Скачать презентацию уравнения высших степеней

Решение уравнений высших степеней
презентация к уроку по алгебре (10, 11 класс) на тему

В презентации рассматриваются основные способы решения уравнений высших степеней.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Подписи к слайдам:

Решение уравнений высших степеней Желтова О. Н., учитель МАОУ «Лицей № 6» г. Тамбов

Уравнение Р( x)=0 , где Р(х) = а 0 х n + а 1 х n — 1 + … + а n , Степенью уравнения Р( х ) = 0 называется степень многочлена Р( х ) стандартного вида, т.е. наибольшая из степеней его членов .

(х 3 – 1) 2 + х 5 = х 6 – 2 х 5 – 2х 3 + 3 = 0 х 3 =10 – х (х-2)(х+1)(х+4)(х+7) = 63 (х 2 -2х-1) 2 + 3(х-1) 2 = 16 2х 4 + х 3 – 6х 2 + х + 2 = 0

Способы решения уравнений высших степеней Разложение многочлена на множители Функционально-графический метод Метод замены переменн ой

Решить уравнение: x 3 -2x 2 -6x+4=0 Проблема: Возможно ли многочлен третьей степени x 3 -2x 2 -6x+4 разложить на множители ? №1

Как разложить на множители многочлен х 2 — 5х — 6? х 2 — 5х — 6 = (х – 6)(х + 1) ‏ ‏ Вывод: Корни трехчлена являются делителями свободного члена . .

. x 3 -2x 2 -6x+4 разделим на двучлен х + 2

Схема Горнера . x 3 -2x 2 -6x+4 разделим на двучлен х + 2 1 -2 -6 4 1 1 -4 2 0 -2 остаток умножить сложить x 3 — 2x 2 — 6x + 4= (x 2 -4x+2)(x+ 2) ‏ x 3 — 2x 2 — 6x + 4= (x 2 -4x+2)(x+ 2)=

Значения Схема многочлена Горнер а Р(х)=x 3 -2x 2 -6x+4 Гипотеза: Значение многочлена при х=а равно остатку от деления многочлена на х — а. х Р(х) ‏ 1 -3 -1 7 2 -8 -2 0 4 12 -4 -68 1 -2 -6 4 1 1 -1 -7 -3 -1 1 -3 -3 7 2 1 0 -6 -8 -2 1 -4 2 0 4 1 2 2 12 -4 1 -6 18 -68

Теорема Безу : Остаток от деления многочлена Р(х) на двучлен (x — а) равен Р(а ). Следствие : Для того, чтобы многочлен Р(х) делился нацело на двучлен (х – а), необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство Р(а) = 0 . О Безу Этьенн БЕЗУ Этьенн Безу (1730 — 1783) ‏

Теорема Безу дает возможность, найдя один корень многочлена, искать далее корни многочлена, степень которого на 1 меньше: если Р(а) = 0, то Р(х)= (x — а)∙Q(x), и остается решить уравнение Q(x) = 0 . Иногда этим приемом — он называется понижением степени — можно найти все корни многочлена. В начало

Если уравнение с целыми коэффициентами а 0 х n + а 1 х n — 1 + … + а n =0 имеет целый корень, то этот корень является делителем свободного члена а n Теорема 1

х 4 – 4х 3 + 5х 2 -2х – 12 = 0, х = -1 — целый корень уравнения. По схеме Горнера: (х+1)(х 3 — 5х 2 + 10х — 12)=0 х 3 — 5х 2 + 10х – 12=0, х = 3 –целый корень уравнения По схеме Горнера: (х+1)(х – 3)(х 2 -2х + 4) = 0. уравнение х 2 -2х + 4 = 0 корней не имеет. 1 -5 10 -12 3 1 -2 4 0 1 -4 5 -2 -12 -1 1 -5 10 -12 0 Ответ: -1; 3. №2

