Сколько неизвестных величин можно найти используя уравнения равновесия

Уравнения равновесия пространственной системы сил

Выше (6.5, случай 6) было установлено, что

(6.18)

Учитывая, что , , спроектируем формулы (6.18) на Декартовы оси координат. Имеем аналитическую форму уравнений равновесия произвольной пространственной системы сил:

(6.19)

Последние три уравнения имеют место из-за того, что проекция момента силы относительно точки на ось, которая проходит через эту точку, равна моменту силы относительно оси (формула (6.9)).

Вывод. При решении задач на равновесие произвольной пространственной системы сил, которая приложена к твердому телу, мы должны составить шесть уравнений равновесия (6.19), потому имеем возможность с помощью этих уравнений определить шесть неизвестных величин.

Рассмотрим случай пространственной системы параллельных сил. Систему координат выберем так, чтобы ось Оz была параллельна линиям действия сил (рис. 6.11).

Рисунок 6.11

Если система сил находится в равновесии, то имеют место уравнения (6.19). Система сил, показана на рис. 6.11, является упрощенным вариантом произвольной пространственной системы сил, потому и уравнения (6.19) должны упроститься. Выясним, какие из уравнений (6.19) в данном случае выполняются тождественно, то есть является лишними. Такими является: – суммы проекций сил на оси Оx и Оy, потому что силы им перпендикулярны; – сумма моментов сил относительно оси Оz, потому что силы параллельны ей (п. 6.3. Рекомендации для практического занятия).

Таким образом, остались три уравнения:

(6.20)

Вывод. При решении задач на равновесие параллельной пространственной системы сил, которая приложена к твердому телу, мы должны составить три уравнения равновесия и имеем возможность с помощью этих уравнений определить три неизвестных величины.

На первой лекции по разделу «Статика» мы выяснили, что имеют место шесть разновидностей систем сил, которые могут встретиться в Вашей практике инженерных расчетов. Кроме того есть две возможности расположения пар сил : в пространстве и в плоскости. Сведем все уравнения равновесия для сил и для пар сил в одну таблицу (табл. 6.2), в которой в последней колонке отметим количество неизвестных величин, которые позволит определить система уравнений равновесия.

Таблица 6.2 – Уравнения равновесия разных систем сил

Вид системы сил	Уравнения равновесия	Количество определяемых неизвестных
Сходящаяся плоская
Параллельная плоская ( оси 0у)	т. А – произвольная, принадлежащая плоскости 0ху
Произвольная плоская (в плоскости 0ху)	т. А – произвольная, принадлежащая плоскости 0ху

Продолжение таблицы 6.2

Система пар в плоскости
Сходящаяся пространственная
Параллельная пространственная ( оси 0z)

Продолжение таблицы 6.2

Произвольная пространственная
Система пар в пространстве

Вопросы для самоконтроля по теме 6

1. Как найти момент силы относительно оси?

2. Какая зависимость существует между моментом силы относительно точки и моментом этой же силы относительно оси, которая проходит через эту точку?

3. В каких случаях момент силы относительно оси равен нулю? А когда он наибольший?

4. В каких случаях система сил приводится к равнодействующей?

5. В каком случае пространственная система сил приводится:

– к динамическому винту?

6. Что называется инвариантом статики? Какие Вы знаете инварианты статики?

7. Запишите уравнения равновесия произвольной пространственной системы сил.

8. Сформулируйте необходимое и достаточное условие равновесия параллельной пространственной системы сил.

9. Изменится ли главный вектор системы сил при изменении центра приведения? А главный момент?

Тема 7. ФЕРМЫ. ОПРЕДЕЛЕНИЕ УСИЛИЙ

Равновесие пространственной системы сходящихся сил в теоретической механике

Пространственная система сил:

При решении задач, приведенных в этой главе, необходимо использовать не две оси координат, которые всегда можно расположить в одной плоскости —в плоскости рисунка, иллюстрирующего задачу, а три взаимно перпендикулярные оси.

Эти оси нельзя расположить в одной плоскости и при изображении пространственной системы сил на рисунке надо использовать одну из принятых в машиностроительном черчении аксонометриейческих проекций (ГОСТ 2.305—68. Изображения — виды, разрезы, сечения).

На рис. 145 показано изображение трех взаимно перпендикулярных плоскостей в изометрической проекции. Пересечение двух вертикальных плоскостей определяет положение вертикальной оси z,

пересечением обеих вертикальных плоскостей с горизонтальной определяются положения двух горизонтальных осей х и у.

На рис. 146 представлены те же три взаимно перпендикулярные плоскости в диметрической проекции, а на рис. 147—в фронтальной диметрической проекции. На каждом рисунке справа показано положение осей при изображении соответствующей проекции.

