Сколько решений имеют простейшие уравнения

Метод подсчёта количества решений

Линейные алгебраические уравнения — одни из самых простых уравнений, которые мы можем решить. Если в уравнении только одна переменная, решение тривиально, в то время как для системы линейных уравнений существует множество способов найти уникальные решения.

В этой статье нас интересует частный случай линейного уравнения с несколькими переменными. Хорошо известно, что подобное уравнение имеет бесконечное число решений. Мы наложим определённые ограничения и в значительной степени сократим количество решений.

Общая форма интересующего нас уравнения:

где n и m — положительные целые числа.

Наша задача — найти число решений этого уравнения, предполагая, что xᵢ являются целыми числами. Это предположение значительно снижает число решений заданного уравнения.

Нам нужен метод

Давайте начнём с частного случая общего уравнения:

Нетрудно найти все решения этого уравнения методом простого счёта. Решения заданы парами (x₁, x₂):

Мы видим, что уравнение имеет шесть решений. Также нетрудно предположить, что, если мы заменим правую часть определённым положительным целым числом m, решения будут выглядеть так:

и мы сможем подсчитать число решений — m+1.

Это было просто, верно?

Теперь возьмём немного более сложный вариант с тремя переменными, скажем:

С несколько большими усилиями, чем в предыдущем примере, находим решения в виде наборов из трёх чисел (x₁, x₂, x₃):

Число решений в этом случае равно 10.

Легко представить, что метод прямого счёта может стать очень утомительным для уравнения с большим количеством переменных. Он также становится утомительным, если целое число в правой части уравнения становится больше — например, если в правой части у нас будет 8, а не 3, решений будет уже 45. Разумеется, не хотелось бы искать все эти решения методом прямого счёта.

Значит, нужен эффективный метод.

Разрабатываем метод

Существует ещё один способ, которым можно решить предыдущие два уравнения. Давайте снова начнём с этого уравнения:

Одним из решений было (5, 0). Давайте преобразуем его в:

Мы разложили решение на нули и единицы, соответствующие каждому числу. Ненулевую часть (в данном случае 5) мы разложили на соответствующее число единиц, а ноль преобразовали в ноль. Таким же образом мы можем разложить и другое решение:

Мы поменяли прежнее расположение нуля, чтобы получить новое решение. Итак, два числа в парах (обозначенные красным и голубым) разделены нулём (чёрный) в разложенном виде. Таким же образом запишем оставшиеся решения:

Записав решения таким образом, видим закономерность. Кажется, все решения — это просто перестановки нулей и единиц. Вопрос о том, сколько существует решений, становится эквивалентным вопросу как много таких перестановок нулей и единиц может быть сделано, начиная с любой из конфигураций.

В данном случае у нас есть 6 местоположений в разложенной конфигурации для размещения нулей и единиц. Мы можем выбрать простейшее решение в качестве начальной конфигурации:

Теперь всё, что нам нужно найти, это общее число способов, которыми можно заполнить шесть местоположений пятью единицами и одним нулём.

Подобные задачи подсчёта мы можем решить различными способами, но наиболее эффективным будет способ, разработанный в такой области математики как комбинаторика, которая даёт нам формулу для числа способов перестановки r объектов в n местоположений:

где n! (читается как “n факториал”) определяется как произведение всех целых чисел от 1 до n, т.е. n! = 1 × 2 × 3 × ⋅ ⋅ ⋅ × n. Мы также определяем 0! = 1.

Эта формула обычно записывается в компактной форме как:

Теперь, возвращаясь к задаче, мы можем использовать эту формулу для нахождения числа способов перестановки пяти единиц в шести местоположениях:

Это то же самое число, что мы получили методом прямого счёта!

Выглядит многообещающе, поэтому давайте проверим, сможем ли мы найти таким способом число решений второго линейного уравнения:

Некоторые решения можно записать в разложенном виде:

В этот раз нам нужно заполнить тремя единицами и двумя нулями пять местоположений. Используя формулу мы можем найти число способов расположения чисел:

И опять то же число, что мы получили методом прямого счёта. Мы можем также найти число решений для нерешённого случая, где в правой части уравнения 8 вместо 3. Одним из решений будет:

а нам нужно найти число способов разместить 8 единиц в 10 местоположениях, и это будет:

как и утверждалось выше.

