Системы уравнений с параметром для 9 класса

Системы уравнений с двумя переменными и параметрами

п.1. Решение системы линейных уравнений с параметром

Например:
При каком значении a система уравнений имеет одно решение: \( \left\< \begin < l >\mathrm & \\ \mathrm & \end\right. \).
Система имеет одно решение, если главный определитель не равен нулю: $$ \Delta = \begin \mathrm & 1 \\ 1 & \mathrm \end= a^2-1\neq 0 \Rightarrow a\neq \pm 1 $$

Ответ: при всех действительных a, кроме a ≠ ± 1.

п.2. Решение системы нелинейных уравнений с параметром

При решении системы нелинейных уравнений с параметром чаще всего используем графический метод (см. §15 данного справочника).

Например:
При каком значении a система уравнений имеет одно решение: \( \left\< \begin < l >\mathrm & \\ \mathrm & \end\right. \).
\( \mathrm \) – уравнение окружности с центром в начале координат, и переменным радиусом a.
\( \mathrm \) – уравнение прямой.
Система имеет одно решение, если прямая является касательной к окружности:

Точка A является решением: x = 1, y = 1.
Подставляем найденное решение в уравнение для окружности: 1 2 + 1 2 = 2 $$ \mathrm> $$

п.3. Примеры

Пример 2. Найти все значения параметра a, при каждом из которых система
\( \left\< \begin < l >\mathrm <|x|+|y|=4>& \\ \mathrm <(x-3)^2+(y-3)^2=(a+1)^2>& \end\right. \) имеет единственное решение.
Первое уравнение – квадрат с вершинами (±4; 0),(0; ±4); второе уравнение – окружность переменного радиуса с центром в точке (3; 3).

Единственное решение соответствует радиусу \( \mathrm>. \)
При увеличении радиуса будет 2, 3 или 4 точки пересечения. При дальнейшем увеличении окружность становится слишком большой, пересечений с квадратом нет.
Получаем:\( \mathrm<|a+1|=\sqrt<2>\Rightarrow a+1=\pm\sqrt<2>\Rightarrow a_<1,2>=-1\pm\sqrt<2>>. \)

Пример 3. Найти все значения параметра a, при каждом из которых система
\( \left\< \begin < l >\mathrm & \\ \mathrm & \end\right. \) имеет единственное решение. $$ \left\< \begin < l >\mathrm \left[\begin < l >\mathrm <4-2x,\ \ x\lt 0>& \\ \mathrm <4,\ \ 0\leq x\leq 4>& \\ \mathrm <2x-4,\ \ x\gt 0>& \end\right. & \\ \mathrm & \end\right. $$ Первое уравнение – ломаная, второе – парабола ветками вниз с подвижной вершиной на оси x = 2.

При (a – 1) 2 2 = 4 одно решение.
При (a – 1) 2 > 4 два решения.
Получаем:\( \mathrm <(a-1)^2=4\Rightarrow a-1=\pm 2\Rightarrow>\left[\begin < l >\mathrm & \\ \mathrm & \end\right. \)

урок в 9 классе «Уравнения и неравенства с параметрами»
методическая разработка по алгебре (9 класс) по теме

Урок в 9 классе «уравнения и неравенства с параметрами»

Скачать:

Предварительный просмотр:

Урок в 9 классе «Решение уравнений и неравенств с параметром»

Тема: Решение уравнений и неравенств с параметром

Тип урока: урок–лекция, материал концентрируется в блоки и преподносится как единое целое, контроль проводится по предварительной подготовке уч-ся.

1. Расширить и с истематизировать знания учащихся
2. Рассмотреть приёмы и методы решения уравнений и неравенств, содержащих параметр
3. Н аправить на углубленное изучение предмета и овладение его содержанием на повышенном уровне сложности
4. Приобрести в рамках предпрофильной подготовки навыки решения задач, содержащих параметры .

1. расширение и углубление сложности задач, решаемых учащимися.

1. развитие логического мышления, интуиции, познавательных и творческих способностей учащихся,
2. развитие умения анализировать ситуацию, разрабатывать способ решения, проводить рассуждения, обоснования.

1. повышение интереса к математике,
2. расположение к самостоятельной организации работы.

