Системы уравнений с решениями в 11 классе

Алгебра и начала математического анализа. 11 класс

Конспект урока

Алгебра и начала математического анализа, 11 класс

Урок №50. Системы уравнений. Методы решения систем уравнений.

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

• Методы решений систем: метод сложения, метод подстановки.
• Частные способы решения систем уравнений.
• Решение задач итоговой аттестации

Глоссарий по теме

Уравнение. Пусть заданы функции f(x) и g(x). Если относительно равенства поставлена задача отыскания всех значений переменной, при которых получается верное числовое равенство, то говорят, что задано уравнение с одной переменной.

Уравнение с двумя переменными. Уравнение с двумя переменными x и y имеет вид , где f и g — выражения с переменными x и y .

Система уравнений. Если ставится задача найти множество общих решений двух или нескольких уравнений с двумя переменными, то говорят, что надо решить систему уравнений. Систему двух уравнений с двумя переменными будем записывать так:

Колягин Ю.М., Ткачева М.В, Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 10 кл.– М.: Просвещение, 2014. С 238-239.

Открытые электронные ресурсы:

Открытый банк заданий ЕГЭ ФИПИ http://ege.fipi.ru/

Решу ЕГЭ образовательный портал для подготовки к экзаменам https://ege.sdamgia.ru/

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Рассмотрим методы решения систем уравнений

Выразим одну переменную из второго уравнения и подставим во второе:

Решим первое уравнение

Подставим найденное значение в первоначальную систему

Получим ответ: (4; 6)

Сложим почленно уравнения и найдем значение одной из переменных

Подставим полученное значение в первоначальную систему и найдем решение.

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

Решите систему уравнений

Выберите верный ответ из предлагаемых.

1. (4; 1);
2. (-1; -4); (9; 3)
3. (1; 4);

Правильный вариант: 1) (4; 1);

Рассмотрим первое уравнение.

Решим это уравнение методом замены переменной.

Найдем значение t = 2 т.е.

Подставим полученное значение во второе уравнение.

Решая второе уравнение получим значения y.

, или

, или

Ответ:

Решите систему уравнений

Выберите верный ответ из предложенных

Рассмотрим второе уравнение и преобразуем его:

Системы уравнений. Способы их решения. 11 класс
презентация к уроку по алгебре (11 класс) по теме

В презентации рассматриваются способы решения систем уравнений:

Скачать:

Предварительный просмотр:

Подписи к слайдам:

Способы решения Системы уравнений

Системы уравнений с двумя переменными. Определение: Решением системы уравнений с двумя переменными называется пара значений переменных, обращающая каждое уравнение системы в верное равенство. Решить систему уравнений – значит найти все её решения или доказать, что решений нет.

Способы решения: Способ подстановки Способ сложения Графический способ Способ замены

Способ подстановки Выразить из какого-нибудь уравнения системы одну переменную через другую. Подставить в другое уравнение системы вместо этой переменной полученное выражение. Решить получившееся уравнение с одной переменной. Найти соответствующее значение второй переменной.

Пример: Решим систему уравнений: 1. Выразим из первого уравнения y через x : y=7-3x . 2. Подставив во второе уравнение вместо y выражение 7-3х , получим систему: 3. В системе (2) второе уравнение содержит только одну переменную. Решим это уравнение: 14-6х-5х=3, -11х= -11, х=1. 4. Подставим в равенство у=7-3х вместо х число 1 , найдём соответствующее значение у : у=7-3 1, у=4. Пара (1;4) – решение системы (1).

Решите системы уравнений: 1. 2. 3. 4. 5. 6.

Способ сложения Умножьте почленно уравнения системы, подбирая множители так, чтобы коэффициенты при одной из переменных стали противоположными числами. Сложите почленно левые и правые части уравнений системы. Решите получившееся уравнение с одной переменной. Найдите соответствующее значение второй переменной.

Пример: Решим систему: 1. Умножим все члены первого уравнения на — 2 : уравнение оставим без изменений, то коэффициенты при в полученных уравнениях будут противоположными числами: 2. Т П очленно сложим и получим уравнение с одной переменной : -29у=58 . 3. Из этого уравнения находим, что у=58/(-29)= -2 . 4. Подставив во второе уравнение вместо у число -2 , Найдём значение х : 10х-7*(-2)=74 , 10х=60 , х=6 . Ответ : х=6 , у= -2

Решите системы уравнений: 1. 2. 3. 4. 5. 6.

Графический способ Построить график функции, заданной первым уравнением системы. Построить график функции, заданной вторым уравнением системы. Определить координаты точек пересечения графиков функций.

