Скачать примеры тригонометрических уравнений и систем

Е.П. Нелин, В.А. Лазарев

АЛГЕБРА

и начала математического

анализа

10 класс

учреждений. Базовый и

§ 21. РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

Работу выполнила: Мусина В.А. студентка группы 45.3

Системы тригонометрических уравнений решаются с помощью тех же методов, что и алгебраические системы, в частности это исключение неизвестных и замена переменных. Исключить неизвестные можно с помощью одного из двух приемов:из одного уравнения выразить какое-то неизвестное (или функцию от него) и подставить его в другие или преобразовать данные уравнения и потом составить из них комбинации, в которых число неизвестных уменьшается.

Задача 1 . Решите систему уравнений

Из первого уравнения находим и подставляем во второе.

Получаем

Замечание. Если бы для нахождения значения y мы не рассмотрели отдельно формулу (1) со знаком «+» и знаком «–», то вместе с верными решениями получили бы и посторонние решения заданной системы.

Действительно, в таком случае имеем

Тогда, например, при n = 0 получаем

Таким образом, кроме решений, которые вошли в ответ, мы имеем еще две возможности:

Но эти пары значений х и у не являются решениями заданной системы, поскольку они не удовлетворяют первому уравнению.

Поэтому следует запомнить:

Когда решение уравнения cos x = а приходится применять для дальнейших преобразований, то удобно записывать его в виде двух формул: отдельно со знаком «+» и отдельно со знаком «–».

Задача 2 . Решите систему уравнений

Почленно сложим и вычтем эти уравнения. Получим равносильну систему

Представим последнюю систему в виде совокупности двух систем, записывая решения второго уравнения отдельно со знаком «+» и отдельно со знаком «–»:

Почленно складывая и вычитая уравнения этих систем, находим x и y:

Замечание. В запись ответа вошли два параметра n и k, которые независимо друг от друга «пробегают» множество целых чисел. Если попробовать при решении заданной системы воспользоваться только одним параметром, например n, то это приведет к потере решений. Таким образом, в каждом случае, когда система тригонометрических уравнений приводится к системе, состоящей из элементарных тригонометрических уравнений (то есть из уравнений вида sin x = a, cos x = a, tg x = a, ctg x = a), при решении каждого из этих уравнений необходимо использовать свой целочисленный параметр.

Вопросы для контроля

1. Какие методы используются для решения систем тригонометрических уравнений?
2. Объясните, в каком случае при формальном решении системы уравнений мы можем потерять часть решений, а в каком случае —получить посторонние решения. Решите эту систему.

Упражнения

Решите систему уравнений (1–8).

Решение систем тригонометрических уравнений

Системы тригонометрических уравнений бесконечно разнообразны. При их решении используются как общие методы: подстановки, сложения, замены переменной, так и частные, связанные с особенностями преобразований тригонометрических функций.
В этом параграфе мы рассмотрим только некоторые, наиболее характерные, подходы к решению таких систем.

п.1. Системы, в которых одно из уравнений является линейным

Если одно из уравнений системы является линейным, то система решается методом подстановки.

Например:
Решим систему \( \begin x+y=\frac\pi4\\ tgx+tgy=1 \end \)
Из верхнего линейного уравнения выражаем \(y\) через \(x\) и подставляем в нижнее: \begin \begin y=\frac\pi4-x\\ tgx+tg\left(\frac\pi4-x\right)=1 \end \end Решаем полученное уравнение относительно \(x\): \begin tgx+\frac<1+tg\frac\pi4\cdot tgx>=1\Rightarrow \frac<1-tgx><1+tgx>=1-tgx \end ОДЗ: \(tgx\ne -1\) \begin 1-tgx=(1-tgx)(1+tgx)\Rightarrow(1-tgx)(1-1-tgx)=0\\ -tgx(1-tgx)=0\\ \begin \left[ \begin tgx=0\\ tgx=1 \end \right. \\ tgx\ne -1 \end \Rightarrow \left[ \begin tgx=0\\ tgx=1 \end \right. \Rightarrow \left[ \begin x_1=\pi k\\ x_2=\frac\pi4+\pi k \end \right. \end Получаем две пары решений: \begin \left[ \begin \begin x_1=\pi k\\ y_1=\frac\pi4-x=\frac\pi4-\pi k \end \\ \begin x_2=\frac\pi4+\pi k\\ y_2=\frac\pi4-\left(\frac\pi4+\pi k\right)=-\pi k \end \end \right. \end Ответ: \(\left\<\left(\pi k;\ \frac\pi4-\pi k\right),\ \left(\frac\pi4+\pi k;\ -\pi k\right)\right\>\)

