Сколько корней может иметь тригонометрическое уравнение

Решение тригонометрических уравнений
методическая разработка по алгебре (10 класс) на тему

Разработка урока по алгебре и начала анализа 10 класс на тему «Решение тригонометрических уравнений». Обобщающий урок по теме «Тригонометрические уравнения» . Использование технологии модульного обучения и ИКТ.

Скачать:

Предварительный просмотр:

МКОУ Николо-Погореловская СОШ

«Решение тригонометрических уравнений»

проведенный в 10 классе

Провела: Р.Н. Корнеева – учитель математики

Ι квалификационной категории

2011-2012 учебный год

«Решение тригонометрических уравнений»

Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний.

Методы обучения: практикум по решению задач, самопроверка; самооценка.

Оборудование: технологические карты для учащихся, листы контроля учащегося, макет синусоиды, презентация

Требования к уровню подготовки:

1. частные случаи решения простейших тригонометрических уравнений cos x = a ; sin x = a;
2. общий вид решений простейших тригонометрических уравнений cos x = a ; sin x = a; tg x = a; ctg x = a;
3. решение тригонометрических уравнений методом введения новой переменной и разложения на множители;
4. решение однородных тригонометрических уравнений.

1. решать простейшие тригонометрические уравнения cos x = a ; sin x = a; tg x = a; ctg x = a;
2. определять принадлежность корней тригонометрического уравнения заданному промежутку;
3. определять вид тригонометрического уравнения и выбирать способ решения.

УЭ-0. Входной контроль.

Выслушав учителя, чем ты будешь заниматься на уроке, о том, что ты должен знать и уметь в конце каждого урока, в строгом порядке выполни задание всех учебных элементов (УЭ), выполняй их в своих тетрадях.

Великий физик, математик и политик А. Эйнштейн заметил: «Мне приходиться делить время между политикой и уравнениями. Однако, уравнения гораздо важнее. Политика существует только для данного момента, а уравнения будут существовать вечно».

Сегодня на уроке мы повторяем, приводим в систему наши знания по решению простейших тригонометрических уравнений. И ваша задача – показать свои знания и умения по их решению.

Эпиграф нашего урока: “Сегодня – мы учимся вместе: я, ваш учитель и вы мои ученики. Но в будущем ученик должен превзойти учителя, иначе в науке не будет прогресса ”. (Сухомлинский)

Я называю ученика и адресую ему вопрос, если учащийся правильно отвечает на вопрос, то он называет следующего отвечающего, если отвечающий затрудняется ответить на вопрос, то он передает его другому ученику, назвав его имя ( учащийся, правильно ответивший на вопрос, в лист контроля ставит 1балл)

Вопросы для учащихся

Какие уравнения называют тригонометрическими?

Уравнения, в которых переменная стоит под знаком тригонометрической функции, называются тригонометрическими.

Приведите примеры простейших тригонометрических уравнений?

cos x = a ; sin x = a; tg x = a; ctg x = a

Сколько корней может иметь тригонометрическое уравнение?

Тригонометрические уравнения имеют множество корней в силу периодичности тригонометрических функций.

Что значит решить тригонометрическое уравнение?

Найти множество корней или убедиться что корней нет.

В уравнениях cos x = a ; sin x = a; оцените число а?

Если а>1, то корней нет

Если — 1≤а≤1, то имеет корни.

Как решаются простейшие тригонометрические уравнения.

Для решения простейшего тригонометрического уравнения применяем формулы нахождения корней.

По какой формуле находятся корни уравнения cos x = a?

Корни уравнения cos x = a находятся по формуле

x = ± arccos a + 2 πn ; n ∈ Z

По какой формуле находятся корни уравнения sin x = a?

Корни уравнения sin x = a находятся по формуле

x=(-1) k arcsin a + πk, k ∈ Z

По какой формуле находятся корни уравнения tgx = a?

Корни уравнения tg x = a находятся по формуле

x = arctg a + πn ; n ∈ Z

По какой формуле находятся корни уравнения c tgx = a?

Корни уравнения sin x = a находятся по формуле

x = arcctg a + πn ; n ∈ Z

Как называются уравнения вида

asin x+ bcosx=0 и

acos2x+bcosxsinx+c sin2 x=0 ?

