Решение систем логических уравнений
Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.
Описание презентации по отдельным слайдам:
14.06.2005 (формальная) Математическая логика Часть 5. Решение систем логических уравнений
Системы логических уравнений (ЕГЭ-2011) Три типа задач: I тип — В уравнениях используется операции дизъюнкции (конъюнкции), одна переменная входит в 2 уравнения. II тип — В уравнениях используется операции дизъюнкции (конъюнкции), сложные переменные представлены тождеством, одна сложная переменная входит в 2 уравнения. III тип — В уравнениях используется операции дизъюнкции (конъюнкции), сложные переменные, которые могут быть упрощены путем введения независимых новых переменных и применения законов логических преобразований. IV тип — В уравнениях используется операции дизъюнкции (конъюнкции), сложные переменные, которые не могут быть упрощены путем введения независимых новых переменных. V тип – Одна переменная входит в одно слагаемое во всех уравнениях VI, VII тип – Одна переменная входит во все слагаемые в уравнении одним из наиболее известных проектов создания компьютеров пятого поколения предполагается использование логических исчислений в качестве основной системы программирования. Поэтому специалисты, работающие в различных областях информатики, проявляют все большее внимание и интерес к математической логике. Проникновение методов математической логики в информатику уже привело к новым результатам, имеющим первостепенное практическое значение. В частности, к созданию нового языка программирования ПРОЛОГ — языка, принципиально отличающегося от всех созданных ранее.
I тип Сколько различных решений имеет система уравнений ¬X1 X2 = 1 ¬X2 X3 = 1 . ¬X9 X10 = 1 где x1, x2, …, x10 – логические переменные? В ответе не нужно перечислять все различные наборы значений переменных, при которых выполнено данное равенство. В качестве ответа нужно указать количество таких наборов. ¬X1 X2 = 1 Ответ: 11 вариантов решений Типы уравнений I Решаем второе уравнение http://krolyakov.narod.ru ¬X1 = 0 X2 = 1 ¬X1 = 1 X2 = 0 ¬X1 = 1 X2 = 1 X1 = 1 X2 = 1 X1 = 0 X2 = 0 X1 = 0 X2 = 1 X2 = 1 X3 = 1 X2 = 0 X3 = 0 X2 = 0 X3 = 1 X2 X1 0 0 1 0 1 1 X3 X2 X1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 1 1 Кол-во уравнений Кол-вопеременных Кол-во вариантов решений 1 2 3 2 3 4 3 4 5 Решаем по очереди уравнения и ищем закономерности накопления вариантов решений:
Сколько различных решений имеет система уравнений X1 ¬ X2 = 1 X2 ¬ X3 = 1 . X9 ¬ X10 = 1 где x1, x2, …, x10 – логические переменные? Решаем самостоятельно Первое уравнение: X1 ¬ X2 = 1 Второе уравнение: X2 ¬ X3 = 1 Ответ: 11 вариантов решений http://krolyakov.narod.ru X1 = 0 ¬ X2 = 1 X1 = 1 ¬ X2 = 0 X1 = 1 ¬ X2 = 1 X1 = 0 X2 = 0 X1 = 1 X2 = 1 X1 = 1 X2 = 0 X2 = 0 X3 = 0 X2 = 1 X3 = 1 X2 = 1 X3 = 0 X2 X1 0 0 0 1 1 1 X3 X2 X1 0 0 0 0 0 1 0 1 1 1 1 1 Кол-вопеременных Кол-во вариантов решений 2 3 3 4 4 5
Сколько различных решений имеет система уравнений ¬X1 X2 = 0 ¬X2 X3 = 0 . ¬X9 X10 = 0 где x1, x2, …, x10 – логические переменные? Сколько различных решений имеет система уравнений ¬X1 X2 = 0 ¬X2 X3 = 0 . ¬X9 X10 = 0 где x1, x2, …, x10 – логические переменные? Сколько различных решений имеет система уравнений ¬X1 X2 = 1 ¬X2 X3 = 1 . ¬X9 X10 = 1 где x1, x2, …, x10 – логические переменные? Нет решения I 11 вариантов Нет решения Решаем по очереди уравнения и ищем закономерности накопления вариантов решений:
Вывод: Система уравнений типа ¬X1 X2 = 1, где используются операции дизъюнкции и одна переменная входит в 2 уравнения, имеют решение только в случае, когда дизъюнкция двух переменных равна 1. Кол-во вариантов решений = кол-во уравнений + 2, или Кол-во вариантов решений = кол-во переменных + 1. I
Задача 1. Следующие два высказывания истинны: Неверно, что если корабль А вышел в море, то корабль С – нет. В море вышел корабль В или корабль С, но не оба вместе. Какие корабли вышли в море. А= «корабль А вышел в море» В= «корабль В вышел в море» С= «корабль С вышел в море» А→ ¬ С = 0 А В = 1 Последовательное решение уравнений: А В = 1 А = 1 В = 0 А = 0 В = 1 А→ ¬ С = 0 А = 1 ¬ С = 0 А = 1 С = 1 А = 1 В = 0 С=1 Ответ:
II тип Сколько различных решений имеет система уравнений ¬(X1 X2) (X3 X4) = 1 ¬(X3 X4) (X5 X6) = 1 ¬(X5 X6) (X7 X8) = 1 ¬(X7 X8) (X9 X10) = 1 где x1, x2, …, x10 – логические переменные? В ответе не нужно перечислять все различные наборы значений переменных, при которых выполнено данное равенство. В качестве ответа нужно указать количество таких наборов. Введем обозначение сложных переменных: Y1 = (X1 X2) Y2= (X3 X4) Y3 = (X5 X6) Y4 = (X7 X8) Y5 = (X9 X10) Запишем систему уравнений: ¬Y1 Y2 = 1 ¬Y2 Y3 = 1 ¬Y3 Y4 = 1 ¬Y4 Y5 = 1 Cистема имеет 6 вариантов решений. Переменные Y — независимые II http://krolyakov.narod.ru Y5 Y4 Y3 Y2 Y1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1
Найдем варианты решений для исходных переменных Кол-во комбинаций для одного варианта решений: N=25=32 Всего решений: 32*6=192 Алгоритм 1. Ввести обозначения для сложных переменных. 2. Записать систему для новых переменных. 3. Найти количество вариантов решений для системы с новыми переменными (m). 4. Определить число состояний (k) исходных переменных для одного варианта решения. 5. Определить число комбинаций (N) с учетом всего количества введенных переменных (n): N=kn 6. Определить итоговое количество вариантов решения системы: N*m II http://krolyakov.narod.ru Y1 = 0; Y1 = 1; X1 =1; X2=0; X1 =0; X2=1; X1 =0; X2=0; X1 =1; X2=1; X1 X2=0; X1 X2=1;
