Скачать системы линейных уравнений методы решений

Кафедра математики и моделирования Старший преподаватель Е.Г. Гусев Курс «Высшая математика» Лекция 3. Тема: Системы линейных уравнений: методы решения. — презентация

Презентация была опубликована 6 лет назад пользователемМарина Городенская

Похожие презентации

Презентация на тему: » Кафедра математики и моделирования Старший преподаватель Е.Г. Гусев Курс «Высшая математика» Лекция 3. Тема: Системы линейных уравнений: методы решения.» — Транскрипт:

1 Кафедра математики и моделирования Старший преподаватель Е.Г. Гусев Курс «Высшая математика» Лекция 3. Тема: Системы линейных уравнений: методы решения. Цель: Рассмотреть понятие СЛАУ.

2 Систему m линейных уравнений с n неизвестными будем записывать в следующем виде: Здесь x 1, x 2,, x n – неизвестные величины; a ij (i = 1,2, …, m; j =1,2, …, n) – числа, называемые коэффициентами системы (первый индекс — номер уравнения, второй номер неизвестной); b 1, b 2, …, b m – числа, называемые свободными членами.

3 Решением системы Решением системы будем называть упорядоченный набор чисел x 1, x 2, …, x n, обращающий каждое уравнение системы в верное равенство. Решитьсистему Решить систему значит найти все ее решения или доказать, что ни одного решения нет. совместной Система, имеющая решение, называется совместной.

4 Если система имеет только одно решение, то она называется определенной определенной. Система, имеющая более чем одно решение, называется неопределенной совместной неопределенной (совместной и неопределенной неопределенной). Если система не имеет решений, то несовместной она называется несовместной.

5 Система, у которой все свободные члены равны нулю (b 1 = b 2 =…= b n = 0), однородной называется однородной. Однородная система всегда совместна, так как набор из n нулей удовлетворяет любому уравнению такой системы. Если число уравнений системы совпадает с числом неизвестных (m=n), квадратной то система называется квадратной.

6 Две системы, множества решений которых совпадают, называются эквивалентными эквивалентными или равносильными. равносильными.

7 Преобразование,применение которого превращает систему в новую систему, эквивалентную исходной,называется эквивалентным равносильным эквивалентным или равносильным преобразованием. преобразованием.

8 Общий метод решения СЛАУ. (Метод Гаусса). Если система совместна, т. е. rang A = rang A* = (r),то r-уравнений СЛАУ линейно-независимы, а остальные (n — r) являются линейными комбинациями. Решить систему значит выразить базисные неизвестные через свободные, придавая различные значения свободным неизвестным.

9 Общий метод решения однородной СЛАУ. Теорема: Если ранг матрицы однородной СЛАУ = r, то система имеет (m — r) линейно — независимых решений. Опр.: Совокупность решений, т. е. совокупность называется фундаментальной системой решений однородной СЛАУ.

10 Теорема об общем решении не одноодной СЛАУ. Теорема: Если фундаментальная система решений соотв-щей однор. СЛАУ; — некоторое решение не одно. СЛАУ, то сумма — решение не одно. СЛАУ. Полученное решение называется общим решением не одноодной СЛАУ.

11 Матричный способ решения СЛАУ. СЛАУ запишем в виде А х Х=В. Если det A0, то для матрицы А сущ. обратная А-1. Умножим обе части СЛАУ слева на А-1: А-1 х А х Х = А-1 х В; Е х Х = А-1 х В; Х = А-1 х В.

12 Метод Крамера. СЛАУ имеет вид А х Х=В при det A0 ; Х=А-1 х В. х 1 A11 A12 … An1 b1 х 2 = A21 A22 … An2 х b2 = хn A1n A2n … Ann n х n bn n х 1 A1n х b1 + A2n х b2 + Ann х bn A11 х b1 + A21 х b2 ……… A12 х b1 + A22 х b2 ………

13 1. 2. Числители — величина определителя, разложенного по первому столбцу, тогда первый столбец это элементы b 1, b 2 … b n, а остальные столбцы – это столбцы матрицы А и т.д. Если det A0, то СЛАУ имеет единственное решение и определяется формулами:

14 Элементарные преобразования матрицы 1) перемена местами двух строк; 2) умножение строки на число, отличное от нуля; 3) замена строки матрицы суммой этой строки с любой другой строкой, умноженной на некоторое число.

15 Назовем квадратную матрицу, у которой на главной диагонали стоят числа, отличные от нуля, а под главной диагональю – нули, треугольной матрицей треугольной матрицей. Если с помощью элементарных преобразований матрицу коэффициентов квадратной системы можно привести к треугольной матрице, то система совместна определен на совместна и определенна.

16 A Если матрицу A можно разделить вертикальной чертой на две матрицы: стоящую слева треугольную матрицу размера m m и стоящую справа прямоугольную матрицу, Aтрапециевидной то матрицу A назовем трапециевидной или трапецеидальной трапецеидальной.

17 Если при преобразовании расширенной матрицы системы матрица коэффициентов приводится к трапецеидальному виду и при этом система не получается противоречивой, то система совместна и является бесконечно неопределенной, то есть имеет бесконечно много решений много решений.

18 Те переменные, коэффициенты при которых стоят на главной диагонали трапецеидальной матрицы (это значит, что эти коэффициенты базисными отличны от нуля), называются базисными. Остальные неизвестные называются свободными свободными.

19 Если свободным неизвестным при даны конкретные числовые значения и через них выражены базисные неизвестные, то полученное частным решение называется частным решением решением. Если свободные неизвестные выражены через параметры, то получается решение, которое общим решением. называется общим решением.

20 Если всем свободным неизвестным приданы нулевые значения, то полученное решение базисным называется базисным. Если получены два различных набора базисных неизвестных при различных способах нахождения решения одной и той же системы, то эти наборы обязательно содержат одно и то же число неизвестных, рангом системы называемое рангом системы.