Если мы уверены в том, что этот метод работает для всех случаев, нам нужна общая формула. Напомним, что общее уравнение имеет вид:

Простейшее решение этого уравнения:

Поскольку существует n переменных, количество нулей в этом решении равно n-1. Таким образом, разложение выглядит так:

В разложенной конфигурации видим m и n-1 нулей (как утверждалось выше).

Следовательно, общее число местоположений, которые нужно заполнить, равно (m+n-1). Единственное, что остаётся — найти число способов, которыми можно заполнить m+n-1 местоположений m единиц, что определяется по формуле:

Решение простых линейных уравнений

О чем эта статья:

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Понятие уравнения

Уравнение — это математическое равенство, в котором неизвестна одна или несколько величин. Значение неизвестных нужно найти так, чтобы при их подстановке в пример получилось верное числовое равенство.

Например, возьмем выражение 2 + 4 = 6. При вычислении левой части получается верное числовое равенство, то есть 6 = 6.

Уравнением можно назвать выражение 2 + x = 6, с неизвестной переменной x, значение которой нужно найти. Результат должен быть таким, чтобы знак равенства был оправдан, и левая часть равнялась правой.

Корень уравнения — то самое число, которое при подстановке на место неизвестной уравнивает выражения справа и слева.

Решить уравнение значит найти все возможные корни или убедиться, что их нет.

Решить уравнение с двумя, тремя и более переменными — это два, три и более значения переменных, которые обращают данное выражение в верное числовое равенство.

Равносильные уравнения — это те, в которых совпадают множества решений. Другими словами, у них одни и те же корни.

Какие бывают виды уравнений

Уравнения могут быть разными, самые часто встречающиеся — линейные и квадратные.

Особенность преобразований алгебраических уравнений в том, что в левой части должен остаться многочлен от неизвестных, а в правой — нуль.

Числовой коэффициент — число, которое стоит при неизвестной переменной.

Кроме линейных и квадратных есть и другие виды уравнений, с которыми мы познакомимся в следующий раз:

Онлайн-курсы по математике за 7 класс помогут закрепить новые знания на практике с талантливым преподавателем.

Как решать простые уравнения

Чтобы научиться решать простые линейные уравнения, нужно запомнить формулу и два основных правила.

1. Правило переноса. При переносе из одной части в другую, член уравнения меняет свой знак на противоположный.

Для примера рассмотрим простейшее уравнение: x+3=5

Начнем с того, что в каждом уравнении есть левая и правая часть.

Перенесем 3 из левой части в правую и меняем знак на противоположный.

Можно проверить: 2 + 3 = 5. Все верно. Корень равен 2.

Решим еще один пример: 6x = 5x + 10.

Перенесем 5x из правой части в левую. Знак меняем на противоположный, то есть на минус.

Приведем подобные и завершим решение.

2. Правило деления. В любом уравнении можно разделить левую и правую часть на одно и то же число. Это может ускорить процесс решения. Главное — быть внимательным, чтобы не допустить глупых ошибок.

Применим правило при решении примера: 4x=8.

При неизвестной х стоит числовой коэффициент — 4. Их объединяет действие — умножение.

Чтобы решить уравнение, нужно сделать так, чтобы при неизвестной x стояла единица.

Разделим каждую часть на 4. Как это выглядит:

Теперь сократим дроби, которые у нас получились и завершим решение линейного уравнения:

Рассмотрим пример, когда неизвестная переменная стоит со знаком минус: −4x = 12

Разделим обе части на −4, чтобы коэффициент при неизвестной стал равен единице.

−4x = 12 | : (−4)
x = −3

Если знак минус стоит перед скобками, и по ходу вычислений его убрали — важно не забыть поменять знаки внутри скобок на противоположные. Этот простой факт позволит не допустить обидные ошибки, особенно в старших классах.