III. Сколько различных решений имеет система уравнений (X1 X2) (¬X1 ¬X2) (¬X3 X4) (X3 ¬X4) = 1 (X3 X4) (¬X3 ¬X4) (¬X5 X6) (X5 ¬X6) = 1 (X5 X6) (¬X5 ¬X6) (¬X7 X8) (X7 ¬X8) = 1 (X7 X8) (¬X7 ¬X8) (¬X9 X10) (X9 ¬X10) = 1 где x1, x2, …, x10 – логические переменные? Используется закон замены эквивалентности: A B = (A B) (¬ A ¬B) и замены инверсии эквивалентности: ¬ (A B) = ¬((A B) (¬ A ¬B)) = ¬(A B) ¬(¬ A ¬B) = (¬ A ¬ B) (A B) = ¬ A A ¬ A B A ¬ B ¬ B B = (¬ A B) (A ¬ B ) III (X1 X2) ¬ (X3 X4) =1 (X3 X4) ¬ (X5 X6) =1 (X5 X6) ¬ (X7 X8) =1 (X7 X8) ¬ (X9 X10) =1 Упростим уравнения: Решить самостоятельно. Проверка http://krolyakov.narod.ru
Замена эквивалентности Закон замены эквивалентности: A B = (A B) (¬ A ¬B) Замена инверсии эквивалентности: ¬ (A B) = ¬((A B) (¬ A ¬B)) = ¬(A B) ¬(¬ A ¬B) = (¬ A ¬ B) (A B) = ¬ A A ¬ A B A ¬ B ¬ B B = (¬ A B) (A ¬ B )
Введем обозначение сложных переменных: Y1 = (X1 X2) Y2= (X3 X4) Y3 = (X5 X6) Y4 = (X7 X8) Y5 = (X9 X10) Запишем систему уравнений: Y1 ¬Y2 = 1 Y2 ¬Y3 = 1 Y3 ¬Y4 = 1 Y4 ¬Y5 = 1 Cистема имеет 6 вариантов решений. III Найдем варианты решений для исходных переменных N=25=32 Всего решений: 32*6=192 http://krolyakov.narod.ru Y1 = 0; Y1 = 1; X1 X2=0; X1 X2=1; X1 =1; X2=0; X1 =0; X2=1; X1 =0; X2=0; X1 =1; X2=1; Y5 Y4 Y3 Y2 Y1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Сколько различных решений имеет система уравнений ((X1 X2) (X3 X4)) (¬(X1 X2) ¬(X3 X4)) = 1 ((X3 X4) (X5 X6)) (¬(X3 X4) ¬(X5 X6)) = 1 ((X5 X6) (X7 X8)) (¬(X5 X6) ¬(X7 X8)) = 1 ((X7 X8) (X9 X10)) (¬(X7 X8) ¬(X9 X10)) = 1 где x1, x2, …, x10 – логические переменные? IV Алгоритм решения: Вводим обозначения сложных высказываний и переписываем уравнения. Упрощаем уравнения, используя замену эквивалентности и инверсии эквивалентности. Определяем количество вариантов решения для веденных переменных. Определяем количество комбинаций исходных переменных для одного варианта. Определяем итоговое количество вариантов решения Решаем самостоятельно http://krolyakov.narod.ru
Введем обозначение сложных переменных: Y1 = (X1 X2) Y2= (X3 X4) Y3 = (X5 X6) Y4 = (X7 X8) Y5 = (X9 X10) Запишем систему уравнений: (Y1 Y2) (¬ Y1 ¬ Y2) = 1 (Y2 Y3) (¬ Y2 ¬ Y3) = 1 (Y3 Y4) (¬ Y3 ¬ Y4) = 1 (Y4 Y5) (¬ Y4 ¬ Y5) = 1 Cистема имеет 2 варианта решения. IV Упростим уравнения: Y1 Y2 = 1 Y2 Y3 = 1 Y3 Y4 = 1 Y4 Y5 = 1 Кол-во комбинаций для одного варианта решений: N=25=32 Всего решений: 32*2=64 http://krolyakov.narod.ru Y5 Y4 Y3 Y2 Y1 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1
Сколько различных решений имеет система уравнений (X2 X1) (X2 X3) (¬X2 ¬ X3)= 1 (X3 X1) (X3 X4) (¬X3 ¬ X4)= 1 . (X9 X1) (X9 X10) (¬X9 ¬ X10)= 1 (X10 X1) = 0 где x1, x2, …, x10 – логические переменные? V Используется закон замены эквивалентности: (X2 X1) (X2 X3) = 1 (X3 X1) (X3 X4) = 1 . (X9 X1) (X9 X10)= 1 (X10 X1) = 0 http://krolyakov.narod.ru Применить замену переменных нельзя, так как не получится независимых переменных. Решаем табличным способом по уравнению.
V (X2 X1) (X2 X3) = 1 Решаем второе уравнение: (X3 X1) (X3 X4) = 1 Решаем первое уравнение: X2 X1=0 X2 X3=1 X2 X1=1 X2 X3=0 X2 X1=1 X2 X3=1 X1=0 X2 =1 X3=1 X1=1 X2 =0 X3=0 X1=1 X3 =1 X4=0 X1=0 X2 =0 X3=1 X1=1 X2 =1 X3=1 X1=0 X2 =0 X3=0 X3 X1=0 X3 X4=1 X3 X1=1 X3 X4=0 X3 X1=1 X3 X4=1 X1=0 X3 =1 X4=1 X1=1 X3 =0 X4=0 X1=1 X2 =1 X3=0 X1=0 X3 =0 X4=1 X1=1 X3 =1 X4=1 X1=0 X3 =0 X4=0 X1 X3 X2 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 X1 X4 X3 X2 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 Кол-вопере-менных Кол-во вариантов решений 3 6 4 8 5 10 6 12 7 14 8 16 9 18 10 20
V (X10 X1) = 0 X10 <> X1 Подключаем последнее уравнение: Ответ: Кол-во решений = 20-2=18 http://krolyakov.narod.ru X1 X4 X3 X2 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1
VI. Сколько различных решений имеет система уравнений (X1 X2) (¬X1 ¬X2) (X1 X3) = 1 (X2 X3) (¬X2 ¬X3) (X2 X4) = 1 . (X8 X9) (¬X8 ¬X9) (X8 X10) = 1 где x1, x2, …, x10 – логические переменные? VI Решаем самостоятельно Применим закон замены эквивалентности: (X1 X2)(X1 X3)=1 (X2 X3)(X2 X4)=1 . (X8 X9)(X8 X10)=1 http://krolyakov.narod.ru Независимые переменные ввести нельзя, решаем по уравнению
Решаем первое уравнение: (X1 X2)(X1 X3)=1 Решаем второе уравнение: (X2 X3)(X2 X4)=1 VI http://krolyakov.narod.ru X1 X2=0 X1 X3=1 X1=0 X2 =1 X3=0 X1=1 X2 =0 X3=1 X1=0 X2 =0 X3=1 X1=1 X2 =1 X3=1 X1=0 X2 =0 X3=0 X1=1 X2 =1 X3=0 X1 X2=1 X1 X3=0 X1 X2=1 X1 X3=1 X2 X3=0 X2 X4=1 X2 X3=1 X2 X4=0 X2 X3=1 X2 X4=1 X2=0 X3 =1 X4=0 X2=1 X3 =0 X4=1 X2=0 X3 =0 X4=1 X2=1 X3 =1 X4=1 X2=0 X3 =0 X4=0 X2=1 X3 =1 X4=0 X3 X2 X1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 1 X4 X3 X2 X1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 X4 X3 X2 X1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1
Ответ: 20 вариантов VI http://krolyakov.narod.ru X3 X2 X1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 1 X4 X3 X2 X1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 Кол-вопеременных Кол-во вариантов решений 3 6 4 8 5 10 6 12 7 14 8 16 9 18 10 20 i Xi=Xi-1 Xi<>Xi-1 всего решений 3 2 4 6 4 2 2+4=6 8 5 2 2+6=8 10 6 2 2+8=10 12 7 2 2+10=12 14 8 2 2+12=14 16 9 2 2+14=16 18 10 2 2+16=18 20