п.2. Системы с независимыми уравнениями

Если уравнения системы являются независимыми, то они решаются по отдельности. При этом счетчики периодов обязательно должны быть различными (например, \(k\) и \(n\), для двух независимых уравнений).

Например:
Решим систему \( \begin sin(x-y)=0\\ cox(x+y)=1 \end \)
Уравнения независимы, решаем каждое из них, а затем методом сложения находим \(x\) и \(y\): \begin \begin x-y=\pi k\\ x+y=2\pi n \end \Rightarrow \begin 2x=\pi k+2\pi n\\ 2y=2\pi n-\pi k \end \Rightarrow \begin x=\frac<\pi k><2>+\pi n=\frac\pi2(k+2n)=\frac\pi2(2n+k)\\ y=\pi n-\frac<\pi k><2>=\frac\pi2(2n-k) \end \end Ответ: \(\left(\frac\pi2(2n+k);\ \frac\pi2(2n-k)\right)\)

п.3. Системы с произведениями тригонометрических функций

Системы с произведениями тригонометрических функций и приводимые к ним решаются методом сложения.

Например:
Решим систему \( \begin sinx siny=\frac<\sqrt<3>><4>\\ cosx cosy=\frac<\sqrt<3>> <4>\end \)
Добавим и вычтем уравнения и используем формулы косинуса суммы и разности: \begin \begin cosxcosy+sinxsiny=\frac<\sqrt<3>><2>\\ cosxcosy-sinxsiny=0 \end \Rightarrow \begin cos(x-y)=\frac<\sqrt<3>><2>\\ cos(x+y)=0 \end \end Мы получили систему из двух независимых уравнений. Решаем каждое из них, и затем используем метод сложения, чтобы найти \(x\) и \(y\): \begin \begin x-y=\pm\frac\pi6+2\pi k\\ x+y=\frac\pi2+\pi n \end \Rightarrow \begin 2x=\pm\frac\pi6+\frac\pi2+\pi(2k+n)\\ 2y=\frac\pi2\pm\frac\pi6+\pi(n-2k) \end \Rightarrow \begin x=\pm\frac<\pi><12>+\frac\pi4+\frac\pi2(2k+n)\\ y=\frac\pi4\pm\frac<\pi><12>+\frac\pi2(n-2k) \end \end Получаем две пары решений: \begin \left[ \begin \begin x_1=\frac\pi6+\frac\pi2(2k+n)\\ y_1=\frac\pi3+\frac\pi2(n-2k) \end \\ \begin x_2=\frac\pi3+\frac\pi2(2k+n)\\ y_2=\frac\pi6+\frac\pi2(n-2k) \end \end \right. \end Ответ: \(\left\<\left(\frac\pi6+\frac\pi2(2k+n);\ \frac\pi3+\frac\pi2(n-2k)\right),\ \left(\frac\pi3+\frac\pi2(2k+n);\ \frac\pi6+\frac\pi2(n-2k)\right)\right\>\)

п.4. Замена переменных в системах тригонометрических уравнений

Системы двух уравнений с двумя тригонометрическими функциями легко решаются с помощью замены переменных.