21 Вопросы: 1)Когда система имеет единственное решение? 2)Какие элементарные преобразования матрицы можно делать при решении СЛАУ?

Системы линейных уравнений — методы решения

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

«Актуальность создания школьных служб примирения/медиации в образовательных организациях»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Описание презентации по отдельным слайдам:

Системы линейных уравнений Основные методы решения 7 класс

Система двух линейных уравнений с двумя переменными Состоит из двух уравнений вида: ax + by = c

Система двух линейных уравнений с двумя переменными Состоит из двух уравнений вида: ax + by = c Отдельно взятое каждое уравнение будет иметь бесчисленное множество решений. Решение системы – это такая пара чисел (х;у), которая одновременно является решением всех уравнений системы.

Система двух линейных уравнений с двумя переменными Состоит из двух уравнений вида: ax + by = c Отдельно взятое каждое уравнение будет иметь бесчисленное множество решений. Решение системы – это такая пара чисел (х;у), которая одновременно является решением всех уравнений системы. Методы решения систем линейных уравнений: — подстановки — сложения (выравнивания коэффициентов) — графический

Метод подстановки В любом из уравнений, где это наиболее удобно, выразить одну переменную через другую

Метод подстановки В любом из уравнений, где это наиболее удобно, выразить одну переменную через другую Подставить выражение в другое уравнение

Метод подстановки В любом из уравнений, где это наиболее удобно, выразить одну переменную через другую Подставить выражение в другое уравнение Найти решение полученного уравнения

Метод подстановки В любом из уравнений, где это наиболее удобно, выразить одну переменную через другую Подставить выражение в другое уравнение Найти решение полученного уравнения Выполнить подстановку

Метод подстановки В любом из уравнений, где это наиболее удобно, выразить одну переменную через другую Подставить выражение в другое уравнение Найти решение полученного уравнения Выполнить подстановку Выписать ответ

Выразите одну переменную через другую в данных уравнениях: х + у = 3,5 у – х+12=0 5x + y = 20 x — 7y = 21 4x + 2y — 15=0 3x + 2y = 18 5x + 4y = 40 3x = 7y + 21

Метод подстановки 25x + 10y = 200 x − y = 1.

Метод подстановки 25x + 10y = 200 x − y = 1. x = у + 1 – черновик, а в чистовик пишем:

Метод подстановки 25x + 10y = 200 x − y = 1. x = у + 1 – черновик, а в чистовик пишем: После подстановки выражения y + 1 в первое уравнение вместо x, получим уравнение 25(y + 1) + 10y = 200. Это линейное уравнение с одной переменной. Такое уравнение решить довольно просто:

Метод подстановки 25x + 10y = 200 x − y = 1. x = у + 1 – черновик, а в чистовик пишем: После подстановки выражения y + 1 в первое уравнение вместо x, получим уравнение 25(y + 1) + 10y = 200. Это линейное уравнение с одной переменной. Такое уравнение решить довольно просто:

Метод подстановки 25x + 10y = 200 x − y = 1. x = у + 1 – черновик, а в чистовик пишем: После подстановки выражения y + 1 в первое уравнение вместо x, получим уравнение 25(y + 1) + 10y = 200. Это линейное уравнение с одной переменной. Такое уравнение решить довольно просто: Если у=5, то x = y + 1=5+1=6

Метод подстановки 25x + 10y = 200 x − y = 1. x = у + 1 – черновик, а в чистовик пишем: После подстановки выражения y + 1 в первое уравнение вместо x, получим уравнение 25(y + 1) + 10y = 200. Это линейное уравнение с одной переменной. Такое уравнение решить довольно просто: Если у=5, то x = y + 1=5+1=6 Ответ: (6;5)

Метод сложения (уравнивания коэффициентов) Умножением на числа, отличные от нуля, уравнять коэффициенты в уравнениях при любых неизвестных, например при х, в обоих уравнениях;

Метод сложения (уравнивания коэффициентов) Умножением на числа, отличные от нуля, уравнять коэффициенты при любых неизвестных, например при х, в обоих уравнениях; Вычесть одно уравнение из другого (сложить если коэффициенты противоположные по знаку) ;

Метод сложения (уравнивания коэффициентов) Умножением на числа, отличные от нуля, уравнять коэффициенты при любых неизвестных, например при х, в обоих уравнениях; Вычесть одно уравнение из другого (сложить если коэффициенты противоположные по знаку); Решить полученное уравнение с одним неизвестным у

Метод сложения (уравнивания коэффициентов) Умножением на числа, отличные от нуля, уравнять коэффициенты при любых неизвестных, например при х, в обоих уравнениях; Вычесть одно уравнение из другого (сложить если коэффициенты противоположные по знаку) ; Решить полученное уравнение с одним неизвестным у Выполнить подстановку найденного значения у в любое уравнение системы, найти х;

Метод сложения (уравнивания коэффициентов) Умножением на числа, отличные от нуля, уравнять коэффициенты при любых неизвестных, например при х, в обоих уравнениях; Вычесть одно уравнение из другого (сложить если коэффициенты противоположные по знаку) ; Решить полученное уравнение с одним неизвестным у Выполнить подстановку найденного значения у в любое уравнение системы, найти х; Выписать ответ

Метод сложения (уравнивания коэффициентов) 25x + 10y = 200 x − y = 1.