Если при решении задач, в которых рассматривается пространственная система сил, трудно представить взаимное расположение сил или их расположение относительно выбранных осей координат, то следует изготовить из плотной бумаги модель трех пересекающихся под прямым углом плоскостей, а линии пересечения плоскостей выделить цветными линиями и обозначить их соответственно х, у и z, В такой модели трех взаимно перпендикулярных осей можно помещать модели систем сил, рассматриваемых в задаче, изготовленные из пластилина, проволочек и спичек.

Правило параллелепипеда сил

Простейшую пространственную систему сходящихся сил образуют три силы, приложенные к одной точке.

Для сложения таких трех сил применяется правило параллелепипеда (рис. 148). Если даны силы то заменяющая их действие равнодействующая Р по модулю и направлению соответствует диагонали АЕ параллелепипеда, ребра которого АВ, АС и AD соответствуют трем силам.

В частном случае, который наиболее характерен для решения практических задач, три данные силы взаимно перпендикулярны и тогда при их сложении образуется прямоугольный параллелепипед (рис. 149).

В этом случае модуль равнодействующей

а направление R относительно каждой из составляющих сил можно найти по формулам

Так же как и правило параллелограмма (см. § 1-1, 5-2 и 6-2), правило параллелепипеда можно использовать не только при сложении сил, но и при разложении данной силы на три составляющие. Наиболее часто производят разложение силы на составляющие, действующие по трем взаимно перпендикулярным направлениям.

Задача №

Три цепи одинаковой длины l соединены вместе кольцом А (рис. 150, о). Оставшиеся свободными концы цепей закреплены в трех точках В, С и D таким образом, что эти точки образуют вершины куба. Как необходимо установить под кольцо А подпорку АЕ и какую длину она должна иметь, чтобы кольцо А располагалось относительно точек В, С и D как четвертая вершина куба? При этом цепь АВ должна быть натянута силой Р, а цепи AD и ИС—силами 2Р каждая. Определить также усилие в подпорке АЕ. Весом подпорки пренебречь.

1. Из точки А (рис. 150, б) вдоль цепей отложим заданные силы: вдоль цепи АВ — силу Р, вдоль цепей АС и AD — силы 2Р. Построив на них параллелепипед, получим в нем диагональ ААХ, выражающую равнодействующую трех усилий в цепях.

Вдоль линии действия равнодействующей R нужно установить подпорку АЕ, которая должна соответствовать диагонали параллелепипеда подобного силовому параллелепипеду.

2. Находим модуль равнодействующей:

3. Из подобия двух показанных на рис. 150, б параллелепипедов следует пропорция

Зная, что длина цепи АС — 1, находим длину подпорки АЕ:

а также расстояние

Таким образом, усилие в подпорке равно 3Р, длина подпорки 1,5l, а установить ее нужно так, чтобы нижний конец Е находился

от на расстоянии—на расстоянии
Решение этой задачи после выполнения пункта 2 можно продолжать иным путем. Можно найти угол а, образуемый с вертикальной цепью, а затем определить из ADE длину АЕ и т. д.

Задача №

Найти усилия в стержне АВ и цепях АС и AD, поддерживающих груз Q весом 42 кГ, если AВ = 145сл, AС=80сл, AD = 60 см. Плоскость прямоугольника CADE горизонтальна, а плоскости V п W вертикальны. Крепление в точке В шарнирное (рис. 151, а).

1. Разложим силу Q на три составляющие направленные соответственно вдоль стержня АВ и ценен АС и АО. Для этого, приняв вектор Q за диагональ построим силовой параллелепипед, из которого видно, что составляющая сжимает

стержень АВ, а составляющие растягивают цепи АС и AD (рис. 151, б).

2. Соответственно приняв отрезок BE за диагональ, а стержень АВ и цепи АС и AD—за ребра, построим параллелепипед, подобный силовому (см. рис. 151, б).

3. Из подобия параллелепипедов, полученных на рис. 151, б, следует пропорция

;

4. Длины трех отрезков из четырех, входящих в пропорцию, известны. Длина отрезка BE неизвестна. Найдем ее из рассмотрения прямоугольных треугольников АВЕ и АСЕ:

5. Рассматривая теперь первое отношение пропорции (а) вместе со вторым, а затем с третьим и четвертым, находим

Проекция силы на три взаимно перпендикулярные оси. Определение равнодействующей системы пространственных сил, приложенных к точке

Если требуется определить проекции силы на три взаимно перпендикулярные оси (рис. 152), то обычно силу проектируют сначала на одну из плоскостей (например, горизонтальную), а уже затем на оси, расположенные в этой плоскости. При этом нужно обратить внимание на то, что в отличие от проекций силы на оси, являющихся скалярами, проекция силы на плоскость на рис. 152) —величина векторная (Е. М. Никитин, § 39).

Легко заметить, что на трех взаимно перпендикулярных проекциях можно построить прямоугольный параллелепипед, диагональю которого является проектируемый вектор.