Формы и методы работы:

1. Использование приёмов, активизирующих работу школьников свободный выбор заданий для самостоятельной работы, дифференцированные задания для домашней работы;
2. Использование групповых форм работы;
3. Формой контроля обучающая самостоятельная работа, итоговое тестирование, исследовательская работа.

1. Постановка цели урока.
2. Актуализация знаний, умений и навыков.

Учитель: Изучение многих физических процессов и геометрических закономерностей часто приводит к решению уравнений, содержащих параметр.

Решить уравнение (неравенство) с параметром – это значит установить соответствие, позволяющие для любого значения параметра найти соответствующее множество решений уравнения (неравенства).

Можно выделить различные типы уравнений и неравенств с параметром:

Линейные уравнения и неравенства. (1 блок)

Рассмотрим примеры решения:

1. Решить уравнение: ax=2x+5.

Переносим неизвестные слагаемые в левую часть и приведём подобные слагаемые: ( a–2)x=5.

Чтобы найти корни необходимо поделить уравнение на ( a–2) , при а=2 , выражение а–2=0, т. к. делить на нуль нельзя, то данное уравнение имеет решение только при :

Ответ: при а=2 решений нет, при :;

2.При каком значении параметра а уравнение 2а(a–2)x= а–2 не имеет решений?

Решений не имеет уравнение 0·х=b, где . Поэтому 2а(a–2)=0 , а , отсюда следует, что а=0

3. При каком значении параметра а уравнение (а 2 –4)х=а 2 +а–6 имеет бесконечно много решений?

Уравнение будет иметь бесконечно много решений при:

Решив первое уравнение системы, получим а 1,2 = . Корни 2-го уравнения: а 1 =–3, а 2 =2.

Таким образом, одновременно оба равенства обращаются в 0 при а=2

1. Задания для самостоятельного решения с последующей самопроверкой.

Учащимся на выбор предлагаются задания. Каждый выбирает любые 1–2 или несколько заданий для решения.

1. При каком значении параметра а уравнение 2а(a–2)x= а–2 имеет бесконечно много решений?
2. При каком значении параметра (а 2 –4)х=а 2 +а–6 уравнение не имеет решений?
3. Решить неравенство ax
4. При каком значении параметра а неравенство 2aх
5. При каком значении параметра a неравенство a 2 x

Обсуждение решений вместе с учащимися. При необходимости проверить с помощью проектора. Оформить решения в виде слайдов.

Квадратные уравнения и неравенства. (2 блок)

Число корней квадратного уравнения определяют по знаку дискриминанта:

Если D>0 то уравнение имеет два различных корня;

Если D=0 то уравнение имеет один корень (или два совпадающих);

Это правило используется и при решении квадратных уравнений и неравенств, содержащих параметр.

1. При каких значениях параметра а уравнение 4x 2 –4ax+1=0 имеет два корня?

Найдем дискриминант исходного выражения.

D=16а 2 –4·4·1=16а 2 –16 ; Так как уравнение имеет два корня, не обязательно различных, то D=16а 2 –16≥0, а 2 –1≥0

2. При каких значениях параметра b уравнение(b-1)x 2 +(b+4)x+b+7=0 имеет один корень?

При b=1 уравнение становится линейным . Подставив b=1 в исходное уравнение, и получим : 5x +8=0; x=16 .

При b 1 имеем квадратное уравнение. Квадратное уравнение имеет один корень при D=0. Находим дискриминант и приравниваем его к нулю. D=(b+4) 2 –4(b-1)( b+7)=–3 b 2 +16 b+44=0.

Решаем уравнение 3 b 2 –16 b–44=0, находим корни b=2; b= .

Ответ: При b=1; b=2; b= уравнение имеет только один корень.

3.При каких значениях параметра неравенство а x 2 –4ax+5 0не имеет решений?

При а=0 получаем :5 0. Это неверно. Значит при а=0 исходное неравенство не имеет решений.

При а исходное неравенство будет квадратным. Графиком функции у= а x 2 –4ax+5 является парабола. Чтобы неравенство а x 2 –4ax+5 не имело решений нужно чтобы парабола была полностью расположена выше оси абсцисс. Условия соответствующие данному расположению параболы:

Решением системы является промежуток (0;1,25). Объединяя решения получаем ответ.

1. Задания для самостоятельного решения с последующей самопроверкой.

