Сколько корней имеет уравнение с одной переменной

Как решать линейные уравнения с одной переменной

Линейное уравнение с одной переменной — общие сведения

С темой уравнений можно познакомиться на первых уроках алгебры. В школьном курсе предложено такое объяснение: уравнение является равенством с неизвестным, которое необходимо вычислить. Неизвестное, или переменную, принято обозначать с помощью латинских букв.

Уравнение является математическим равенством с одной или несколькими неизвестными величинами.

Значение неизвестных определяется так, чтобы при подстановке в уравнение оно обращало его в верное числовое равенство.

Рассмотрим следующее выражение:

Если посчитать значение левой части, уравнение станет верным числовым равенством, то есть:

Еще одно выражение:

Здесь имеется некая переменная х, которую нужно вычислить. Уравнение в этом случае станет справедливым равенством, если найденное значение х оправдает знак равенства. Тогда левая часть выражения станет равна правой части.

Специфика преобразований при работе с алгебраическими уравнениями состоит в том, чтобы оставить слева в выражении многочлен от неизвестных, а правую часть обратить в ноль.

Линейное уравнение — это уравнение, записанное в виде:

где а и b являются действительными числами.

Корень уравнения, сколько их всего

Корень уравнения является таким числом, которое при подстановке на место неизвестной уравнивает правую и левую части выражения.

Решить уравнение — определить все из возможных его корней, либо доказать их отсутствие.

Принципы поиска корней уравнения ах + b = 0:

• при а, отличном от нуля, уравнение имеет только один корень;
• когда а имеет нулевое значение, уравнение не имеет корней;
• если а и b равны нулю, тогда корнем уравнения является любое число.

Как решать, описание алгоритма

Правило переноса: если требуется перенести член из одной части уравнения в другую, то нужно изменить знак этого члена на противоположный.

Рассмотрим действие данного правила на примере:

Заметим, что в уравнении имеется пара частей:

• (х + 3) является левой частью;
• 5 — это правая часть.

Переместим число 3 вправо, изменив его знак на противоположный:

В итоге получилось верное числовое равенство. Это значит, что корень определен правильно.

Разберем еще одно уравнение:

Переместим член 5х влево с заменой знака на противоположный:

После приведения подобных вычислим х:

Правило деления: обе части любого уравнения допускается делить на одно и то же число.

Рассмотрим применение этого правила на практике:

Здесь при неизвестном записан числовой коэффициент в виде числа 4. Преобразуем уравнение так, чтобы числовой коэффициент при х стал равным единице. Для этого нужно поделить обе части уравнения на число 4:

Далее выполним сокращение дробей и найдем корень уравнения:

Разберем вариант, когда перед неизвестной переменной стоит знак минуса:

Выполним сокращение обеих частей уравнения на число -4:

Когда перед скобками стоит знак минуса, который необходимо исключить, следует изменить знаки внутри скобок на противоположные. В результате при вычислениях не будет допущена ошибка, что особенно важно при решении заданий на системы уравнений, примеров с разным количеством неизвестных.

Стандартный алгоритм решения линейных уравнений:

1. Раскрыть скобки при их наличии.
2. Сгруппировать члены с неизвестной переменной в одной части уравнения. Остальные члены должны остаться в другой части уравнения.
3. Привести подобные в обеих частях уравнения.
4. Решить уравнение вида aх = b, разделив обе части уравнения на числовой коэффициент a при неизвестном x.

Упростить решение задач на линейные уравнения можно методом использования следующей схемы:

Примеры задач для 7 класса с объяснением

Найти корни уравнения:

Перенесем единицу вправо, изменив знак на отрицательный:

Далее разделим уравнение на число 6, которое является общим множителем:

Требуется решить уравнение:

5 ( х − 3 ) + 2 = 3 ( х − 4 ) + 2 х − 1

В первую очередь избавимся от скобок:

5 х − 15 + 2 = 3 х − 12 + 2 х − 1

Далее сгруппируем члены уравнения, руководствуясь стандартным алгоритмом решения линейных уравнений:

5 х − 3 х − 2 х = 0 − 12 − 1 + 15 − 2

Затем следует привести подобные:

Ответ: х является любым числом.

