.
Параметром в уравнении называется некоторая величина, от которой зависит поведение равенства на определенном интервале. Следует отметить, что он также влияет на значение корня, когда входит с ним в различные арифметические операции: сложения, вычитания, умножения, деления, возведения в степень и так далее. Тождества такого типа называют также параметрическими. Далее необходимо разобрать классификацию уравнений.
Классификация уравнений
Уравнения делятся на определенные виды, от которых зависит выбор методики их решения. Они бывают следующими: алгебраическими, дифференциальными, функциональными, трансцендентными и тригонометрическими. Кроме того, все они могут содержать некоторую величину — параметр. Его часто обозначают литерой «р» или «а».
Алгебраический тип является наиболее простым, поскольку не содержит сложные элементы. Дифференциальные тождества с неизвестными — одни из самых сложных выражений с точки зрения алгоритма. Они бывают первого, второго, третьего, а также высших порядков. Для нахождения их корней необходимо знать правила дифференцирования и интегрирования.
Практически все функциональные уравнения содержат один или более параметров. Основное их отличие от остальных заключается в функции, которая задается сложным выражением. Последнее может включать несколько неизвестных и параметрических элементов. Примером такого тождества является функция Лапласа, содержащая интеграл обыкновенного типа, а также экспоненту.
К трансцендентным относятся выражения, содержащие показательную, логарифмическую и радикальную (знак корня). Последний тип — тригонометрические. Они содержат любое равенство, содержащее следующие функции: sin, cos, tg и ctg. Однако в математике встречаются также их производные: arcsin, arccos, arcctg, arctg и гиперболические тождества.
Специалисты рекомендуют освоить на начальных этапах обучения методики, позволяющие решать уравнения с параметром линейного типа. После этого можно переходить к более сложным тождествам — функциональным, трансцендентным и так далее.
Алгебраический вид
Алгебраические не содержат в своем составе сложных функций, но в них могут присутствовать компоненты со степенным показателем.
На основании последней характеристики они делятся на 5 типов:
- Линейные.
- Квадратные (квадратичные).
- Кубические.
- Биквадратные.
- Высших порядков.
Линейные — выражения с переменной, которая имеет только первую степень (равную единице). Если показатель эквивалентен двойке, то такое тождество называется квадратным. В математической интерпретации его еще называют квадратным трехчленом. Когда показатель при неизвестной эквивалентен тройке, тогда это равенство называется кубическим.
Наиболее сложными по своей структуре являются биквадратные (содержат 4 степень). Однако на этом виды линейных уравнений не заканчиваются, поскольку бывают равенства с более высокими показателями. Их называют уравнениями высших порядков. Кроме того, любые тождества могут объединяться в системы уравнений. Их особенностью являются общие решения.
Линейные и квадратичные
Линейное — это самое простое уравнение, которое имеет всего одно решение. Оно решается по следующей методике:
- Записывается искомое выражение.
- При необходимости раскрываются скобки и приводятся подобные элементы.
- Неизвестные (переменные) остаются в левой части тождества, а все константы (числа) — переносятся вправо.
- Правая часть сокращается на коэффициент при неизвестной.
- Записывается результат.
- Выполняется проверка посредством подстановки корня в исходное выражение.
Следует отметить, что линейное выражение с переменной может не иметь решений, поскольку иногда невозможно выполнить операцию сокращения. Например, 0t=85. Равенство не имеет корней, поскольку на нулевое значение делить нельзя, так как при этом получается пустое множество.
Следующим типом является уравнение квадратичной формы At 2 +Bt+C=0. Оно может иметь один или два решения. Однако бывают случаи, при которых корней нет вообще. Для получения результата вводится понятие дискриминанта «D=(-B)^2−4*А*С». Для решения следует воспользоваться следующим алгоритмом:
- Записать выражение.
- Выполнить при необходимости математические преобразования по раскрытию скобок и приведению подобных слагаемых.
- Вычислить значение D (D 0 — два решения).
- При D=0 формула корня имеет такой вид: t=-В/(2А).
- Если D>0, то решения определяются по следующим соотношениям: t1=[-В-D^(½)]/(2А) и t2=[-В+D^(½)]/(2А).
- Записать результат.
- Выполнить проверку по отсеиванию ложных корней.
Следует отметить, что ложный корень — значение переменной, полученное по соответствующей формуле, но при подстановке в исходное выражение не выполняет условие равенства нулевому значению.
