Скачать презентацию о алгебраических уравнениях

Решение алгебраических уравнений Методическая разработка учителя Поляковой Е. А. — презентация

Презентация была опубликована 6 лет назад пользователемАлевтина Хмелева

Похожие презентации

Презентация на тему: » Решение алгебраических уравнений Методическая разработка учителя Поляковой Е. А.» — Транскрипт:

1 Решение алгебраических уравнений Методическая разработка учителя Поляковой Е. А.

2 Задача. Решить уравнение х³ 7 х + 6 = 0. Решение. 1) Подберём корень уравнения: х = 1: 1³ = 0 верно. 2) Разделим : х³ 7 х + 6 на х 1 х³ 7 х + 6 х 1 х² х³ х² х² 7 х + х х² х 6 х ) Перепишем уравнение х³ 7 х + 6 = 0 в виде (х 1) (х² + х 6) = 0 и решим его: х 1 = 0 или х² + х 6 = 0, откуда х 1 = 1, х 2 = 2, х 3 = 3. Ответ: 1, 2, 3.

3 Уравнение х³ 7 х + 6 = 0 называют алгебраическим уравнением третьей степени или кубическим уравнением. Алгебраическим уравнением степени n называется уравнение Рn ( х ) = 0, где Рn ( х ) многочлен степени n 1. Каждый корень уравнения Рn ( х ) = 0 называют нулём или корнем многочлена Рn ( х ). 1, 2, 3 нули многочлена Р 3 ( х ) = х³ 7 х + 6

4 В уравнении х³ 7 х + 6 = 0 корни 1, 2, 3 являются делителями свободного члена 6 этого уравнения. Вывод: целые корни алгебраического уравнения с целыми коэффициентами, (если они есть), нужно искать только среди делителей свободного члена этого уравнения. Этот вывод подтверждает теорема 1: если алгебраическое уравнение с целыми коэффициентами имеет целый корень, то этот корень является делителем свободного члена.

5 Решить уравнение х³ х² 8 х + 6 = 0. Решение. 1) Р(х) = х³ х² 8 х ) Делители 6: ±1; ± 2; ± 3; ± 6. 3) Р(1)= ; Р(2)= ; Р(3)= ; Р(6)= ; Р(1)= ; Р(2)= ; Р(3)= = 0; Р(6)= целый корень уравнения 4) х³ х² 8 х + 6 х 3 х² х³ 3 х² 2 х² 8 х + 2 х 2 х² 6 х 2 х х + 6 5) Найдём другие корни: х² + 2 х 2 = 0, D 1 = = 3; х = 1 ± Ответ: 3; 1 ±

6 Решить уравнение 6 х³ + 11 х² 3 х 2 = 0. Решение. 1) Р(х) = 6 х³ + 11 х² 3 х 2. 2) Делители ( 2) : ±1; ± 2. 3) Р(1)= ; Р(1)= ; Р(2)= = 0; Р(2)= ; 4) 6 х³ + 11 х² 3 х 2 х х²6 х³ + 12 х² х² 3 х х х² 2 х х ) Другие корни уравнения: 6 х² х 1 = 0, D = = 25; х 1 = ; х 2 = ½. Ответ: 2; ; ½. 2 целый корень уравнения

7 Решить уравнение х³ 5 х² + 8 х 6 = 0. Решение. 1) Р(х) = х³ 5 х² + 8 х 6. 2) Делители ( 6) : ±1; ± 2; ± 3; ± 6. 3) Р(1)= ; Р(2)= ; Р(3)= ; Р(6)= ; Р(1)= ; Р(2)= ; Р(3)= = 0; Р(6)= ) х³ 5 х² + 8 х 6 х 3 х² х³ 3 х² 2 х² + 8 х 2 х 2 х² + 6 х 2 х х 6 5) Другие корни: х² 2 х + 2 = 0, D 1 = 1 2 = 1; других корней нет. Ответ: 3. 3 целый корень уравнения

8 11 (2). Решить уравнение 9 х³ + 12 х² 10 х + 4 = 0. Решение. 1) Р(х) = 9 х³ + 12 х² 10 х ) Делители 4: ±1; ± 2; ± 4. 3) Р(1)= ; Р(2)= = 0; Р(4)= ; Р(1)= ; Р(2)= ; Р(4)= ) 9 х³ + 12 х² 10 х + 4 х х² 9 х³ + 18 х² 6 х² 10 х 6 х 6 х² 12 х 2 х х + 4 5) Другие корни: 9 х² 6 х + 2 = 0, D 1 = 9 18 = 9; других корней нет. Ответ: 2. 2 целый корень уравнения