Например:
Решим систему \( \begin tgx-siny=4\\ tg^2x+sin^2y=26 \end \)
Замена переменных: \(a=tgx,\ b=siny\) \begin \begin a-b=4\\ a^2+b^2=26 \end \Rightarrow \begin a=b+4\\ (b+4)^2+b^2=26 \end \Rightarrow \begin a=b+4\\ 2b^2+8b-10=0 \end \Rightarrow\\ \Rightarrow \begin a=b+4\\ b^2+4b-5=0 \end \Rightarrow \begin a=b+4\\ (b+5)(b-1)=0 \end \Rightarrow \left[ \begin \begin a=-1\\ b=-5 \end \\ \begin a=5\\ b=1 \end \end \right. \end Переменная \(b=siny\) ограничена: \(-1\leq b\leq 1\).
\(b=-5\lt-1\) не подходит. Остается вторая пара решений: \(\begin a=5\\ b=1 \end \)
Возвращаемся к исходным переменным: \begin \begin tgx=5\\ siny=1 \end \Rightarrow \begin x=arctg5+\pi k\\ y=\frac\pi2+2\pi n \end \end Ответ: \(\left(arctg5+\pi k;\ \frac\pi2+2\pi n\right)\)

п.5. Примеры

Пример 1. Решите систему уравнений: a) \( \begin x+y=\pi\\ sinx+siny=\sqrt <3>\end \)
Из верхнего линейного уравнения выражаем \(y\) через \(x\) и подставляем в нижнее: \begin \begin y=\pi-x\\ sinx+sin(\pi-x)=\sqrt <3>\end \end Решаем полученное уравнение относительно \(x\): \begin sinx+sinx=\sqrt<3>\Rightarrow 2sinx=\sqrt<3>\Rightarrow sinx=\frac<\sqrt<3>><2>\Rightarrow\\ \Rightarrow x=(-1)^k\frac\pi3+\pi k= \left[ \begin \frac\pi3+2\pi k\\ \frac<2\pi><3>+2\pi k \end \right. \end Получаем две пары решений: \begin \left[ \begin \begin x=\frac\pi3+2\pi k\\ y=\pi-x=\pi-\frac\pi3-2\pi k=\frac<2\pi><3>-2\pi k \end \\ \begin x=\frac<2\pi><3>+2\pi k\\ y=\pi-x=\pi-\frac<2\pi><3>-2\pi k=\frac\pi3-2\pi k \end \end \right. \end Ответ: \(\left\<\left(\frac\pi3+2\pi k;\ \frac<2\pi><3>-2\pi k\right),\ \left(\frac<2\pi><3>+2\pi k;\ \frac\pi3-2\pi k\right)\right\>\)

б) \( \begin sinxcosy=\frac34\\ cosxsiny=\frac14 \end \)
Добавим и вычтем уравнения и используем формулы синуса суммы и разности: \begin \begin sinxcosy+cosxsiny=1\\ sinxcosy-cosxsiny\frac12 \end \Rightarrow \begin sin(x+y)=1\\ sin(x-y)=\frac12 \end \end Мы получили систему из двух независимых уравнений. Решаем каждое из них, и затем используем метод сложения, чтобы найти \(x\) и \(y\): \begin \begin x+y=\frac\pi2+2\pi k\\ x-y=(-1)^n\frac\pi6=\pi n \end \Rightarrow \begin 2x=\frac\pi2+(-1)^n\frac\pi6+\pi(2k+n)\\ 2y=\frac\pi2-(-1)^n\frac\pi6+\pi(2k-n) \end \Rightarrow\\ \Rightarrow \begin x=\frac\pi4+(-1)^n\frac<\pi><12>+\frac\pi2(2k+n)\\ y=\frac\pi4-(-1)^n\frac<\pi><12>+\frac\pi2(2k-n) \end \end Ответ: \(\left(\frac\pi4+(-1)^n\frac<\pi><12>+\frac\pi2(2k+n);\ \frac\pi4-(-1)^n\frac<\pi><12>+\frac\pi2(2k-n)\right)\)