Метод сложения (уравнивания коэффициентов) 25x + 10y = 200 x − y = 1. Уравняем коэффициенты при у:

Метод сложения (уравнивания коэффициентов) 25x + 10y = 200 x − y = 1. Уравняем коэффициенты при у: 25x + 10y = 200 x − y = 1 |*10

Метод сложения (уравнивания коэффициентов) 25x + 10y = 200 x − y = 1. Уравняем коэффициенты при у: 25x + 10y = 200 x − y = 1 |*10 25x + 10y = 200 10x − 10y = 10

Метод сложения (уравнивания коэффициентов) 25x + 10y = 200 x − y = 1. Уравняем коэффициенты при у: 25x + 10y = 200 x − y = 1 |*10 25x + 10y = 200 10x − 10y = 10 +

Метод сложения (уравнивания коэффициентов) 25x + 10y = 200 x − y = 1. Уравняем коэффициенты при у: 25x + 10y = 200 x − y = 1 |*10 25x + 10y = 200 10x − 10y = 1 + 35x = 210

Метод сложения (уравнивания коэффициентов) 25x + 10y = 200 x − y = 1. Уравняем коэффициенты при у: 25x + 10y = 200 x − y = 1 |*10 25x + 10y = 200 10x − 10y = 1 + 35x = 210 |:35 х = 6 Если х=6, то

Метод сложения (уравнивания коэффициентов) 25x + 10y = 200 x − y = 1. Уравняем коэффициенты при у: 25x + 10y = 200 x − y = 1 |*10 25x + 10y = 200 10x − 10y = 1 + 35x = 210 |:35 х = 6 Если х=6, то 6 — y =1

Метод сложения (уравнивания коэффициентов) 25x + 10y = 200 x − y = 1. Уравняем коэффициенты при у: 25x + 10y = 200 x − y = 1 |*10 25x + 10y = 200 10x − 10y = 1 + 35x = 210 |:35 х = 6 Если х=6, то 6 — y =1, у=5

Метод сложения (уравнивания коэффициентов) 25x + 10y = 200 x − y = 1. Уравняем коэффициенты при у: 25x + 10y = 200 x − y = 1 |*10 25x + 10y = 200 10x − 10y = 1 + 35x = 210 |:35 х = 6 Если х=6, то 6 — y =1, у=5 Ответ: (6;5)

Система линейных уравнений с тремя переменными… Возможно ли?

Система линейных уравнений с тремя переменными… Возможно ли? Состоит из нескольких уравнений вида: ax + by +cz = d

Система линейных уравнений с тремя переменными… Возможно ли? Состоит из нескольких уравнений вида: ax + by +cz = d Отдельно взятое каждое уравнение будет иметь бесчисленное множество решений. Решение системы – это такая тройка чисел (х;у;z), которая одновременно является решением всех уравнений системы.

Система линейных уравнений с тремя переменными… Возможно ли? Состоит из нескольких уравнений вида: ax + by +cz = d Отдельно взятое каждое уравнение будет иметь бесчисленное множество решений. Решение системы – это такая тройка чисел (х;у;z), которая одновременно является решением всех уравнений системы. Методы решения систем линейных уравнений: — подстановки — сложения (выравнивания коэффициентов)

А если неизвестных три…. 2x + 3y +5z= 10 Смотрим критически и думаем. Вот где пригождаются шахматы. Это почти партия. Оптимальный путь решения – половина дела. 3x + 7y +4z= 3 x + 2y +2z= 3

А если неизвестных три…. 2x + 3y +5z= 10 Смотрим критически и думаем. Вот где пригождаются шахматы. Это почти партия. Оптимальный путь решения – половина дела. 3x + 7y +4z= 3 x + 2y +2z= 3

А если неизвестных три…. 2x + 3y +5z= 10 3x + 7y +4z= 3 x + 2y +2z= 3 2x + 3y +5z= 10 3x + 7y +4z= 3 x = 3 — 2y -2z

А если неизвестных три…. 2x + 3y +5z= 10 3x + 7y +4z= 3 x + 2y +2z= 3 2x + 3y +5z= 10 3x + 7y +4z= 3 x = 3 — 2y -2z

А если неизвестных три…. 2x + 3y +5z= 10 3x + 7y +4z= 3 x + 2y +2z= 3 2x + 3y +5z= 10 3x + 7y +4z= 3 x = 3 — 2y -2z 2(3- 2y -2z) + 3y +5z= 10 3(3 — 2y -2z) + 7y +4z= 3 x = 3 — 2y -3z

А если неизвестных три…. 2x + 3y +5z= 10 3x + 7y +4z= 3 x + 2y +2z= 3 2x + 3y +5z= 10 3x + 7y +4z= 3 x = 3 — 2y -2z 2(3- 2y -2z) + 3y +5z= 10 3(3 — 2y -2z) + 7y +4z= 3 6 — 4y -4 z + 3y +5z = 10 9 — 6y -6 z + 7y +4z= 3 x = 3 — 2y -2z x = 3 — 2y -3z

А если неизвестных три…. 2x + 3y +5z= 10 3x + 7y +4z= 3 x + 2y +2z= 3 2x + 3y +5z= 10 3x + 7y +4z= 3 x = 3 — 2y -2z 2(3- 2y -2z) + 3y +5z= 10 3(3 — 2y -2z) + 7y +4z= 3 6 — 4y -4 z + 3y +5z = 10 9 — 6y -6 z + 7y +4z= 3 x = 3 — 2y -2z -y +z= 4 y — 2z= — 6 x = 3 — 2y -2z x = 3 — 2y -3z (1)+(2)

А если неизвестных три…. 2x + 3y +5z= 10 3x + 7y +4z= 3 x + 2y +2z= 3 2x + 3y +5z= 10 3x + 7y +4z= 3 x = 3 — 2y -2z 2(3- 2y -2z) + 3y +5z= 10 3(3 — 2y -2z) + 7y +4z= 3 6 — 4y -4 z + 3y +5z = 10 9 — 6y -6 z + 7y +4z= 3 x = 3 — 2y -2z -y +z= 4 y — 2z= — 6 x = 3 — 2y -2z — z = -2 y -2z = — 6 x = 3 — 2y -2z x = 3 — 2y -3z (1)+(2)