Уравнения данного вида называются однородными тригонометрическими уравнениями.

3. Найти ошибки в решениях тригонометрических уравнений: ( слайд

( ± ) (-1 k ) ( π k)
(верно) ( π k)

2.1.Сверьте ответы с образцом (за каждый верный ответ 1балл).

2.2.Внесите заработанные баллы в листок учета знаний.

УЭ-1. Решение простейших тригонометрических уравнений.

Цель: закрепить навыки решения простейших тригонометрических уравнений.

1. Для каждого варианта — задания на слайде, продолжите каждую запись. Время выполнения 2 минуты. После выполнения задания проводится взаимопроверка.

1.1.Сверьте ответы с образцом (за ответ 1 балл) .

1.2.Внесите заработанные баллы в листок учета знаний.

2. Решите простейшие тригонометрические уравнения:
a) cosx=22

2.1.Сверьте ответы с образцом (за ответ 1 балл) (приложение 2)

2.2.Внесите заработанные баллы в листок учета знаний.

3. Дано уравнение 2sinπ-х-1=1 и получен ответ

х=π+2πk. kϵZ. Верен ли данный ответ?

2.1.Сверьте ответы с образцом (за ответ 2 балла) (приложение 2)

2.2.Внесите заработанные баллы в листок учета знаний.

УЭ-2. Решение тригонометрических уравнений.

Цель: 1)закрепить навыки решения тригонометрических уравнений способом введения новой переменной и разложения на множители;

2)закрепить навыки решения однородных тригонометрических уравнений.

1.Решить тригонометрические уравнения :

а) 5cos2x-3 cosx=2;

г) 6sin22x-5sin2xcos2x+ cos22x=0.

1.1.Сверьте ответы с образцом (за верный ответ а) и б) — 2 балла, за верный ответ в) и г) – 3 балла) (приложение 3) .

1.2.Внесите заработанные баллы в листок учета знаний.

УЭ-3.Нахождение корней тригонометрических уравнений на заданном промежутке.

Цель: закрепить навык решения простейших тригонометрических уравнений на заданном промежутке.

1. Найдите корни уравнения sin x = 12 , принадлежащие отрезку 0;2π ;

1.1.Сверьте ответы с образцом (за каждый верный ответ 2 балла)

1.2.Внесите заработанные баллы в листок учета знаний.

УЭ-4. Индивидуально- дифференцированная самостоятельная работа

Цель: проверить усвоение учащимися решение простейших тригонометрических уравнений.

Индивидуально-дифференцированная работа. Дети выбирают сами.

На “3”. Решите уравнения: 1) sinx=12

На “4”. Решите уравнение:

3) 3sin2x+sinxcosx- 2cos2x=0

На “ 5”. Решите уравнение:

3) 2sin2x-3sinxcosx+4cos2x= 4

УЭ-4. Подведение итогов

1.Подсчитайте количество заработанных вами баллов.

Если вы набрали 25 и более баллов, то ваша отметка за урок — 5;

Если вы набрали 19 -24, то ваша отметка за урок — 4;

Если вы набрали 15-19 баллов, то ваша отметка за урок — 3;

Если вы набрали меньше, вам придется прийти на консультацию. Сдать самостоятельный работы, они оцениваются отдельно.

2.1.Прочитайте ещё раз требования к уровню подготовки и ответьте на вопрос:

— Достигли ли Вы цели урока? В какой степени?

2.2. Вопрос классу: «Оцените своё самочувствие на уроке, поставив какой-либо значок на графике функции у = sin х, изображенной на доске. Где вы себя ощущали: на гребне волны синусоиды или во впадине?

3.Домашнее задание: индивидуально-дифференцированное, причем каждому ученику есть возможность “ продвинуться”, те кто решал на “3” дома будет решать на “4”, кто на “4”,тот на “5”,а кто на “5”, тот на “5/5”.

Предлагаю закончить урок словами Я.А.Коменского: “ Считай несчастным тот день или тот час, в который ты не усвоил ничего нового и ничего не прибавил к своему образованию ”.

Спасибо за работу! Сдайте листы контроля знаний учителю.