РЕШИТЬ УРАВНЕНИЕ: х 4 — x 3 — 6x 2 — x + 3 = 0 . Ответ: -1; 3; №3

2 3 5 4 -1 Схема Горнера 2 1 4 0 Найти все значения параметра а, при каждом из которых число р является корнем уравнения. а= -2 а=1 Если а=-2 №4

При а=1 уравнение принимает вид: 1 -3 -5 -1 -1 1 -4 -1 0 Ответ: -1;

Для того, чтобы уравнение с целыми коэффициентами а 0 х n + а 1 х n — 1 + … + а n =0 имело рациональный корень р/ q , необходимо и достаточно,чтобы p являлось делителем свободного члена а n , а q являлось делителем старшего коэффициента а 0 . Теорема 2

№5 12 х 5 — 44 x 4 +23 x 3 +4 x 2 — 3 x = 0 . Делители свободного члена: 1 ,-1,3,-3 Делители старшего коэффициента: 1,2,3,4,6,12 Ожидаемые корни: X=0 12 х 4 — 44 x 3 +23 x 2 +4 x – 3 = 0. Ответ: 0; ½, ½, -1/3, 3.

№6 12 х 4 — 44 x 3 +39 x 2 +8 x — 12 = 0 . Ответ:-1/2; 2/3; 1,5;2

№7 Метод неопределенных коэффициентов х 4 — 10 x 3 +27 x 2 -14 x + 2 = 0 . х 4 — 10 x 3 +27 x 2 -14 x + 2= = ( x 2 -4 x + 1) ( x 2 -6 x + 2)

6х 3 + 7x 2 – 9х + 2 = 0 . Самостоятельная работа Ответ: -2; 1/2; 1/3 2х 4 + х 3 – 6х 2 + х + 2 = 0 Ответ: 1,1,

Способы решения уравнений высших степеней Разложение на множители Введение новой переменной Фукционально-графический группировка формулы сокращённого умножения понижение степени вынесение за скобки деление «уголком» схема Горнера разложение квадратного трёхчлена на множители Метод неопределенных коэффициентов

Уравнения для меня важнее, потому что политика — для настоящего, а уравнения — для вечности. Альберт Эйнштейн

Домашнее задание: §2-6, №304,305,314, 316(1,3),317,319, 321,324(1)

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Способы решения уравнений высших степеней. 8 класс

Данную презентацию использую при решении уравнений высших степеней в 8 классе. Решать квадратные уравнения школьники научились по формулам, а если уравнение выше второй степени? Есть ли алгоритм.

Конспект урока. Тема: «Решение уравнений высших степеней» 8 класс

Полное описание урока. Как решать уравнения выше второго порядка? Есть ли алгоритм решения? На эти и другие вопросы отвечает данный материал.

Урок-защита проектов «Решение уравнений высших степеней» 9 класс

Конспект урока по алгебре в 9 классе «Решение уравнений высших степеней», на котором учащиеся защищали свои проекты.Презентации учащихся: Решение биквадратных уравнений, Решение возвратных уравнений, .

Методы решения уравнений высших степеней

Проект урока по алгебре в 11 классе.Составлен по УМК А.Г. Мордковича.

Методы решения уравнений высших степеней.Схема Горнера.

Методы решения уравнений высших степеней. Метод Горнера.

Методы решения уравнений высших степеней. Метод Горнера

Методы решения уравнений высших степеней. Метод Горнера.

Урок математики в 9 классе на тему «Способы решения уравнений высших степеней»

Данная тема является актуальной и важной при изучении математики, так как уравнения высших степеней составляют часть выпускных экзаменов, встречаются на вступительных экзаменах в вузы и являются неотъ.

Уравнения высших степеней.. Методы решения уравнений: Замена уравнения h(f(x)) = h(g(x)) уравнением f(x) = g(x) Замена уравнения h(f(x)) = h(g(x)) уравнением. — презентация

Презентация была опубликована 8 лет назад пользователемedu.murmansk.ru

Похожие презентации

Презентация на тему: » Уравнения высших степеней.. Методы решения уравнений: Замена уравнения h(f(x)) = h(g(x)) уравнением f(x) = g(x) Замена уравнения h(f(x)) = h(g(x)) уравнением.» — Транскрипт:

1 Уравнения высших степеней.