9 Уравнение ах³ 2 х² 5 х + b = 0 имеет корни х 1 = 1, х 2 = 2. Найти а, b и третий корень уравнения. Решение. 1) х 1 = 1, х 2 = 2 корни уравнения, значит: при х 1 = 1: а b = 0, откуда а = 7 b. при х 2 = 2 : 8 а b = 0, откуда b = 8 а 2. Тогда а = 7 8 а + 2, 9 а = 9, а = 1, b = 6 и уравнение принимает вид : х³ 2 х² 5 х + 6 = 0. х³ 2 х² 5 х + 6 разделим на (х 1 )(х 2 ) = (х 1)(х+2) (х 1)(х + 2) = х² + х 2, чтобы найти третий корень уравнения.

10 х³ 2 х² 5 х + 6 х² + х 2 х х³ + х² 2 х 3 х² 3 х х 3 = 0, х = 3. Ответ: а = 1, b = 6; х 3 = 1

11 Решение алгебраических уравнений, взятых из сборника заданий для подготовки к итоговой аттестации в 9 классе (авт. Л. В. Кузнецова и др.).

12 х² 3 х + 2 х² + 3 х 18 0 Другие корни: х² + 3 х 18 = 0; х 3 = 6, х 4 = 3. Ответ: 1; 2; 6; (4 балла) Решите уравнение: 1) Решение. Заметим, при х = 1 и х = 2 левая часть уравнения равна 0, тогда х 1 = 1, х 2 = 2 корни уравн. Разделим многочлен на произведение (х 1)(х 2) =х² 3 х + 2:

13 2.23 (4 балла) Решите уравнение: 1) Решение. Перепишем уравнение: Произведение множителей равно нулю, если хотя бы один из них равен нулю (другие при этом существуют). 1) х 1 = 0; пусть х² = а тогда а² 9 а + 20 = 0, где а 1 = 4; а 2 = 5. Получаем: х ² = 4, тогда х 2 = 2, х 3 = 2; х ² = 5, тогда Ответ: 0; ± 2;

14 Интересные факты, связанные с решением алгебраических уравнений. Рассмотрен простой способ решения уравнений с помощью разложения многочленов на множители. Это можно сделать, если удастся найти некоторые корни уравнения. Но, есть два главных вопроса: 2) Как его найти? 1) всегда ли алгебраическое уравнение имеет хотя бы один корень?

15 Эти трудные вопросы рассматриваются в специальном разделе математики «Высшая алгебра». Основной теоремой высшей алгебры является следующая теорема. Теорема 2. На множестве комплексных чисел любое алгебраическое уравнение имеет хотя бы один корень. Напомним, о появлении комплексных чисел: среди известных действительных чисел не оказалось числа, квадрат которого равен минус единице. Пришлось расширить множество действительных чисел, добавив к ним число i, которое назвали мнимой единицей. Итак, i ² = 1.

16 Числа, полученные умножением ранее известных чисел на мнимую единицу, например, 5 i или i, стали называть мнимыми, а суммы действительных и мнимых чисел, таких как i, 7 i +14, 8 3 i, стали называть комплексными числами. На протяжении многих веков выдающиеся математики развивали теорию решения алгебраических уравнений. Одним из первых основную теорему высшей алгебры сформулировал в 1629 г голландский математик Альбер Жирар, но первое строгое доказательство дал лишь в 1799 г немецкий математик Карл Гаусс. Первое изложение теории решения квадратных уравнений дано в книге «Арифметика» греческого математика Диофанта в III в.

17 Формулы корней кубического уравнения впервые опубликованы в 1545 г итальянским математиком Джероламо Кардано. В том же 1545 г другим итальянским математиком Лудовико Феррари был найден способ решения уравнений 4-й степени. Однако практически найти хотя бы один корень любого алгебраического уравнения удаётся чрезвычайно редко. Более того, доказано, что в общем случае нет и не может быть способа нахождения хотя бы одного корня алгебраического уравнения, несмотря на то, что по теореме 2 такой корень существует.

18 Нами был рассмотрен простой способ решения уравнений с помощью разложения многочленов на множители. Для этого приходилось делить многочлен на двучлен х а. Схема Горнера. Существенно сократить и упростить вычисления помогает один несложный приём сокращённого деления, называемый схемой Горнера (Горнер Вильямс Джордж английский математик ). Покажем его практическое применение на конкретном примере.

