Системы уравнений второго порядка исследование множества решений
Определителем или детерминантом, составленным из чисел этой таблицы, называется число $ad — bc$, обозначаемое так:
$\begin
Видно, что определитель равен разности произведений пар элементов, стоящих на его главной и побочной диагоналях.
С помощью определителей можно равенства (6), (7) и (8) из параграфа «Линейные системы» переписать, поменяв местами их части, так:
Заметим, что определители $\Delta, \Delta_
Проведем теперь исследование системы линейных уравнений $\begin
1) Пусть $\Delta \neq 0$. Тогда, как уже отмечалось, формулы $\begin
2) Пусть теперь $\Delta = 0$. В зависим от значений $\Delta_
а) Хотя бы один из определителей $\Delta_<х>, \Delta_
б) Оба определителя $\Delta_
$\Delta = a_<1>b_ <2>— a_<2>b_ <1>= 0, \Delta_
и из записи второго уравнения системы, подставляя в него выражения коэффициентов $b_<2>, c_<2>$,
найдем, что оно отличается от первого уравнения лишь множителем $\frac
. Возможен, в принципе, и такой крайний случай, как равенство нулю всех коэффициентов при неизвестных (он может встретиться при исследовании систем с буквенными коэффициентами). У такой системы
$0 \cdot x + 0 \cdot y = c_<1>$,
$0 \cdot x + 0 \cdot y = c_<2>$
все определители равны нулю: $\Delta = \Delta_
Подведем итоги исследования системы линейных уравнений. Имеется три вида таких систем:
1) Если $\Delta \neq 0$, то система определенная, имеет единственное решение $\begin
2) Если $\Delta = 0$, но $\Delta_
3) Если $\Delta = \Delta_
Равенство нулю определителя,
$\begin
означает пропорциональность элементов, стоящих в его строках (и обратно):
В силу этого признаки, отличающие линейные системы разных типов (определенные, неопределенные, несовместные), могут быть сформулированы в терминах пропорций между коэффициентами системы (без привлечения определителей).
Условие $\Delta = 0$ ($\Delta = 0$) заменяется поэтому требованием пропорциональности (непропорциональности) коэффициентов при неизвестных:
В случае $\Delta = \Delta_
(эти пропорции получаются, например, из $b_ <2>= a_ <2>\frac
1) Если коэффициенты при неизвестных не пропорциональны:
то система определенная.
2) Если коэффициенты при неизвестных пропорциональны, а свободные члены им не пропорциональны:
то система несовместная.
3) Если пропорциональны коэффициенты при неизвестных и свободные члены:
то система неопределенная.
Проведенное исследование систем линейных уравнений с двумя неизвестными допускает простое геометрическое истолкование. Всякое линейное уравнение определяет на координатной плоскости прямую линию. Уравнения системы $\begin
3) данные прямые совпадают (рис. в); этот случай соответствует неопределенной системе: каждая точка «дважды заданной» прямой будет решением системы.
Теорема Кронекера-Капелли. Исследование систем линейных уравнений на совместность. Первая часть.
Исследовать систему линейных агебраических уравнений (СЛАУ) на совместность означает выяснить, есть у этой системы решения, или же их нет. Ну и если решения есть, то указать сколько их.
Нам понадобятся сведения из темы «Система линейных алгебраических уравнений. Основные термины. Матричная форма записи». В частности, нужны такие понятия, как матрица системы и расширенная матрица системы, поскольку именно на них опирается формулировка теоремы Кронекера-Капелли. Как обычно, матрицу системы будем обозначать буквой $A$, а расширенную матрицу системы – буквой $\widetilde$.
Система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы системы, т.е. $\rang A=\rang\widetilde$.
Следствие из теоремы Кронекера-Капелли
Заметьте, что сформулированная теорема и следствие из неё не указывают, как найти решение СЛАУ. С их помощью можно лишь выяснить, существуют эти решения или нет, а если существуют – то сколько.
