Применение скалярного произведения векторов для решения уравнений
творческая работа учащихся по алгебре (11 класс) по теме
Учебно-тренировочное пособие по математике. Предназначено для учащихся 9-11 классов для подготовки к олимпиадам и итоговой аттестации.Подготовлено учениками 11 класса школы №24 г.о.Тольятти.
Скачать:
Вложение | Размер |
---|---|
Учебно-тренировочное пособие по математике | 856 КБ |
Предварительный просмотр:
Муниципальное общеобразовательное учреждение средняя общеобразовательная школа №24 г.о.Тольятти
Применение скалярного произведения векторов для решения уравнений и систем
Учебно-тренировочное пособие по математике. Содержит 14 уравнений и систем . Предназначено для учащихся 9-11 классов для подготовки к аттестации и олимпиадам.
Автор: Воробьёва С.В.
Соавтор: Мазуркевич А.А.
Рецензент: Бенидзе Н.В.
Известный немецкий математик Курант писал: «На протяжении двух с лишним тысячелетий обладание некоторыми, не слишком поверхностными, знаниями в области математики входило необходимой составной частью в интеллектуальный инвентарь каждого образованного человека». И среди этих знаний было умение решать уравнения.
Многие математические задачи допускают несколько вариантов решения .Часто первый избранный бывает далеко не самым удачным. Нахождение наиболее простых , оригинальных путей решения нередко является результатом кропотливой работы. Умение решать задачу различными способами является одним из признаков хорошей математической подготовки.
В своей работе мы рассматривали нестандартный способ решения уравнений и систем уравнений с помощью векторного метода, применение которого в большинстве школьных учебников не рассматривается. Однако векторы могут быть успешно применены не только в геометрии, но и при изучении некоторых вопросов школьной алгебры. Довольно большое число задач существенно упрощается по сравнению с решениями, выполненными традиционным путем, а в некоторых случаях, особенно, когда много переменных, только такой подход и приводит к успеху.
Главная идея: Облегчить работу при решении задач, сделать решение более доступным.
Цель нашей работы – ознакомиться с данным методом и показать его эффективность при решении уравнений, систем уравнений.
Научиться узнавать задачи, решаемые векторным методом.
Использовать знания программного материала о векторах, научиться переводить данные и требования задачи с языка алгебры на язык векторов, а именно: найти координаты векторов, их длины и скалярное произведение, выполнять преобразования векторных выражений, переводить полученные результаты с языка векторов на алгебраический язык.
Научиться исследовать полученное задание.
Работа будет полезна выпускникам школы при подготовке к олимпиадам, конкурсам и итоговой аттестации.
Применение скалярного произведения векторов для решения уравнений и систем
Как мы знаем, величины, которые характеризуются не только численным значением ( скаляром ), но и направлением называются векторными величинами или просто векторами.
Название вектора произошло от латинского слова vector (везущий, несущий). Геометрическим образом вектора является направленный отрезок. Вектор обозначается двумя заглавными буквами или одной прописной буквой латинского алфавита со стрелкой или черточкой наверху (,,…) Порядок букв обязателен (в данном случае точка А – начало, а В – конец вектора). Длиной (или модулем) вектора называют длину отрезка, изображающего его и обозначают ││. Ее можно выразить через координаты вектора (х, у), то есть ││= (или (х, у, z) , ││=). Длина любого вектора – число положительное, а длина нулевого вектора равна нулю.
Два ненулевых вектора, лежащие на параллельных прямых или на одной прямой, называются коллинеарными. ↑↓, ↑↑- коллинеарны,то есть
они противонаправлены или сонаправлены. Для коллинеарности вектора ненулевому вектору необходимо и достаточно, чтобы существовало такое число λ, что = λ , где λ =.Отсюда следует условие коллинеарности векторов (х, у) и (х, у)
на плоскости: || у= λ у или
и векторов (х, у, z) и (х, у, z)
в пространстве || у= λ у
Сумму двух векторов и можно найти по правилу треугольника или по правилу параллелограмма. В нашей работе мы воспользуемся правилом треугольника. Найдём сумму векторов и : + =.
В треугольнике АВС имеет место неравенство: АС ≤ АВ + ВС(неравенство треугольника)
Но АВ=| | , ВС=|| , АС= │+ | отсюда получаем векторное неравенство │+ | ≤ | | + ||
Знак равенства достигается тогда и только тогда, когда векторы и сонаправлены, то есть когда отношения их соответственных координат
равны между собой и равны отношению их длин (модулей).
Заметим, что сложение векторов можно производить и в координатной форме, то есть (х 1 ,у 1 ) + (х 2 , у 2 ) = + ( х 1 + х 2 , у 1 + у 2 ) ( на плоскости) или ( х 1 , у 1 , z 1 ) + ( х 2 , у 2 , z 2 ) = + ( х 1 + х 2 , у 1 + у 2 , z 1 + z 2 )
Далее вспомним о скалярном произведении двух векторов. В общем случае скалярным произведением векторов и называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними, то есть ∙ = ││∙ ││∙ cos (,) . Учитывая то, что cos(,) ≤ 1, приходим к известному неравенству о скалярном произведении ∙ ≤││∙ ││, то есть скалярное произведение векторов не больше произведения их длин .
