iSopromat.ru
Рассмотрим условия равновесия произвольной плоской и пространственной систем сил, включая три основные формы и частные случаи равновесия для систем параллельных и сходящихся сил:
Из основной теоремы статики следует, что любая система сил и моментов, действующих на твердое тело, может быть приведена к выбранному центру и заменена в общем случае главным вектором и главным моментом.
Если система уравновешена, то получаем условия равновесия: R=0, MO=0. Из этих условий для пространственной системы сил получается шесть уравнений равновесия, из которых могут быть определены шесть неизвестных:
Формы условий равновесия
Первая форма
Для плоской системы сил (например, в плоскости Oxy) из этих уравнений получаются только три:
причем оси и точка O, относительно которой пишется уравнение моментов, выбираются произвольно. Это первая форма уравнений равновесия.
Вторая форма
Уравнения равновесия могут быть записаны иначе:
Это вторая форма уравнений равновесия, причем ось Ox не должна быть перпендикулярна линии, проходящей через точки A и B.
Третья форма
Это третья форма уравнений равновесия, причем точки A, B и C не должны лежать на одной прямой.
Предпочтительность написания форм уравнений равновесия зависит от конкретных условий задачи и навыков решающего.
Другие условия равновесия
При действии на тело плоской системы параллельных сил одно из уравнений исчезает и остаются два уравнения (рисунок 1.26, а):
Для пространственной системы параллельных сил (рисунок 1.26, б) могут быть записаны три уравнения равновесия:
Для системы сходящихся сил (линии действия которых пересекаются в одной точке) можно написать три уравнения для пространственной системы:
и два уравнения для плоской системы:
В каждом из вышеприведенных случаев число неизвестных, находимых при решении уравнений, соответствует числу записанных уравнений равновесия.
Уважаемые студенты!
На нашем сайте можно получить помощь по техническим и другим предметам:
✔ Решение задач и контрольных
✔ Выполнение учебных работ
✔ Помощь на экзаменах
Уравнения равновесия пространственной системы сил
Выше (6.5, случай 6) было установлено, что
Геометрической формой условия равновесия произвольной пространственной системы сил является равенство нулю ее главного вектора и главного момента |
(6.18)
Учитывая, что , , спроектируем формулы (6.18) на Декартовы оси координат. Имеем аналитическую форму уравнений равновесия произвольной пространственной системы сил:
(6.19)
Последние три уравнения имеют место из-за того, что проекция момента силы относительно точки на ось, которая проходит через эту точку, равна моменту силы относительно оси (формула (6.9)).
Для равновесия произвольной пространственной системы сил необходимо и достаточно, чтобы суммы проекций всех сил системы на три координатные оси и суммы моментов всех сил системы относительно этих координатных осей равнялись нулю. |
Вывод. При решении задач на равновесие произвольной пространственной системы сил, которая приложена к твердому телу, мы должны составить шесть уравнений равновесия (6.19), потому имеем возможность с помощью этих уравнений определить шесть неизвестных величин.
Рассмотрим случай пространственной системы параллельных сил. Систему координат выберем так, чтобы ось Оz была параллельна линиям действия сил (рис. 6.11).
Рисунок 6.11 | Если система сил находится в равновесии, то имеют место уравнения (6.19). Система сил, показана на рис. 6.11, является упрощенным вариантом произвольной пространственной системы сил, потому и уравнения (6.19) должны упроститься. Выясним, какие из уравнений (6.19) в данном случае выполняются тождественно, то есть является лишними. Такими является: – суммы проекций сил на оси Оx и Оy, потому что силы им перпендикулярны; – сумма моментов сил относительно оси Оz, потому что силы параллельны ей (п. 6.3. Рекомендации для практического занятия). |
Таким образом, остались три уравнения:
(6.20)
Для равновесия параллельной пространственной системы сил необходимо и достаточно, чтобы: – сумма проекций сил системы на ось параллельную силам равнялась нулю; – суммы моментов сил системы относительно двух других осей равнялись нулю. |
Вывод. При решении задач на равновесие параллельной пространственной системы сил, которая приложена к твердому телу, мы должны составить три уравнения равновесия и имеем возможность с помощью этих уравнений определить три неизвестных величины.
На первой лекции по разделу «Статика» мы выяснили, что имеют место шесть разновидностей систем сил, которые могут встретиться в Вашей практике инженерных расчетов. Кроме того есть две возможности расположения пар сил : в пространстве и в плоскости. Сведем все уравнения равновесия для сил и для пар сил в одну таблицу (табл. 6.2), в которой в последней колонке отметим количество неизвестных величин, которые позволит определить система уравнений равновесия.
Таблица 6.2 – Уравнения равновесия разных систем сил
Вид системы сил | Уравнения равновесия | Количество определяемых неизвестных |
Сходящаяся плоская | ||
Параллельная плоская ( оси 0у) | т. А – произвольная, принадлежащая плоскости 0ху | |
Произвольная плоская (в плоскости 0ху) | т. А – произвольная, принадлежащая плоскости 0ху |
Продолжение таблицы 6.2
Система пар в плоскости | |
Сходящаяся пространственная | |
Параллельная пространственная ( оси 0z) |
Продолжение таблицы 6.2
Произвольная пространственная | |
Система пар в пространстве |
Вопросы для самоконтроля по теме 6
1. Как найти момент силы относительно оси?
2. Какая зависимость существует между моментом силы относительно точки и моментом этой же силы относительно оси, которая проходит через эту точку?