Из рис. 152 видно, что проекция на горизонтальную плоскость

поэтому

Если же известны углы (на рисунке они не показаны), образуемые вектором Р с осями х и у, то его проекции на эти оси соответственно равны

При помощи проекций сил на три оси легко определить равнодействующую системы сил, приложенных к точке.

Для этого необходимо:

1) выбрать расположение осей так, чтобы проекции всех сил определились простейшим образом;

2) найти проекции всех сил на каждую из осей;

3) сложить проекции всех сил на каждую из осей и найти таким образом три проекции искомой равнодействующей на оси:

4) определить модуль равнодействующей Р:

5) определить направление равнодействующей, найдя какие-либо два угла из трех:

Задача №

На одну из вершин куба действуют пять сил таким образом, что три силы направлены вдоль ребер, сходящихся в этой вершине; четвертая сила направлена по диагонали грани, а пятая—вдоль диагонали самого куба. Определить равнодействующую.

1. Приняв точку А за вершину куба, изобразим данные силы. Силы действуют вдоль ребер куба; сила Р4 — вдоль диагонали АВ нижней грани и сила — вдоль диагонали AС куба (рис. 153).

2. Ось х совместим с ребром куба, вдоль которого действует сила ось у—с ребром, вдоль которого действует сила и ось z — с третьим ребром.

3. Найдем проекции сил на каждую из осей:

4. Сложим проекции на каждую ось и найдем проекции равнодействующей, учитывая, что модули всех сил равны между собой

Равенство проекций получается из-за симметричности расположения сил относительно диагональной плоскости куба (плоскости, в которой расположен АВС).

5. Определим модуль равнодействующей:

6. Так как силы расположены симметрично относительно диагональной плоскости куба, линия действия равнодействующей находится в плоскости симметрии расположения сил, проходящей через ось z. Поэтому направление равнодействующей определяется углом образуемым линией действия с осью z;

чему соответствует угол

На рис. 153 положение равнодействующей показано штриховым вектором

Равновесие пространственной системы сходящихся сил

Если система сходящихся сил уравновешена, то ее равнодействующая R = 0, а это означает, что и проекции равнодействующей на.три взаимно перпендикулярные оси равны нулю Отсюда образуются три уравнения равновесия:

При помощи этих уравнений и решаются задачи на равновесие пространственной системы сходящихся сил.

Уравнений равновесия —три, следовательно, статически определимой является такая пространственная система сходящихся сил, в которой неизвестных сил не более трех.

Задача №

Груз, масса которого m= 500 кГ, подвешен на кронштейне ABCD, состоящем из трех стержней 1,2 и 3. Стержни 1 и 2 образуют в месте соединения прямой угол и расположены в горизонтальной плоскости. Стержень 3 образует с горизонтальной плоскостью угол а = 40° (рис. 154, а). Определить усилия, вызванные действием груза в стержнях. Соединения стержней между собой и с вертикальной стенкой шарнирные. Весом стержней пренебречь.

1. Решаем задачу в единицах системы СИ. На точку С кронштейна действует вертикальная нагрузка, равная весу массы груза, поэтому

2. Действие веса G на кронштейн уравновешивается реакциями трех стержней. Известно, что реакции направлены вдоль стержней (так как соединения стержней шарнирные). Нужно определить их модули и направление каждой реакции, т. е. определить, какой из стержней сжат, а какой растянут.

Мысленно разрежем стержни вблизи точки С и изобразим узел С, образуемый соединением трех стержней отдельно (рис. 154, б) вместе с четырьмя действующими на него силами: вертикально вниз действует известная сила G = 4,9 кн, а вдоль стержней действуют три их реакции: Причем условно считаем, что все стержни растянуты, поэтому на рис. 154, б все реакции направлены от узла С.

3. Расположим оси координат, как показано на рисунке. Замечая, что осью х прямой угол АСВ разделен пополам составим три уравнения равновесия для пространственной системы сходящихся сил:

4 Решаем полученную систему уравнений. Из уравнения (3)

Знак «минус» показывает, что реакция направлена в сторону, противоположную той, которая изображена на рисунке. Значит стержень 3 сжат усилием 7,62 кн.

Из уравнения (I)

Числовые значения реакций получились положительные, значит стержни 1 и 2 растянуты силами по 4,13 кн.

5. Если найденные значения реакций стержней перевести в единицы технической системы, то

Правильность перевода из единиц системы СИ в единицы технической системы рекомендуется проверить самостоятельно.

Задача №

Переносный кран, поднимающий груз массой m = 2000/кг, устроен так, как указано на рис. 155, a; AB = AD = АЕ=2м; угол DAE —120″, плоскость АВС, в которой расположена стрела АС крана, делит двугранный угол DAE пополам.

Определить силу, сжимающую вертикальную стойку АВ, и силы, растягивающие тросы BD и BF весом частей крана пренебречь.

1. В задаче рассматривается равновесие системы тел—стрелы и стойки, связанных струной ВС. Прежде чем приступить к определению усилий в стойке и тросах, необходимо найти натяжение струны ВС.