2 Методы решения уравнений: Замена уравнения h(f(x)) = h(g(x)) уравнением f(x) = g(x) Замена уравнения h(f(x)) = h(g(x)) уравнением f(x) = g(x) Разложение на множители. Введение новой переменной. Функционально – графический метод. Функционально – графический метод. Подбор корней. Применение формул Виета.

3 Замена уравнения h(f(x)) = h(g(x)) уравнением f(x) = g(x). Метод можно применять только в том случае, когда y = h(x) – монотонная функция, которая каждое свое значение принимает по одному разу. Если функция немонотонная, то возможна потеря корней.

4 Решить уравнение (3x + 2)²³ = (5x – 9)²³ y = x ²³ возрастающая функция, поэтому от уравнения (3x + 2)²³ = (5x – 9)²³ можно перейти к уравнению 3x + 2 = 5x – 9, откуда находим x = 5,5. Ответ: 5,5.

5 Разложение на множители. Уравнение f(x)g(x)h(x) = 0 можно заменить совокупностью уравнений f(x) = 0; g(x) = 0; h(x) = 0. Решив уравнения этой совокупности, нужно взять те их корни, которые принадлежат области определения исходного уравнения, а остальные отбросить как посторонние.

6 Решить уравнение x³ – 7x + 6 = 0 Представив слагаемое 7x в виде x + 6x, получим последовательно: x³ – x –6x + 6 = 0 x(x² – 1) – 6(x – 1) = 0 x(x – 1)(x + 1) – 6(x – 1) = 0 (x – 1)(x² + x – 6) = 0 Теперь задача сводится к решению совокупности уравнений x –1 = 0; x² + x – 6 = 0. Ответ: 1, 2, – 3.

7 Введение новой переменной. Если уравнение y(x) = 0 удалось преобразовать к виду p(g(x)) = 0, то нужно ввести новую переменную u = g(x), решить уравнение p(u) = 0, а затем решить совокупность уравнений g(x) = u 1 ; g(x) = u 2 ; … ; g(x) = u n, где u 1, u 2, …, u n – корни уравнения p(u) = 0.

8 Решить уравнение Особенностью этого уравнения является равенство коэффициентов его левой части, равноудаленных от ее концов. Такие уравнения называют возвратными. Поскольку 0 не является корнем данного уравнения, делением на x² получаем

9 Введем новую переменную Тогда Получаем квадратное уравнение Так как корень y 1 = – 1 можно не рассматривать. Получим Ответ: 2, 0,5.

10 Решите уравнение 6(x² – 4)² + 5(x² – 4)(x² – 7x +12) + ( x² – 7x + 12)² = 0 Данное уравнение может быть решено как однородное. Поделим обе части уравнения на (x² – 7x +12)² (ясно, что значения x такие, что x² – 7x +12=0 решениями не являются). Теперь обозначим Имеем Отсюда Ответ:

11 Функционально – графический метод. Если одна из функций у = f(x),y = g(x) возрастает, а другая – убывает, то уравнение f(x) = g(x) либо не имеет корней, либо имеет один корень.

12 Решить уравнение Достаточно очевидно, что x = 2 – корень уравнения. Докажем, что это единственный корень. Преобразуем уравнение к виду Замечаем, что функция возрастает, а функция убывает. Значит, уравнение имеет только один корень. Ответ: 2.