А если неизвестных три…. 2x + 3y +5z= 10 3x + 7y +4z= 3 x + 2y +2z= 3 2x + 3y +5z= 10 3x + 7y +4z= 3 x = 3 — 2y -2z 2(3- 2y -2z) + 3y +5z= 10 3(3 — 2y -2z) + 7y +4z= 3 6 — 4y -4 z + 3y +5z = 10 9 — 6y -6 z + 7y +4z= 3 x = 3 — 2y -2z -y +z= 4 y — 2z= — 6 x = 3 — 2y -2z — z = -2 |*(-1) y -2z = — 6 x = 3 — 2y -2z Подставим в (2) x = 3 — 2y -3z (1)+(2)

А если неизвестных три…. 2x + 3y +5z= 10 3x + 7y +4z= 3 x + 2y +2z= 3 2x + 3y +5z= 10 3x + 7y +4z= 3 x = 3 — 2y -2z 2(3- 2y -2z) + 3y +5z= 10 3(3 — 2y -2z) + 7y +4z= 3 6 — 4y -4 z + 3y +5z = 10 9 — 6y -6 z + 7y +4z= 3 x = 3 — 2y -2z -y +z= 4 y — 2z= — 6 x = 3 — 2y -2z — z = -2 |*(-1) y -2z = — 6 x = 3 — 2y -2z Подставим в (2) z = 2 y -2*2 = — 6 x = 3 — 2y -2z x = 3 — 2y -3z (1)+(2)

А если неизвестных три…. 2x + 3y +5z= 10 3x + 7y +4z= 3 x + 2y +2z= 3 2x + 3y +5z= 10 3x + 7y +4z= 3 x = 3 — 2y -2z 2(3- 2y -2z) + 3y +5z= 10 3(3 — 2y -2z) + 7y +4z= 3 6 — 4y -4 z + 3y +5z = 10 9 — 6y -6 z + 7y +4z= 3 x = 3 — 2y -2z -y +z= 4 y — 2z= — 6 x = 3 — 2y -2z — z = -2 |*(-1) y -2z = — 6 x = 3 — 2y -2z Подставим в (2) z = 2 y -2*2 = — 6 x = 3 — 2y -2z z = 2 y = -2 x = 3 – 2(-2) -2*2 = 3 x = 3 — 2y -3z (1)+(2)

А если неизвестных три…. 2x + 3y +5z= 10 3x + 7y +4z= 3 x + 2y +2z= 3 2x + 3y +5z= 10 3x + 7y +4z= 3 x = 3 — 2y -2z 2(3- 2y -2z) + 3y +5z= 10 3(3 — 2y -2z) + 7y +4z= 3 6 — 4y -4 z + 3y +5z = 10 9 — 6y -6 z + 7y +4z= 3 x = 3 — 2y -2z -y +z= 4 y — 2z= — 6 x = 3 — 2y -2z — z = -2 |*(-1) y -2z = — 6 x = 3 — 2y -2z Подставим в (2) z = 2 y -2*2 = — 6 x = 3 — 2y -2z z = 2 y = -2 x = 3 – 2(-2) -2*2 = 3 x = 3 — 2y -3z (1)+(2) формат (x; y; z)

А если неизвестных три…. 2x + 3y +5z= 10 3x + 7y +4z= 3 x + 2y +2z= 3 2x + 3y +5z= 10 3x + 7y +4z= 3 x = 3 — 2y -2z 2(3- 2y -2z) + 3y +5z= 10 3(3 — 2y -2z) + 7y +4z= 3 6 — 4y -4 z + 3y +5z = 10 9 — 6y -6 z + 7y +4z= 3 x = 3 — 2y -2z -y +z= 4 y — 2z= — 6 x = 3 — 2y -2z — z = -2 |*(-1) y -2z = — 6 x = 3 — 2y -2z Подставим в (2) z = 2 y -2*2 = — 6 x = 3 — 2y -2z z = 2 y = -2 x = 3 – 2(-2) -2*2 = 3 x = 3 — 2y -3z (1)+(2) Ответ: (3;-2; 2) формат (x; y; z)

Краткое описание документа:

Третий урок по теме.
Состоит из трех частей: тренировка навыка выражения переменной.
Закрепление метода решения систем уравнений методом подстановки (повторение темы 2 урока)
Изучение метода уравнивания коэффициентов.
Тема со звездочкой. А если переменных три?

Презентация не анимирована и составлена для работы в виртуальном классе на дистанционном обучении без поддержки анимации.

Время для освоения материала в среднем темпе 30 минут.

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

• Сейчас обучается 949 человек из 80 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

• Сейчас обучается 681 человек из 75 регионов

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

• Сейчас обучается 314 человек из 70 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Дистанционные курсы для педагогов

Самые массовые международные дистанционные

Школьные Инфоконкурсы 2022

33 конкурса для учеников 1–11 классов и дошкольников от проекта «Инфоурок»

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 569 200 материалов в базе

Материал подходит для УМК

«Алгебра», Никольский С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н. и др.

10.4. Способ уравнивания коэффициентов

Другие материалы

• 21.04.2020
• 111
• 0

• 20.04.2020
• 128
• 0

• 17.04.2020
• 183
• 0

• 17.04.2020
• 650
• 16

• 05.04.2020
• 1457
• 51

• 08.05.2018
• 13044
• 26

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Добавить в избранное

• 27.04.2020 492
• PPTX 1.4 мбайт
• 5 скачиваний
• Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Лаптева Юлия Александровна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

• На сайте: 3 года и 3 месяца
• Подписчики: 23
• Всего просмотров: 29929
• Всего материалов: 75

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

В Забайкалье в 2022 году обеспечат интернетом 83 школы

Время чтения: 1 минута

ЕГЭ в 2022 году будут сдавать почти 737 тыс. человек

Время чтения: 2 минуты

Тринадцатилетняя школьница из Индии разработала приложение против буллинга

Время чтения: 1 минута

Рособрнадзор не планирует переносить досрочный период ЕГЭ

Время чтения: 0 минут

В Воронеже продлили удаленное обучение для учеников 5-11-х классов

Время чтения: 1 минута

В России могут объявить Десятилетие науки и технологий

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Решение систем линейных алгебраических уравнений, методы решения, примеры.

