Системы уравнений способом введения новой переменной

Конспект урока «Решение систем уравнений методом введения новой переменной»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

«Актуальность создания школьных служб примирения/медиации в образовательных организациях»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Открытый урок по теме

«Решение систем уравнений второй степени методом замены переменной»

1) Открыть совместно с учащимися новый метод решения систем уравнений (метод введения новых переменных), закрепить навыки решения систем уравнений другими методами (графическим, подстановкой и сложением).

2) Формировать потребность приобретения новых знаний, создать условия для контроля (самоконтроля) усвоения умений и навыков.

3) Развивать математическую речь при комментировании решения.

4) Воспитывать уважение друг к другу, взаимопонимание, уверенность в себе, развивать самостоятельность и творчество.

Оптимально использовать методы обучения, соответствующие возрасту и развитию учащихся, для формирования знаний по изучаемой на уроке теме.

1.Создать условия для развития познавательной деятельности учащихся.

2.Способствовать формированию умений переносить знания в новую ситуацию.

3.Развивать математический кругозор, мышление и речь, внимание и память.

Содействовать воспитанию интереса к математике, формировать у учащихся умение осмысленно, целенаправленно организовывать на уроке свою деятельность, осознавать значимость каждого шага для себя.

Воспитывать ответственность за грамотно сформулированные и лаконичные ответы.

Тип урока : комбинированный.

Оборудование : мультимедийный проектор, карточки с заданиями, доска.

1. Организационный этап.

Учитель приветствует учеников.

Знакомит учеников с оценочным листом.

Ученики выставляют себе оценки за организационный этап.

2. Актуализация знаний.

Проверим домашнее задание.

Решить систему уравнений тремя различными методами (графическим, подстановкой и сложением)

Для каждого метода записать алгоритм его использования в тетрадь.

1 метод -графический

1)

Графиком этой функции является парабола, «ветви» направлены вверх, вершина в точке (0;-4)

2)

Графиком этой функции является прямая.

Точки пересечения (1;-3);(-3;5).

Алгоритм использования графического метода:

1.Построить графики уравнений в одной системе координат.

2. Найти координаты точки пересечения или указать, что таких точек нет.

3. Записать ответ.

Из второго уравнения выражаем у:

.

Подставляем в первое уравнение:

Если , то

Если , то

Алгоритм использования метода подстановки:

1. Выразить из какого-нибудь уравнения системы одну переменную через другую.

2. Подставить в другое уравнение системы вместо этой переменной равное ему выражение.

3. Решить получившееся уравнение с одной переменной.

4. Найти соответствующее значение второй переменной

5. Записать ответ.

3 метод- алгебраическое сложение

Сложим уравнения системы, получим:

Если , то

Если , то

Алгоритм использования метода алгебраического сложения:

1. Уравнять модули коэффициентов при какой-нибудь переменной.

2. Сложить или вычесть почленно левые и правые части уравнений системы.

3. Решить получившееся уравнение с одной переменной.

4. Найти соответствующее значение второй переменной

5. Записать ответ.

Какой из способов решения системы вам понравился больше?

Ученики ставят себе баллы в оценочный лист.

3. Постановка цели и задач урока. Мотивация учебной деятельности учащихся.

Решим систему уравнений:

Какие основные методы решения систем уравнений вы знаете? (графический, подстановкой и сложением)

Какой из этих методов можно было бы применить к этой системе?

Обсуждаем применение графического способа.

Обсуждаем применение способа сложения.

Обсуждаем применение способа подстановки.

Приходим к выводу, что ни один из ранее изученных методов не подходит. Как тогда поступить? Как решать такие системы? Нужен другой метод.

Какую цель мы можем поставить перед собой на сегодняшнем уроке? (изучить другие методы решения систем уравнений второй степени научиться их применять на практике)

4. Первичное усвоение новых знаний .

Итак, решим систему:

Где мы можем узнать, как решаются такие системы? (в учебнике, в интернете).

Далее реализуется способ достижения информации.

Учитель предлагает ученикам выбрать для себя источник информации и воспользоваться им.

Учащихся предлагают ввести новую переменную.

Введём новую переменную .

Тогда первое уравнение системы можно переписать в виде

Умножим обе части уравнения на ( так как по условию ).

;; .

Делаем обратную замену.

Если , то .

Подставляя во второе уравнение системы, получаем: .