13 Подбор корней Теорема1: Если целое число m является корнем многочлена с целыми коэффициентами, то свободный член многочлена делится на m. Теорема 2: Приведенный многочлен с целыми коэффициентами не имеет дробных корней. Теорема 3: Пусть – уравнение с целыми коэффициентами. где p и q – целые числа несократима, является корнем уравнения, то p есть делитель свободного члена a n, а q – делитель коэффициента при старшем члене a 0. Если число и дробь

14 Теорема Безу. Остаток при делении любого многочлена на двучлен (x – a) равен значению делимого многочлена при x = a. Следствия теоремы Безу Разность одинаковых степеней двух чисел делится без остатка на разность этих же чисел; Разность одинаковых четных степеней двух чисел делится без остатка как на разность этих чисел, так и на их сумму; Разность одинаковых нечетных степеней двух чисел не делится на сумму этих чисел; Сумма одинаковых степеней двух не чисел делится на разность этих чисел; Сумма одинаковых нечетных степеней двух чисел делится без остатка на сумму этих чисел; Сумма одинаковых четных степеней двух чисел не делится как на разность этих чисел, так и на их сумму; Многочлен делится нацело на двучлен (x – a) тогда и только тогда, когда число a является корнем данного многочлена; Число различных корней многочлена, отличного от нуля, не более чем его степень.

15 Решить уравнение x³ – 5x² – x + 21 = 0 Многочлен x³ – 5x² – x + 21 имеет целые коэффициенты. По теореме 1 его целые корни, если они есть, находятся среди делителей свободного члена: ± 1, ± 3, ± 7, ± 21. Проверкой убеждаемся в том, что число 3 является корнем. По следствию из теоремы Безу многочлен делится на (x – 3). Таким образом, x³– 5x² – x + 21 = (x – 3)(x²– 2x – 7). Ответ:

16 Решить уравнение 2x³ – 5x² – x + 1 = 0 По теореме 1 целыми корнями уравнения могут быть только числа ± 1. Проверка показывает, что данные числа не являются корнями. Так как уравнение не является приведенным, то оно может иметь дробные рациональные корни. Найдем их. Для этого умножим обе части уравнения на 4: 8x³ – 20x² – 4x + 4 = 0 Сделав подстановку 2x = t, получим t³ – 5t² – 2t + 4 = 0. По тереме 2 все рациональные корни данного приведенного уравнения должны быть целыми. Их можно найти среди делителей свободного члена: ± 1, ± 2, ± 4. В данном случае подходит t = – 1. Следовательно По следствию из теоремы Безу многочлен 2x³ – 5x² – x + 1 делится на (x + 0,5): 2x³ – 5x² – x + 1 = (x + 0,5)(2x² – 6x + 2) Решив квадратное уравнение 2x² – 6x + 2 = 0, находим остальные корни: Ответ:

17 Решить уравнение 6x³ + x² – 11x – 6 = 0 По теореме 3 рациональные корни этого уравнения следует искать среди чисел Подставляя их поочередно в уравнение, найдем, что уравнению. Ими и исчерпываются все корни уравнения. Ответ: удовлетворяют

18 Формулы Виета. Для корней имеют место формулы : уравнения

19 Найти сумму квадратов корней уравнения x³ + 3x² – 7x +1 = 0 По теореме Виета Заметим, что откуда

20 Укажите, каким методом можно решить каждое из данных уравнений. Решите уравнения 1, 4, 14, 15, 17.

21 Ответы и указания: 1. Введение новой переменной. 2. Функционально – графический метод. 3. Замена уравнения h(f(x)) = h(g(x)) уравнением f(x) = g(x). 4. Разложение на множители. 5. Подбор корней. 6 Функционально – графический метод. 7. Применение формул Виета. 8. Подбор корней. 9. Замена уравнения h(f(x)) = h(g(x)) уравнением f(x) = g(x). 10. Введение новой переменной. 11. Разложение на множители. 12. Введение новой переменной. 13. Подбор корней. 14. Применение формул Виета. 15. Функционально – графический метод. 16. Разложение на множители. 17. Введение новой переменной. 18. Разложение на множители.