2. В точке С на кран действует вес груза, масса которого т, следовательно,

Разложим вес G на две составляющие, действующие вдоль струны ВС и стрелы АС, воспользовавшись правилом треугольника (рис. 155, б). Для этого из произвольной точки К построим вектор G, а затем из его начала и конца проведем линии, параллельные ВС и АС. В получившемся силовом треугольнике KLM (KL || ВС и LM|| СА) сторона KL изображает силу растягивающую струну ВС, а сторона LM — силу сжимающую стрелу АС.

Из построения следует, что

Отсюда

Не известную по условию задачи длину струны ВС легко найти, рассмотрев прямоугольный треугольник BCF (см. рис. 155, а)

Таким образом,

3. Перенесем силу вдоль линии ее действия из точки С в точку В и рассмотрим равновесие узла В. на который, кроме нагрузки =45,3к:н, действуют реакции трех связей: —реакция стойки, — реакции тросов BD и BE. В соответствии с общим правилом считаем, что все связи растянуты (рис. 155, в).

4. Расположим систему координатных осей, как показано на рис. 155, в и составим три уравнения равновесия:

)

Замечая, что y = 45° (так как треугольники ВАЕ и BAD имеют равные катеты: BA=AE — AD) и а = = 60° (так как угол DAE, равный 120°, осью х разделен пополам), решаем получившиеся уравнения.

Теперь уравнения (1) и (3) примут такой вид:

Умножим обе части уравнения (5) на cos и сложим его после этого с уравнением (4):

Знак «минус» указывает на то, что реакция направлена не от узла В, а к узлу, т. е. стойка сжата силой 55,8 кн.

Подставив найденное значение = — 55,8 кн в уравнение (5), найдем реакции
Отсюда

Тросы AD и AE растянуты усилиями по 55,4 кн.

Следующую задачу рекомендуется решить самостоятельно.

Момент силы относительно оси

Чтобы определить момент силы относительно заданной или выбранной оси, например оси z (рис. 157), необходимо выполнить следующие операции:

• 1) расположить плоскость Н перпендикулярно оси z;
• 2) определить проекцию силы Р на плоскость H — найти
• 3) из точки пересечения о.си с плоскостью (из точки О) провести перпендикуляр к направлению проекции этого перпендикуляра О А — плечо силы
• 4) определить знак момента, придерживаясь такого правила: посмотрим на плоскость H со стороны положительного направления оси, если увидим, что проекция поворачивает плечо против хода часовой стрелки, значит момент имеет положительный знак; а если проекция поворачивает плечо по часовой стрелке (как это показано, например, на рис. 157), момент имеет отрицательный знак;
• 5) находим числовое значение момента силы Р относительно оси; для этого —модуль проекции силы Р на плоскость, перпендикулярную к оси, умножаем на плечо О А.

Таким образом (см. рис. 157)

Момент силы относительно оси, так же как и момент силы относительно точки, измеряется по Международной системе (СИ) в ньютон-метрах (н м) или в килоньютон-метрах (н-м), а по технической системе

Для успешного решения задач и облегчения составления уравнений моментов относительно осей нужно иметь в виду три частных случая, в которых момент силы относительно оси равен нулю (рис. 158):

Случай 1-й (рис. 158, а). Сила Р или линия ее действия пересекает ось; в этом случае плечо О А — 0, поэтому

Случай 2-й (рис. 158, б). Линия действия силы параллельна оси; в этом случае — 0, поэтому

Случай 3-й (рис. 158, в). Линия действия силы Р совпадает с осью; в этом случае и =0 и плечо 0А= 0.

Задача №

К вершинам квадрата ABCD (AB = AD = 2 м), расположенного в горизонтальной плоскости, приложены силы как показано на рис. 159. Сила направлена по диагонали АС сила действует вверх перпендикулярно к плоскости квадрата; сила действует в плоскости квадрата, и ее направление образует с диагональю С А угол а = 20°; сила действует в плоскости, перпендикулярной к плоскости квадрата, и направлена к стороне DC под углом = 30°. Определить моменты каждой силы относительно осей х, у и z.

Модули сил

1. Замечаем, что расположение осей, показанное на рис. 159, определяет положение трех взаимно перпендикулярных плоскостей; плоскости , перпендикулярной к оси у, плоскости II, перпендикулярной к оси г, и плоскости III, перпендикулярной к оси х.