19 Многочлен х³ х² 8 х + 6 1) разделить на х 3; 2) представить в виде произведения В n первых клетках второй её строки мы получаем коэффициенты частного, расположенные в порядке убывания степеней х; в (n + 1) — й клетке получаем остаток от деления. х³ х² 8 х + 6 = (х 3) (х² + 2 х 2). а 1 а 1 b2b2 а 2 а 2 а 3 а 3 а 0 а 0 b1b1 b0b0 R Построенная таблица и называется схемой Горнера.

20 Схема Горнера. 1. В верхней строке таблицы записываем коэффициенты при х, располагая их в порядке убывания степеней, если соответствующая порядку степень отсутствует, то соответствующий коэффициент равен Перед таблице записываем известный целый корень многочлена. 3. Нижнюю строку таблицы заполняем по правилу: а) значение первого коэффициента переписываем; б) в каждой следующей клетке записываем число, равное сумме коэффициента, стоящего над ним и произведения числа, расположенного перед таблицей, на число находящееся в соседней слева клетке.

Презентация по математике методы решения алгебраических уравнений

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

«Актуальность создания школьных служб примирения/медиации в образовательных организациях»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Описание презентации по отдельным слайдам:

презентация «Алгебраические уравнения» Выполнил преподаватель Ускова С. В «Красногоский колледж» по математике на тему:

План: 1. Краткая историческая справка 2. Уравнения с одной переменной а) Уравнения 1-ой степени б) Квадратные уравнения в) Кубические уравнения г) Уравнения 4-ой степени д) Уравнения выше 4-ой степени е) Биквадратные уравнения ж) Двучленные кубические уравнения з) Иррациональные уравнения 3. Линейные уравнения с 2-мя, 3-мя и т.д. переменными а) Система 2-х линейных уравнений с 2-мя переменными б) Система 3-х линейных уравнений с 3-мя переменными в) Система 4-х, 5-ти и т.д. линейных уравнений с 4-мя, 5-тью и т.д. переменными 4. Показательные уравнения 5. Логарифмические уравнения

Решение уравнений 1-й и 2-й степеней известно еще с древности(со времён Диофанта). К уравнениям 2-й степени (т. н. квадратным) древнегреческие математики пришли, по-видимому, геометрическим путём, т. к. задачи, приводящие к этим уравнениям, естественно, возникают при определении площадей и построении окружности по различным данным. Однако в одном, очень существенном отношении решение уравнений у древних математиков отличалось от современного: они не употребляли отрицательных чисел. Поэтому даже уравнение 1-й степени (с точки зрения древних)не всегда имело решение. При рассмотрении уравнений 2-й степени приходилось различать много частных случаев (по знакам коэффициентов). В 16 в. итальянскими математиками найдены решения уравнений 3-й и 4-й степеней. Краткая историческая справка

Для уравнения вида x3+ px + q = 0 (к которому можно привести всякое уравнение 3-й степени) впервые была применена формула Кардано, хотя вопрос о том, была ли она найдена самим Дж. Кардано или же заимствована им у других математиков, нельзя считать вполне решенным. Метод решения алгебраических уравнений 4-й степени указал Л. Феррари. После этого начались настойчивые поиски формул, которые решали бы уравнения и высших степеней подобным образом. Эти поиски продолжались около трёх столетий, и лишь в начале 19 в. Н. Абель и Э. Галуа доказали, что решения уравнений степени выше 4-й, вообще говоря, нельзя выразить через коэффициент уравнения при помощи алгебраических действий. К. Гауссом был предложен другой способ решения таких уравнений (который позднее был назван его именем ). Он установил (1799), что всякое алгебраическое уравнение n-й степени имеет n корней (решений), действительных или мнимых.

Алгебраические уравнения с 1-ой переменной Общий вид Где x – переменная величина; P (x), Q (x), F (x) и R (x) – выражения, содержащие переменную, причём Q (x) ≠ 0, R (x) ≠ 0. Для решения (*) воспользуемся главным свойством пропорции (*) (**) (**) после преобразований может стать одним из следующих: ) ( ) ( ) ( ) ( x F x Q x R x P × = ×

Решение: — квадратное уравнение. Решение: , где — дискриминант. Здесь возможны случаи: D>0, уравнение имеет два корня, выраженных действительными числами; D=0, уравнение имеет один корень; D 2, т. е. x  [2; ∞), и ,значит, может являться корне. » onclick=»aa_changeSlideByIndex(16, 0, true)» >

Имеем следовательно, x1>2, т. е. x  [2; ∞), и ,значит, может являться корнем заданного уравнения. Далее найдём разность x2 — 2 :  x2 не принадлежит промежутку [2; ∞) и, значит, не является корнем данного уравнения. Вернёмся теперь к x1. Выясним знак разности, находящийся в правой части уравнения Имеем

Таким образом, является корнем уравнения А так как это уравнение равносильно данному, то и будет его решением. 6. Найти x из уравнения x2 – 3mx + 2m2 – mn – n2=0 Решение: Здесь a=1, b=-3m, c=2m2 – mn – n2.