22 1. Указание. Запишите уравнение в виде 4(x²+17x+60)(x+16x+60)=3x², Разделите обе его части на x². Введите переменную Ответ: x 1 = – 8; x 2 = – 7,5. 4. Указание. Прибавьте к левой части уравнения 6y и – 6y и запишите его в виде (y³ – 2y²) + (– 3y² + 6y) + (– 8y + 16) = (y – 2)(y² – 3y – 8). Ответ:

23 14. Указание. По теореме Виета Так как – целые числа, то корнями уравнения могут быть только числа –1, – 2, – 3. Ответ: 15. Ответ: – Указание. Разделите обе части уравнения на x² и запишите его в виде Введите переменную Ответ: 1; 1,5; 2; 3.

24 Самостоятельная работа. Решите уравнения: Вариант 1. Вариант 2.

25 Ответы. Вариант 1. Вариант 2.

26 Библиография. Колмогоров А. Н. «Алгебра и начала анализа, 10 – 11» (М.: Просвещение, 2003). Башмаков М. И. «Алгебра и начала анализа, 10 – 11» (М.: Просвещение, 1993). Мордкович А. Г. «Алгебра и начала анализа, 10 – 11» (М.: Мнемозина, 2003). Алимов Ш. А., Колягин Ю. М. и др. «Алгебра и начала анализа, 10 – 11» (М.: Просвещение, 2000). Галицкий М. Л., Гольдман А. М., Звавич Л. И. «Сборник задач по алгебре, 8 – 9» (М.: Просвещение, 1997). Карп А. П. «Сборник задач по алгебре и началам анализа, 10 – 11» (М.: Просвещение, 1999). Шарыгин И. Ф. «Факультативный курс по математике, решение задач, 10» (М.: Просвещение. 1989). Скопец З. А. «Дополнительные главы по курсу математики, 10» (М.: Просвещение, 1974). Литинский Г. И. «Уроки математики» (М.: Аслан, 1994). Муравин Г. К. «Уравнения, неравенства и их системы» (Математика, приложение к газете «Первое сентября», 2, 3, 2003). Колягин Ю. М. «Многочлены и уравнения высших степеней» (Математика, приложение к газете «Первое сентября», 3, 2005).

Презентация к уроку «Уравнения высших степеней» (11 класс)

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Описание презентации по отдельным слайдам:

МБОУ «СОШ с углубленным изучением отдельных предметов №4» Тема урока: Уравнения высших степеней. Учитель математики высшей квалификационной категории Боярская Мария Николаевна

Цель и задачи урока: Цели: Образовательная: Формирование знаний о методах и способах решения алгебраических уравнений высших степеней Развивающая: Развитие познавательных и исследовательских умений; содействовать развитию логического мышления, умения самостоятельно работать, навыков взаимоконтроля и самоконтроля, умений говорить и слушать. Воспитательная: Воспитание культуры общения, воспитание умения работать в группах, выработка привычки к постоянной занятости, воспитание отзывчивости, трудолюбия, аккуратности. Задачи: познакомить учащихся с различными способами решения уравнений высших степеней, научить понижать степень уравнений высших степеней, используя теорему Безу и схему Горнера, а также удачную подстановку при введении новой переменной, изучить способы возвратных и однородных уравнений

1 Этап. Организационный. Вопросы по домашнему заданию: 1 уравнение Какая замена переменных сделана в уравнении? Какое уравнение получено после замены переменных? 2 уравнение На какой многочлен делили обе части уравнения? Какая замена переменных была получена? 3 уравнение Какие многочлены необходимо перемножить для упрощения решения данного уравнения? 4 уравнение Назвать функцию f(х). Как были найдены остальные корни? 5 уравнение Сколько было получено промежутков для решения уравнения? 6 уравнение Какими способами можно было решить данное уравнение? Какой способ решения более рациональный?

Корнем уравнения называется значение переменной, при под­становке которого в уравнение получается верное равенство. Примеры х3 + х = 0 — один корень: х = 0. Ѕіn(πx) =0 — бесконечное число корней х Z. х2 + 2х + 1 = (х + I)2 — верно при всех х R. х2 = х2 + 1 — нет корней (пустое множество корней ø). 2 Этап. Изложение нового материала.