2. Определяем моменты силы приложена в точке А пересечения всех трех осей, следовательно, согласно первому частному случаю (см. рис. 158, а),

3. Определяем моменты силы

Сила приложенная в точке В, пересекает ось у и параллельна оси z. Следовательно, согласно первому и второму частным случаям (см. рис. 158, в)

Чтобы определить момент силы относительно оси х, необходимо найти проекцию на плоскость III, перпендикулярную к оси х. Сила расположена в этой плоскости и, следовательно, проектируется полностью Плечом является сторона АВ квадрата. Знак момента положительный, так как если посмотреть от точки D вдоль оси х на плоскость III, то увидим, что сила поворачивает плечо АВ против хода часовой стрелки. Поэтому

4. Определяем моменты силы

Сила расположена в горизонтальной плоскости. В этой же плоскости расположены оси х и у. Поэтому линия действия силы пересекает ось х (в точке Е) и ось у (в точке К)- Значит

Плоскость, в которой расположена сила перпендикулярна оси z, значит Плечо AF силы найдем из треугольника AFC:

Знак момента положительный (если посмотреть на плоскость II со стороны оси z). Поэтому

5. Определяем моменты силы

Линия действия силы пересекает ось х, следовательно,

Спроектируем силы на плоскости

плечом силы является сторона квадрата AD.

Равновесие произвольной пространственной системы сил

Произвольную пространственную систему сил, так же как и плоскую, можно привести к одной точке и заменить главным вектором и главным моментом Только в этом случае линия действия главного вектора может находиться не в плоскости действия главного момента.

Если то система сил уравновешена и отсюда образуется система шести уравнений равновесия:

Первые три уравнения (уравнения проекций) получены из условия Если главный вектор равен нулю, то и алгебраические суммы проекций всех сил на каждую из осей также равны нулю.

Последние три уравнения (уравнения моментов) получены из условия Если главный момент системы сил равен нулю, то алгебраические суммы моментов сил относительно каждой из осей равны нулю.

Для облегчения составления уравнений равновесия тело, равновесие которого рассматривается, целесообразно изображать вместе с действующими на него силами в проекциях на три основные

плоскости, т. е. изображать вид спереди, вид сверху и один боковой вид —вид слева или вид справа (см. задачи 115-22, 116-22 и 117-22).

В частном случае линии действия сил, образующих пространственную систему, могут оказаться параллельными. Тогда одну из осей (например, ось z) выгодно расположить параллельно силам (рис. 160), а две другие оси расположатся в плоскости, перпендикулярной к линиям действия сил.

Легко понять, что для уравновешенной пространственной системы параллельных сил вместо шести уравнений можно составить лишь три: алгебраическую сумму проекций сил на ось, параллельную данным силам, и два уравнения моментов относительно двух других осей. Остальные уравнения превратятся в тождество вида 0 = 0.

В соответствии с расположением осей (см. рис. 160) уравнения равновесия имеют вид:

Для пространственной системы параллельных сил можно составить лишь три уравнения равновесия, поэтому, чтобы задача была статически определимой, в ней должно содержаться не более трех неизвестных сил.

Задача 114-22. На рис. 161 схематично изображена трехколесная платформа для перевозки грузов. На платформе лежит груз Р = 8кн таким образом, что его вес можно считать приложенным в точке D, причем EO = DF = 0,1 м и DE = OF = 0,5 м.

Определить силы давления, производимые колесами на горизонтальную опорную плоскость.

Собственным весом платформы пренебречь.

1. Давления, производимые колесами, численно равны реакциям опоры, поэтому приложим к каждому колесу перпендикулярно к опорной плоскости реакции Образовалась система четырех параллельных сил, расположенных в пространстве.

2. Расположим оси координат, как показано на рис. 161, и составим уравнения равновесия:

3. Решаем полученную систему уравнений. Из уравнения (2)

Затем решение можно продолжить так. Подставляя известные числовые значения в уравнения (1) и (3) и перенеся известные члены в правую сторону, получаем такую систему двух уравнений:

Разделим обе части уравнения (5) на 0,4, тогда система уравнений приобретает такой простой вид:

Сложив эти уравнения, найдем

Вычтем из первого второе, найдем

Как видно, реакции не равны между собой, следовательно, соответственно колеса давят на опорную плоскость также неодинаково.

Как нужно поместить груз Р, чтобы силы давления, производимые колесами, равнялись между собой?

В следующих задачах рассматриваются системы сил, произвольно расположенные в пространстве.

Задача №

Квадратная крышка весом 400 н удерживается приоткрытой на 60э над горизонтальной плоскостью противовесом Q (рис. 162). Определить, пренебрегая трением на блоке D,

вес противовеса Q и реакции шарниров А и В, если блок D укреплен на одной вертикали с шарниром А и AD=AC.

1. Выбрав за начало координат точку А и расположив оси так, как показано на рис. 162, покажем на этом же рисунке активные силы и реакции опор.