в) \( \begin cos\frac<2>cos\frac<2>=\frac12\\ cosxcosy=\frac14 \end \)
Используем формулу произведения косинусов: $$ cosxcosy=\frac12(cos(x+y)+cos(x-y)) $$ Получаем: \begin cos\frac<2>cos\frac<2>=\frac12\left(cos\left(\frac<2>+\frac<2>\right)+cos\left(\frac<2>-\frac<2>\right)\right)=\\ =\frac12(cosx+cosy)\\ \begin \frac12(cosx+cosy)=\frac12\\ cosxcosy=\frac14 \end \Rightarrow \begin cosx+cosy=1\\ cosxcosy=\frac14 \end \end Замена переменных: \(a=cosx,\ b=cosy\) \begin \begin a+b=1\\ ab=\frac14 \end \Rightarrow \begin a=1-b\\ (1-b)b=\frac14 \end \Rightarrow \begin a=1-b\\ b^2-b+\frac14=0 \end \Rightarrow \begin a=1-b\\ \left(b-\frac12\right)^2=0 \end \Rightarrow \begin a=\frac12\\ b=\frac12 \end \end Возвращаемся к исходным переменным: \begin \begin cosx=\frac12\\ cosy=\frac12 \end \Rightarrow \begin x=\pm\frac\pi3+2\pi k\\ y=\pm\frac\pi3+2\pi n \end \end Получаем четыре пары решений.
Ответ: \( \left\< \begin \left(-\frac\pi3+2\pi k;\ -\frac\pi3+2\pi n\right),\ \left(\frac\pi3+2\pi k;\ \frac\pi3+2\pi n\right),\\ \left(-\frac\pi3+2\pi k;\ \frac\pi3+2\pi n\right),\ \left(\frac\pi3+2\pi k;\ -\frac\pi3+2\pi n\right) \end \right\> \)

г) \( \begin x+y=\frac23\\ 2cos(\pi x)+4cos(\pi y)=3 \end \)
Из верхнего линейного уравнения выражаем \(y\) через \(x\) и подставляем в нижнее: \begin \begin y=\frac23-x\\ 2cos(\pi x)+4cos\left(\pi\left(\frac23-x\right)\right)=3 \end \end Решаем полученное уравнение относительно \(x\): \begin 2cos(\pi x)+4cos\left(\frac<2\pi><3>-\pi x\right)=3\\ 2cos(\pi x)+4\left(cos\frac<2\pi><3>cos\pi x+sin\frac<2\pi><3>sin\pi x\right)=3\\ 2cos(\pi x)+\left(\left(-\frac12\right)cos\pi x+\frac<\sqrt<3>><2>sin\pi x\right)=3\\ 2cos(\pi x)-2cos(\pi x)+2\sqrt<3>sin\pi x=3\\ sin\pi x=\frac<\sqrt<3>><2>\Rightarrow \pi x= \left[ \begin \frac\pi3+2\pi k\\ \frac<2\pi><3>+2\pi k \end \right. \Rightarrow x= \left[ \begin \frac13+2k\\ \frac23+2k \end \right. \end Получаем две пары решений: \begin \left[ \begin \begin x=\frac13+2k\\ y=\frac23-x=\frac13-2k \end \\ \begin x=\frac23+2k\\ y=-2k \end \end \right. \end Ответ: \(\left\<\left(\frac13+2k;\ \frac13-2k\right),\ \left(\frac23+2k;\ -2k\right)\right\>\)