Отбор корней при решении тригонометрических уравнений в заданиях С1 ЕГЭ по математике

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Описание презентации по отдельным слайдам:

Отбор корней при решении тригонометрических уравнений в заданиях С1 ЕГЭ по математике. Учитель математики МБОУ лицея № 6 г. Ессентуки Ежова Ирина Сергеевна

Оценочный лист 1 Устная работа2 Работа у доски3 Самостоятельная работа4 Д.ЗИтого

1 устная работа 1 Какие уравнения называют тригонометрическими? 2Приведите примеры простейших тригонометрических уравнений? 3. Сколько корней может иметь тригонометрическое уравнение? 4. Что значит решить тригонометрическое уравнение?

1 устная работа 5. В уравнениях cos x = a; sin x = a; оцените число а? 6. Как решаются простейшие тригонометрические уравнения. 7.По какой формуле находятся корни уравнения cos x = a? 8. По какой формуле находятся корни уравнения sin x = a?

1 устная работа 9. По какой формуле находятся корни уравнения tgx = a? 10. По какой формуле находятся корни уравнения ctgx = a? 11.Назовите основные виды и способы решения тригонометрических уравнений . 12. Назовите способы отбора корней уравнения на заданном промежутке

Способы нахождения корней уравнения на заданном промежутке

а). Решите уравнение б). Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку Нам будет удобно записать решение в виде двух множеств, т.к. аналитическая запись ответа в виде: неудобна для решения двойного неравенства.

б). Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку Отбор корней с помощью решения неравенств n=-3 n=-4 n=-1

-2p -p б). Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку Отбор корней с помощью числовой окружности. -3p

Краткое описание документа:

В последние годы на ЕГЭ по математике в заданиях C1 школьникам предлагаются для решения тригонометрические уравнения. Данная презентация может быть использована учителями математики по теме «Отбор корней при решении тригонометрических уравнений в заданиях С1 ЕГЭ по математики» в 11 классе. Предложены задания разных уровней сложности и способы их решения. Данная презентация способствует лучшему усвоению , способствует обобщению и систематизации теоретического материала по тригонометрии, развивает внимание и формирует самостоятельность в мышлении.

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

• Сейчас обучается 930 человек из 80 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

• Сейчас обучается 687 человек из 75 регионов

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

• Сейчас обучается 304 человека из 68 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Дистанционные курсы для педагогов

«Взбодрись! Нейрогимнастика для успешной учёбы и комфортной жизни»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 594 471 материал в базе

Самые массовые международные дистанционные

Школьные Инфоконкурсы 2022

33 конкурса для учеников 1–11 классов и дошкольников от проекта «Инфоурок»

«Психологические методы развития навыков эффективного общения и чтения на английском языке у младших школьников»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Другие материалы

• 16.04.2014
• 3956
• 16

• 16.04.2014
• 1187
• 0

• 16.04.2014
• 1402
• 0

• 16.04.2014
• 724
• 0

• 16.04.2014
• 828
• 0

• 16.04.2014
• 868
• 0

• 16.04.2014
• 1560
• 1

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Добавить в избранное

• 16.04.2014 2431
• PPTX 2 мбайт
• 13 скачиваний
• Рейтинг: 5 из 5
• Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Гукасова Людмила Гарегиновна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

• На сайте: 8 лет
• Подписчики: 0
• Всего просмотров: 5444
• Всего материалов: 2

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

Академическая стипендия для вузов в 2023 году вырастет до 1 825 рублей

Время чтения: 1 минута

Университет им. Герцена и РАО создадут портрет современного школьника

Время чтения: 2 минуты

Минобрнауки и Минпросвещения запустили горячие линии по оказанию психологической помощи

Время чтения: 1 минута

Минпросвещения России подготовит учителей для обучения детей из Донбасса

Время чтения: 1 минута

Ленобласть распределит в школы прибывающих из Донбасса детей

Время чтения: 1 минута

В Белгородской области отменяют занятия в школах и детсадах на границе с Украиной

Время чтения: 0 минут

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

«Решение тригонометрических уравнений, сводящихся к квадратным». 11-й класс

Класс: 11

Презентация к уроку

Цели и задачи урока.