(X1 X2)(X1 X3)=1 (X2 X3)(X2 X4)=1 . (X8 X9)(X8 X10)=1 Решение при помощи графа: дерево 1 0 X1 X2 1 X3 1 0 0 1 1 0 1 0 0 2 4 6 1 0 X4 1 0 0 1 0 1 8 Ответ: 20 вариантов VI X1=0 X2 =1 X3=0 X1=1 X2 =0 X3=1 X1=0 X2 =0 X3=1 X1=1 X2 =1 X3=1 X1=0 X2 =0 X3=0 X1=1 X2 =1 X3=0 X2=0 X3 =1 X4=0 X2=1 X3 =0 X4=1 X2=0 X3 =0 X4=1 X2=1 X3 =1 X4=1 X2=0 X3 =0 X4=0 X2=1 X3 =1 X4=0
VII Сколько различных решений имеет система уравнений (X1 X2) (¬X1 ¬X2) (X2 X3) (¬X2 ¬X3) = 1 (X2 X3) (¬X2 ¬X3) (X3 X4) (¬X3 ¬X4) = 1 . (X8 X9) (¬X8 ¬X9) (X9 X10) (¬X9 ¬X10) = 1 где x1, x2, …, x10 – логические переменные? Применим закон замены эквивалентности: (X1 X2)(X2 X3)=1 (X2 X3)(X3 X4)=1 . (X8 X9)(X9 X10)=1 Решаем самостоятельно Ответ: 178 вариантов 1 0 X1 X2 1 X3 1 0 0 0 1 0 1 0 1 2 4 6 1 0 X4 0 0 1 1 0 1 10 1 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 X5 16
VII i всего решений 3 4 2 6 4 4+2=6 4 10 5 6+4=10 6 16 6 10+6=16 10 26 7 16+10=26 16 42 8 26+16=42 26 68 9 42+26=68 42 110 10 68+42=110 68 178
Задача №23. Решение систем логических уравнений.
Решение систем логических уравнений методом замены переменных
Метод замены переменных применяется, если некоторые переменные входят в состав уравнений только в виде конкретного выражения, и никак иначе. Тогда это выражение можно обозначить новой переменной.
Сколько существует различных наборов значений логических переменных x1, х2, х3, х4, х5, х6, х7, х8, которые удовлетворяют всем перечисленным ниже условиям?
(x1 → х2) → (х3→ х4) = 1
(х3 → х4) → (х5 → х6) = 1
(х5 → х6) → (х7 → х8) = 1
В ответе не нужно перечислять все различные наборы значений переменных x1, х2, х3, х4, х5, х6, х7, х8, при которых выполнена данная система равенств. В качестве ответа Вам нужно указать количество таких наборов.
Сделаем замену переменных:
(x1 → х2) = y1; (х3 → х4) = y2; (х5 → х6) = y3; (х7 → х8) = y4.
Тогда можно записать систему в виде одного уравнения:
(y1 → y2) ∧ (y2 → y3) ∧ (y3 → y4) = 1. Конъюнкция равна 1 (истинна), когда каждый операнд принимает значение 1. Т.е. каждая из импликаций должна быть истинна, а это выполняется при всех значениях, кроме (1 → 0). Т.е. в таблице значений переменных y1, y2, y3, y4 единица не должна стоять левее нуля:
Т.е. условия выполняются для 5 наборов y1-y4.
Т.к. y1 = x1 → x2, то значение y1 = 0 достигается на единственном наборе x1, x2: (1, 0), а значение y1 = 1 – на трех наборах x1, x2: (0,0) , (0,1), (1,1). Аналогично для y2, y3, y4.
Поскольку каждый набор (x1,x2) для переменной y1 сочетается с каждым набором (x3,x4) для переменной y2 и т.д., то количества наборов переменных x перемножаются:
Кол-во наборов на x1…x8
Сложим количество наборов: 1 + 3 + 9 + 27 + 81 = 121.
Сколько существует различных наборов значений логических переменных x1, x2, . x9, y1, y2, . y9, которые удовлетворяют всем перечисленным ниже условиям?
В ответе не нужно перечислять все различные наборы значений переменных x1, x2, . x9, y1, y2, . y9, при которых выполнена данная система равенств. В качестве ответа Вам нужно указать количество таких наборов.
Сделаем замену переменных:
(x1 ≡ y1) = z1, (x2 ≡ y2) = z2,…. ,(x9 ≡ y9) = z9
Систему можно записать в виде одного уравнения:
(¬ z1 ≡ z2) ∧ (¬ z2 ≡ z3) ∧ …..∧ (¬ z8 ≡ z9)
Эквивалентность истинна, только если оба операнда равны. Решениями этого уравнения будут два набора:
z1 | z2 | z3 | z4 | z5 | z6 | z7 | z8 | z9 |
0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 |
1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 |
Т.к. zi = (xi ≡ yi), то значению zi = 0 соответствуют два набора (xi,yi): (0,1) и (1,0), а значению zi = 1 — два набора (xi,yi): (0,0) и (1,1).
Тогда первому набору z1, z2,…, z9 соответствует 2 9 наборов (x1,y1), (x2,y2),…, (x9,y9).
Столько же соответствует второму набору z1, z2,…, z9. Тогда всего 2 9 +2 9 = 1024 наборов.
Решение систем логических уравнений методом визуального определения рекурсии.
Этот метод применяется, если система уравнений достаточно проста и порядок увеличения количества наборов при добавлении переменных очевиден.
Сколько различных решений имеет система уравнений
где x1, x2, … x10 — логические переменные?
В ответе не нужно перечислять все различные наборы значений x1, x2, … x10, при которых выполнена данная система равенств. В качестве ответа Вам нужно указать количество таких наборов.
Решим первое уравнение. Дизъюнкция равна 1, если хотя бы один из ее операндов равен 1. Т.е. решениями являются наборы:
Для x1=0 существуют два значения x2 ( 0 и 1), а для x1=1 только одно значение x2 (1), такие, что набор (x1,x2) является решением уравнения. Всего 3 набора.
Добавим переменную x3 и рассмотрим второе уравнение. Оно аналогично первому, значит для x2=0 существуют два значения x3 ( 0 и 1), а для x2=1 только одно значение x3 (1), такие, что набор (x2,x3) является решением уравнения. Всего 4 набора.
Несложно заметить, что при добавлении очередной переменной добавляется один набор. Т.е. рекурсивная формула количества наборов на (i+1) переменных:
Ni+1 = Ni + 1. Тогда для десяти переменных получим 11 наборов.
Решение систем логических уравнений различного типа
Сколько существует различных наборов значений логических переменных x1, . x4, y1. y4, z1. z4, которые удовлетворяют всем перечисленным ниже условиям?
В ответе не нужно перечислять все различные наборы значений переменных x1, . x4, y1, . y4, z1, . z4, при которых выполнена данная система равенств.