На крышку действует сила тяжести G, которую считаем приложенной в точке Е (центр симметрии квадрата), и реакция нити CD, приложенная в точке С. Сила Т численно равна весу Q противовеса. Действие этих сил уравновешивается реакциями шарниров А и В. Так как силы действуют в плоскостях, перпендикулярных к оси у, то реакции шарниров лежат в плоскостях, перпендикулярных к той же оси. Поэтому реакцию шарнира А заменим двумя составляющими, а реакцию шарнира В — составляющими

2. Если составление уравнений равновесия по рис. 162 затруднительно, можно предварительно изобразить крышку вместе с действующими на нее силами в трех проекциях, как это сделано на рис. 163:

а) вид спереди, ось х перпендикулярна к плоскости проекции;

б) вид сверху, ось г перпендикулярна к плоскости проекции;

в) вид слева, ось у перпендикулярна к плоскости проекции.

3. Составим уравнения равновесия.

Для составления уравнений проекций на ось х воспользуемся рис. 163, б или 163, в:

На ось у силы не проектируются, так как все они перпендикулярны к этой оси.

Для составления уравнений проекций на ось z воспользуемся рис. 163, а или 163, в:

Для составления уравнения моментов относительно оси х воспользуемся рис. 163, а:

Для составления уравнения моментов относительно оси у воспользуемся рис. 163, в:

Для составления уравнения моментов относительно оси г воспользуемся рис. 163, б:

4. Решаем полученные уравнения.

Из уравнения (5) находим (так как ):
Из уравнения (4)
Так как
то

(угол так как треугольник ACD равнобедренный).

Таким образом, чтобы крышка находилась в равновесии приоткрытой под углом 60°, вес противовеса должен быть Q = T = 103,5 н. При этом реакция шарнира А имеет две составляющие: горизонтальную = 100 н и вертикальную =173,2 н, а реакция шарнира В направлена вертикально и равна = 200 и.

Задача №

На вал 1 ворота намотана веревка, удерживающая груз Q (рис. 164). Радиус колеса 2 ворота в четыре раза больше радиуса вала. Веревка, прикрепленная к ободу колеса и натягиваемая грузом силой Р =80 н, сходит с колеса в точке F по касательной; радиус DF колеса образует с вертикалью угол а=60и. Определить величину груза Q, при котором ворот остается в равновесии, а также реакции подшипников А и В, если общий вес вала и колеса G = 600 н и приложен в точке С (АС = 0,4 м).

1. Три нагрузки-вес и грузы , приложенные к вороту, уравновешиваются реакциями подшипников Л и В. Нагрузки

действуют в плоскостях, перпендикулярных к оси вала, и, следовательно, не смещают вал вдоль оси, поэтому и реакции подшипников расположатся в плоскостях, перпендикулярных к этой же оси. Заменим их составляющими (рис. 164).

Следует учесть, что обычный подшипник не создает реакции, направленной вдоль оси вала. Нели на вал действуют нагрузки, смещающие вал вдоль оси, то один из подшипников должен быть заменен подпятником.

2. Изобразим ворот со всеми действующими на него силами в трех проекциях (рис. 165 а, б, в) и при помощи их составим уравнения равновесия.

Так же как и в предыдущей задаче, уравнение проекций на ось у превратится в тождество вида 0 = 0. При составлении уравнения моментов относительно оси у- уравнения (4)—нужно учитывать, что радиус колеса R в четыре раза больше радиуса вала
3. Из уравнения (5)

3. Из уравнения (5)

Задача 117-22. Деревянный брус прямоугольного поперечного сечения b= 20 см и h= 25 см жестко заделан в стене таким образом, что выступающая из стены часть бруса горизонтальна и имеет длину (см. рис. 165, о). Свободный конец бруса нагружен тремя силами: силон , действующей вдоль вертикального ребра торца бруса, силой приложенной в центре тяжести торца и действующей в вертикальной плоскости под углом а = 35″ к горизонтали, и силой действующей вдоль нижнего горизонтального ребра торца бруса.

Определить реакции заделки.

1. Освободим брус от связи (от стены) и заменим ее реакциями (рис. 166, б). Как известно, равновесие балки, жестко заделанной одним концом, обеспечивается двумя реактивными факторами: реактивной силой и реактивным моментом. В данной задаче нагрузки, действующие

на брус, расположены не в одной плоскости, поэтому нельзя заранее определить, в каких плоскостях расположатся реактивная сила и реактивный момент.

Заменим реактивную силу тремя составляющими: , направив их вдоль предварительно выбранных осей координат. Реактивный момент заменим также тремя моментами*— тремя парами сил:

2. Таким образом, на брус, кроме трех заданных сил, действуют шесть неизвестных реактивных факторов три силы и три момента. Для пространственной системы сил можно составить шесть уравнений равновесия — значит задача статически определима.
* Как известно, пару сил можно тоже представить в виде вектора. Вектор пары сил, так же как и вектор силы, можно разложить на три составляющих вектора, направленных вдоль осей (рис. 167, а), а зачем каждый составляющий вектор пары заменить парой сил, действующей в плоскости, перпендикулярной к тон оси, вдоль которой направлен вектор нары (рис. 167 б, в, г).

3. Для облегчения составления уравнений равновесия изобразим брус вместе с действующими на него силами в трех проекциях (рис. 168, а) и составим уравнение равновесия.