• Образовательные:
  • повторить: определение и способы решения простейших тригонометрических уравнений; определение квадратного уравнения, формулы дискриминанта и корней квадратного уравнения
  • сформировать знания об отличительных признаках и способах решения тригонометрических уравнений, сводящихся к квадратным.
  • уметь: выделять среди тригонометрических уравнений тригонометрические уравнения, сводящиеся к квадратным и решать их.
• Развивающие:
  • развивать логическое мышление учащихся, память, внимание, речь; умения рассуждать и выделять главное; умение самостоятельно приобретать знания и применять их на практике, развивать навыки самоконтроля и взаимоконтроля.
• Воспитательные:
  • воспитывать уважительное отношение к одноклассникам, самостоятельность, ответственность, эстетический вкус, аккуратность, интерес к математике.

Оборудование: мультимедийный проектор, экран, лист самооценки.

Организационные формы общения: фронтальная, групповая, индивидуальная.

Тип урока: усвоения новых знаний.

Образовательные технологии: ИКТ, проектная.

План урока.

1. Организационный момент, формирование мотивации работы учащихся.
2. Формулирование темы, цели урока.
3. Актуализация знаний и подготовка учащихся к активному и сознательному усвоению нового материала.
4. Этап усвоения новых знаний и способов действий.
5. Этап активной релаксации и активизации.
6. Этап первичной проверки понимания изученного.
7. Этап рефлексии и оценивания. Подведение итогов урока.
8. Этап информирования учащихся о домашнем задании, инструктаж по его выполнению.

Подготовительная работа

Учащихся класса необходимо заранее поделить на группы. Принцип деления учащихся на группы учитель вправе выбрать самостоятельно.
Один из вариантов – группы, в которые вошли бы учащиеся с разным уровнем математической подготовки: от «базового» до «продвинутого».
Каждая группа предварительно получает задание изучить алгоритм решения одного из типов тригонометрических уравнений (используются предложенные учителем источники информации и самостоятельно найденные). Результаты своей работы члены каждой группы представляют на одном из уроков по теме «Тригонометрические уравнения». В зависимости от объёма предлагаемого материала и его сложности одном уроке могут успеть выступить 1-2 группы, представив результаты своей работы.
Предлагаем вашему вниманию урок, на котором рассматривается решение тригонометрических уравнений, сводящихся к квадратным.

Из дома реальности легко забрести в лес математики, но лишь немногие способны вернуться обратно.

Чем больше человек будет становиться человеком, тем меньше он согласится на что-либо иное, кроме бесконечного и неистребимого движения к новому.

1. Организационный момент, формирование мотивации работы учащихся (3 мин.)

Приветствие. Фиксация отсутствующих, проверка готовности учащихся к уроку. Далее каждому ученику выдаётся оценочный лист. Учитель кратко комментирует правила заполнения оценочного листа и предлагает заполнить 1-3 строки. Приложение 1.
Организация внимания учащихся: учитель цитирует учащимся Пьера Шардена, предлагает пояснить, как они поняли смысл слов (можно выслушать 2-3 человека), предлагает сделать слова девизом урока и интересуется, знают ли они, кто является их автором. Краткая историческая справка (Слайд 3).

*Инструкция по использованию Презентации – Приложение 2.

2. Формулирование темы, цели урока (2-3 мин.).

Учитель просит сформулировать тему предыдущего урока (Решение простейших тригонометрических уравнений). Интересуется у учащихся, как они думают, существуют ли другие типы тригонометрических уравнений? (Да. Если есть «простейшие», то значит, есть более сложные, иначе нет необходимости вводить термин «простейшие», если это единственный тип тригонометрических уравнений). Исходя из выше сказанного, предлагает сформулировать тему сегодняшнего урока (Решение сложных/других/различных типов тригонометрических уравнений).
После корректировки темы, предлагает учащимся записать в их тетрадях: дату проведения урока, фразу «Классная работа» и тему урока «Решение различных типов тригонометрических уравнений: уравнения, сводящиеся к квадратным».
На столе у каждого из учащихся находятся шаблоны яблок и фломастеры. Предлагается написать на «яблоках» свои ожидания от предстоящего урока, тему которого уже сформулировали. После этого все шаблоны яблок прикрепляются, например, с помощью скотча на заранее приготовленный плакат с изображением дерева. Получается «Дерево ожиданий».