Учащиеся выборочно решают самостоятельно задания:

1.При каком значении параметра а уравнение x 2 –ax+16=0 не имеет корней.

2. При каких значениях параметра b уравнение(2b–5)x 2 –2(b–1)x+3=0 имеет два различных корня?

3. При каких значениях а неравенство x 2 –(a+2)x+8а+1>0не имеет решений?

4. При каких значениях а неравенство x 2 –(a+2)x+8а+1>0 выполняется при любых значениях х?

Обсуждение решений. При необходимости проверка решений с помощью проектора. Решения оформить я в виде слайдов.

Применение теоремы Виета. (3 блок)

1.Найти все значения параметра b при которых уравнение x 2 –2bx+b+6=0 имеет положительные корни?

Пусть x 1 и x 2 – корни уравнения, тогда по теореме Виета x 1 + x 2 =2b и x 1 x 2 = b+6. Имеем систему неравенств:

Решением системы неравенств будет промежуток

Ответ: b уравнение имеет положительные корни.

2.Найти все значения p, при которых разность корней уравнения x 2 +px+12=0 равна 1 .

Пусть x 1 и x 2 – корни уравнения, тогда по теореме Виета имеем систему:

Из первого и третьего уравнений выразим параметр p и подставим во второе уравнение:

Решаем квадратное уравнение: ; 1– p 2 =–48; p 2 =49; Уранение имеет два корня 7 и –7

Ответ: p= разность корней равна 1.

1. Задания для самостоятельного решения с последующей самопроверкой.

1.Найти все значения параметра b при которых уравнение x 2 –2bx+b+6=0 имеет отрицательные корни?

2. Найти все значения параметра b при которых уравнение x 2 –2bx+b+6=0 имеет корни разных знаков?

3. Найти все значения p, при которых разность корней уравнения 2x 2 –px+1=0 равна 1 .

Обсуждение решений. При необходимости проверка решений с помощью проектора. Решения оформлены на слайдах.

1. Создание проблемной ситуации.

Учитель: Теперь исследуем расположение корней квадратного уравнения в задачах с параметром.

На экране запись:f(x)=ax 2 +bx+c

–Какую информацию о графике функции можно получить, зная коэффициенты квадратного трёхчлена?

–если а 0, то ветви параболы направлены вверх, если а

– если а=0, то графиком будет являться не парабола, а прямая и соответствующее уравнение нужно решать как линейное;

–если D>0, то парабола пересекает ось абсцисс в 2-х точках

–абсцисса параболы равна

Эти свойства используются нами при решении задач о расположении корней квадратного уравнения относительно заданных точек.

Задача: При каких значениях параметра а оба корня уравнения x 2 –ax+7=0 меньше 7.

Учитель: Попробуйте схематически изобразить параболу записать необходимые условия соответствующие этому расположению параболы. Учащиеся пытаются составить соответствующую систему неравенств и схематически изобразить график.

Проверка с помощью проектора y

Решаем соответствующую систему неравенств. Учащиеся самостоятельно находят решение системы неравенств. Сверяют ответы.

Ответ: При а оба корня уравнения меньше 7.

Учитель: Решим ещё одну подобную задачу:

Задача: При каких значениях параметра а число 7 находится между корнями уравнения x 2 –ax+7=0 ?

Учитель: Попробуем схематически изобразить график и составить соответствующую систему неравенств.

Проверка с помощью проектора : y

Находим решение системы неравенств.

Ответ: При а 8 число 7 находится между корнями уравнения.

Учитель: Сегодня на уроке мы разобрали основные приёмы решения линейных и квадратных уравнений и неравенств, содержащих параметр, научились использовать теорему Виета при решении задач с параметрами, научились получать геометрическую интерпретацию задачи с параметром, составлять подходящую систему неравенств. Для решения данной задачи.

Домашнее задание состоит из 3-х разделов, различного уровня сложности.

Линейные уравнения и неравенства

1. 1.При каком значении а неравенство a x 8 не имеет решений?
3. 2. При каком значении а неравенство a x 8 имеет бесконечно много решений?

3.Решить неравенство a x 1– x для различных значений a.

1. 1. При каком значении а уравнение
2. 2a(а–2) x= а–2 не имеет решений?
4. 2. При каком значении а уравнение 2a(а–2) x= а–2 имеет бесконечно много решений?