Нужно вычислить неизвестную х :

Выполним вычисления по правилу деления:

Найти решение уравнения:

4 ( х + 2 ) = 6 − 7 х

Выполним вычисления, руководствуясь стандартным алгоритмом решения линейных уравнений:

Вычислить корни уравнения:

3 x — 4 4 = 7 x 3 + 2

Выполним вычисления, руководствуясь стандартным алгоритмом решения линейных уравнений:

12 × 3 x — 4 4 = 12 × 7 x 3 + 12 × 2

3 ( 3 x — 4 ) = 4 × 7 х + 24

9 х – 12 = 28 х + 24

9 х – 28 х = 24 + 12

Решить линейное уравнение:

В первую очередь избавимся от скобок:

5 х − 15 + 2 = 3 х − 2 + 2 х − 1

Затем выполним группировку членов с неизвестными, а справа оставим свободные члены:

Ответ: данное уравнение не имеет решений.

Решить линейное уравнение:

2 ( х + 3 ) = 5 − 7 х

Выполним вычисления, согласно стандартному алгоритму решения линейных уравнений:

Что такое линейное уравнение

Что такое линейное уравнение? Что называется корнем линейного уравнения? Сколько корней имеет линейное уравнение? Что значить решить линейное уравнение?

В курсе алгебры 7 класса линейное уравнение определяется следующим образом.

Определение.

Линейное уравнение с одной переменной — это уравнение вида ax=b, где a и b — числа, x — переменная.

Корнем линейного уравнения называется значение переменной, при котором уравнение обращается в верное числовое равенство.

Например, корень уравнения 5x=40 равен 8, так как при x=8 это уравнение превращается в верное числовое равенство:

Количество корней линейного уравнения зависит от значения a (коэффициента перед x).

При a≠0 линейное уравнение имеет единственное решение.

Чтобы найти x, обе части уравнения нужно разделить на число, стоящее перед иксом:

Любое число можно разделить на 2, 5 и числа, которые могут быть представлены в виде произведения только двоек и пятёрок ( например, любое число можно разделить на 10, так как 10=2∙5; на 40, так как 40=2∙2∙2∙5).

В остальных случаях ответ записывают в виде обыкновенной дроби (если дробь неправильная, следует выделить из нее целую часть).

При a=0, b≠0 линейное уравнение

При любом значении x левая часть уравнения равна нулю, а правая — отлична от нуля. То есть нет ни одного значения x, при котором уравнение обратилось бы в верное числовое равенство.

При a=0, b=0 линейное уравнение

имеет бесконечное множество решений.

При любом значении x левая часть уравнения 0x=0 обращается в нуль, в правой части также стоит нуль. Значит, любое число является корнем этого уравнения, то есть, при любом значении x это уравнение обращается в верное числовое равенство.

Возможные решения линейных уравнений можно изобразить в виде схемы.

Решить линейное уравнение — значит, найти корень (корни) уравнения, либо убедиться, что уравнение не имеет корней.

Решение многих уравнений сводится к решению линейных уравнений.

Please wait.

We are checking your browser. mathvox.ru

Why do I have to complete a CAPTCHA?

Completing the CAPTCHA proves you are a human and gives you temporary access to the web property.

What can I do to prevent this in the future?

If you are on a personal connection, like at home, you can run an anti-virus scan on your device to make sure it is not infected with malware.

If you are at an office or shared network, you can ask the network administrator to run a scan across the network looking for misconfigured or infected devices.

Another way to prevent getting this page in the future is to use Privacy Pass. You may need to download version 2.0 now from the Chrome Web Store.

Cloudflare Ray ID: 6e088e47fff15ab2 • Your IP : 85.95.188.35 • Performance & security by Cloudflare