В качестве ответа Вам нужно указать количество таких наборов.
Заметим, что три уравнения системы одинаковы на различных независимых наборах переменных.
Рассмотрим первое уравнение. Конъюнкция истинна (равна 1) только тогда, когда все ее операнды истинны (равны 1). Импликация равна 1 на всех наборах, кроме (1,0). Значит, решением первого уравнения будут такие наборы x1, x2, x3, x4, в которых 1 не стоит левее 0 (5 наборов):
Сколько решений имеет система логических уравнений
Сложим количество вариантов: 1 + 3 + 9 + 27 + 81 + 243 = 364.
Задание 3. Сколько существует различных наборов значений логических переменных x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8 которые удовлетворяют всем перечисленным ниже условиям?
В ответе не нужно перечислять все различные наборы значений переменных x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8 при которых выполнена данная система равенств. В качестве ответа Вам нужно указать количество таких наборов.
Запишем переменные в строчку: x1x2x3x4x5x6x7x8. Импликация ложна только в том случае, когда из истины следует ложь. Условие не выполняется, если в ряде после одинаковых цифр присутствует другая цифра. Например, «11101. » что означает невыполнение второго условия.
Рассмотрим комбинации переменных, удовлетворяющие всем условиям. Выпишем варианты, при которых все цифры чередуются, таких два: 10101010 и 01010101. Теперь для первого варианта, начиная с конца, будем увеличивать количество повторяющихся подряд цифр (настолько, насколько это возможно). Выпишем полученные комбинации: «10101011; 10101111. » таких комбинаций восемь. Аналогично для второго варианта: «01010101; 01010100. «. Таким образом, получаем 8 + 8 = 16 решений.
Задание 4. Сколько существует различных наборов значений логических переменных x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, которые удовлетворяют всем перечисленным ниже условиям?
В ответе не нужно перечислять все различные наборы значений переменных x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, при которых выполнена данная система равенств. В качестве ответа Вам нужно указать количество таких наборов.
Запишем переменные в строчку: x1x2x3x4x5x6x7. Импликация ложна только в том случае, когда из истины следует ложь. Условие не выполняется, если в ряду после одинаковых цифр присутствует другая цифра. Например, «11101. » что означает невыполнение второго условия.
Рассмотрим комбинации переменных, удовлетворяющие всем условиям. Выпишем варианты, при которых все цифры чередуются, таких два: 1010101 и 0101010. Теперь для первого варианта, начиная с конца, будем увеличивать количество повторяющихся подряд цифр(настолько, насколько это возможно). Выпишем полученные комбинации: «1010111; 1011111. » таких комбинаций восемь. Аналогично для второго варианта: «0101011; 0101111. «. Учтём, что при подсчёте комбинация для второго варианта комбинации 0000000 и 1111111 были учтены дважды. Таким образом, получаем 8 + 8 − 2 = 14 решений.
Задание 5. Сколько существует различных наборов значений логических переменных x1, x2, . x8, которые удовлетворяют всем перечисленным ниже условиям?
В ответе не нужно перечислять все различные наборы значений переменных x1, x2, … x8 при которых выполнена данная система равенств. В качестве ответа Вам нужно указать количество таких наборов.
Построим древо решений первого уравнения:
Заметим, что выражение (x3 ≡ x4) в двух случаях равно 1 и в двух случаях равно 0. Таким образом, одно уравнение имеет восемь решений.
Второе уравнение связано с первым только через выражение (x3 ≡ x4). Построим древо решений второго уравнения:
Для каждого из значений 0 и 1 выражения (x3 ≡ x4) существует четыре набора переменных x1, x2. x4, удовлетворяющих первому уравнению (см. первый рисунок). Таким образом, система из двух уравнений имеет 4 · 4 = 16 решений.
Третье уравнение связано со вторым только через выражение (x5 ≡ x6). Построим древо решений третьего уравнения:
Для каждого из значений 0 и 1 выражения (x5 ≡ x6) существует 2 · 4 = 8 наборов переменных x1, x2. x6, удовлетворяющих первому уравнению (см. первый и второй рисунок). Таким образом, система из трёх уравнений имеет 8 · 4 = 32 решения.
Задание 6. Сколько существует различных наборов значений логических переменных x1, x2, . x10, которые удовлетворяют всем перечисленным ниже условиям?
В ответе не нужно перечислять все различные наборы значений переменных x1, x2, … x10 при которых выполнена данная система равенств. В качестве ответа Вам нужно указать количество таких наборов.
Построим древо решений первого уравнения:
Заметим, что выражение (x3 ≡ x4) в двух случаях равно 1 и в двух случаях равно 0. Таким образом, одно уравнение имеет восемь решений.
Второе уравнение связано с первым только через выражение (x3 ≡ x4). Построим древо решений второго уравнения:
Для каждого из значений 0 и 1 выражения (x3 ≡ x4) существует четыре набора переменных x1, x2. x4, удовлетворяющих первому уравнению (см. первый рисунок). Таким образом, система из двух уравнений имеет 4 · 4 = 16 решений.
Третье уравнение связано со вторым только через выражение (x5 ≡ x6). Построим древо решений третьего уравнения:
Для каждого из значений 0 и 1 выражения (x5 ≡ x6) существует 2 · 4 = 8 наборов переменных x1, x2. x6, удовлетворяющих первому уравнению (см. первый и второй рисунок). Таким образом, система из трёх уравнений имеет 8 · 4 = 32 решения, система из четырёх — 64.
Задание 7. Сколько существует различных наборов значений логических переменных x1, x2, . x10, которые удовлетворяют всем перечисленным ниже условиям?
В ответе не нужно перечислять все различные наборы значений переменных x1, x2, … x10 при которых выполнена данная система равенств. В качестве ответа Вам нужно указать количество таких наборов.
Построим древо решений первого уравнения:
Заметим, что выражение (x3 ≡ x4) в двух случаях равно 1 и в двух случаях равно 0. Таким образом, одно уравнение имеет восемь решений.
Второе уравнение связано с первым только через выражение (x3 ≡ x4). Построим древо решений второго уравнения:
Для каждого из значений 0 и 1 выражения (x3 ≡ x4) существует четыре набора переменных x1, x2. x4, удовлетворяющих первому уравнению (см. первый рисунок). Таким образом, система из двух уравнений имеет 4 · 4 = 16 решений.
Третье уравнение связано со вторым только через выражение (x5 ≡ x6). Построим древо решений третьего уравнения:
Для каждого из значений 0 и 1 выражения (x5 ≡ x6) существует 2 · 4 = 8 наборов переменных x1, x2. x6, удовлетворяющих первому уравнению (см. первый и второй рисунок). Таким образом, система из трёх уравнений имеет 8 · 4 = 32 решения.
Аналогично система из четырёх уравнений будет иметь 64 решения.
Задание 8. Сколько существует различных наборов значений логических переменных x1, x2, . x8, которые удовлетворяют всем перечисленным ниже условиям?
В ответе не нужно перечислять все различные наборы значений переменных x1, x2, … x8 при которых выполнена данная система равенств. В качестве ответа Вам нужно указать количество таких наборов.
Рассмотрим первое уравнение.