это уравнение корней не имеет.

Если , то .

Подставляя во второе уравнение системы, получаем: .

Если , то .

Если , то .

Решим ещё одну систему:

Учащиеся делают вывод, что для решения этой системы одной переменной недостаточно, надо вводить две переменные, например:

.

Если .

Если .

Давайте уточним цель нашего урока (научиться решать системы уравнений второй степени с помощью метода введения новых переменных).

5. Первичная проверка понимания .

Составление алгоритма использования метода введения новых переменных.

Учащиеся разбиваются на пары и вместе со своими соседями по парте составляют алгоритм использования метода введения новых переменных.

Различные варианты ответов зачитываются с места.

Алгоритм использования метода введения новых переменных:

1. Ввести одну или две новые переменные.

2. Записать новое уравнение или систему уравнений.

3. Решить новое уравнение или систему уравнений и найти значения введённых переменных.

4. Сделать обратную замену и найти значения переменных из условия.

5. Записать ответ.

Ученики ставят себе баллы в оценочный лист.

6. Первичное закрепление

Чтобы помочь затрудняющимся ученикам, даётся подсказка:

Сделаем замену переменной:

Получим новую систему:

3. Если , то . Если , то .

4. Получаем две системы:

или

Потом на экране выводится правильное решение.

Сделаем замену переменной . Получим новую систему:

.

Если , то .

Если , то .

Получаем две системы:

или

корней нет

Если , то .

Если , то .

Ученики ставят себе баллы в оценочный лист.

7. Информация о домашнем задании, инструктаж по его выполнению

Найти в Интернете три системы уравнений, которые можно решить методом введения новой переменной.

Записать в тетрадь их условие и решение.

Самые интересные системы будут разобраны на следующем уроке у доски.

8. Рефлексия (подведение итогов занятия)

Давайте заполним оценочные листы и посмотрим, какие у вас получились оценки.

Чему мы научились на сегодняшнем уроке?

(Решать системы уравнений способом замены переменной)

Что необходимо сделать, для того чтобы решить систему уравнений таким способом?

(сделать замену переменной, решить новое уравнение, выполнить обратную замену)

Что было наиболее сложным (трудным)?

Какие вопросы остались после проведения занятия?

Метод введения новых переменных

Метод введения новых переменных

учитель школы «Логос ЛВ», ст. преп. фак-та довузовской подготовки МИТХТ, г. Москва

Тема: Системы уравнений

Урок: Метод введения новых переменных

1. Тема урока, введение

На предыдущих уроках для решения систем уравнений применялись графический метод, метод подстановки и метод алгебраического сложения. Сейчас будет рассмотрен метод введения новых переменных.

2. Пример на введение новых переменных

Введение новых переменных позволяет упростить исходную систему. Рассмотрим в качестве примера систему, которая предлагалась на вступительном экзамене в 1979 г. в МГУ на механико-математический факультет.

Пример 1. Решить систему

Полезно ввести новые переменные

Довольно сложная исходная система свелась к более простой. Это система двух линейных уравнений относительно a и b. Решим ее методом алгебраического сложения, вычтем из первого уравнения второе.

Мы ввели новые переменные и решили систему относительно этих переменных. Возвращаемся к старым переменным.

Мы получили вторую систему двух линейных уравнений относительно x и y.

Решим систему методом подстановки.

Ответ:

3. Основные сведения о квадратных уравнениях

Часто при замене переменных мы получаем квадратное уравнение. Напомним основные сведения о них:

Квадратное уравнение в общем виде:

Формула корней квадратного уравнения через дискриминант:

Если b – четное число, имеем формулу:

Напомним теорему Виета: Если корни квадратного уравнения , то

Верно и обратное: Если числа удовлетворяют системе , то они являются корнями квадратного уравнения .

Напомним прием, который позволяет упростить нахождение корней квадратного уравнения. Умножим квадратное уравнение на Получим

Получили новое уравнение относительно новой переменной

Мы получили приведенное квадратное уравнение с целыми коэффициентами (если они были целыми в исходном уравнении).

4. Примеры приведенных квадратных уравнений с заменой переменных

Пример 2. Решить уравнение

;

Это приведенное уравнение, коэффициенты – целые числа.

По теореме Виета

Ответ:

Пример 3. Решить уравнение

Получили приведенное квадратное уравнение относительно z.