Можно, конечно, при составлении уравнений пользоваться только одним рис. 166, б:

4. Решая эти уравнения, получаем:

• из (1)
• из (2)
• из (3)
• из (4)
• из (5)
• из (6)

Одной из типичных задач, в которых применяются уравнения равновесия пространственной системы сил, является задача определения реакций опор вала какой-либо машины.

Задачи этого типа можно решать так же, как задачи 115-22 или 116-22, т. е. при помощи проекций вала вместе с векторами заданных и искомых сил на три взаимно перпендикулярные плоскости. Но в некоторых случаях оказывается более рациональным несколько иной прием решения, основанный на приведении сил к оси вала. В качестве примера для такого решения возьмем вал одного из многочисленных видов редукторов *.

Задача №

На вале редуктора жестко укреплены два зубчатых колеса: коническое / и цилиндрическое 2 (рис. 169, а). Левая цапфа вала опирается на подшипник, воспринимающий только радиальную силу давления, действующую перпендикулярно к оси вала, а правая цапфа (пята) опирается на подпятник, т. е. на опору, способную, кроме радиальной силы давления, воспринимать и осевую (силу, действующую вдоль оси вала).

На колесо 1 действуют три силы: касательная (окружное усилие); радиальная и осевая = 0,48 кн. Определить в положении равновесия силы и , приложенные к колесу 2, а также реакции опор А и В. Необходимые размеры (в мм) даны на рис. 169, а. Весом вала и колес пренебречь.

1. Заданные и искомые силы, приложенные к колесам 1 и 2, приведем к точкам на геометрической оси вала (рис. 169, б).

Сила = l,28 кн, действующая вдоль радиуса колеса, переносится в точкунепосредственно. Для приведения к точке силы приложим к этой точке уравновешенную систему сил и — и тогда, кроме приведенной силы образуется пара сил отмеченная на рисунке одной черточкой (присоединенная паря сил). При переносе в точку силы = 0,48 кн аналогичным образом появляется пара отмеченная двумя черточками. Сила , действующая вдоль радиуса колеса 2, переносится в точку непосредственно. При переносе в точку силы образуется пара отмеченная на рисунке тремя черточками.

2. Освободив вал в точках A и В от опор, заменяем действие опор их реакциями: подшипник А нс препятствует горизонтальному смещению вала, поэтому его реакцию, расположенную в плоскости, перпендикулярной к оси вала, заменяем двумя составляющими: горизонтальной и вертикальной подпятник В препятствует смещению вала вдоль его оси, поэтому его реакцию заменяем тремя составляющими(см рис. 169, б).

• Редуктором называется механическое устройство для передачи мощности от двигателя, вал которого вращается с большой скоростью, к рабочей машине, вал которой имеет скорость вращения, в несколько раз меньшую.

3. При известном навыке решения задач вместо расчетной схемы, показанной на рис. 169, б, можно получить более простую схему (рис. 169, в), на которой вместо пар сил круговыми стрелками обозначены их моменты. Так, круговой стрелкой обозначен момент пары сил действующей в плоскости,

перпендикулярной к оси у; —момент пары действующей в плоскости, перпендикулярной к оси х, и — момент пары действующей в плоскости, перпендикулярной к оси у.

Если силы выражать в кн, а плечи пар в м, то получим такие абсолютные числовые значения моментов

а момент выразится так:

4. Составим шесть уравнений равновесия.

5. Решая эти уравнения последовательно, получим: из уравнения (5)
Так как

то
Из уравнения (6)

Из уравнения (4)

Реакция направлена не вверх, как на рис. 169, в, а вниз. Из уравнения (3)

Из уравнения (2)

Из уравнения (1)

Следующие три задачи рекомендуется решить самостоятельно.

• Определение положения центра тяжести тела
• Равномерное прямолинейное движение точки
• Равномерное криволинейное движение точки
• Равнопеременное движение точки
• Определение равнодействующей сходящихся сил
• Равновесие сходящихся сил
• Равновесие трех непараллельных сил
• Сочлененные системы

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Задание на контрольную работу по дисциплине «Техническая механика» (раздел «Теоретическая механика»)

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Контрольная работа № 1

по дисциплине «Техническая механика»

раздел «Теоретическая механика»

для студентов 2 курса спец. 151901, 150412 , 190103, 140448, 190631

Разработал: Преподаватель Н.Г. Баранова

На заседании ПЦК ОПД протокол № ____ от «_____» ____________________ 20___г.

Будет ли находиться в равновесии тело, если к нему приложены три силы, лежащие в одной плоскости, а линии действия их пересекаются в одной точке?

Тело не будет находиться в равновесии

Тело будет находиться в равновесии

Тело будет находиться в равновесии, если силы образуют уравновешенную систему

Изменяются ли главный вектор F _гл и главный момент M _гл плоской системы произвольно расположенных сил при изменении центра приведения?

