Скачать бесплатно презентации по теме квадратные уравнения

Презентация Квадратные уравнения
презентация к уроку по алгебре (8 класс) по теме

Презентация к уроку алгебры в 8 классе Методы решения квадратных уравнений

Скачать:

Предварительный просмотр:

Подписи к слайдам:

АЛГЕБРА, 8 класс Тема урока: «Квадратные уравнения» Если ты услышишь, что кто-то не любит математику, не верь. Её нельзя не любить — её можно только не знать.

уравнение вида ах 2 + вх +с = 0 , где х –переменная, а , в и с некоторые числа, причем а 0 . ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Квадратным уравнением называется

ПОЛНЫЕ КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ НЕПОЛНЫЕ КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ а ≠ 0, в ≠ 0, с ≠ 0 а ≠ 0, в = 0, с = 0 2х 2 +5х-7=0 6х+х 2 -3=0 Х 2 -8х-7=0 25-10х+х 2 =0 3х 2 -2х=0 2х+х 2 =0 125+5х 2 =0 49х 2 -81=0

1 вариант а ) 6х 2 – х + 4 = 0 б ) 12х — х 2 = 0 в) 8 + 5х 2 = 0 2 вариант а ) х – 6х 2 = 0 б) — х + х 2 – 15 = 0 в ) — 9х 2 + 3 = 0 1 вариант а) а = 6, в = -1, с = 4; б) а = -1, в = 12, с = 0 ; в) а = 5, в = 0, с = 8; 2 вариант а) а = -6, в =1, с = 0; б) а = 1, в =-1, с = — 15; в) а = -9, в = 0, с = 3. Определите коэффициенты квадратного уравнения:

РЕШЕНИЕ НЕПОЛНЫХ КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЙ в=0 ах 2 +с=0 с=0 ах 2 +вх=0 в,с=0 ах 2 =0 1.Перенос с в правую часть уравнения. ах 2 = -с 2.Деление обеих частей уравнения на а . х 2 = -с/а 3.Если –с/а > 0 -два решения: х 1 = и х 2 = — Если –с/а 0 1 корень Нет корней два корня Х=-в/2а Х=(-в+ √D )/2а

Вычисли дискриминант и определи количество корней квадратного уравнения 1 вариант а ) 3х 2 – 5х — 2 = 0 б) 4х 2 – 4х + 1= 0 в) х 2 – 2х +3 = 0 2 вариант а ) 5х 2 – 4х + 2 = 0 б ) 4х 2 – 3х -1= 0 в ) х 2 – 6х + 9= 0

Проверь товарища D= b 2 -4ac 1 вариант а) D = (-5) 2 — 4*3*(-2) = 49, 2 корня; б) D = (-4) 2 — 4*4*1 = 0 , 1 корень; в) D = (-2) 2 — 4*1*3 = -8, нет корней 2 вариант а) D = (-4) 2 — 4*5*2 = -24, нет корней; D = (-3) 2 — 4*4*(-1) = 25, 2 корня; D = (-6) 2 — 4*1*9 = 0 , 1 корень

РЕШИ УРАВНЕНИЯ с помощью формулы : 1 вариант: 2 вариант: 2х 2 + 5х -7 = 0 2х 2 + 5х -3= 0

Проверь себя 1 вариант 2х 2 + 5х -7 = 0, D =5 2 — 4 *2* (-7)= 81 = 9 2 , х = (-5 -9)/2*2=-14/4=- 3,5, х =(-5 +9)/4=4/4=1. Ответ: -3,5 и 1. 2 вариант 2х 2 + 5х -3= 0, D = 5 2 – 4 *2* (-3)= 49 = 7 2 , х = (-5 -7)/2*2=-12/4= -3, х = (-5 +7)/4= 2/4= 0,5. Ответ: -3 и 0,5.

Исторические сведения: Квадратные уравнения впервые встречаются в работе индийского математика и астронома Ариабхатты. Другой индийский ученый Брахмагупта ( VII в) изложил общее правило решения квадратных уравнений, которое практически совпадает с современным. В Древней Индии были распространены публичные соревнования в решении трудных задач. Задачи часто облекались в стихотворную форму. ________________________________________________ Вот задача Бхаскары: Обезьянок резвых стая, всласть поевши, развлекалась. Их в квадрате часть восьмая на полянке забавлялась. А двенадцать по лианам стали прыгать, повисая. Сколько ж было обезьянок, ты скажи мне, в этой стае?