По теореме Виета

Ответ:

Мы рассмотрели еще один прием, который позволяет упростить нахождение корней квадратного уравнения.

5. Решение систем уравнений

После сделанных напоминаний для квадратных уравнений решим систему:

Пример 4. Решить систему

Решение: Произведем замену:

Вернемся к исходной системе:

Ответ:

Пример 5. Решить систему:

Введем новую переменную: Получаем квадратное уравнение относительно новой переменной.

Исходная система свелась к совокупности двух систем:

Каждую систему решаем методом подстановки.

1.

2.

Находим y при известных x.

Ответ:

6. Пример симметрической системы

Следующая система – симметрическая. Симметрической называется такая система, которая не изменится, если переменные поменять местами.

Решение: Произведем замену

Мы ввели новые переменные, и нашли их.

Вернемся к старым переменным. Получаем две системы:

1.

2.

нет решений.

Ответ:

Заметим, что решением симметрической системы являются симметричные пары чисел.

Мы рассмотрели метод введения новых переменных. На следующем уроке рассмотрим системы повышенной сложности.

Список рекомендованной литературы

1. и др. Алгебра 9 кл.: Учеб. Для общеобразоват. Учреждений.- 4-е изд. – М.: Мнемозина, 2002.-192 с.: ил.

2. и др. Алгебра 9 кл.: Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / , и др. — 4-е изд. — М.: Мнемозина, 2002.-143 с.: ил.

3. Макарычев . 9 класс : учеб. для учащихся общеобразоват. учреждений / , , . — 7-е изд., испр. и доп. — М.: Мнемозина, 2008.

4. , , Сидоров . 9 класс. 16-е изд. — М., 20с.

5. Мордкович . 9 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / , . — 12-е изд., стер. — М.: 2010. — 224 с.: ил.

6. Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч. 2. Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / , , и др.; Под ред. . — 12-е изд., испр. — М.: 2010.-223 с.: ил.

Рекомендованные ссылки на интернет-ресурсы

1. Раздел ***** по математике (Источник).

2. Интернет-проект «Задачи» (Источник).

3. Образовательный портал «РЕШУ ЕГЭ» (Источник).

Рекомендованное домашнее задание

1. и др. Алгебра 9 кл.: Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / , и др. — 4-е изд. — М. : Мнемозина, 2002.-143 с.: ил. № 000, 129.

Метод введения новых переменных. 9 класс

Тема «Метод введения новых переменных»

Цели:

1) Открыть совместно с учащимися новый метод решения систем уравнений (метод введения новых переменных), закрепить навыки решения систем уравнений другими методами (графическим, подстановкой и сложением).

2) Формировать потребность в приобретении новых знаний, создать условия для контроля (самоконтроля) усвоения умений и навыков.

3) Развивать математическую речь при комментировании решения.

4) Воспитывать уважение друг к другу, взаимопонимание, уверенность в себе, развивать самостоятельность и творчество.

Просмотр содержимого документа
«АЛГОРИТМЫ матем»

СПОСОБ СЛОЖЕНИЯ (алгоритм)

Умножить почленно уравнения системы, подбирая множители так, чтобы коэффициенты при одной из переменных стали противоположными числами.

Сложить почленно левые и правые части уравнений системы.

Решить получившееся уравнение с одной переменной.

Подставить значение найденной переменной в одно из уравнений системы и найти значение другой переменной.

СПОСОБ ПОДСТАНОВКИ (алгоритм)

Из какого-либо уравнения выразить одну переменную через другую.

Подставить полученное выражение для переменной в другое уравнение и

Вычислить значение второй переменной.

ГРАФИЧЕСКИЙ СПОСОБ (алгоритм)

Выразить у через х в каждом уравнении.

Построить в одной системе координат график каждого уравнения.

Определить координаты точек пересечения

АЛГОРИТМ ВВЕДЕНИЯ НОВЫХ ПЕРЕМЕННЫХ

1. Ввести одну или две новые переменные.

2. Записать новое уравнение или систему уравнений.

3. Решить новое уравнение или систему уравнений и найти значения введённых переменных.

4. Сделать обратную замену и найти значения переменных из условия.

5. Записать ответ.

Просмотр содержимого документа
«Открытый урок по мат 9 кл Метод введения новых переменных.»