Изменяется только F _гл

Изменяется только M _гл

Изменяется и F _гл и M _гл

Сколько неизвестных величин можно найти, используя уравнения равновесия пространственной системы произвольно расположенных сил

Определить координаты центра тяжести для фигуры 2

Точка движется по дуге. Определить вид движения точки, если a_t = 0.

Для описания вращательного движения тела вокруг неподвижной оси используются следующие параметры:

Вычислить вращающий момент на валу электродвигателя при заданной мощности 7 кВт и угловой скорости 150 рад/с.

Уравнение равновесия плоской системы сходящихся сил имеет вид

Тело движется равномерно и прямолинейно, т.е. находится в состоянии равновесия. Чему равны главный вектор F _гл и главный момент M _гл?

Сколько неизвестных величин можно найти, используя уравнения равновесия пространственной системы сходящихся сил

Определить координаты центра тяжести для фигуры 1

Точка движется по линии АВС и в момент времени t занимает положение В.

Определить вид движения точки, если a_t = const.

Пройденный путь, скорости и ускорения точек вращающегося тела определяются по формулам:

Токарный станок приводится в движение электродвигателем. Диаметр обрабатываемой детали 200 мм, угловая скорость ω=4,396 рад/с, сила резания F =2кН. Определить полезную мощность станка.

Груз находится в равновесии . Указать, какой из силовых треугольников для шарнира В построен правильно.

Что можно сказать о состоянии тела, если после приведения к некоторому центру системы сил, действующей на него, главный вектор и главный момент оказались равными нулю?

Тело находится в равновесии

Тело не находится в равновесии

Тело движется прямолинейно

В каком случае момент силы относительно оси

Сила пересекает ось

Сила параллельна оси

Сила действует вдоль оси

Верный ответ не приведен

Определить координаты центра тяжести для фигуры 2

Точка движется по линии АВС и в момент времени t занимает положение В.

Определить вид движения точки, если a _t = const .

Для заданного закона вращательного движения φ =6,28+12t+3t 2 выберите соответствующий кинематический график движения.

Вычислить вращающий момент на выходном валу электродвигателя. Мощность электродвигателя 2 кВт, частота вращения вала 750 мин -1 .

Краткое описание документа:

Данная разработка представляет собой тестовое задание (в трех вариантах) для контроля знаний студентов по разделу «Теоретическая механика» дисциплины «Техническая механика».

Задания теста охватывают все основные темы раздела «Теоретическая механика»: статику, кинематику и динамику. Все задания теста имеют тип — закрытые, т.е. предусматривают выбор одного верного варианта ответа из предложенных. Задания направлены на проверку как теоретических знаний обучающихся по разделу, так и умений выполнять основные виды расчетов.

Задания могут быть применены для текущего контроля знаний студентов.

Курс повышения квалификации

Охрана труда

• Сейчас обучается 114 человек из 42 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Охрана труда

• Сейчас обучается 233 человека из 54 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Библиотечно-библиографические и информационные знания в педагогическом процессе

• Сейчас обучается 352 человека из 64 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Дистанционные курсы для педагогов

«Взбодрись! Нейрогимнастика для успешной учёбы и комфортной жизни»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 585 595 материалов в базе

Самые массовые международные дистанционные

Школьные Инфоконкурсы 2022

33 конкурса для учеников 1–11 классов и дошкольников от проекта «Инфоурок»

«Психологические методы развития навыков эффективного общения и чтения на английском языке у младших школьников»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Другие материалы

• 04.03.2015
• 3468
• 7

• 04.03.2015
• 1091
• 0

• 04.03.2015
• 1152
• 0

• 04.03.2015
• 2337
• 0

• 04.03.2015
• 1567
• 1

• 04.03.2015
• 591
• 0

• 04.03.2015
• 1047
• 0

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Добавить в избранное

• 04.03.2015 4501
• DOCX 1 мбайт
• 11 скачиваний
• Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Баранова Наталья Георгиевна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

• На сайте: 7 лет и 1 месяц
• Подписчики: 2
• Всего просмотров: 25418
• Всего материалов: 6

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

Минпросвещения подключит студотряды к обновлению школьной инфраструктуры

Время чтения: 1 минута

В Ростовской и Воронежской областях организуют обучение эвакуированных из Донбасса детей

Время чтения: 1 минута

Инфоурок стал резидентом Сколково

Время чтения: 2 минуты

Объявлен конкурс дизайн-проектов для школьных пространств

Время чтения: 2 минуты

Полный перевод школ на дистанционное обучение не планируется

Время чтения: 1 минута

Университет им. Герцена и РАО создадут портрет современного школьника

Время чтения: 2 минуты

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Получите новую специальность со скидкой 10%

Цена от 4900 740 руб. Промокод (до 23 февраля): Промокод скопирован в буфер обмена ПП2302 Выбрать курс Все курсы профессиональной переподготовки