При x1 = 1 возможны два случая: x2 = 0 и x2 = 1. В первом случае x3 = 1. Во втором — x3 либо 0, либо 1. При x1 = 0 также возможны два случая: x2 = 0 и x2 = 1. В первом случае x3 либо 0, либо 1. Во втором — x3 = 0. Таким образом, уравнение имеет 6 решений (см. рисунок).
Рассмотрим систему из двух уравнений.
Пусть x1 = 1. При x2 = 0 возможен лишь один случай: x3 = 1, переменная x4 = 0. При x2 = 1 возможно два случая: x3 = 0 и x3 = 1. В первом случае x4 = 1, во втором — x4 либо 0, либо 1. Всего имеем 4 варианта.
Пусть x1 = 0. При x2 = 1 возможен лишь один случай: x3 = 0, переменная x4 = 1. При x2 = 0 возможно два случая: x3 = 0 и x3 = 1. В первом случае x4 либо 1, либо 0, во втором — x4 = 0. Всего имеем 4 варианта.
Таким образом, система из двух уравнений имеет 4 + 4 = 8 вариантов (см. рисунок).
Система из трёх уравнений будет иметь 10 решений, из четырёх — 12. Отрицание в последнем уравнении действует только на комбинацию переменных, не связанных с с предыдущими уравнениями. Поэтому, количество решений данной в условии системы совпадает с количеством решений системы из шести однотипных уравнений (системы, в которой в последнем уравнении нет знака отрицания после конъюнкции), и равно 16.
Задание 9. Сколько существует различных наборов значений логических переменных x1, x2, . x8, которые удовлетворяют всем перечисленным ниже условиям?
В ответе не нужно перечислять все различные наборы значений переменных x1, x2, … x8 при которых выполнена данная система равенств. В качестве ответа Вам нужно указать количество таких наборов.
Построим древо решений первого уравнения:
Заметим, что выражение (x3 ≡ x4) в двух случаях равно 1 и в двух случаях равно 0. Таким образом, одно уравнение имеет восемь решений.
Второе уравнение связано с первым только через выражение (x3 ≡ x4). Построим древо решений второго уравнения:
Для каждого из значений 0 и 1 выражения (x3 ≡ x4) существует четыре набора переменных x1, x2. x4, удовлетворяющих первому уравнению (см. первый рисунок). Таким образом, система из двух уравнений имеет 4 · 4 = 16 решений.
Третье уравнение связано со вторым только через выражение (x5 ≡ x6). Построим древо решений третьего уравнения:
Для каждого из значений 0 и 1 выражения (x5 ≡ x6) существует 2 · 4 = 8 наборов переменных x1, x2. x6, удовлетворяющих первому уравнению (см. первый и второй рисунок). Таким образом, система из трёх уравнений имеет 8 · 4 = 32 решения.
Задание 10. Сколько существует различных наборов значений логических переменных x1, x2, . x12, которые удовлетворяют всем перечисленным ниже условиям?
В ответе не нужно перечислять все различные наборы значений переменных x1, x2, … x12 при которых выполнена данная система равенств. В качестве ответа Вам нужно указать количество таких наборов.
Построим древо решений первого уравнения:
Заметим, что выражение (x3 ≡ x4) в двух случаях равно 1 и в двух случаях равно 0. Таким образом, одно уравнение имеет восемь решений.
Второе уравнение связано с первым только через выражение (x3 ≡ x4). Построим древо решений второго уравнения:
Для каждого из значений 0 и 1 выражения (x3 ≡ x4) существует четыре набора переменных x1, x2. x4, удовлетворяющих первому уравнению (см. первый рисунок). Таким образом, система из двух уравнений имеет 4 · 4 = 16 решений.
Третье уравнение связано со вторым только через выражение (x5 ≡ x6). Построим древо решений третьего уравнения:
Для каждого из значений 0 и 1 выражения (x5 ≡ x6) существует 2 · 4 = 8 наборов переменных x1, x2. x6, удовлетворяющих первому уравнению (см. первый и второй рисунок). Таким образом, система из трёх уравнений имеет 8 · 4 = 32 решения.
Аналогично система из четырёх уравнений будет иметь 64 решения, система из пяти уравнений — 128.
Задание 1. Сколько различных решений имеет уравнение J ∧ ¬ K ∧ L ∧ ¬ M ∧ (N ∨ ¬ N) = 0, где J, K, L, M, N — логические переменные?
В ответе не нужно перечислять все различные наборы значений J, K, L, M и N, при которых выполнено данное равенство. В качестве ответа нужно указать количество таких наборов.
Выражение (N ∨ ¬ N) ис тин но при любом N, по это му
J ∧ ¬ K ∧ L ∧ ¬ M = 0.
Применим отрицание к обеим частям логического уравнения и используем закон де Моргана ¬ (А ∧ В ) = ¬ А ∨ ¬ В . По лу чим
Логическая сумма равна 1, если хотя бы одно из составляющих ее высказываний равно 1. Поэтому полученному уравнению удовлетворяют любые комбинации логических переменных кроме случая, когда все входящие в уравнение величины равны 0. Каждая из 4 переменных может быть равна либо 1, либо 0, поэтому всевозможных комбинаций 2·2·2·2 = 16. Следовательно, уравнение имеет 16 −1 = 15 решений.
Осталось заметить, что найденные 15 решений соответствуют любому из двух возможных значений значений логической переменной N, поэтому исходное уравнение имеет 30 решений.
Задание 2. Сколько различных решений имеет уравнение
((J → K) → (M ∧ N ∧ L)) ∧ ((J ∧ ¬ K) → ¬ (M ∧ N ∧ L)) ∧ (M → J) = 1
где J, K, L, M, N – логические переменные?
В ответе не нужно перечислять все различные наборы значений J, K, L, M и N, при которых выполнено данное равенство. В качестве ответа нужно указать количество таких наборов.
Используем формулы A → B = ¬ A ∨ B и ¬ ( А ∨ В ) = ¬А ∧ ¬В
Рассмотрим первую подформулу:
(J → K) → (M ∧ N ∧ L) = ¬ ( ¬ J ∨ K) ∨ (M ∧ N ∧ L) = (J ∧ ¬ K) ∨ (M ∧ N ∧ L)
Рассмотрим вторую подформулу
(J ∧ ¬ K) → ¬ (M ∧ N ∧ L) = ¬ (J ∧ ¬ K) ∨ ¬ (M ∧ N ∧ L) = ( ¬ J ∨ K) ∨ ¬ M ∨ ¬ N ∨ ¬ L
Рассмотрим третью подформулу
1) M → J = 1 сле до ва тель но,
(J ∧ ¬ K) ∨ (M ∧ N ∧ L) = (1 ∧ ¬ K) ∨ (1 ∧ N ∧ L) = ¬ K ∨ N ∧ L;
(0 ∨ K) ∨ 0 ∨ ¬ N ∨ ¬ L = K ∨ ¬ N ∨ ¬ L;
¬K ∨ N ∧ L ∧ K ∨ ¬ N ∨ ¬ L = 0 ∨ L ∨ 0 ∨ ¬ L = L ∨ ¬ L = 1 сле до ва тель но , 4 ре ше ния .