Два уравнения называются равносильными, если множества их корней совпадают. Примеры х2 = х + 2 и х2 – х – 2 = 0 равносильны. х4 + 2 = -16 и ЅіnЗх = 2 равносильны. х2 = 2х – 6 и х = (2х – 6)2 неравносильны. Неравносильные преобразования могут привести к: потере корней, появлению посторонних корней.

Методы решения уравнений Разложение на множители Замена переменной: Основными способами реализации этого метода являются: Использование основного свойства дроби. Выделение квадрата двучлена. Переход к системе уравнений. Раскрытие скобок парами. Раскрытие скобок парами и деление обеих частей уравнения на х ≠ 0. Двойная замена. Понижение степени уравнения. Использование монотонности Сравнение обеих частей по величине Использование однородности Применение схемы Горнера Возвратное уравнение Уравнение 3 степени – формула Кардано Метод Феррари См. Приложение 1. Теория

“Разобрать предложенный способ решения уравнения и объяснить его на данном примере”. Группа 1. 1. Решить уравнение по формуле Кардано: х3 + 15х2 + 48х + 44 = 0. 2. Решить уравнение выделением целых и рациональных корней х5 – 2х4 – 4х3 + 4х2 – 5х + 6 = 0; 3. Решить уравнение методом неопределенных коэффициентов 2х4 – 5х3 – 3х2 + 7х – 2 = 0. х4 – 2х3 – х2 – 2х + 1 = 0. Группа 2. Решить симметрические и возвратные уравнения. а) х5 – 12х4 + 31х3 + 31х2 –12х + 1 = 0; б) х4 + 4х3 – 18х2 – 12х + 9 = 0. Решить уравнение заменой переменных: (х – 1)(х + 1)(х + 2)х = 24. Решить уравнение вида f(f(х)) = х: (х2 + 2х – 5)2 + 2(х2 + 2х – 5) – 5 = х. На доске. Сколькими способами можно решить уравнение. Выберите наиболее рациональный. х4 + 2х3 + 2х2 + 2х + 1 = 0. Решить уравнение: (х – 2)2(х + 1)2 – (х – 2)(х2 – 1) – 2(х – 1)2 = 0. 3 Этап. Работа в группах.

Вариант 1. 1. Найдите действительные корни уравнения Зх3 – 5х2 + Зх – 5 =0. 2. Найдите действительные корни уравнения 2 х4 + 3х3–8х2 – 9х+6= 0. 3. Решите уравнение (х+1)(х – 2)(х+3)(х – 4)=144. Вариант 2 1. Найдите действительные корни уравнения 4х5+8х4+5х3+10х2 – 3х – 6=0. 2. Найдите действительные корни уравнения 2х4 – 5х3 – х2 +5х+2=0. 3. Решите уравнение (х – 1)(х – 2)(х – 3) = 6. Вариант 3 1. Найдите действительные корни уравнения Зх5 – 6х4 + 4х3 – 8х2 – Зх + 6 = 0. 2. Найдите действительные корни уравнения 5х4 – Зх3 – 4х2 –Зх+5= 0. 3. Решите уравнение (х – 3)(х+2)(х – 6)(х – 1)+56=0. 4 Этап. Самостоятельная работа.

Достигнуты ли цели урока? Чему Вы научились на уроке? Заполним вместе до конца Матрицу мониторинга урока. Домашнее задание. Оформить решение незаконченных уравнений. Подготовиться к контрольному срезу. 5 Этап. Рефлексия. Итог урока.

Спасибо за внимание! Недостаточно только получить знания: надо найти им приложение. И. Гете

Краткое описание документа:

Основная цель материала: Формирование знаний о методах и способах решения алгебраических уравнений высших степеней.

Задачи:

❏познакомить учащихся с различными способами решения уравнений высших степеней,

❏научить понижать степень уравнений высших степеней, используя теорему Безу и схему Горнера, а также удачную подстановку при введении новой переменной,

❏изучить способы возвратных и однородных уравнений