7. Решить уравнение x3+2×2 –3 = 0. Решение: Представим 2×2=3×2 –x2, тогда получим x3+2×2 –x2 –3 = 0. Группируя 1 с 3-им членом и второй с 4-ым, получим

Показательные уравнения Показательные уравнения – это уравнения, содержащие переменную величину в показатель правой или левой частях уравнения, или справа и слева одновременно. Например: и др. Наиболее распространены показательные уравнения: 1. Здесь F(x) – выражение, содержащие x; a – основание, a > 0; a ≠ 1. Решение: Т.к , то имеем Получили одно из уравнений группы A. 2. Здесь возможны два варианта:

а) и тогда б) , т.е имеем которое решается путём логарифмирования — , отсюда находится x. 3. , где A, B и C –действительные числа. Решение: Обозначая первую часть этого уравнения через b, получаем (см. пункт 2). 4. где A, B и C – действительные числа. Решение: Примем , тогда получим уравнение , из которого находится z1 и z2 , а затем значения x.

Примеры: 1. Решить уравнение Так как, то получаем 2. Решить уравнение Здесь , поэтому приходится вводить логарифм : 3. Решить уравнение Принимая получаем не подходит, т.к. ( при любом x ), поэтому остаётся . Имеем

4. Решить уравнение Так показатели складываются при умножении степеней, то данное уравнение перепишем так: 5. Решить уравнение Так как и ,то получаем

Логарифмические уравнения Логарифмические уравнения – уравнения, содержащие переменную под знаком логарифма или в его основании. Наиболее распространённые логарифмические уравнения: 1. Решение: , отсюда находится x. 2. Решение: Равным логарифмам соответствуют равные числа, т.е. 3. Решение: Принимая , получим уравнение , отсюда находится z1 и z2 , а затем x1 и x2.

4. Для решения этого уравнения необходимо все логарифмы привести к одному основанию: a или 10. Примечание: Все логарифмические уравнения обязательно проверяются. Примеры: 1. Решить уравнение Решение: 2. Решить уравнение Решение: На основании свойства №4 логарифма , отсюда данное уравнение можно записать так: Пусть , тогда

Имеем Проверка: — истинно. — истинно.

Ответ: 3. Решить уравнение Решение: Так как по свойству 2 логарифмов сумма логарифмов двух чисел равна логарифму произведения этих чисел, получаем (равны логарифмы, одинаковые числа ) из решения уходит, т.к. не существует. Ответ: <3>. 4. Решить уравнение Решение: Перейдём к логарифмам с основанием 2. Получим

Исходное уравнение преобразуется к виду 5. Решить уравнение Решение:

Решить самостоятельно следующие логарифмические уравнения: 1). 0;5 2). -4;0. 3). 65. 4). 4;6. 5). 5. 6). 2,5. 7). 41. 8). 2. 9). .

Решить самостоятельно следующие показательные уравнения. 1). <0;4>2). <-2;4>3). <-4;5>4). <-2>5). <4>6). <2>7). <-1/2;2>8). <>9). <>10). <2;3>11). <0,5>12). <2>. 13). <1>. 14). <2/5>.

Презентация на тему: Рациональные алгебраические уравнения. Некоторые методы решения

Городская научно – социальная программа «Шаг в будущее, Электросталь» МОУ «Гимназия № 4»Реферат.Тема:« Рациональные алгебраические уравнения.Некоторые методы решения. » Автор: ученик 10 «А» классаСкоряков СергейРуководитель: Бродецкая Т.А.

Содержание. 1. Стандартные алгебраические уравнения.2. Некоторые методы решения уравнений степени, большей трёх.а) Метод замены.б) Метод разложения. Поиск рациональных корней.3. Некоторые методы решения дробно- рациональных уравнений.

Рациональные алгебраические выражения. Рациональное алгебраическое выражение – это выражение составленное из чисел и переменных, в котором разрешается применять только четыре арифметических действия (сложение, вычитание, умножение и деление).Различают два типа рациональных алгебраических выражений – целые и дробные, или дробно-рациональные.

Алгебраическое уравнение и схема его решения