Решение задачи Бхаскары : Пусть было х обезьянок, тогда на поляне забавлялось – ( х/8) 2 и 12 прыгали по лианам. Составим уравнение: ( х/8) 2 + 12 = х, х 2 /64 + 12 – х =0, /*64 х 2 — 64х + 768 = 0, D = (-64) 2 -4*1*768 =4096 – 3072 = 1024 = 32 2 , 2 корня х= (64 -32)/2 = 16, х= (64 + 32)/2 = 48. Ответ: 16 или 48 обезьянок.

Презентация на тему: Квадратные уравнения

Квадратные уравненияУчитель математикиГБОУ Лицей №126 г.Санкт-ПетербургОльшина Марина Валерьевна

Цели:1.Систематизация знаний по теме «Квадратные уравнения»; 2.Развитие интереса к предмету. Задачи:1.Знать определение квадратного уравнения, типы, методы решения; 2.Понимать отличительные особенности квадратных уравнений; 3.Применять полученные знания при решении рациональных, иррациональных уравнений, сокращении дробей, решении задач.

Квадратные уравнения умели решать около 2000 лет до н. э. вавилоняне.

В арифметике Диофанта отсутствуют понятие отрицательного числа и общие методы решения квадратных уравнений. При составлении уравнений Диофант для упрощения решения умело выбирает неизвестные.325 – 409 г.г. по Р. Х. знаменитый александрийский математик.

Задача ДиофантаНайти два числа, зная, что их сумма равна 20, а произведение — 96.

Найти два числа, зная, что их сумма равна 20, а произведение — 96.Значит, одно из этих чисел будет больше половины их суммы, т. е. (10 + х), другое же меньше, т. е. (10 – х). Разность между ними 2х.Отсюда уравнение:(10+x)(10—x) =96,100 —x2 = 96.x2 — 4 = 0х = 2Одно из искомых чисел равно 12, другое 8. Решение х = — 2 для Диофанта не существует, так как греческая математика знала только положительные числа.

Интересные способы решения квадратных уравнений встречаются в трудах индийского ученого Бхаскары (600 – около 680г.г.).И арабского ученого Ал – Хорезми (780 – около 850г.г

Задача знаменитого индийского математика XII в. Бхаскары: Обезьянок резвых стая всласть поевши, развлекалась, их в квадрате часть восьмая на поляне забавлялась, а двенадцать по лианам стали прыгать, повисая. Сколько ж было обезьянок, ты скажи мне, в этой стае?

Решение Бхаскары свидетельствует о том, что он знал о двузначности корней квадратных уравнений.Бхаскара пишет: x2 — 64x = — 768и, чтобы дополнить левую часть этого уравнения до квадрата, прибавляет к обеим частям 1024, получая затем: x2 — 64х + 1024 = -768 + 1024, (х — 32)2 = 256, х — 32= ±16, x1 = 16, x2 = 48.

Квадрат и число 21 равны 10 корням. Найти корень (подразумевается корень уравнения х2 + 21 = 10х).Решение автора гласит примерно так: раздели пополам число корней, получишь 5, умножь 5 само на себя, от произведения отними 21, останется 4. Извлеки корень из 4, получишь 2. Отними 2 от 5, получишь 3, это и будет искомый корень. Или же прибавь 2 к 5, что даст 7, это тоже есть корень.

Определение квадратного уравненияКвадратным уравнением называется уравнение вида где коэффициенты a,b,c-любые действительные числа, причем

Определение корня Корнем квадратного уравнения называют такое значение переменной х, при котором квадратный трехчлен обращается в нуль;

Типы квадратных уравненийполные

Данные уравнения разбейте на полные и неполные:

а) 9х2= 0; в) 2х2-32=0; г) х2+4х=0.

Способы решения неполных квадратных уравнений

Формулы корней полного квадратного уравнения

Формула четного коэффициентаb=2k

1.Найдите корни квадратного уравнения, не используя формулы корней:2.Составьте приведенное квадратное уравнение, корнями которого являются числа 3 и -7:

Применение квадратных уравненийрешение рациональных уравненийрешение иррациональных уравнений;решение задач;разложение квадратного трехчлена на множители;сокращение дробей.