Наш урок начнем со слов Самуила Маршака:

Пусть каждый день и каждый час

Вам новое добудет

Пусть добрым будет ум у вас,

А сердце умным будет

Тема «Метод введения новых переменных»

1) Открыть совместно с учащимися новый метод решения систем уравнений (метод введения новых переменных), закрепить навыки решения систем уравнений другими методами (графическим, подстановкой и сложением).

2) Формировать потребность в приобретении новых знаний, создать условия для контроля (самоконтроля) усвоения умений и навыков.

3) Развивать математическую речь при комментировании решения.

4) Воспитывать уважение друг к другу, взаимопонимание, уверенность в себе, развивать самостоятельность и творчество.

Оптимально использовать методы обучения, соответствующие возрасту и развитию учащихся, для формирования знаний по изучаемой на уроке теме.

1.Создать условия для развития познавательной деятельности учащихся.

2.Способствовать формированию умений переносить знания в новую ситуацию.

3.Развивать математический кругозор, мышление и речь, внимание и память.

Содействовать воспитанию интереса к математике, формировать у учащихся умение осмысленно, целенаправленно организовывать на уроке свою деятельность, осознавать значимость каждого шага для себя.

Воспитывать ответственность за грамотно сформулированные и лаконичные ответы.

Тип урока – изучения и первичного закрепления новых знаний.

Форма работы – индивидуальная, групповая, парная.

Оборудование: презентация, карточки, маршрутный лист.

1.Организационный этап – 2 мин

2. Актуализация опорных знаний (повторить способы решения систем) – 10 мин.

3. Постановка проблемы. Мотивирование к учебной деятельности (анализ системы, постановка цели) – 3 мин.

4. Открытие нового знания – 19 мин

5. Физкультминутка – 1 мин

6. Первичное закрепление. (работа в парах) – 10 мин

7. Домашнее задание 6.9 (в), 6.10 (в)

8. Рефлексия. Подведение итогов – 5 мин.

Дидактическая задача: создание комфортной образовательной среды (приветствие. создание положительного эмоционального настроя учащихся)

2. Актуализация опорных знаний.

Задание 1. Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают. (индивидуальная работа)

Формулы; 1) у = х 2 2) у = — 3) у = 3х 4) у = Ответ:

За правильное решение 1 балл.

Задание 2. Выразите переменную: (индивидуальная работа)

x 2 + y – 2x = 8 y = ……..

За каждое правильное решение 1 балл.

Задание 3. Сколько решений имеет система уравнений, графики которых изображены

на рисунке: (индивидуальная работа)

4.

Ответ:

За правильное решение 1 балл.

Задание 4. Решите систему уравнений применив любой метод (графический метод, метод сложения, метод подстановки) (работа в парах)

За правильное решение 2 балла.

3. Постановка проблемы. Мотивирование к учебной деятельности.

На доске записаны системы уравнений

Учитель: Сегодня я вам предлагаю решить системы

1)

= 2

Какой известный вам метод будете использовать для решения систем? (ни один не подходит) Что будем делать? (проблема)

Подсказка. 1) Установите связь между слагаемыми в первом уравнении.

2) С помощью чего можно упростите запись данного уравнения ?

Ответ учащегося: введём новую переменную.

Формулируется вместе с учащимися тема урока «Метод введения новых переменных», ставится цель – чему сегодня необходимо научиться (научиться решать систему уравнений методом введения новых переменных)

Найдите одинаковое буквенное выражение . ;

Формулируется вместе с учащимися тема урока «Метод введения новой переменной», ставится цель — чему сегодня необходимо научиться. (научиться решать систему уравнений методом введения новой переменной)

4. Открытие нового знания. Решим системы.

Совместно с учащимися решается данная система 1.

введём новую переменную:

Замена , тогда . Решая уравнение получаем t =2 или t =0,5. Обратная замена

или .

Вопрос: Назовите уравнение которое не использовали и составим системы

. или Решая их, получаем ответ (2;1); (-2;-1). Вторая система не имеет решения.

Решим 2 вторую систему.

= 2

Что особенного во второй системе? Как будем решать? (введём новые переменные. Введение новых переменных что позволяет сделать? Введение новых переменных позволяет упростить исходную систему.

а + 3 = а, у – 1 = b .

Записать и решить систему. Записать алгоритм решения системы уравнений методом введения новых переменных

Наклонитесь на спинку стула, закройте глаза, досчитайте до 5, откройте глаза и проследите за движение шарика на экране.