Пример : Решим систему уравнений: 1. Построим график линейной функции 2х+3у=5 . Её графиком является прямая АВ . 2. Построим график линейной функции 3х-у=-9 . Её графиком является прямая С D . 3. Графики пересекаются в точке К(-2;3). Значит, система имеет Единственное решение: х= -2, у=3 3 -2 К y x D C A B 0

Решите системы уравнений: 1. 2. 3. 4. 5. 6.

Способ замены Пример : Решим систему Сделаем замену: Получим систему: Разложим левую часть второго уравнения на множители: — и подставим в него из первого уравнения . Тогда получим систему, равносильную второй: Подставляя во второе уравнение значение b , найденное из первого приходим к уравнению , т.е. Полученное квадратное уравнение имеет два корня: и . Соответствующие значения b таковы: и . Переходим к переменным х и у. Получаем: , т.е. , , , . Ответ:(1;27), (27;1).

Решите системы уравнений: 1. 2. 3. 4. 5. 6.

Системы показательных уравнений Пример : Решим систему уравнений Из второго уравнения системы находим 2х-у=1 , откуда у=2х-1 . Подставляя вместо у в первое уравнение выражение 2х-1 получим , откуда . Обозначим , получим квадратное уравнение . Находим корни этого уравнения: . Уравнение замены решений не имеет. Корнем уравнения является число х=2 . Соответствующее значение у=3 . Ответ :(2;3).

Решите системы уравнений: 1. 2. 3. 4. 5. 6.

Системы логарифмических уравнений Пример : Решим систему уравнений Первое уравнение системы равносильно уравнению у-х=2 , а второе – уравнению , причём х > 0 и у > 0 . Подставляя у =х+2 в уравнение , получим х(х+2)=48 , откуда ,т.е. х= -8 или х=6 .Но так как х >0 , то х=6 и тогда у=8 . Итак, данная система уравнений имеет одно решение: х=6, у=8 . Ответ: (6;8).

Решите системы уравнений: 1. 2. 3. 4. 5. 6.

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Урок алгебры в 8 классе по теме «Квадратные уравнения, способы их решения»

Методическая разработка обобщающего урока алгебры в 8 классе по теме «Квадратные уравнения, способы их решения. Углубленное изучение свойств «квадратных уравнений». Урок -презентация.

урок в 9 классе по алгебре «Основные понятия. Графический способ решения системы уравнений с двумя переменными»

урок с применением технологии деятельностного подхода.

Урок алгебры 8 класс. Тема «Квадратные уравнения. Способы их решения.»

Презентация к уроку обобщения и закрепления ранее изученного материала по теме «Квадратные уравнения&quot.

Методическая разработка урока алгебры в 7 классе «Различные способы решения систем линейных уравнений» способы решения систем уравнений

Урок алгебры в 7 классе направлен на обобщение и систематизацию различных способов решения систем уравнений: метода сравнения, сложения, подстановки, графического метода, метода Крамера, выбора рацион.

Решение систем линейных уравнений способом сложения. 7 класс.

Графический способ решения системы уравнений. 9 класс

Цель урока: овладеть умением решать системы уравнений с двумя переменными, используя графические представления.

План-конспект урока «Системы уравнений. Основные способы их решения», 9 класс

План-конспект урока с технологической картой.

Урок алгебры в 11 классе по теме «Решение показательных уравнений и систем уравнений»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

УРОК АЛГЕБРЫ В 11 КЛАССЕ (подготовка к ЕНТ).

Тема: Решение показательных уравнений и систем уравнений.
Цель : 1) Продолжить работу по систематизации знаний учащихся о способах решения показательных уравнений.
2) Развивать логическое мышление, математическую зоркость, память, внимание.
3) Воспитывать математическую культуру, умение работать в группе.

Ход урока.
I. Повторение изученного материала.
1. Опрос по теории (фронтальный).
Закончить формулу :
a m * a n =; a m : a n =; (a m ) n =
(ab) n =; (a/b) n =; a 0 =; a -n =
2. Решить устно:
29 * 16 ¼ — 15 =
2 * 125 1/3 – 0,90 =
b 5,6 * 11b 0,4 =
с 4,5 : 1/13 с -0,5 =
7с 5/6 – 2(с 1/6 ) 5 =
3. Решить задания на действия со степенями (у доски):
63a 3 b : 18a 2 b =
c
3 6 * 9 -2 * 5 4 – 9 *125 * (1/5) -1 =
4. Вспомнить способы решения показательных уравнений:
1) Приведения обеих частей уравнения к одному основанию.
2) Разложение на множители.
3) Введение новой переменной.
4) Логарифмирование обеих частей (о нем разговор позже).
5) Искусственные приемы.
Из предложенных уравнений выбрать те, которые соответствуют обозначенным способам решения (устно):
1) 5 х + 1 = 125 2) 4 3 – 2х = 2 2(х — 1)
3) 2 х + 2 х + 1 = 12 4) 5 х – 2 – 5 х – 1 + 5 х = 21
5) 2 * 9 х – 3 х + 1 – 9 = 0 6) 25 х – 26 * 5 х + 25 = 0
(далее предложить эти уравнения для домашней работы).