Задание:1.Решите уравнения:2.Сократите дробь:3.При каком значении параметра a уравнение имеет один корень?

Составьте математическую модель для решения задачи:В прямоугольном треугольнике один катет меньше гипотенузы на 4 см, а другой – на 8 см. Найдите гипотенузу.

Домашнее задание:1.Решите уравнения:2.Сократите дробь:3.При каком значении параметра а уравнение имеет один корень?

Квадратные уравнения. Квадратное уравнение Квадратным уравнением называется уравнение вида ах 2 + bx + c = 0, где а, b, с – числа, а 0, х – неизвестное. — презентация

Презентация была опубликована 9 лет назад пользователемgrom-myr.narod.ru

Похожие презентации

Презентация на тему: » Квадратные уравнения. Квадратное уравнение Квадратным уравнением называется уравнение вида ах 2 + bx + c = 0, где а, b, с – числа, а 0, х – неизвестное.» — Транскрипт:

2 Квадратное уравнение Квадратным уравнением называется уравнение вида ах 2 + bx + c = 0, где а, b, с – числа, а 0, х – неизвестное. 3х 2 — 2x + 7 = 0;-3,8х = 0; 18х 2 = 0. Квадратное уравнение называют еще уравнением второй степени с одним неизвестным.

3 Коэффициенты квадратного уравнения Числа а, b и с называют коэффициентами квадратного уравнения. ах 2 + bx + c = 0, старший второй свободный коэффициенткоэффициентчлен 3х 2 + 4x — 8 = 0, старший второй свободный коэффициенткоэффициентчлен

4 Неполное квадратное уравнение Квадратное уравнение, в котором хотя бы один из коэффициентов b или с равен нулю, называется неполным. -11х 2 = 0; 5х х = 0; -24х 2 +1 = 0.

5 Виды неполных квадратных уравнений и их корни 1. ах 2 + c = 0, где с 0. Тогда Если,то корни. а) б) -х 2 -4 = 0 х 2 = -4нет корней. Если, то корней нет.

6 Виды неполных квадратных уравнений и их корни 2. ах 2 + bx = 0, где b 0. Тогда x (ax +b) = 0. Корни: х 1 =0 и х 2 =. а) 2х 2 + 7x = 0x (2x +7) = 0 х = 0 или 2х + 7 = 0, т.е. х =. Ответ: 0 и -3,5. б) -х 2 + 5x = 0 -x (x — 5) = 0 х = 0 или х = 5. Ответ: 0 и 5.

7 Виды неполных квадратных уравнений и их корни 3. ах 2 = 0 Имеем единственный корень х = х 2 = 0 х 2 = 0 х = 0. -3,8х 2 = 0 х 2 = 0 х = 0.

8 Метод выделения полного квадрата Решить уравнение х x + 24 = 0. Решение. х x + 24 = (х x + 49) – = = (х + 7) 2 – 25. (х + 7) 2 – 25 = 0, (х + 7) 2 = 25. х + 7 = -5 или х + 7 = 5. х 1 = -12;х 2 = -2. Ответ: -12; -2.

9 Формула корней квадратного уравнения Корни квадратного уравнения ах 2 + bx + c = 0 можно найти по формуле, где D = b 2 – 4ac — дискриминант квадратного уравнения.