Исследовать СЛАУ $ \left \ <\begin
Чтобы выяснить наличие решений заданной СЛАУ, используем теорему Кронекера-Капелли. Нам понадобятся матрица системы $A$ и расширенная матрица системы $\widetilde$, запишем их:
Способ №1. Вычисление рангов по определению.
Согласно определению, ранг – это наивысший порядок миноров матрицы, среди которых есть хоть один, отличный от нуля. Обычно исследование начинают с миноров первого порядка, но здесь удобнее приступить сразу к вычислению минора третьего порядка матрицы $A$. Элементы минора третьего порядка находятся на пересечении трёх строк и трёх столбцов рассматриваемой матрицы. Так как матрица $A$ содержит всего 3 строки и 3 столбца, то минор третьего порядка матрицы $A$ – это определитель матрицы $A$, т.е. $\Delta A$. Для вычисления определителя применим формулу №2 из темы «Формулы для вычисления определителей второго и третьего порядков»:
$$ \Delta A=\left| \begin
Итак, есть минор третьего порядка матрицы $A$, который не равен нулю. Минор четвёртого порядка составить невозможно, так как для него требуется 4 строки и 4 столбца, а в матрице $A$ всего 3 строки и 3 столбца. Итак, наивысший порядок миноров матрицы $A$, среди которых есть хотя бы один не равный нулю, равен 3. Следовательно, $\rang A=3$.
Задача решена. Какие недостатки и преимущества имеет данный способ? Для начала поговорим о плюсах. Во-первых, нам понадобилось найти всего один определитель. После этого мы сразу сделали вывод о количестве решений. Обычно в стандартных типовых расчётах даются системы уравнений, которые содержат три неизвестных и имеют единственное решение. Для таких систем данный метод очень даже удобен, ибо мы заранее знаем, что решение есть (иначе примера не было бы в типовом расчёте). Т.е. нам остаётся только показать наличие решения наиболее быстрым способом. Во-вторых, вычисленное значение определителя матрицы системы (т.е. $\Delta A$) пригодится после: когда станем решать заданную систему методом Крамера или с помощью обратной матрицы.
Однако метод вычисления ранга по определению нежелательно применять, если матрица системы $A$ является прямоугольной. В этом случае лучше применить второй метод, о котором пойдёт речь ниже. Кроме того, если $\Delta A=0$, то мы ничего не сможем сказать о количестве решений заданной неоднородной СЛАУ. Может, СЛАУ имеет бесконечное количество решений, а может – ни одного. Если $\Delta A=0$, то требуется дополнительное исследование, которое зачастую является громоздким.
Подводя итог сказанному, отмечу, что первый способ хорош для тех СЛАУ, у которых матрица системы квадратна. При этом сама СЛАУ содержит три или четыре неизвестных и взята из стандартных типовых расчетов или контрольных работ.
Способ №2. Вычисление ранга методом элементарных преобразований.
Какие преимущества второго способа? Главное преимущество – это его универсальность. Нам совершенно неважно, является ли матрица системы квадратной или нет. Кроме того, мы фактически провели преобразования прямого хода метода Гаусса. Осталось лишь пару действий, и мы смогли бы получить решение данной СЛАУ. Честно говоря, второй способ нравится мне более первого, но выбор – это дело вкуса.
Ответ: Заданная СЛАУ совместна и определена.
$$ \left( \begin
Расширенная матрица системы приведена к ступенчатому виду. Ранг ступенчатой матрицы равен количеству её ненулевых строк, поэтому $\rang\widetilde=3$. Матрица $A$ (до черты) тоже приведена к ступенчатому виду, и ранг её равен 2, $\rang=2$.
Ответ: система несовместна.
Приводим расширенную матрицу системы к ступенчатому виду:
$$ \left( \begin
Мы привели расширенную матрицу системы и саму матрицу системы к ступенчатому виду. Ранг расширенной матрицы системы равен трём, ранг матрицы системы также равен трём. Так как система содержит $n=5$ неизвестных, т.е. $\rang\widetilde=\rang\lt
Ответ: система является неопределённой.