Заметим, что знак равенства достигается тогда и только тогда, когда cos(,) = 1 , то есть ,= o, и, следовательно, ↑↑, значит они коллинеарны. Коллинеарность векторов (а также ее отсутствие) легко переводится на привычные алгебраические соотношения. А именно: коллинеарность векторов равносильна пропорциональности соответственных координат этих векторов. Также скалярное произведение на плоскости векторов (х, у) и (х, у) можно выразить в координатной форме, а именно: ∙ = х х+ у у
( соответственно в пространстве ∙= х х+ у у+zz)
Еще из скалярного произведения ∙= ││∙ ││∙ cos(,) вытекают соотношения (∙) 2 = ││ 2 ∙ ││ 2 ∙ cos 2 (,),
Причем, знак равенства достигается тогда и только тогда, когда векторы коллинеарны. Значит,если ↑↑, то ∙= ││∙ ││; если ↑↓, то ∙ = — ││∙ ││.
Скалярное произведение векторов
О чем эта статья:
11 класс, ЕГЭ/ОГЭ
Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).
Основные определения
Система координат — способ определить положение и перемещение точки или тела с помощью чисел или других символов.
Координаты — это совокупность чисел, которые определяют положение какого-либо объекта на прямой, плоскости, поверхности или в пространстве. Как найти координаты точки мы рассказали в этой статье.
Скаляр — это величина, которая полностью определяется в любой координатной системе одним числом или функцией.
Вектор — направленный отрезок прямой, для которого указано, какая точка является началом, а какая — концом.
Вектор с началом в точке A и концом в точке B принято обозначать как →AB. Векторы также можно обозначать малыми латинскими буквами со стрелкой или черточкой над ними, вот так: →a.
Скалярное произведение — это операция над двумя векторами, результатом которой является скаляр, то есть число, которое не зависит от выбора системы координат.
Результат операции является число. То есть при умножении вектор на вектор получается число. Если длины векторов |→a|, |→b| — это числа, косинус угла — число, то их произведение |→a|*|→b|*cos∠(→a, →b) тоже будет числом.
Чтобы разобраться в теме этой статьи, нам еще нужно узнать особенности угла между векторами.
Угол между векторами
Угол между векторами ∠(→a, →b) может принимать значения от 0° до 180° градусов включительно. Аналитически это можно записать в виде двойного неравенства: 0°=
2. Если угол между векторами равен 90°, то такие векторы перпендикулярны друг другу.
3. Если векторы направлены в разные стороны, тогда угол между ними 180°.
Также векторы могут образовывать тупой угол. Это выглядит так:
Скалярное произведение векторов
Определение скалярного произведения можно сформулировать двумя способами:
Скалярное произведение двух векторов a и b дает в результате скалярную величину, которая равна сумме попарного произведения координат векторов a и b.
Скалярным произведением двух векторов a и b будет скалярная величина, равная произведению модулей этих векторов, умноженная на косинус угла между ними:
→a * →b = →|a| * →|b| * cosα
Что важно запомнить про геометрическую интерпретацию скалярного произведения:
- Если угол между векторами острый и векторы ненулевые, то скалярное произведение положительно, то есть cosα > 0.
- Если угол между векторами тупой и векторы ненулевые, то скалярное произведение отрицательно, так как cosα
Скалярное произведение в координатах
Вычисление скалярного произведения можно произвести через координаты векторов в заданной плоскости или в пространстве.
Скалярным произведением двух векторов на плоскости или в трехмерном пространстве в прямоугольной системе координат называется сумма произведений соответствующих координат векторов →a и →b.
То есть для векторов →a = (ax, ay), →b = (bx, by) на плоскости в прямоугольной декартовой системе координат формула для вычисления скалярного произведения имеет вид: (→a, →b) = ax*bx + ay*by
А для векторов →a = (ax, ay, az), →b = (bx, by, bz) в трехмерном пространстве скалярное произведение в координатах находится так: (→a, →b) = ax*bx + ay*by + az*bz
Докажем это определение:
Сначала докажем равенства
для векторов →a = (ax, ay), →b = (bx, by) на плоскости, заданных в прямоугольной декартовой системе координат.
Отложим от начала координат (точка О) векторы →OB = →b = (bx, by) и →OA = →a = (ax, ay)
Тогда, →AB = →OB — →OA = →b — →a = (bx — ax, by — ay)
Будем считать точки О, А и В вершинами треугольника ОАВ. По теореме косинусов можно записать:
то последнее равенство можно переписать так:
а по первому определению скалярного произведения имеем