(J ∧ ¬ K) ∨ (M ∧ N ∧ L) = (1 ∧ ¬ K) ∨ (0 ∧ N ∧ L) = ¬ K;
(¬J ∨ K) ∨ ¬ M ∨ ¬ N ∨ ¬ L = (0 ∨ K) ∨ 1 ∨ ¬ N ∨ ¬ L = K ∨ 1 ∨ ¬ N ∨ ¬ L
K ∨ 1 ∨ ¬ N ∨ ¬ L ∧ ¬ K = 1 ∨ ¬ N ∨ ¬ L сле до ва тель но , 4 ре ше ния .
(J ∧ ¬ K) ∨ (M ∧ N ∧ L) = (0 ∧ ¬ K) ∨ (0 ∧ N ∧ L) = 0.
(¬J ∨ K) ∨ ¬ M ∨ ¬ N ∨ ¬ L = (1 ∨ K) ∨ 1 ∨ ¬ N ∨ ¬ L.
Задание 3. Сколько различных решений имеет уравнение:
¬((J → K) → (L ∧ M ∧ N)) ∨ ¬ ((L ∧ M ∧ N) → ( ¬ J ∨ K)) ∨ (M ∧ J) = 0
Используем формулу A → B = ¬ A ∨ B
Рассмотрим первую подформулу:
¬((¬J ∨ K) → (M ∧ N ∧ L)) = ¬ ( ¬ ( ¬ J ∨ K) ∨ (M ∧ N ∧ L)) = ¬ ((J ∧ ¬ K) ∨ (M ∧ N ∧ L)) =
Учитывая, что ¬(А ∨ В ) = ¬А ∧ ¬В ,
= (¬J ∨ K) ∧ ( ¬ M ∨ ¬ N ∨ ¬ L)
Рассмотрим вторую подформулу
¬((L ∧ M ∧ N) → ( ¬ J ∨ K)) = ¬ ( ¬ (L ∧ M ∧ N) ∨ ( ¬ J ∨ K)) = L ∧ M ∧ N ∧ J ∧ ¬ K
Применим отрицание к левой и правой части уравнения, получится
[(J ∧ ¬ K) ∨ (M ∧ N ∧ L)] ∧ [ ¬ L ∨ ¬ M ∨ ¬ N ∨ ¬ J ∨ K] ∧ [ ¬ M ∨ ¬ J] = 1
1) (¬M ∨ ¬ J) = 1, сле до ва тель но ,
0 ∧ ¬ K ∧ ¬ L ∨ ¬ N ∨ K, сле до ва тель но , 0 ре ше ний .
[(0 ∧ ¬ K) ∨ (1 ∧ N ∧ L)] ∧ [ ¬ L ∨ 0 ∨ ¬ N ∨ 1 ∨ K] ∧ [ ¬ M ∨ 1] = N ∧ L ∧ ¬ L ∨ ¬ N ∨ 1 ∨ K = 1 => L=N=1, следовательно, 2 решения.
[(1 ∧ ¬ K) ∨ (0 ∧ N ∧ L)] ∧ [ ¬ L ∨ ¬ 0 ∨ ¬ N ∨ ¬ 1 ∨ K] ∧ [ ¬ 0 ∨ ¬ 1] = 1, сле до ва тель но , 4 ре ше ния .
Задание 4. Сколько различных решений имеет уравнение
((K ∨ L) → (L ∧ M ∧ N)) = 0
где K, L, M, N – логические переменные? В Ответе не нужно перечислять все различные наборы значений K, L, M и N, при которых выполнено данное равенство. В качестве Ответа Вам нужно указать количество таких наборов.
перепишем уравнение, используя более простые обозначения операций:
((K + L) → (L · M · N)) = 0
1) из таблицы истинности операции «импликация» (см. первую задачу) следует, что это равенство верно тогда и только тогда, когда одновременно
K + L = 1 и L · M · N = 0
2) из первого уравнения следует, что хотя бы одна из переменных, K или L, равна 1 (или обе вместе); поэтому рассмотрим три случая
3) если K = 1 и L = 0, то второе равенство выполняется при любых М и N; поскольку существует 4 комбинации двух логических переменных (00, 01, 10 и 11), имеем 4 разных решения
4) если K = 1 и L = 1, то второе равенство выполняется при М · N = 0; существует 3 таких комбинации (00, 01 и 10), имеем еще 3 решения
5) если K = 0, то обязательно L = 1 (из первого уравнения); при этом второе равенство выполняется при М · N = 0; существует 3 таких комбинации (00, 01 и 10), имеем еще 3 решения
6) всего получаем 4 + 3 + 3 = 10 решений.
Задание 5. Сколько различных решений имеет уравнение
где K, L, M, N – логические переменные? В ответе не нужно перечислять все различные наборы значений K, L, M и N, при которых выполнено данное равенство. В качестве ответа вам нужно указать только количество таких наборов.
Выражение истинно в трех случаях, когда (K ∧ L) и (M ∧ N) равны со от вет ствен но 01, 11, 10.
1) «01» K ∧ L = 0; M ∧ N = 1, => M, N равны 1, а K и L любые , кроме как од но вре мен но 1. Сле до ва тель но 3 ре ше ния .
2) «11» K ∧ L = 1; M ∧ N = 1. => 1 ре ше ние .
3) «10» K ∧ L = 1; M ∧ N = 0. => 3 ре ше ния .
Задание 6. Сколько различных решений имеет уравнение
(X ∧ Y ∨ Z) → (Z ∨ P) = 0
где X, Y, Z, P – логические переменные? В ответе не нужно перечислять все различные наборы значений, при которых выполнено данное равенство. В качестве ответа вам нужно указать только количество таких наборов.
Применим преобразование импликации:
(X ∧ Y ∨ Z) → (Z ∨ P) = 0 =>
¬(X ∧ Y ∨ Z) ∨ (Z ∨ P) = 0;
(¬X ∨ ¬ Y ∧ ¬ Z) ∨ (Z ∨ P) = 0;
Логическое ИЛИ ложно только в одном случае: когда оба выражения ложны.
(Z ∨ P) = 0 => Z = 0, P = 0.
¬X ∨ ¬ Y ∧ ¬ Z = 0 => ¬ X ∨ ¬ Y ∧ 1 = 0 =>
¬X ∨ ¬ Y = 0 => X = 1; Y = 1.
Следовательно, существует только одно решение уравнения.
Задание 7. Сколько различных решений имеет уравнение
(X ∨ Y ∨ Z) → (X ∧ P) = 1
где X, Y, Z, P – логические переменные? В ответе не нужно перечислять все различные наборы значений, при которых выполнено данное равенство. В качестве ответа вам нужно указать только количество таких наборов.
Применим преобразование импликации:
(X ∨ Y ∨ Z) → (X ∧ P) = 1;
¬(X ∨ Y ∨ Z) ∨ (X ∧ P) = 1;
(¬X ∧ ¬ Y ∧ ¬ Z) ∨ (X ∧ P) = 1; (1)
Логическое «ИЛИ» ложно , когда ложны оба утверждения.
Логическое «И» истинно только тогда, когда истинны оба утверждения.
(¬X ∧ ¬ Y ∧ ¬ Z) = 1 тогда X = 0, Y = 0, Z = 0.
Тогда из (1) следует, что P может быть как 1, так и 0, то есть 2 набора решений.