Пример 2*. Решите систему уравнений:
a) \( \begin \sqrtcosx=0\\ 2sin^2x-cos\left(2y-\frac\pi3\right)=0 \end \)
Первое уравнение является независимым. Решаем его, чтобы найти \(x\): \begin \begin \left[ \begin cos2x=0\\ cosx=0 \end \right.\\ cos2x\geq 0 \end \Rightarrow \begin \left[ \begin 2x=\frac\pi2+\pi k\\ x=\frac\pi2+\pi k \end \right.\\ -\frac\pi2+2\pi k\leq 2x\leq\frac\pi2+2\pi k \end \Rightarrow \begin \left[ \begin x=\frac\pi4+\frac<\pi k><2>\\ x=\frac\pi2+\pi k \end \right.\\ -\frac\pi4+\pi k\leq x\leq\frac\pi4+\pi k \end \end

Семейство решений \(x=\frac\pi2+\pi k\) не подходит по требованию ОДЗ (закрашенные сектора). Остается только: \begin x=\frac\pi4+\frac<\pi k> <2>\end

Подставляем полученный \(x\) во второе уравнение: \begin 2sin^2\left(\frac\pi4+\frac<\pi k><2>\right)-cos\left(2y-\frac\pi3\right)=0 \end Используем формулу понижения степени: \(2sin^2x=1-cos2x\) \begin 2sin^2\left(\frac\pi4+\frac<\pi k><2>\right)=1-cos\left(2\left(\frac\pi4+\frac<\pi k><2>\right)\right)=1-\underbrace_<=0>=1 \end Получаем: \begin 1-cos\left(2y-\frac\pi3\right)=0\Rightarrow cos\left(2y-\frac\pi3\right)=1\Rightarrow 2y-\frac\pi3=2\pi n\Rightarrow\\ \Rightarrow 2y=\frac\pi3+2\pi n\Rightarrow y=\frac\pi6+\pi n \end Ответ: \(\left(\frac\pi4+\frac<\pi k><2>;\ \frac\pi6+\pi n\right)\)

б) \( \begin tg\left(\frac\pi4+x\right)=2\sqrt<2>cos^3y\\ tg\left(\frac\pi4-x\right)=2\sqrt<2>sin^3y \end \)
Рассмотрим произведение: $$ tg\left(\frac\pi4+x\right)\cdot tg\left(\frac\pi4-x\right)=\frac<1+tgx><1-tgx>\cdot \frac<1-tgx><1+tgx>=1 $$ Умножим уравнения и получим: \begin 1=8cos^3ysin^3y=(2cosysiny)^3=sin^32y\Rightarrow sin2y=1\Rightarrow 2y=\frac\pi2+2\pi k\\ y=\frac\pi4+\pi k \end Поставляем полученный y в первое уравнение: $$ tg\left(\frac\pi4+x\right)=2\sqrt<2>cos^3\left(\frac\pi4+\pi k\right) $$ Косинус равен ±1, в зависимости от четверти, в которой находится угол \(y\): \begin cos\left(\frac\pi4+\pi k\right)= \left[ \begin \frac<\sqrt<2>><2>,\ \ y=\frac<\pi><4>+2\pi k\\ -\frac<\sqrt<2>><2>,\ \ y=\frac<5\pi><4>+2\pi k \end \right. \end В первом случае: $$ tg\left(\frac\pi4+x\right)=2\sqrt<2>\cdot\left(\frac<\sqrt<2>><2>\right)^3=1\Rightarrow\frac\pi4+x=\frac\pi4+\pi n\Rightarrow x=\pi n $$ Во втором случае: $$ tg\left(\frac\pi4+x\right)=2\sqrt<2>\cdot\left(-\frac<\sqrt<2>><2>\right)^3=-1\Rightarrow\frac\pi4+x=-\frac\pi4+\pi n\Rightarrow x=-\frac\pi2+\pi n $$ Получаем две пары решений: \begin \left[ \begin \begin x=\pi n\\ y=\frac\pi4+2\pi k \end \\ \begin x=-\frac\pi2+\pi n\\ y=\frac<5\pi><4>+2\pi k \end \end \right. \end Ответ: \(\left\<\left(\pi n;\ \frac\pi4+2\pi k\right),\ \left(-\frac\pi2+\pi n;\ \frac<5\pi><4>+2\pi k\right)\right\>\)