Решение систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), несомненно, является важнейшей темой курса линейной алгебры. Огромное количество задач из всех разделов математики сводится к решению систем линейных уравнений. Этими факторами объясняется причина создания данной статьи. Материал статьи подобран и структурирован так, что с его помощью Вы сможете

• подобрать оптимальный метод решения Вашей системы линейных алгебраических уравнений,
• изучить теорию выбранного метода,
• решить Вашу систему линейных уравнений, рассмотрев подробно разобранные решения характерных примеров и задач.

Краткое описание материала статьи.

Сначала дадим все необходимые определения, понятия и введем обозначения.

Далее рассмотрим методы решения систем линейных алгебраических уравнений, в которых число уравнений равно числу неизвестных переменных и которые имеют единственное решение. Во-первых, остановимся на методе Крамера, во-вторых, покажем матричный метод решения таких систем уравнений, в-третьих, разберем метод Гаусса (метод последовательного исключения неизвестных переменных). Для закрепления теории обязательно решим несколько СЛАУ различными способами.

После этого перейдем к решению систем линейных алгебраических уравнений общего вида, в которых число уравнений не совпадает с числом неизвестных переменных или основная матрица системы является вырожденной. Сформулируем теорему Кронекера — Капелли, которая позволяет установить совместность СЛАУ. Разберем решение систем (в случае их совместности) с помощью понятия базисного минора матрицы. Также рассмотрим метод Гаусса и подробно опишем решения примеров.

Обязательно остановимся на структуре общего решения однородных и неоднородных систем линейных алгебраических уравнений. Дадим понятие фундаментальной системы решений и покажем, как записывается общее решение СЛАУ с помощью векторов фундаментальной системы решений. Для лучшего понимания разберем несколько примеров.

В заключении рассмотрим системы уравнений, сводящиеся к линейным, а также различные задачи, при решении которых возникают СЛАУ.

Навигация по странице.

Определения, понятия, обозначения.

Будем рассматривать системы из p линейных алгебраических уравнений с n неизвестными переменными ( p может быть равно n ) вида

— неизвестные переменные, — коэффициенты (некоторые действительные или комплексные числа), — свободные члены (также действительные или комплексные числа).

Такую форму записи СЛАУ называют координатной.

В матричной форме записи эта система уравнений имеет вид ,
где — основная матрица системы, — матрица-столбец неизвестных переменных, — матрица-столбец свободных членов.

Если к матрице А добавить в качестве (n+1)-ого столбца матрицу-столбец свободных членов, то получим так называемую расширенную матрицу системы линейных уравнений. Обычно расширенную матрицу обозначают буквой Т , а столбец свободных членов отделяют вертикальной линией от остальных столбцов, то есть,

Решением системы линейных алгебраических уравнений называют набор значений неизвестных переменных , обращающий все уравнения системы в тождества. Матричное уравнение при данных значениях неизвестных переменных также обращается в тождество .

Если система уравнений имеет хотя бы одно решение, то она называется совместной.

Если система уравнений решений не имеет, то она называется несовместной.

Если СЛАУ имеет единственное решение, то ее называют определенной; если решений больше одного, то – неопределенной.

Если свободные члены всех уравнений системы равны нулю , то система называется однородной, в противном случае – неоднородной.

Решение элементарных систем линейных алгебраических уравнений.

Если число уравнений системы равно числу неизвестных переменных и определитель ее основной матрицы не равен нулю, то такие СЛАУ будем называть элементарными. Такие системы уравнений имеют единственное решение, причем в случае однородной системы все неизвестные переменные равны нулю.

Такие СЛАУ мы начинали изучать в средней школе. При их решении мы брали какое-нибудь одно уравнение, выражали одну неизвестную переменную через другие и подставляли ее в оставшиеся уравнения, следом брали следующее уравнение, выражали следующую неизвестную переменную и подставляли в другие уравнения и так далее. Или пользовались методом сложения, то есть, складывали два или более уравнений, чтобы исключить некоторые неизвестные переменные. Не будем подробно останавливаться на этих методах, так как они по сути являются модификациями метода Гаусса.

Основными методами решения элементарных систем линейных уравнений являются метод Крамера, матричный метод и метод Гаусса. Разберем их.

Решение систем линейных уравнений методом Крамера.

Пусть нам требуется решить систему линейных алгебраических уравнений

в которой число уравнений равно числу неизвестных переменных и определитель основной матрицы системы отличен от нуля, то есть, .

Пусть — определитель основной матрицы системы, а — определители матриц, которые получаются из А заменой 1-ого, 2-ого, …, n-ого столбца соответственно на столбец свободных членов:

При таких обозначениях неизвестные переменные вычисляются по формулам метода Крамера как . Так находится решение системы линейных алгебраических уравнений методом Крамера.

Решите систему линейных уравнений методом Крамера .

Основная матрица системы имеет вид . Вычислим ее определитель (при необходимости смотрите статью определитель матрицы: определение, методы вычисления, примеры, решения):

Так как определитель основной матрицы системы отличен от нуля, то система имеет единственное решение, которое может быть найдено методом Крамера.

Составим и вычислим необходимые определители (определитель получаем, заменив в матрице А первый столбец на столбец свободных членов , определитель — заменив второй столбец на столбец свободных членов, — заменив третий столбец матрицы А на столбец свободных членов):

Находим неизвестные переменные по формулам :

Основным недостатком метода Крамера (если это можно назвать недостатком) является трудоемкость вычисления определителей, когда число уравнений системы больше трех.