(¬X ∧ ¬ Y ∧ ¬ Z) = 0, (X ∧ P) = 1.
Тогда P = 1, X = 1.
(0 ∧ ¬ Y ∧ ¬ Z) = 0 => есть 4 ре ше ния .
В итоге 6 решений.
Задание 8. Сколько различных решений имеет уравнение
где K, L, M, N – логические переменные? В ответе не нужно перечислять все различные наборы значений K, L, M и N, при которых выполнено данное равенство. В качестве ответа вам нужно указать только количество таких наборов.
Логическое И истинно только в одном случае: когда все выражения истинны.
K ∨ L = 1, M ∨ N = 1.
Каждое из уравнений дает по 3 решения.
Рассмотрим уравнение А ∧ В = 1 если и А и В при ни ма ют ис тин ные зна че ния в трех случаях каждое, то в целом уравнение имеет 9 решений.
Следовательно ответ 9.
Задание 9. Сколько различных решений имеет уравнение
((A → B) ∧ C) ∨ (D ∧ ¬ D)= 1,
где A, B, C, D – логические переменные?
В ответе не нужно перечислять все различные наборы значений A, B, C, D, при которых выполнено данное равенство. В качестве ответа вам нужно указать количество таких наборов.
Логическое «ИЛИ» истинно , когда истинно хотя бы одно из утверждений.
(D ∧ ¬ D)= 0 при любых D.
(A → B) ∧ C) = 1 => C = 1; A → B = 1 => ¬ A ∨ B = 1, что дает нам 3 ва ри ан та ре ше ний при каж дом D.
(D ∧ ¬ D)= 0 при любых D, что дает нам два варианта решений (при D = 1, D = 0).
Следовательно: всего решений 2*3 = 6.
Итого 6 решений.
Задание 10. Сколько различных решений имеет уравнение
(¬K ∨ ¬ L ∨ ¬ M) ∧ (L ∨ ¬ M ∨ ¬ N) = 0
где K, L, M, N – логические переменные? В ответе не нужно перечислять все различные наборы значений K, L, M и N, при которых выполнено данное равенство. В качестве ответа вам нужно указать только количество таких наборов.
Применим отрицание к обеим частям уравнения:
(K ∧ L ∧ M) ∨ ( ¬ L ∧ M ∧ N) = 1
Логическое ИЛИ истинно в трех случаях.
K ∧ L ∧ M = 1, тогда K, L, M = 1, а ¬ L ∧ M ∧ N = 0. N любое , то есть 2 ре ше ния .
¬L ∧ M ∧ N = 1, тогда N, M = 1; L = 0, K любое , то есть 2 ре ше ния .
Следовательно, ответ 4.
Системы логических уравнений, содержащие не однотипные уравнения
Задание 1. Сколько существует различных наборов значений логических переменных x1, x2, x3, x4, x5, y1, y2, y3, y4, y5, которые удовлетворяют всем перечисленным ниже условиям?
(x1 → x2) ∧ (x2 → x3) ∧ (x3 → x4) ∧ (x4 → x5 ) = 1
(y1 → y2) ∧ (y2 → y3) ∧ (y3 → y4) ∧ (y4 → y5 ) = 1
В ответе не нужно перечислять все различные наборы значений переменных x1, x2, x3, x4, x5, y1, y2, y3, y4, y5, при которых выполнена данная система равенств. В качестве ответа Вам нужно указать количество таких наборов.
1) Из последнего уравнения следует, что глобально мы имеем три варианта — x1=1, y1=1; x1=0, y1=1; x1=1, y1=0.
2) Логическое И истинно, только тогда, когда истины все утверждения, а импликация ложна только в случае, если из истинного следует ложное.
3) Уравнение (1) описывает ряд переменных
4) Рассмотрим вариант x1=1, y1=1. Так как первые числа каждого ряда равны 1, то все следующие тоже равны 1. Существует только одна комбинация для этого варианта.
5) Рассмотрим вариант x1=0, y1=1. Для y-ряда все переменные равны 1, для x же существует 5 комбинаций, так как в ряде x может быть от 1 до 5 нолей включительно.
6) Последний вариант рассмотрим аналогично предыдущему. Там существует всего 5 комбинаций.
Правильный ответ: 5+5+1=11 комбинаций.
Задание 2. Сколько существует различных наборов значений логических переменных x1, x2, x3, x4, x5, y1, y2, y3, y4, y5, которые удовлетворяют всем перечисленным ниже условиям?
(x1 → x2) ∧ (x2 → x3) ∧ (x3 → x4) ∧ (x4 → x5 ) = 1
(y5 → y4) ∧ (y4 → y3) ∧ (y3 → y2) ∧ (y2 → y1 ) = 1
В ответе не нужно перечислять все различные наборы значений переменных x1, x2, x3, x4, x5, y1, y2, y3, y4, y5, при которых выполнена данная система равенств. В качестве ответа Вам нужно указать количество таких наборов.
1) Из последнего уравнения следует, что глобально мы имеем x3=1, y3=1.
2) Логическое И истинно, только тогда, когда истины все утверждения, а импликация ложна только в случае, если из истинного следует ложное.
3) Уравнение (1) описывает ряд переменных
4) Рассмотрим вариант x3=1, y3=1. Тогда все следующие: x4, x5, y2, y1 тоже равны 1. Остаются переменные x1, x2, y4, y5. Так как x2 следует из x1, для них мы имеем 3 варианта, аналогично для y4 и y5. 3 3=9.
Задание 3. Сколько существует различных наборов значений логических переменных x1, x2, x3, x4, y1, y2 y3, y4, которые удовлетворяют всем перечисленным ниже условиям?
(x1 → x2) ∧ (x2 → x3) ∧ (x3 → x4) = 1
(¬y1 ∨ y2) ∧ ( ¬ y2 ∨ y3) ∧ ( ¬ y3 ∨ y4) = 1
(y1 → x1) ∧ (y2 → x2) ∧ (y3 → x3) ∧ (y4 → x4) = 1
В ответе не нужно перечислять все различные наборы значений переменных x1, x2, x3, x4, y1, y2 y3, y4, при которых выполнена данная система равенств. В качестве ответа Вам нужно указать количество таких наборов.
Конъюнкция истина тогда и только тогда, когда каждое высказывание истинно.
Для первого выражения это означает, что, если х1 равен 1, то х2, х3 и х4 также равны 1, т. е. для х1. х4 решения существуют только в виде «1111», «0111», «0011», «0001» и «0000».
Применив преобразование импликации ко второму выражению, увидим, что оно аналогично первому.
В третьем выражении из «y» следует соответствующее ему «x», это означает, что если y = 1, то и x = 1.
Следовательно, первому набору для x «1111» соответствует 5 наборов y. Второму — 4, третьему — 3, и. т. д.
Следовательно, ответ: 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 15.
Задание 4. Сколько существует различных наборов значений логических переменных x1, x2, x3, x4, x5, y1, y2, y3, y4, y5, которые удовлетворяют всем перечисленным ниже условиям?