в) \begin \begin \sqrt<1+sinxsiny>=cosx\\ 2sinxctgy+1=0 \end \end ОДЗ: \( \begin 1+sinxsiny\geq 0\\ cosx\geq 0\\ cosy\ne 0 \end \Rightarrow \begin cosx\geq 0\\ cosy\ne 0 \end \)
\(1+sinxsiny\geq 0\) — это требование всегда выполняется.
Возведем первое уравнение в квадрат: \begin 1+sinxsiny=cos^2x\Rightarrow 1-cos^2x+sinxsiny=0\Rightarrow\\ \Rightarrow sin^2x+sinxsiny=0\Rightarrow sinx(sinx+siny)=0\Rightarrow \left[ \begin sinx=0\\ sinx+siny=0 \end \right. \end Из второго уравнения следует, что \(sinx=0\) никогда не является решением \((0+1\ne 0)\). Значит, остается \(sinx+siny=0\) \begin \begin sinx+siny=0\\ 2sinxctgy+1=0 \end \Rightarrow \begin siny=-sinx\\ ctgy=-\frac<1> <2sinx>\end \Rightarrow cosy=siny\cdot ctgy=\frac12\Rightarrow\\ \Rightarrow y=\pm arccos\frac12+2\pi k=\pm\frac\pi3+2\pi k\\ sinx=-siny\Rightarrow \left[ \begin x=y+\pi=\pi\pm\frac\pi3+2\pi n= \left[ \begin \frac<4\pi><3>+2\pi n\\ \frac<2\pi><3>+2\pi n \end \right. \\ x=-y=\pm\frac\pi3+2\pi n \end \right. \end По ОДЗ \(cosx\geq 0\), подходят только нижние корни.
Получаем две пары решений.
Ответ: \(\left\<\left(-\frac\pi3+2\pi n;\ \frac\pi3+2\pi k\right),\ \left(\frac\pi3+2\pi n;\ -\frac\pi3+2\pi k\right)\right\>\)

Способы решения тригонометрических уравнений. 10-й класс

Разделы: Математика

Класс: 10

«Уравнения будут существовать вечно».

Цели урока:

• Образовательные:
  • углубление понимания методов решения тригонометрических уравнений;
  • сформировать навыки различать, правильно отбирать способы решения тригонометрических уравнений.
• Воспитательные:
  • воспитание познавательного интереса к учебному процессу;
  • формирование умения анализировать поставленную задачу;
  • способствовать улучшению психологического климата в классе.
• Развивающие:
  • способствовать развитию навыка самостоятельного приобретения знаний;
  • способствовать умению учащихся аргументировать свою точку зрения;

Оборудование: плакат с основными тригонометрическими формулами, компьютер, проектор, экран.

1 урок

I. Актуализация опорных знаний

Устно решить уравнения:

1) cosx = 1;
2) 2 cosx = 1;
3) cosx = –;
4) sin2x = 0;
5) sinx = –;
6) sinx = ;
7) tgx = ;
8) cos 2 x – sin 2 x = 0

1) х = 2к;
2) х = ± + 2к;
3) х =± + 2к;
4) х = к;
5) х = (–1) + к;
6) х = (–1) + 2к;
7) х = + к;
8) х = + к; к Z.

II. Изучение нового материала

– Сегодня мы с вами рассмотрим более сложные тригонометрические уравнения. Рассмотрим 10 способов их решения. Далее будет два урока для закрепления, и на следующий урок будет проверочная работа. На стенде «К уроку» вывешены задания, аналогичные которым будут на проверочной работе, надо их прорешать до проверочной работы. (Накануне, перед проверочной работой, вывесить на стенде решения этих заданий).

Итак, переходим к рассмотрению способов решения тригонометрических уравнений. Одни из этих способов вам, наверное, покажутся трудными, а другие – лёгкими, т.к. некоторыми приёмами решения уравнений вы уже владеете.