Кроме того, нужно обратить внимание на типы квадратных уравнений. Они бывают полными и неполными. Первые содержат все коэффициенты (А, В и С), а во вторых — некоторые из них могут отсутствовать, кроме А, так как тогда тождество должно содержать вторую степень при неизвестной.
Неполные решаются методом разложения на множители. Например, «v 2 −81=0» раскладывается следующим образом (формула сокращенного умножения — разность квадратов): (v-9)(t+9)=0. Анализируя последнее равенство, можно сделать вывод о понижении степени. Корнями уравнения являются два значения, t1=-9 и t2=9.
Кубичеcкие и биквадрaтные
Кубические и биквадратные равенства с неизвестным рекомендуется решать при помощи замены переменной. Однако в некоторых случаях можно применить формулы понижения степени или разложения на множители. Иными словами, суть решения алгебраических уравнений, степень которых превышает двойку, сводится к ее понижению различными методами.
Замена переменной производится на другую неизвестную величину. В примере (t 3 −2)+2t 3 −4=0 можно ввести следующий элемент — v=t 3 −2. В результате этого получится равенство такого вида: v+2v=0. Оно решается очень просто:
- Приводятся подобные элементы: 3v=0.
- Находится корень: v=0.
- Приравнивается к выражению, которое заменяли: t 3 −2=0.
- Находится корень (один, поскольку у радикала нечетная степень): t=[2]^(1/3).
- Проверяется условие: 2^(1/3)^3−2+2*(2^(1/3)^3)-4=4−4=0 (истина).
Биквадратные тождества решаются таким же методом. Однако существует еще один способ — разложение на множители. Его необходимо разобрать на примере решения выражения «4m 4 −324=0». Решать нужно по такому алгоритму:
- Упростить (вынести четверку за скобки и сократить на нее): 4 (m 4 −81)=m 4 −81=0.
- Разложить на множители (разность квадратов): (m 2 −9)(m 2 +9)=(m-3)(m+3)(m 2 +9)=0/
- Решить три уравнения: m1=3, m2=-3, m3=-3 и m4=3.
- Результат: m1=-3 и m2=3.
- Проверка: 4*(-3)^4−324=0 (истинно) и 4*(3)^4−324=0 (истинно).
Каждый из методов решения выбирается в зависимости от самого уравнения. При чтении условия задачи необходимо определить способ решения. Последний должен быть простым и удобным, а главное — количество шагов решения должно быть минимальным, что существенно сказывается на затраченном времени при вычислениях. Далее нужно рассмотреть подробный алгоритм решения уравнения с параметром.
Пример решения
На основании изученного материала можно приступить к практике решения уравнения с параметром, которое имеет следующий вид: 2v 4 −32−4p-(v 2 +4)+(v-2)(v+2)-v 4 +16=-4, где р — некоторый параметр. Корни и величину р необходимо искать по следующему алгоритму:
- Записать равенство с неизвестным и параметром: 2v 4 −32−4p-(v 2 +4)+(v-2)(v+2)-v 4 +16=-4.
- Выполнить математические преобразования: 2v 4 −32−4p-v 2 +4+v 2 −4-v 4 +16+4=v 4 −16+4p+4=0.
- Ввести замену v 4 −16=m: m+4p+4=0.
- Вывести формулу нахождения параметра: р=-(m/4)-1.
- Подставить величину m: р=-1-(v 4 +16)/4.
- C учетом соотношения равенство будет иметь такой вид: v 4 −16+4[-(v 4 +16−4)/4]+4=-32+8=0 (корней нет, поскольку -24 4 −12=0.
- Корни: v1=[12]^(¼) и v2=-[12]^(¼).
- Отрицательного корня v2 не существует, поскольку показатель радикала — четное число.
- Результат: v1=[12]^(¼).
- Проверка: <[12]^(¼)>^4−16+4=16−16=0 (истина).
Следует отметить, что v2 — ложный корень, а также параметр p, равный какому-либо значению, превращает уравнение в пустое множество. Для проверки можно воспользоваться специальным приложением, которое называется онлайн-калькулятором.
Таким образом, уравнения с параметром являются наиболее сложными, поскольку необходимо искать их корни, а также некоторое значение, влияющее на логику выражения. Для их решения необходимо следовать специальному алгоритму, предложенному математиками.
http://reshator.com/sprav/algebra/9-klass/sistemy-uravnenij-s-dvumya-peremennymi-i-parametrami/
http://nauka.club/matematika/algebra/uravneniya-s-parametrom.html