3. В каких случаях момент силы относительно оси равен нулю? А когда он наибольший?
4. В каких случаях система сил приводится к равнодействующей?
5. В каком случае пространственная система сил приводится:
– к динамическому винту?
6. Что называется инвариантом статики? Какие Вы знаете инварианты статики?
7. Запишите уравнения равновесия произвольной пространственной системы сил.
8. Сформулируйте необходимое и достаточное условие равновесия параллельной пространственной системы сил.
9. Изменится ли главный вектор системы сил при изменении центра приведения? А главный момент?
Тема 7. ФЕРМЫ. ОПРЕДЕЛЕНИЕ УСИЛИЙ
Условия равновесия системы сил в теоретической механике
Содержание:
Условия равновесия системы сил:
Условия равновесия системы сил в векторной форме
Из теоремы о приведении системы сил к силе и паре сил можно вывести условия равновесия системы сил, действующих на твердое тело. Очевидно, что если система сил находится в равновесии, то в равновесии находится и эквивалентная ей система, состоящая из силы и пары сил. Чтобы такая система сил была эквивалентна _ нулю, необходимо и достаточно равенства нулю как силы
Условия (11) являются векторными условиями равновесия для любой системы сил.
Условия равновесия пространственной системы сил в аналитической форме
Если при равновесии системы сил, приложенных к твердому телу, главный вектор равен нулю, то его проекция на каждую координатную ось также равна нулю. Это справедливо и для главного момента . Таким образом, из векторных условий равновесия пространственной системы сил следует шесть условий:
Учитывая формулы (5) и (7), эти шесть условий через силы системы выражают в форме
Таким образом, для равновесия пространственной системы сил, приложенных к твердому телу, необходимо и достаточно, чтобы три суммы проекций всех сил на оси декартовых координат были равны нулю и три суммы моментов всех сил относительно трех осей координат также были равны нулю.
Из общих условий равновесия для произвольной пространственной системы сил получаются условия равновесия для частных систем сил, приложенных к твердому телу.
Условия равновесия пространственной системы параллельных сил
Направим ось параллельно силам (рис. 37). Тогда проекции параллельных сил на перпендикулярные им оси и будут равны нулю и условия
окажутся справедливыми для всех систем параллельных сил, т. е. превратятся в тождества. Момент относительно оси каждой из параллельных сил равен нулю, и условие тоже выполняется для всех систем параллельных сил. Отбрасывая
условия равновесия, которые выполняются тождественно при выбранном направлении оси , и учитывая, что сумма проекций сил на эту ось является алгебраической суммой сил, из (13) получаем следующие три условия равновесия пространственной системы параллельных сил:
Рис. 37
т. е. для равновесия пространственной системы параллельных сил, приложенных к твердому телу, необходимо и достаточно, чтобы алгебраическая сумма этих сил была равна нулю и суммы моментов сил относительно двух координатных осей, перпендикулярных силам, также были равны нулю.
Условия равновесия плоской системы сил
Расположим оси и в плоскости действия сил (рис. 38). Так как ось перпендикулярна силам, то выполняется для всех плоских систем сил, т. е. является тождеством. Каждая из сил расположена в одной плоскости с осями координат и , и поэтому ее моменты относительно этих осей равны нулю. Таким образом, условия равновесия
становятся тождествами. Моменты сил относительно оси , перпендикулярной силам, равны алгебраическим моментам этих сил относительно точки . Таким образом,
Из (13) для плоской системы сил после отбрасывания тождеств имеем следующие три условия равновесия:
т. е. для равновесия плоской системы сил, действующих на твердое тело, необходимо и достаточно, чтобы суммы проекций этих сил на каждую из двух прямоугольных осей координат, расположенных в плоскости действия сил, были равны нулю и сумма алгебраических моментов сил относительно любой точки, находящейся в плоскости действия сил, также была равна нулю.
Рис. 38
Для плоской системы параллельных сил (рис. 39) одну из осей координат, например , можно выбрать параллельной силам. Тогда сумма проекций параллельных сил на эту ось превратится в алгебраическую сумму сил. Проекция каждой из сил на ось равна нулю; следовательно, сумма проекций сил на ось равна нулю, даже если система сил не находится в равновесии. Это условие выполняется тождественно, и его следует отбросить.
Рис. 39
Итак, для плоской системы параллельных сил из (15) имеем следующие условия равновесия:
т. е. для равновесия плоской системы параллельных сил, приложенных к твердому телу, необходимо и достаточно, чтобы алгебраическая сумма сил была равна нулю и сумма алгебраических моментов сил относительно любой точки, находящейся в плоскости сил, также была равна нулю.
Из условий равновесия плоской системы сил (15) можно получить и условия равновесия плоской системы сходящихся сил, для чего за моментную точку надо взять точку пересечения линий действия сходящихся сил. Тогда последнее из условий станет тождеством и в качестве условий равновесия для плоской системы сходящихся сил останутся только два первых условия из (15).
Рекомендую подробно изучить предмет: |
|
Ещё лекции с примерами решения и объяснением: |
- Плоская система сил
- Трение
- Пространственная система сил
- Центр тяжести
- Система сходящихся сил
- Моменты силы относительно точки и оси
- Теория пар сил
- Приведение системы сил к простейшей системе
При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org
Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи
Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей
Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.
Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.
http://helpiks.org/7-41839.html
http://www.evkova.org/usloviya-ravnovesiya-sistemyi-sil-v-teoreticheskoj-mehanike