Четверо учащихся класса получили индивидуальное задание: разобраться и показать вам 4 способа решения тригонометрических уравнений.

(Выступающие учащиеся заранее подготовили слайды. Остальные учащиеся класса записывают основные этапы решения уравнений в тетрадь.)

1 ученик: 1 способ. Решение уравнений разложением на множители

sin 4x = 3 cos 2x

Для решения уравнения воспользуемся формулой синуса двойного угла sin 2 = 2 sin cos
2 sin 2x cos 2x – 3 cos 2x = 0,
cos 2x (2 sin 2x – 3) = 0. Произведение этих множителей равно нулю, если хотя бы один из множителей будет равен нулю.

2x = + к, к Z или sin 2x = 1,5 – нет решений, т.к | sin| 1
x = + к; к Z.
Ответ: x = + к , к Z.

2 ученик. 2 способ. Решение уравнений преобразованием суммы или разности тригонометрических функций в произведение

cos 3x + sin 2x – sin 4x = 0.

Для решения уравнения воспользуемся формулой sin– sin = 2 sin сos

cos 3x + 2 sin сos = 0,

сos 3x – 2 sin x cos 3x = 0,

cos 3x (1 – 2 sinx) = 0. Полученное уравнение равносильно совокупности двух уравнений:

Множество решений второго уравнения полностью входит во множество решений первого уравнения. Значит

Ответ:

3 ученик. 3 способ. Решение уравнений преобразованием произведения тригонометрических функций в сумму

sin 5x cos 3x = sin 6x cos2x.

Для решения уравнения воспользуемся формулой

Ответ:

4 ученик. 4 способ. Решение уравнений, сводящихся к квадратным уравнениям

3 sin x – 2 cos 2 x = 0,
3 sin x – 2 (1 – sin 2 x ) = 0,
2 sin 2 x + 3 sin x – 2 = 0,

Пусть sin x = t, где | t |. Получим квадратное уравнение 2t 2 + 3t – 2 = 0,

. Таким образом . не удовлетворяет условию | t |.

Значит sin x = . Поэтому .

Ответ:

III. Закрепление изученного по учебнику А. Н. Колмогорова

1. № 164 (а), 167 (а) (квадратное уравнение)
2. № 168 (а) (разложение на множители)
3. № 174 (а) (преобразование суммы в произведение)
4. (преобразование произведения в сумму)

(В конце урока показать решение этих уравнений на экране для проверки)

№ 164 (а)

2 sin 2 x + sin x – 1 = 0.
Пусть sin x = t, | t | 1. Тогда
2 t 2 + t – 1 = 0, t = – 1, t= . Откуда

Ответ: –.

№ 167 (а)

3 tg 2 x + 2 tg x – 1 = 0.

Пусть tg x = 1, тогда получим уравнение 3 t 2 + 2 t – 1 = 0.

Ответ:

№ 168 (а )

Ответ:

№ 174 (а )

Ответ:

Решить уравнение:

Ответ:

2 урок (урок-лекция)

IV. Изучение нового материала (продолжение)

– Итак, продолжим изучение способов решения тригонометрических уравнений.

5 способ. Решение однородных тригонометрических уравнений

Уравнения вида a sin x + b cos x = 0, где a и b – некоторые числа, называются однородными уравнениями первой степени относительно sin x или cos x.

sin x – cos x = 0. Разделим обе части уравнения на cos x. Так можно сделать, потери корня не произойдёт, т.к. , если cos x = 0, то sin x = 0. Но это противоречит основному тригонометрическому тождеству sin 2 x + cos 2 x = 1.

Получим tg x – 1 = 0.

Ответ:

Уравнения вида a sin 2 x + bcos 2 x + c sin x cos x = 0 , где a, b, c –некоторые числа, называются однородными уравнениями второй степени относительно sin x или cos x.

sin 2 x – 3 sin x cos x + 2 cos 2 = 0. Разделим обе части уравнения на cos x, при этом потери корня не произойдёт, т.к. cos x = 0 не является корнем данного уравнения.

tg 2 x – 3tg x + 2 = 0.