Напомним, что не у каждого линейного уравнения есть решение — иногда корней просто нет. Изредка среди корней может оказаться ноль — ничего страшного, это не значит, что ход решения оказался неправильным. Ноль — такое же число, как и остальные.

Способов решения линейных уравнений немного, нужно запомнить только один алгоритм, который будет эффективен для любой задачки.

Чтобы быстрее запомнить ход решения и формулу линейного уравнения, скачайте или распечатайте алгоритм — храните его в телефоне, учебнике или на рабочем столе.

Примеры линейных уравнений

Теперь мы знаем, как решать линейные уравнения. Осталось попрактиковаться на задачках, чтобы чувствовать себя увереннее на контрольных. Давайте решать вместе!

Пример 1. Как правильно решить уравнение: 6х + 1 = 19.

Перенести 1 из левой части в правую со знаком минус.

Разделить обе части на множитель, стоящий перед переменной х, то есть на 6.

Пример 2. Как решить уравнение: 5(х − 3) + 2 = 3 (х − 4) + 2х − 1.

5х − 15 + 2 = 3х − 12 + 2х − 1

Сгруппировать в левой части члены с неизвестными, а в правой — свободные члены. Не забываем при переносе из одной части уравнения в другую поменять знаки на противоположные у переносимых членов.

5х − 3х − 2х = −12 − 1 + 15 − 2

Приведем подобные члены.

Ответ: х — любое число.

Пример 3. Решить: 4х = 1/8.

Разделим обе части уравнения на множитель стоящий перед переменной х, то есть на 4.

Пример 4. Решить: 4(х + 2) = 6 − 7х.

1. 4х + 8 = 6 − 7х
2. 4х + 7х = 6 − 8
3. 11х = −2
4. х = −2 : 11
5. х = −2/11

Ответ: −2/11 или −(0,18). О десятичных дробях можно почитать в другой нашей статье.

Пример 5. Решить:

1. 
2. 3(3х — 4) = 4 · 7х + 24
3. 9х — 12 = 28х + 24
4. 9х — 28х = 24 + 12
5. -19х = 36
6. х = 36 : (-19)
7. х = — 36/19

Пример 6. Как решить линейное уравнение: х + 7 = х + 4.

5х — 15 + 2 = 3х — 2 + 2х — 1

Сгруппировать в левой части неизвестные члены, в правой — свободные члены:

Приведем подобные члены.

Ответ: нет решений.

Пример 7. Решить: 2(х + 3) = 5 − 7х.

Простейшие показательные уравнения

После того, как мы разобрались с вопросом, что такое показательные уравнения, следует остановиться на так называемых простейших показательных уравнениях. Тому есть две причины. Первая – изучение чего-то нового всегда логично начинать с самого простого. Вторая – к простейшим показательным уравнениям часто сводятся решения более сложных показательных уравнений. Так давайте выясним, какие показательные уравнения называют простейшими, и научимся решать простейшие показательные уравнения.

Какие показательные уравнения называют простейшими

простейшими показательными уравнениями называют уравнения a x =b , где a и b – числа, причем a>0 и a≠1 .

В точности так про простейшие показательные уравнения сказано в учебнике Колмогорова [1, с. 229].

Прежде чем привести примеры простейших показательных уравнений, отвечающих этому определению, считаем нужным сказать пару слов об условиях a>0 и a≠1 .

Первое из них объясняется определением степени, ведь степень с действительным показателем мы определили лишь для положительных оснований. Это не означает, что не нужно изучать уравнения a x =b при a и a=0 , ведь они не лишены смысла. Уравнения a x =b при a имеют смысл на множестве целых чисел, а уравнения a x =b при a=0 , то есть, уравнения 0 x =b , имеют смысл на множестве положительных действительных чисел. Решение уравнений a x =b при a имеет свою специфику, с которой лучше разбираться отдельно. Уравнения a x =b при a=0 есть частный случай уравнений, сводящихся к числовым равенствам.

А зачем в определении простейших показательных уравнений второе условие a≠1 ? Это условие исключает из рассмотрения уравнения 1 x =b . Это тоже уравнения, сводящиеся к числовым равенствам.