II. Решение показательных уравнений (работа в группах).
В зависимости от состава групп уровень сложности уравнений нарастает. Каждая группа решает по 3 уравнения, потом представляет свое решение (отчитывается о проделанной работе).
Две слабые группы работают с листами самопроверки, на которых предложен ход решения заданий. Остальным группам предложить карточки с ответами, которые они должны получить.
I, II группы (слабые)
1. 3 2х + 1 = 9 2х
2. 7 х + 2 – 7 х = 336
3. 2 * 2 2х – 3 * 2 х – 2 = 0
Дополнительное уравнение: 9 х – 3 х – 6 = 0
III группа (средние)
1. 2 х2 – 6х + 0,5 = 1__
16√2
2. 4 х – 1 + 4 х + 4 х + 1 = 84
3. 3 4√х – 4 * 3 2√х + 3 = 0
IV, V группы (сильные)
1. 4 (√(3х2 – 2х)) + 1 + 2 = 9 *2√(3х2 – 2х)
2. 3 * 16 х + 2 * 81 х = 5 * 36 х
3. 5 2х – 1 + 2 2х = 5 2х – 2 2х + 2

III. Искусственный прием решения показательных уравнений (разобрать у доски).
1) (4 + √15) х + (4 — √15) х = 8
Числа 4 + √15 и 4 — √15 являются сопряженными.
Действительно (4 + √15)(4 — √15) = 16 – 15 = 1.
Поэтому 4 — √15 = 1______
4 + √15
Введем новую переменную (4 + √15) х = t > 0
Получим: t + 1/t = 8
t 2 – 8t + 1 = 0
t₁ = 4 + √15; t₂ = 4 — √15
(4 + √15) х = 4 + √15; (4 + √15) х = 4 — √15
x = 1 (4 + √15) х = 1 ______
4 + √15
(4 + √15) х = (4 + √15) -1
x = -1
2) Пробуют по аналогии решить самостоятельно (на обороте доски – решение для проверки).
(2 + √3) х + (2 — √3) х = 4

IV. Решение систем показательных уравнений.
1. Метод приведения к одному основанию.
1) 8 2х + 1 = 32 * 2 4у – 1
<
5 * 5 х-у = √25 2у + 1

2) 3 х * 9 у = 3
<
2 у — х = 1
2 х 64

2. Метод введения новых переменных.
1) х + 5 у + 2 = 9 5 у+2 = t
<
2х – 5 у + 3 = 11

2) 3 * 7 х – 3 у = 12 7 x = a
<
7 х * 3 у = 15 3 y = b

Итог урока: Обобщить различные способы решения показательных уравнений и систем уравнений.

Домашнее задание (дифференцированное, выборка из сборников тестов подготовки к ЕНТ).
«-» 1) 5 х + 1 = 125
2) 4 3 – 2х = 2 2(х — 1)
3) 2 х + 2 х +1 = 12
4) 5 х – 2 – 5 х – 1 + 5 х = 21
5) 2 * 9 х – 3 х + 1 — 9 =0
6) 25 х – 26 * 5 х + 25 = 0

«+» 1) 2 х + 2 — 2 х + 3 – 2 х+ 4 = 5 х + 1 – 5 х + 2
2) (√(6 – х)) (5 х2 – 7,2х + 3,4 — 25) = 0
3) 2 * 25 х – 5 * 10 х + 2 * 4 х = 0
4) 5 (sinx)2 – 25 cosx = 0
5) 2 * 4 х + 3 * 5 у = 11
<
5 * 4 х + 4 *5 у = 24
6) 27 х = 9 у
<
81 х : 3 у = 243

Оценки выставить учащимся сильных и средней групп.

Замечание : Отчет о работе групп провести следующим образом: 1) учащиеся одной слабой группы отправляются в три другие группы и рассказывают им, как решили свои уравнения: оставшаяся слабая группа решает дополнительное уравнение уже без подсказки; 2) затем учащиеся средней группы расходятся по группам и защищают свои уравнения; 3) учащиеся сильной группы показывают свои решения на доске.