Для более детальной информации смотрите раздел метод Крамера: вывод формул, примеры, решения.

Решение систем линейных алгебраических уравнений матричным методом (с помощью обратной матрицы).

Пусть система линейных алгебраических уравнений задана в матричной форме , где матрица A имеет размерность n на n и ее определитель отличен от нуля.

Так как , то матрица А – обратима, то есть, существует обратная матрица . Если умножить обе части равенства на слева, то получим формулу для нахождения матрицы-столбца неизвестных переменных . Так мы получили решение системы линейных алгебраических уравнений матричным методом.

Решите систему линейных уравнений матричным методом.

Перепишем систему уравнений в матричной форме:

Так как

то СЛАУ можно решать матричным методом. С помощью обратной матрицы решение этой системы может быть найдено как .

Построим обратную матрицу с помощью матрицы из алгебраических дополнений элементов матрицы А (при необходимости смотрите статью методы нахождения обратной матрицы):

Осталось вычислить — матрицу неизвестных переменных, умножив обратную матрицу на матрицу-столбец свободных членов (при необходимости смотрите статью операции над матрицами):

или в другой записи x₁ = 4, x₂ = 0, x₃ = -1 .

Основная проблема при нахождении решения систем линейных алгебраических уравнений матричным методом заключается в трудоемкости нахождения обратной матрицы, особенно для квадратных матриц порядка выше третьего.

Более подробное описание теории и дополнительные примеры смотрите в статье матричный метод решения систем линейных уравнений.

Решение систем линейных уравнений методом Гаусса.

Пусть нам требуется найти решение системы из n линейных уравнений с n неизвестными переменными
определитель основной матрицы которой отличен от нуля.

Суть метода Гаусса состоит в последовательном исключении неизвестных переменных: сначала исключается x₁ из всех уравнений системы, начиная со второго, далее исключается x₂ из всех уравнений, начиная с третьего, и так далее, пока в последнем уравнении останется только неизвестная переменная x_n . Такой процесс преобразования уравнений системы для последовательного исключения неизвестных переменных называется прямым ходом метода Гаусса. После завершения прямого хода метода Гаусса из последнего уравнения находится x_n , с помощью этого значения из предпоследнего уравнения вычисляется x_n-1 , и так далее, из первого уравнения находится x₁ . Процесс вычисления неизвестных переменных при движении от последнего уравнения системы к первому называется обратным ходом метода Гаусса.

Кратко опишем алгоритм исключения неизвестных переменных.

Будем считать, что , так как мы всегда можем этого добиться перестановкой местами уравнений системы. Исключим неизвестную переменную x₁ из всех уравнений системы, начиная со второго. Для этого ко второму уравнению системы прибавим первое, умноженное на , к третьему уравнению прибавим первое, умноженное на , и так далее, к n-ому уравнению прибавим первое, умноженное на . Система уравнений после таких преобразований примет вид

где , а .

К такому же результату мы бы пришли, если бы выразили x₁ через другие неизвестные переменные в первом уравнении системы и полученное выражение подставили во все остальные уравнения. Таким образом, переменная x₁ исключена из всех уравнений, начиная со второго.

Далее действуем аналогично, но лишь с частью полученной системы, которая отмечена на рисунке

Будем считать, что (в противном случае мы переставим местами вторую строку с k-ой , где ). Приступаем к исключению неизвестной переменной x₂ из всех уравнений, начиная с третьего.

Для этого к третьему уравнению системы прибавим второе, умноженное на , к четвертому уравнению прибавим второе, умноженное на , и так далее, к n-ому уравнению прибавим второе, умноженное на . Система уравнений после таких преобразований примет вид

где , а . Таким образом, переменная x₂ исключена из всех уравнений, начиная с третьего.

Далее приступаем к исключению неизвестной x₃ , при этом действуем аналогично с отмеченной на рисунке частью системы

Так продолжаем прямой ход метода Гаусса пока система не примет вид

С этого момента начинаем обратный ход метода Гаусса: вычисляем x_n из последнего уравнения как , с помощью полученного значения x_n находим x_n-1 из предпоследнего уравнения, и так далее, находим x₁ из первого уравнения.

Решите систему линейных уравнений методом Гаусса.

Исключим неизвестную переменную x₁ из второго и третьего уравнения системы. Для этого к обеим частям второго и третьего уравнений прибавим соответствующие части первого уравнения, умноженные на и на соответственно:

Теперь из третьего уравнения исключим x₂ , прибавив к его левой и правой частям левую и правую части второго уравнения, умноженные на :

На этом прямой ход метода Гаусса закончен, начинаем обратный ход.

Из последнего уравнения полученной системы уравнений находим x₃ :

Из второго уравнения получаем .

Из первого уравнения находим оставшуюся неизвестную переменную и этим завершаем обратный ход метода Гаусса .

Более детальную информацию и дополнительные примеры смотрите в разделе решение элементарных систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса.

Решение систем линейных алгебраических уравнений общего вида.

В общем случае число уравнений системы p не совпадает с числом неизвестных переменных n :

Такие СЛАУ могут не иметь решений, иметь единственное решение или иметь бесконечно много решений. Это утверждение относится также к системам уравнений, основная матрица которых квадратная и вырожденная.

Далее нам потребуется понятие минора матрицы и ранга матрицы, которые даны в статье ранг матрицы: определение, методы нахождения, примеры, решения.

Теорема Кронекера – Капелли.

Прежде чем находить решение системы линейных уравнений необходимо установить ее совместность. Ответ на вопрос когда СЛАУ совместна, а когда несовместна, дает теорема Кронекера – Капелли:
для того, чтобы система из p уравнений с n неизвестными ( p может быть равно n ) была совместна необходимо и достаточно, чтобы ранг основной матрицы системы был равен рангу расширенной матрицы, то есть, Rank(A)=Rank(T) .