Итак, дальше в этой статье мы считаем, что a>0 , a≠1 .

Теперь обещанные примеры. Начнем с уравнения 2 x =8 . Это есть уравнение a x =b при a=2 , b=8 , значит, это простейшее показательное уравнение. Аналогично, 3 x =7 , , 2 x =0 , 5 x =−25 – простейшие показательные уравнения.

Еще вспомним, что числа могут быть записаны не только в виде отдельных чисел, но и в виде числовых выражений. Этот факт и данное выше определение позволяют нам утверждать, что уравнения A x =B , где A и В – числовые выражения, причем A>0 , A≠1 , это тоже простейшие показательные уравнения. Так 5 x =5 3 , , – это простейшие показательные уравнения.

Встречаются и немного отличающиеся взгляды на простейшие показательные уравнения. Вот тому пример

Простейшим показательным уравнением является уравнение a x =b , где a и b – данные положительные числа ( a≠1 ), а x – неизвестная величина [2, с. 111].

От первого определения оно отличается тем, что дано ограничение на число b – оно подразумевается положительным. В первом определении про число b ничего не сказано, поэтому, оно подразумевается любым (отрицательным, нулем, положительным). Если придерживаться второго определения, то два из приведенных выше уравнений, а именно, 2 x =0 и 5 x =−25 , не будут простейшими.

Считать или не считать простейшими уравнения a x =b при b=0 и b – судить не нам. Главное – уметь их решать. Давайте научимся это делать.

Как решать простейшие показательные уравнения? Алгоритм

Судя по названию, простейшие показательные уравнения a x =b , где a и b – числа, причем a>0 , a≠1 , должны решаться легко. Так оно и есть:

• Если b или b=0 , то уравнение a x =b не имеет решений.
• Если b>0 , то исходное уравнение a x =b нужно преобразовать к виду a x =a c (кроме случаев, когда оно сразу имеет такой вид), откуда очевиден единственный корень x=c .

Например, простейшие показательные уравнения 3 x =−5 и (0,3) x =0 не имеют решений, так как в правой части первого из них находится отрицательное число, а в правой части второго – нуль. А чтобы решить простейшее показательное уравнение 2 x =8 , его нужно преобразовать к виду 2 x =2 3 , что позволяет увидеть его единственное решение x=3 .

После знакомства с логарифмом появляется возможность обходиться без преобразования исходного простейшего показательного уравнения a x =b при b>0 к виду a x =a c , а сразу записывать решение через логарифм как x=log_ab .

Почему решать простейшие показательные уравнения нужно именно так, обоснуем в следующем пункте. А сейчас запишем алгоритм решения простейших показательных уравнений:

Чтобы решить простейшее показательное уравнение a x =b , где a и b – числа, причем a>0 , a≠1 , надо

1. Убедиться, что перед нами именно простейшее показательное уравнение. Для этого нужно проверить, что уравнение имеет вид a x =b , и убедиться, что a>0 и a≠1 .
2. Посмотреть, каким числом является b : отрицательным, нулем, или положительным.
   • Если b или b=0 , то сделать вывод об отсутствии решений.
   • Если b>0 , то перейти к следующему шагу.
3. Если b представляет собой степень a c , то перейти к следующему шагу. В противном случае представить число b в виде степени a c , то есть, перейти от исходного уравнения a x =b к уравнению a x =a c .
4. От равенства степеней a x =a c перейти к равенству их показателей, то есть, к равенству x=c . Это даст единственный корень исходного уравнения.

Теоретическое обоснование

Решение показательных уравнений a x =b , где a>0 , a≠1 , b – некоторое число, базируется на следующих двух утверждениях:

• Если b=0 или b , то уравнение a x =b не имеет решений.
• Если b>0 , то уравнение a x =b имеет единственное решение x=log_ab , где log_ab – логарифм числа b по основанию a . В частности, если число b представляет собой некоторую степень числа a , то есть, b=a c , то единственное решение уравнения есть x=c .