По мере достижения того или иного ожидания соответствующее яблоко можно считать созревшим и собирать в корзину. Использование этого активного метода обучения – наглядный способ отслеживания продвижения учащихся на уроке. [1]

Возможен другой вариант: учитель ставит песочные часы перед учениками класса и предлагает ответить на вопрос о том, чему они хотят научиться на уроке, тема которого уже сформулирована (достаточно 1-2 варианта).

3. Актуализация знаний и подготовка учащихся к активному и сознательному усвоению нового материала (10 мин.).

Учитель. Герберт Спенсер говорил, что если знания человека в беспорядочном состоянии, то чем больше их у него, тем сильнее расстраивается его мышление. Последуем совету этого известного британского философа (информация для общего развития личности – краткая историческая справка. (Слайд 5) Прежде чем перейти к изучению нового материала, давайте вспомним, что мы знаем из раздела «Тригонометрия».

Фронтальная работа (устно)

– Дайте определение тригонометрического уравнения.
– Сколько корней может иметь тригонометрическое уравнение?
– Что такое простейшие тригонометрические уравнения?
– Что значит решить простейшее тригонометрическое уравнение?
– Какие способы решения тригонометрических уравнений вы знаете? (2 варианта: формулы; единичная окружность).

а) Заполните таблицу:

б) Поставьте в соответствие уравнениям их решения, представленные на единичных окружностях (с комментарием)

С последующей взаимопроверкой/самопроверкой (правильность ответов проверяется с помощью презентации) на умение решать простейшие тригонометрические уравнения. Демонстрируется (Слайд 12). При необходимости решения некоторых уравнений коротко комментируются.

4. Этап усвоения новых знаний и способов действий (15 мин.).

Учащиеся класса предварительно были поделены на группы, каждая из которых самостоятельно рассмотрела, используя материал рекомендуемый учителем и найденный самостоятельно, один из типов тригонометрических уравнений.
Результаты работы оформляются в виде некой рекомендации/алгоритма/схемы решения в формате презентации Power Point. Учитель в случае необходимости консультирует учащихся групп и предварительно проверяет итоговый продукт их работы.
Для презентации результатов того или иного способа решения на уроке выбирается один из представителей группы, остальные на уроке помогают отвечать на возникающие вопросы по решению данного типа тригонометрического уравнения. Учащиеся заранее знакомятся с критериями оценивания своей работы в группе.

Мне приходится делить время
между политикой и уравнениями.
Однако уравнения, по-моему, гораздо важней.
Политика существует только для данного момента,
а уравнения будут существовать вечно.

Возможные варианты выполнения задания группой. (Слайды 14-18)

1 группа. Решение тригонометрических уравнений, сводящихся к квадратным.

Отличительные признаки уравнений, сводящихся к квадратным:

1. В уравнении присутствуют тригонометрические функции от одного аргумента или они легко сводятся к одному аргументу.
2. В уравнении присутствует только одна тригонометрическая функция или все функции можно свести к одной.

Алгоритм решения:

– Используются ниже приведённые тождества; с их помощью необходимо выразить одну тригонометрическую функцию через другую:

– Выполняется подстановка.
– Выполняется преобразование выражения.
– Вводится обозначение (например, sinx = y).
– Решается квадратное уравнение.
– Подставляется значение обозначенной величины, и решается тригонометрическое уравнение.

Пример 1

6cos 2 x + 5 sin x – 7 = 0.

Пример 2

Пример 3

5. Этап активной релаксации и активизации (2 мин.).

Авторы метода: С. Казаков, Ю. Долинова. Приложение 4 (текст), слайды 20-25.

6. Этап первичной проверки понимания изученного (8 мин.)

Самостоятельная работа (Приложение 5)

Работа дифференцированная, каждый уровень сложности заданий представлен в двух вариантах.
I уровень – «3», II уровень – «4», III уровень – «5» в случае полного правильного решения. Работа будет проверена учителем к следующему уроку, отметки будут выставлены за урок.

7. Этап рефлексии и оценивания. Подведение итогов урока (2 мин.).

8. Этап информирования учащихся о домашнем задании, инструктаж по его выполнению (2 мин.).

Дифференцированное (раздаётся каждому ученику на отдельных листах) – Приложение 6

Список литературы:

1. Корнилов С.В., Корнилова Л.Э. Методический ларец. – Петрозаводск: ПетроПресс, 2002. – 12 с.