Во второй части мы разберём примеры, которые нередко включают в типовые расчёты или контрольные работы по высшей математике: исследование на совместность и решение СЛАУ в зависимости от значений параметров, входящих в неё.
Исследование СЛАУ. Общие сведения
В данной статье мы расскажем о методах, видах, условиях и определениях исследований решений систем линейных уравнений, что такое метод Кронекера-Капели, а также приведем примеры.
Общие сведения (определения, условия, методы, виды)
Системы линейных алгебраических уравнений с n неизвестными могут иметь:
- единственное решение;
- бесконечное множество решение (неопределенные СЛАУ);
- ни одного решения (несовместные СЛАУ).
Пример 1
Система x + y + z = 1 2 x + 2 y + 2 z = 3 не имеет решений, поэтому она несовместна.
Система x + y = 1 2 x + 7 y = — 3 имеет единственное решение x = 2 ; y = 1 .
Система x + y = 1 2 x + 2 y = 2 3 x + 3 y = 3 имеет бесконечное множество решений x = t y = 1 — t при — ∞ t ∞ .
Перед решением системы уравнений необходимо исследовать систему, т.е. ответить на следующие вопросы:
- Совместна ли система?
- Если система совместна, то, какое количество решений она имеет — одно или несколько?
- Как найти все решения?
Если система малоразмерна при m = n , то ответить на поставленные вопросы можно при помощи метода Крамера:
- если основной определитель системы, то система совместна и имеет единственное решение, которое вычисляется методом Крамера;
- если, и один из вспомогательных определителей, то система не является совместной, т.е. не имеет решений;
- если и все, и один из коэффициентов СЛАУ, то система не является определенной и имеет бесконечное множество решений.
Ранг матрицы и его свойства
Бывают случаи, которые выбиваются из представленных вариантов решения СЛАУ, например, линейные уравнения с большим количеством уравнений и неизвестных.
Для такого варианта решения существует ранг матрицы, который представляет собой алгоритм действий в случае решения системы матрицы, когда
В математике выделяют следующие подходы к определению ранга матрицы:
- при помощи понятия линейной зависимости/независимости строк/столбцов матрицы. Ранг равен максимальному количеству независимых строк (столбцов) матрицы
- при помощи понятия минора матрицы в качестве наивысшего порядка минора, который отличается от нуля. Минор матрицы порядка k — определитель k-го порядка, составленный из элементов, которые стоят на пересечении вычеркиваемых k-строк и k-столбцов матрицы;
- при помощи метода Гаусса. По завершении прямого хода ранг матрицы равняется количеству ненулевых строк.
Обозначение ранга матрицы: r ( A ) , r g ( A ) , r A .
Свойства ранга матрицы:
- квадратная невырожденная матрица обладает рангом, который отличается от нуля;
- если транспонировать матрицу, то ранг матрицы не изменяется;
- если поменять местами 2 параллельные строки или 2 параллельных столбца, ранг матрицы не изменяется;
- при удалении нулевого столбца или строки ранг матрицы не изменяется;
- ранг матрицы не изменяется, если удалить строку или столбец, которые являются линейной комбинацией других строк;
- при умножении все элементов строки/столбца на число k н е р а в н о н у л ю ранг матрицы не изменяется;
- ранг матрицы не больше меньшего из ее размеров: r ( А ) ≤ m i n ( m ; n ) ;
- когда все элементы матрицы равны нулю, то только тогда r ( A ) = 0 .
Пример 2
А 1 = 1 1 1 2 2 2 3 3 3 , B 1 = 1 0 0 0 0 0
r ( A 1 ) = 1 , r ( B 1 ) = 1
А 2 = 1 2 3 4 0 5 6 7 0 0 0 0 ; В 2 = 1 1 3 1 2 1 4 3 1 2 5 0 5 4 13 6
http://math1.ru/education/sys_lin_eq/kapelli.html
http://zaochnik.com/spravochnik/matematika/issledovanie-slau/slau/