Рассмотрим на примере применение теоремы Кронекера – Капелли для определения совместности системы линейных уравнений.

Выясните, имеет ли система линейных уравнений решения.

Найдем ранг основной матрицы системы . Воспользуемся методом окаймляющих миноров. Минор второго порядка отличен от нуля. Переберем окаймляющие его миноры третьего порядка:

Так как все окаймляющие миноры третьего порядка равны нулю, то ранг основной матрицы равен двум.

В свою очередь ранг расширенной матрицы равен трем, так как минор третьего порядка

отличен от нуля.

Таким образом, , следовательно, по теореме Кронекера – Капелли можно сделать вывод, что исходная система линейных уравнений несовместна.

система решений не имеет.

Итак, мы научились устанавливать несовместность системы с помощью теоремы Кронекера – Капелли.

А как же находить решение СЛАУ, если установлена ее совместность?

Для этого нам потребуется понятие базисного минора матрицы и теорема о ранге матрицы.

Минор наивысшего порядка матрицы А , отличный от нуля, называется базисным.

Из определения базисного минора следует, что его порядок равен рангу матрицы. Для ненулевой матрицы А базисных миноров может быть несколько, один базисный минор есть всегда.

Для примера рассмотрим матрицу .

Все миноры третьего порядка этой матрицы равны нулю, так как элементы третьей строки этой матрицы представляют собой сумму соответствующих элементов первой и второй строк.

Базисными являются следующие миноры второго порядка, так как они отличны от нуля

Миноры базисными не являются, так как равны нулю.

Теорема о ранге матрицы.

Если ранг матрицы порядка p на n равен r , то все элементы строк (и столбцов) матрицы, не образующие выбранный базисный минор, линейно выражаются через соответствующие элементы строк (и столбцов), образующих базисный минор.

Что нам дает теорема о ранге матрицы?

Если по теореме Кронекера – Капелли мы установили совместность системы, то выбираем любой базисный минор основной матрицы системы (его порядок равен r ), и исключаем из системы все уравнения, которые не образуют выбранный базисный минор. Полученная таким образом СЛАУ будет эквивалентна исходной, так как отброшенные уравнения все равно излишни (они согласно теореме о ранге матрицы являются линейной комбинацией оставшихся уравнений).

В итоге, после отбрасывания излишних уравнений системы, возможны два случая.

Если число уравнений r в полученной системе будет равно числу неизвестных переменных, то она будет определенной и единственное решение можно будет найти методом Крамера, матричным методом или методом Гаусса.

Решите систему линейных алгебраических уравнений .

Ранг основной матрицы системы равен двум, так как минор второго порядка отличен от нуля. Ранг расширенной матрицы также равен двум, так как единственный минор третьего порядка равен нулю

а рассмотренный выше минор второго порядка отличен от нуля. На основании теоремы Кронекера – Капелли можно утверждать совместность исходной системы линейных уравнений, так как Rank(A)=Rank(T)=2 .

В качестве базисного минора возьмем . Его образуют коэффициенты первого и второго уравнений:

Третье уравнение системы не участвует в образовании базисного минора, поэтому исключим его из системы на основании теоремы о ранге матрицы:

Так мы получили элементарную систему линейных алгебраических уравнений. Решим ее методом Крамера:

Если число уравнений r в полученной СЛАУ меньше числа неизвестных переменных n , то в левых частях уравнений оставляем слагаемые, образующие базисный минор, остальные слагаемые переносим в правые части уравнений системы с противоположным знаком.

Неизвестные переменные (их r штук), оставшиеся в левых частях уравнений, называются основными.

Неизвестные переменные (их штук), которые оказались в правых частях, называются свободными.

Теперь считаем, что свободные неизвестные переменные могут принимать произвольные значения, при этом r основных неизвестных переменных будут выражаться через свободные неизвестные переменные единственным образом. Их выражение можно найти решая полученную СЛАУ методом Крамера, матричным методом или методом Гаусса.

Разберем на примере.

Решите систему линейных алгебраических уравнений .

Найдем ранг основной матрицы системы методом окаймляющих миноров. В качестве ненулевого минора первого порядка возьмем . Начнем поиск ненулевого минора второго порядка, окаймляющего данный минор:

Так мы нашли ненулевой минор второго порядка. Начнем поиск ненулевого окаймляющего минора третьего порядка:

Таким образом, ранг основной матрицы равен трем. Ранг расширенной матрицы также равен трем, то есть, система совместна.

Найденный ненулевой минор третьего порядка возьмем в качестве базисного.

Для наглядности покажем элементы, образующие базисный минор:

Оставляем в левой части уравнений системы слагаемые, участвующие в базисном миноре, остальные переносим с противоположными знаками в правые части:

Придадим свободным неизвестным переменным x₂ и x₅ произвольные значения, то есть, примем , где — произвольные числа. При этом СЛАУ примет вид

Полученную элементарную систему линейных алгебраических уравнений решим методом Крамера:

Следовательно, .

В ответе не забываем указать свободные неизвестные переменные.

, где — произвольные числа.

Чтобы решить систему линейных алгебраических уравнений общего вида, сначала выясняем ее совместность, используя теорему Кронекера – Капелли. Если ранг основной матрицы не равен рангу расширенной матрицы, то делаем вывод о несовместности системы.

Если ранг основной матрицы равен рангу расширенной матрицы, то выбираем базисный минор и отбрасываем уравнения системы, которые не участвуют в образовании выбранного базисного минора.

Если порядок базисного минора равен числу неизвестных переменных, то СЛАУ имеет единственное решение, которое находим любым известным нам методом.

Если порядок базисного минора меньше числа неизвестных переменных, то в левой части уравнений системы оставляем слагаемые с основными неизвестными переменными, остальные слагаемые переносим в правые части и придаем свободным неизвестным переменным произвольные значения. Из полученной системы линейных уравнений находим основные неизвестные переменные методом Крамера, матричным методом или методом Гаусса.