(x1 → x2) ∧ (x2 → x3) ∧ (x3 → x4) ∧ (x4 → x5 ) = 1
(y1 → y2) ∧ (y2 → y3) ∧ (y3 → y4) ∧ (y4 → y5 ) = 1
В ответе не нужно перечислять все различные наборы значений переменных x1, x2, x3, x4, x5, y1, y2, y3, y4, y5, при которых выполнена данная система равенств. В качестве ответа Вам нужно указать количество таких наборов.
1) Из последнего уравнения следует, что глобально мы имеем три варианта — x1=1, y1=1; x1=0, y1=1; x1=0, y1=0.
2) Логическое И истинно, только тогда, когда истины все утверждения, а импликация ложна только в случае, если из истинного следует ложное.
3) Уравнение (1) описывает ряд переменных
4) Рассмотрим вариант x1=1, y1=1. Так как первые числа каждого ряда равны 1, то все следующие тоже равны 1. Существует только одна комбинация для этого варианта.
5) Рассмотрим вариант x1=0, y1=1. Для y-ряда все переменные равны 1, для x же существует 5 комбинаций, так как в ряде x может быть от 1 до 5 нолей включительно.
6) Последний вариант рассмотрим аналогично предыдущему. Там существует всего 25 комбинаций.
Правильный ответ: 25+5+1=31 комбинация.
Задание 5. Сколько существует различных наборов значений логических переменных x1, х2, хЗ, х4, х5, хб, y1, у2, уЗ, у4, у5, у6 которые удовлетворяют всем перечисленным ниже условиям?
(x1 → х 2) ∧ ( х 2 → хЗ ) ∧ ( хЗ → х 4) ∧ ( х 4 → х 5) ∧ ( х 5 → х 6) = 1
(y1 → y2) ∧ ( у 2 → уЗ ) ∧ ( уЗ → у 4) ∧ ( у 4 → у 5) ∧ ( у 5 → у 6) = 1
В ответе не нужно перечислять все различные наборы значений переменных x1, х2, хЗ, х4, х5, y1, у2, уЗ, у4, у5, при которых выполнена данная система равенств. В качестве ответа Вам нужно указать количество таких наборов.
1) Из последнего уравнения следует, что глобально мы имеем три варианта — x1=1, y1=1; x1=0, y1=1; x1=1, y1=0.
2) Логическое И истинно, только тогда, когда истины все утверждения, а импликация ложна только в случае, если из истинного следует ложное.
3) Уравнение (1) описывает ряд переменных
4) Рассмотрим вариант x1=1, y1=1. Так как первые числа каждого ряда равны 1, то все следующие тоже равны 1. Существует только одна комбинация для этого варианта.
5) Рассмотрим вариант x1=0, y1=1. Для y-ряда все переменные равны 1, для x же существует 6 комбинаций, так как в ряде x может быть от 1 до 6 нолей включительно.
6) Последний вариант рассмотрим аналогично предыдущему. Там существует всего 6 комбинаций.
Правильный ответ: 6+6+1=13 комбинаций.
Задание 6. Сколько существует различных наборов значений логических переменных x1, х2, хЗ, х4, х5, y1, у2, уЗ, у4, у5, которые удовлетворяют всем перечисленным ниже условиям?
(x1 → х 2) ∧ ( х 2 → хЗ ) ∧ ( хЗ → х 4) ∧ ( х 4 → х 5 ) = 1
(y1 → y2) ∧ ( у 2 → уЗ ) ∧ ( уЗ → у 4) ∧ ( у 4 → у 5 ) = 1
В ответе не нужно перечислять все различные наборы значений переменных x1, х2, хЗ, х4, х5, y1, у2, уЗ, у4, у5, при которых выполнена данная система равенств. В качестве ответа Вам нужно указать количество таких наборов.
1) Из последнего уравнения следует, что глобально мы имеем три варианта — x1=1, y1=1; x1=0, y1=1; x1=1, y1=0.
2) Логическое И истинно, только тогда, когда истины все утверждения, а импликация ложна только в случае, если из истинного следует ложное.
3) Уравнение (1) описывает ряд переменных
4) Рассмотрим вариант x1=1, y1=1. Так как первые числа каждого ряда равны 1, то все следующие тоже равны 1. Существует только одна комбинация для этого варианта.
5) Рассмотрим вариант x1=0, y1=1. Для y-ряда все переменные равны 1, для x же существует 5 комбинаций, так как в ряде x может быть от 1 до 5 нолей включительно.
6) Последний вариант рассмотрим аналогично предыдущему. Там существует всего 5 комбинаций.
Правильный ответ: 5+5+1=11 комбинаций.
Задание 7. Сколько существует различных наборов значений логических переменных x1, x2, x3, x4, x5, y1, y2, y3, y4, y5, которые удовлетворяют всем перечисленным ниже условиям?
(x1 → x2) ∧ (x2 → x3) ∧ (x3 → x4) ∧ (x4 → x5 ) = 1
(y1 → y2) ∧ (y2 → y3) ∧ (y3 → y4) ∧ (y4 → y5 ) = 1
В ответе не нужно перечислять все различные наборы значений переменных x1, x2, x3, x4, x5, y1, y2, y3, y4, y5, при которых выполнена данная система равенств. В качестве ответа Вам нужно указать количество таких наборов.
1) Из последнего уравнения следует, что глобально мы имеем три варианта: x5=1, y5=1; x5=0, y5=0; x5=0, y5=1.
2) Логическое И истинно, только тогда, когда истины все утверждения, а импликация ложна только в случае, если из истинного следует ложное.
3) Уравнение (1) описывает ряд переменных
4) Рассмотрим вариант x5=1, y5=1. Тогда остальные переменные могут принимать любые значения: всего таких комбинаций 25.
5) Рассмотрим вариант х5=0, у5=0. Тогда все переменные равны 0, следовательно, 1 комбинация.
6) Рассмотрим вариант х5=0, у5=1. Тогда все переменные х равны 0, а переменные у могут принимать любые значения. Всего таких комбинаций 5.
Задание 8. Сколько существует различных наборов значений логических переменных x1, х2, хЗ, х4, х5, у1, у2, уЗ, у4, у5, которые удовлетворяют всем перечисленным ниже условиям?
В ответе не нужно перечислять все различные наборы значений переменных x1, х2, хЗ, х4, х5, у1, у2, уЗ, у4, у5, при которых выполнена данная система равенств. В качестве ответа Вам нужно указать количество таких наборов.
Заметим, что первые два уравнения связаны друг с другом только через третье.
Найдем количество решений первого уравнения. Каждая из переменных x1, . , x5 может принимать только два значения. Импликация ложна только тогда, когда из истины следует ложь. Если записать значения переменных подряд, то можно увидеть, что для того, чтобы равенство выполнялось, необходимо, чтобы после «1» никогда не стоял «0». Следовательно, получаем такие решения: (x1,x2,x3,x4,x5) = 00000, 00001, 00011, 00111, 01111, 11111.
Во втором уравнении необходимо, чтобы после «0» никогда не стояла «1». Следовательно, получаем такие решения: (y1,y2,y3,y4,y5) = 00000, 10000, 11000, 11100, 11110, 11111. Таким образом, система из двух уравнений имеет 6·6 = 36 решений: для каждого набора переменных y существует 6 наборов переменных x.
http://ege-study.ru/ru/ege/materialy/informatika/zadanie-23/
http://www.sites.google.com/site/reseniezadanijinformatikipoege/home/zadanie-23