Пусть tg x = t. D = 9 – 8 = 1.

тогда Отсюда tg x = 2 или tg x = 1.

В итоге x = arctg 2 + , x =

Ответ: arctg 2 + ,

Рассмотрим ещё одно уравнение: 3 sin 2 x – 3 sin x cos x + 4 cos 2 x = 2.
Преобразуем правую часть уравнения в виде 2 = 2 · 1 = 2 · (sin 2 x + cos 2 x). Тогда получим:
3sin 2 x – 3sin x cos x + 4cos 2 x = 2 · (sin 2 x + cos 2 x),
3sin 2 x – 3sin x cos x + 4cos 2 x – 2sin 2 x – 2 cos 2 x = 0,
sin 2 x – 3sin x cos x + 2cos 2 x = 0. (Получили 2 уравнение, которое уже разобрали).

Ответ: arctg 2 + k,

6 способ. Решение линейных тригонометрических уравнений

Линейным тригонометрическим уравнением называется уравнение вида a sin x + b cos x = с, где a, b, c – некоторые числа.

Рассмотрим уравнение sin x + cos x = – 1.
Перепишем уравнение в виде:

Учитывая, что и, получим:

Ответ:

7 способ. Введение дополнительного аргумента

Выражение a cos x + b sin x можно преобразовать:

.

(это преобразование мы уже ранее использовали при упрощении тригонометрических выражений)

Введём дополнительный аргумент – угол такой, что

Тогда

Рассмотрим уравнение: 3 sinx + 4 cosx = 1.

Учтём, что . Тогда получим

0,6 sin x + 0,8 cosx = 1. Введём дополнительный аргумент – угол такой, что , т.е. = arcsin 0,6. Далее получим

Ответ: – arcsin 0,8 + +

8 способ. Уравнения вида Р

Такого рода уравнения удобно решать при помощи введения вспомогательной переменной t = sin x ± cosx. Тогда 1 ± 2 sinx cosx = t 2 .

Решить уравнение: sinx + cosx + 4 sinx cosx – 1 = 0.

Введём новую переменную t = sinx + cosx, тогда t 2 = sin 2 x + 2sin x cos x + cos 2 = 1 + 2 sin x cos x Откуда sin x cos x = . Следовательно получим:

t + 2 (t 2 – 1) – 1 = 0.
2 t 2 + t – 2 – 1 = 0,
2 t 2 + t – 3 = 0..Решив уравнение, получим = 1, =.

sinx + cosx = 1 или sinx + cosx =

Ответ:

9 способ. Решение уравнений, содержащих тригонометрические функции под знаком радикала.

Решить уравнение:

В соответствии с общим правилом решения иррациональных уравнений вида, запишем систему, равносильную исходному уравнению:

Решим уравнение 1 – cos x = 1 – cos 2 x.

1 – cos x = 1 – cos 2 x,
1 – cos x – (1 – cos x) (1 + cos x) = 0,
(1 – cos x) (1 – 1 – cos x) = 0,
– (1 – cos x) cos x = 0.

Условию удовлетворяют только решения

Ответ:

10 способ. Решение уравнений с использованием ограниченности тригонометрических функций y = sin x и y = cos x.

Решить уравнение: sin x + sin 9x = 2.
Так как при любых значениях х sin x 1, то данное уравнение равносильно системе:

Решение системы

Ответ:

V. Итог урока

Таким образом мы сегодня рассмотрели 10 различных способов решения тригонометрических уравнений. Безусловно, многие из приведённых задач могут быть решены несколькими способами.

(Пятерым наиболее подготовленным учащимся , а также всем желающим дать индивидуальное творческое задание: найти различные способы решения тригонометрического уравнения sinx + cosx = 1 )

Домашнее задание: № 164 -170 (в, г).