0. Тогда уравнение имеет 2 различных корня. 2х 2 + 7x — 4 = 0. a = 2, b = 7, c = -4. D = 7 2 – 4 2 (-4) = 81 > 0. » title=»Формула корней квадратного уравнения Возможны 3 случая: 1. D > 0. Тогда уравнение имеет 2 различных корня. 2х 2 + 7x — 4 = 0. a = 2, b = 7, c = -4. D = 7 2 – 4 2 (-4) = 81 > 0. » > 10 Формула корней квадратного уравнения Возможны 3 случая: 1. D > 0. Тогда уравнение имеет 2 различных корня. 2х 2 + 7x — 4 = 0. a = 2, b = 7, c = -4. D = 7 2 – 4 2 (-4) = 81 > 0. 0. Тогда уравнение имеет 2 различных корня. 2х 2 + 7x — 4 = 0. a = 2, b = 7, c = -4. D = 7 2 – 4 2 (-4) = 81 > 0. «> 0. Тогда уравнение имеет 2 различных корня. 2х 2 + 7x — 4 = 0. a = 2, b = 7, c = -4. D = 7 2 – 4 2 (-4) = 81 > 0. «> 0. Тогда уравнение имеет 2 различных корня. 2х 2 + 7x — 4 = 0. a = 2, b = 7, c = -4. D = 7 2 – 4 2 (-4) = 81 > 0. » title=»Формула корней квадратного уравнения Возможны 3 случая: 1. D > 0. Тогда уравнение имеет 2 различных корня. 2х 2 + 7x — 4 = 0. a = 2, b = 7, c = -4. D = 7 2 – 4 2 (-4) = 81 > 0. «>

11 Формула корней квадратного уравнения 2. D = 0. Тогда уравнение имеет единственный корень: х 2 — 4x + 4 = 0. D = (-4) 2 – = 0,.

12 Формула корней квадратного уравнения 3. D

13 Корни квадратного уравнения с четным вторым коэффициентом Если b = 2k, то корни уравнения ах 2 + 2kx + c = 0 находятся по формуле, где.

0, значит уравнение имеет 2 корня:» title=»Корни квадратного уравнения с четным вторым коэффициентом Решить уравнение 1. х 2 + 18x + 32 = 0. а = 1; b = 18k = b : 2 = 9; c = 32. D 1 = D : 4 = (18 : 2) – 1 32 = 49 > 0, значит уравнение имеет 2 корня:» > 14 Корни квадратного уравнения с четным вторым коэффициентом Решить уравнение 1. х x + 32 = 0. а = 1; b = 18k = b : 2 = 9; c = 32. D 1 = D : 4 = (18 : 2) – 1 32 = 49 > 0, значит уравнение имеет 2 корня: 0, значит уравнение имеет 2 корня:»> 0, значит уравнение имеет 2 корня:»> 0, значит уравнение имеет 2 корня:» title=»Корни квадратного уравнения с четным вторым коэффициентом Решить уравнение 1. х 2 + 18x + 32 = 0. а = 1; b = 18k = b : 2 = 9; c = 32. D 1 = D : 4 = (18 : 2) – 1 32 = 49 > 0, значит уравнение имеет 2 корня:»>

15 Корни квадратного уравнения с четным вторым коэффициентом Решить уравнения 2. 3х 2 + 2x + 1 = 0. а = 3; b = 2 k = b : 2 = 1; c = 1. D 1 = D : 4 = 1 2 – 1 3 = -2

16 Приведенное квадратное уравнение Приведенное квадратное уравнение – это уравнение вида х 2 + px + q = 0. х x + 24 = 0. Для каждого квадратного уравнения можно записать равносильное ему приведенное уравнение, разделив обе части квадратного на старший коэффициент. 5х 2 + 3x — 2 = 0 х 2 + 0,6x – 0,4 = 0.

17 Формула корней приведенного квадратного уравнения х 2 + px + q = 0. х 2 — x — 6 = 0. p = -1, q = -6,

18 Теорема Виета Теорема. Если х 1 и х 2 – корни приведенного квадратного уравнения х 2 + px + q = 0, то х 1 + х 2 = -р х 1 х 2 = q х 1 = -1; х 2 = 3 – корни уравнения х 2 — 2x — 3 = 0. р = -2, q = -3. х 1 + х 2 = = 2 = -р, х 1 х 2 = -1 3 = q. формулы Виета

19 Теорема Виета для квадратного уравнения общего вида Теорема. Если х 1 и х 2 – корни квадратного уравнения а х 2 + bx + c = 0, то х 1 = 1,5; х 2 = 2 – корни уравнения 2 х 2 — 7x + 6 = 0. х 1 + х 2 = 3,5, х 1 х 2 = 3.

20 Теорема, обратная теореме Виета Теорема. Если числа х 1, х 2, р и q связаны условиями х 1 + х 2 = -р х 1 х 2 = q то х 1 и х 2 – корни приведенного квадратного уравнения х 2 + px + q = 0. Составим квадратное уравнение по его корням Искомое уравнение имеет вид х 2 — 4x + 1 = 0.