Метод Гаусса для решения систем линейных алгебраических уравнений общего вида.

Методом Гаусса можно решать системы линейных алгебраических уравнений любого вида без предварительного их исследования на совместность. Процесс последовательного исключения неизвестных переменных позволяет сделать вывод как о совместности, так и о несовместности СЛАУ, а в случае существования решения дает возможность отыскать его.

С точки зрения вычислительной работы метод Гаусса является предпочтительным.

Запись общего решения однородных и неоднородных систем линейных алгебраических с помощью векторов фундаментальной системы решений.

В этом разделе речь пойдет о совместных однородных и неоднородных системах линейных алгебраических уравнений, имеющих бесконечное множество решений.

Разберемся сначала с однородными системами.

Фундаментальной системой решений однородной системы из p линейных алгебраических уравнений с n неизвестными переменными называют совокупность линейно независимых решений этой системы, где r – порядок базисного минора основной матрицы системы.

Если обозначить линейно независимые решения однородной СЛАУ как ( – это матрицы столбцы размерности n на 1 ), то общее решение этой однородной системы представляется в виде линейной комбинации векторов фундаментальной системы решений с произвольными постоянными коэффициентами , то есть, .

Что обозначает термин общее решение однородной системы линейных алгебраических уравнений (орослау)?

Смысл прост: формула задает все возможные решения исходной СЛАУ, другими словами, взяв любой набор значений произвольных постоянных , по формуле мы получим одно из решений исходной однородной СЛАУ.

Таким образом, если мы найдем фундаментальную систему решений, то мы сможем задать все решения этой однородной СЛАУ как .

Покажем процесс построения фундаментальной системы решений однородной СЛАУ.

Выбираем базисный минор исходной системы линейных уравнений, исключаем все остальные уравнения из системы и переносим в правые части уравнений системы с противоположными знаками все слагаемые, содержащие свободные неизвестные переменные. Придадим свободным неизвестным переменным значения 1,0,0,…,0 и вычислим основные неизвестные, решив полученную элементарную систему линейных уравнений любым способом, например, методом Крамера. Так будет получено X (1) — первое решение фундаментальной системы. Если придать свободным неизвестным значения 0,1,0,0,…,0 и вычислить при этом основные неизвестные, то получим X (2) . И так далее. Если свободным неизвестным переменным придадим значения 0,0,…,0,1 и вычислим основные неизвестные, то получим X (n-r) . Так будет построена фундаментальная система решений однородной СЛАУ и может быть записано ее общее решение в виде .

Для неоднородных систем линейных алгебраических уравнений общее решение представляется в виде , где — общее решение соответствующей однородной системы, а — частное решение исходной неоднородной СЛАУ, которое мы получаем, придав свободным неизвестным значения 0,0,…,0 и вычислив значения основных неизвестных.

Разберем на примерах.

Найдите фундаментальную систему решений и общее решение однородной системы линейных алгебраических уравнений .

Ранг основной матрицы однородных систем линейных уравнений всегда равен рангу расширенной матрицы. Найдем ранг основной матрицы методом окаймляющих миноров. В качестве ненулевого минора первого порядка возьмем элемент основной матрицы системы. Найдем окаймляющий ненулевой минор второго порядка:

Минор второго порядка, отличный от нуля, найден. Переберем окаймляющие его миноры третьего порядка в поисках ненулевого:

Все окаймляющие миноры третьего порядка равны нулю, следовательно, ранг основной и расширенной матрицы равен двум. Базисным минором возьмем . Отметим для наглядности элементы системы, которые его образуют:

Третье уравнение исходной СЛАУ не участвует в образовании базисного минора, поэтому, может быть исключено:

Оставляем в правых частях уравнений слагаемые, содержащие основные неизвестные, а в правые части переносим слагаемые со свободными неизвестными:

Построим фундаментальную систему решений исходной однородной системы линейных уравнений. Фундаментальная система решений данной СЛАУ состоит из двух решений, так как исходная СЛАУ содержит четыре неизвестных переменных, а порядок ее базисного минора равен двум. Для нахождения X (1) придадим свободным неизвестным переменным значения , тогда основные неизвестные найдем из системы уравнений
.

Решим ее методом Крамера:

Таким образом, .

Теперь построим X (2) . Для этого придадим свободным неизвестным переменным значения , тогда основные неизвестные найдем из системы линейных уравнений
.

Опять воспользуемся методом Крамера:

Получаем .

Так мы получили два вектора фундаментальной системы решений и , теперь мы можем записать общее решение однородной системы линейных алгебраических уравнений:
, где C₁ и C₂ – произвольные числа.

Найдите общее решение неоднородной системы линейных алгебраических уравнений .

Общее решение этой системы уравнений будем искать в виде .

Исходной неоднородной СЛАУ соответствует однородная система

общее решение которой мы нашли в предыдущем примере
.

Следовательно, нам осталось найти частное решение неоднородной системы линейных алгебраических уравнений .

Ранг основной матрицы системы равен двум, ранг расширенной матрицы системы также равен двум, так как все миноры третьего порядка, окаймляющие минор , равны нулю. Также примем минор в качестве базисного, исключим третье уравнение из системы и перенесем слагаемые со свободными неизвестными в правые части уравнений системы:

Для нахождения придадим свободным неизвестным переменным значения , тогда система уравнений примет вид , откуда методом Крамера найдем основные неизвестные переменные:

Имеем , следовательно,

где C₁ и C₂ – произвольные числа.

Следует заметить, что решения неопределенной однородной системы линейных алгебраических уравнений порождают линейное пространство размерности , базисом которого является фундаментальная система решений.

Решение систем уравнений, сводящихся к СЛАУ.

Некоторые системы уравнений с помощью замены переменных можно свести к линейным. Рассмотрим несколько примеров.