2a(а–2) x а–2 различных значений a.

1.При каком значении а система уравнений не имеет решений?

2. При каком значении а система уравнений имеет бесконечно много решении?

Квадратные уравнения и неравенства. Применение теоремы Виета.

1.При каком значении параметра а уравнение ax 2 +2ax+1=0 имеет 2 корня?

2.При каком значении а неравенство x 2 –3ax+4 0 имеет бесконечно много решений?

3. Найти все значения а при которых сумма корней уравнения

2x 2 +ax+1=0 положительна?

1.При каком значении а неравенство аx 2 –4ax–3 0 выполняется при любых значениях х?

2. При каком значении параметра а уравнение ax 2 +(2a+3) x+а–1=0 не имеет корней?

3. Найти все значения а при которых отношение корней уравнения

x 2 + p x+2=0 равно 2?

1. При каком значении параметра а решение неравенства ax 2 +2ax+1 0 состоит из одной точки?

2. Найти все значения а при которых число 2разделяет корни уравнения аx 2 +x+1=0.

3.При каком значении а сумма + где –корни уравнения 4 x 2 –11x+а 2 =0 принимает наибольшее значение?

Учащиеся получают домашнее задание на карточках. Достаточно выполнить любые 6 заданий. При оценивании работы учитывается раздел уровня сложности, из которого были решены задачи.

Анализ усвоения материала учащимися.

Учащиеся проявляют интерес к предложенной теме, так как задачи с параметрами нечасто встречаются при изучении курса алгебры 7–9 классов. Решение задач с параметрами вызывает большие трудности, так как их изучение не является отдельной составляющей школьного курса математики. Трудности при изучении данного вида заданий связаны со следующими их особенностями: обилие формул и методов, используемых при решении уравнений и неравенств данного вида; возможность решения одного и того же уравнения, содержащего параметр различными методами.

Материал урока позволил обобщить и систематизировать задачи с параметрами, встречавшиеся ранее в курсе алгебры 7–9 классов. Были выработаны навыки решения простейших линейных и квадратных уравнений и неравенств, содержащих параметр. Учащиеся получили представление о разнообразии задач такого рода и разнообразии методов их решения, научились использовать при решении графические представления. Знакомясь условием задачи, научились применять теоретические разделы математики, необходимые для решения данной задачи.

Эти навыки безусловно будут полезны в первую очередь учащимся в рамках предпрофильной подготовки особенно тем, кто ориентирован на профиль обучения, связанный с математикой.

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Уравнения и неравенства с параметрами

На протяжении последнего десятилетия на приемных экзаменах регулярно предлагаются так называемые задачи с параметрами: уранения, неравенства, системы уравнений и неравенств.

Решение уравнений и неравенств с параметрами

Методика решений уравнений и неравенств с параметрами. Можно использовать на факультативных занятиях и при подготовки к ЕГЭ (часть С).

Урок по теме «Решение уравнений и неравенств с параметром»

9-й класс. Урок по теме «Решение уравнений и неравенств с параметром»Чехолкова Алла ВладимировнаЦель: Выработка навыка решения уравнений и неравенств с параметром различными способами. Разв.

Урок по теме: «Решение уравнений и неравенств с параметрами».Элективный курс.

Урок обобщения и повторения. Основная цель: Повторить и обобщить знания учащихся методов решения уравнений и неравенств с параметрами;закрепить умения применять знания при решении конкретн.

Конспект урока «Квадратные неравенства с параметром» (9 класс)

Тема урока «Квадратные неравенства с параметром» (9 класс)Цели урока:- обобщить материал по данной теме и применить его для выполнения заданий более высокого уровня сложности;- развивать память, мышле.

Урок алгебры «Ограниченность тригонометрических функций в уравнениях и неравенствах с параметром» 10 класс

Цели урока:-сформировать понятие об ограниченности синуса и косинуса как о свойстве, дающем возможность перехода к исследованию новой функции на отрезке;-актуализировать знания о методах решения задач.

Урок-семинар по теме «Решение уравнений и неравенств с параметрами», 11 класс

Представлена разработка урока-семинара по теме «Решение уравнений и неравенств с параметрами» , 11 класс, подготовка к ЕГЭ.