21 Квадратный трехчлен Квадратным трехчленом называется многочлен вида а х 2 + bx + c, где а, b, с – числа, а 0, х – переменная. 3х 2 — 2x + 7; Корни квадратного трехчлена а х 2 + bx + c – это корни уравнения а х 2 + bx + c = 0.

22 Разложение квадратного трехчлена на линейные множители Теорема. Если х 1 и х 2 – корни квадратного трехчлена а х 2 + bx + c, то а х 2 + bx + c = а(х — х 1 )(х — х 2 ). Разложить на множители 12 х 2 — 5x корни уравнения 12 х 2 — 5x – 2= 0. Значит 12 х 2 — 5x – 2 =

23 Неприводимый многочлен Если квадратный трехчлен ах 2 + bx + c не имеет корней, то соответствующий многочлен (со старшим коэффициентом 1) называется неприводимым многочленом второй степени (так как его невозможно разложить на множители меньшей степени). Квадратный трехчлен 5х 2 + 3x + 2 не имеет корней. Его невозможно разложить на множители первой степени. Можно вынести числовой коэффициент за скобки 5х 2 + 3x + 2 =5(х 2 + 0,6x + 0,4).

24 Уравнения, содержащие неизвестное в знаменателе Схема решения: 1.Найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение. 2.Умножить обе части уравнения на общий знаменатель. 3.Решить получившееся уравнение. 4.Исключить из его корней те числа, которые обращают в нуль общий знаменатель.

25 Уравнения, содержащие неизвестное в знаменателе Общий знаменатель: (t + 1)(t — 2). Умножим на него обе части уравнения: t(t – 2) – (t +2)(t + 1) = 1(t + 1)(t – 2) t 2 – 2t – t 2 – 3t – 2 = t 2 – t – 2 t 2 + 4t = 0 t(t + 4) = 0t 1 = 0, t 2 = -4. Ни одно из чисел не обращает в нуль общий знаменатель. Ответ: 0; -4.

26 Уравнения, содержащие неизвестное в знаменателе Общий знаменатель: х(х – 3)(х + 3). Тогда: 2х – (х – 3) = (6 – х)(х – 3) х 2 – 8х + 15 = 0 х 1 = 3 – посторонний корень, так как при х = 3 общий знаменатель х(х – 3)(х + 3) = 0. х 2 = 5 – корень. Ответ: 5.

27 Биквадратные уравнения Уравнение вида ах 4 + bx 2 + c = 0, где а 0, b и с — заданные числа, называется биквадратным. 9х х = 0 Заменой х 2 = t сводится к квадратному уравнению. 9t t — 2 = 0 Ответ:. Нет корней или

28 Решение уравнений методом замены неизвестного Нет корней Ответ: 43.

0 |а| =-а, если а 0 |а| =-а, если а 29 Модуль Модуль числа х – это расстояние от начала отсчета до точки х на координатной прямой. |x| = 6 означает, что расстояние от начала отсчета до точки х равно 6. а, если а > 0 |а| =-а, если а 0 |а| =-а, если а 0 |а| =-а, если а 0 |а| =-а, если а 0 |а| =-а, если а

30 Уравнения, содержащие неизвестное под знаком модуля | х 2 — 2х — 39| = 24. х 2 — 2х — 39 = 24 х 2 — 2х — 39 = -24 х 1 = 9; х 2 = -7 х 3 = -3; х 4 = 5. Ответ: 1,6; 1; -1; 6/11.

0,x 0,x 0,x 0,x 31 Уравнения, содержащие неизвестное под знаком модуля 9х 2 — = 0. x > 0,x 0,x 0,x 0,x 0,x 0,x 0,x 0,x 0,x 0,x

32 Уравнения, содержащие неизвестное под знаком модуля Модули двух чисел равны тогда и только тогда, когда эти числа равны или противоположны. |8х 2 — 4х + 1| = |3х 2 + 9х — 7|. 8х 2 — 4х + 1 = 3х 2 + 9х – 7 8х 2 — 4х + 1= –(3х 2 + 9х – 7) х 1 = 1,6; х 2 = 1 х 3 = -1; х 4 = 6/11. Ответ: 1,6 ; 1 ; -1 ; 6/11.