Сразу заметим, что сейчас в школе показательные уравнения обычно изучают до знакомства с логарифмом. По этой причине сначала обходят обращение к логарифму. И делают это так: рассматривают только такие простейшие показательные уравнения, в которых число b представляет собой некоторую степень числа a . То есть, сначала рассматривают уравнения a x =a c , где c – некоторое число. Единственным решением уравнения a x =a c является x=c . А уже после знакомства с логарифмом возвращаются к показательным уравнениям, и уже тогда говорят про единственное решение простейшего показательного уравнения a x =b в виде x=log_ab .

Сейчас мы приведем доказательство этих утверждений, чтобы стало понятно, откуда они произрастают. После этого рассмотрим решения нескольких простейших показательных уравнений, которые покрывают все случаи: и когда b , и когда b=0 , и когда b можно представить в виде степени числа a без использования логарифма, и когда без логарифма не обойтись.

Если b=0 или b , то уравнение a x =b , где a>0 , a≠1 не имеет решений.

Из определения степени вытекает, что если a>0 , то a x >0 при любом значении переменной x . Из этого следует, что ни при каком значении переменной x равенство a x =b не может быть достигнуто, если b=0 или b . Значит, если b=0 или b , то уравнение a x =b не имеет решений, что и требовалось доказать.

Если b>0 , то уравнение a x =b имеет единственное решение x=log_ab , где log_ab – логарифм числа b по основанию a . В частности, если число b представляет собой некоторую степень числа a , то есть, b=a c , то единственное решение уравнения есть x=c .

Доказательство позволяют провести известные свойства показательной функции y=a x , а именно, область значений показательной функции и свойство монотонности.

Для доказательства существования корня у простейшего показательного уравнения a x =b при b>0 нам потребуется известная область значений показательной функции y=a x . Ею является множество всех положительных чисел. Так как у нас по условию b>0 , то b принадлежит области значений показательной функции y=a x . То есть, функция y=a x обязательно принимает значение b . Из этого следует, что уравнение a x =b имеет решение.

Мы доказали, что если b>0 , то простейшее показательное уравнение a x =b обязательно имеет решение. Докажем, что это решение единственное. Для этого обопремся на монотонность показательной функции и воспользуемся методом от противного. Предположим, что кроме корня x₁ уравнение a x =b имеет еще один корень x₂ , отличный от x₁ , то есть, x₁≠x₂ . Так как и x₁ и x₂ – корни уравнения a x =b , то a x₁ =b и a x₂ =b – верные числовые равенства. Свойства числовых равенств позволяют нам проводить почленное вычитание верных числовых равенств. Вычтем из равенства a x₁ =b равенство a x₂ =b , это дает a x₁ −a x₂ =b−b и дальше a x₁ −a x₂ =0 , что то же самое a x₁ =a x₂ . Но из монотонности функции y=a x и из неравенства x₁≠x₂ следует, что либо a x₁ >a x₂ , либо a x₁ x₂ . А это противоречит результату a x₁ =a x₂ . Так доказано, что простейшее показательное уравнение a x =b при b>0 имеет единственный корень.

Итак, мы доказали что уравнение a x =b при b>0 имеет корень, причем единственный. Докажем, что этим корнем является логарифм числа b по основанию a , то есть, x=log_ab . Это напрямую следует из определения логарифма.

Остается показать, что если b=a c , то корнем уравнения a x =b является x=c . Это очевидно. Уравнение a x =b при b=a c имеет вид a x =a c , корень этого уравнения очевиден x=c . Здесь к месту напомнить, что две степени с одинаковыми положительными и не равными единице основаниями равны тогда и только тогда, когда их показатели равны (это известное свойство степеней). К этому же результату мы придем, если будем действовать через логарифмы: x=log_ab – корень уравнения a x =b , при b=a c имеем x=log_ab=log_aa c =с .

Утверждение полностью доказано.

Решение общими методами

Алгоритм с его теоретическим обоснованием представляет собой полноценный метод решения простейших показательных уравнений. Однако стоит иметь в виду, что простейшие показательные уравнения можно решать при помощи хорошо известных методов решения уравнений. А именно:

• Вывод о том, что простейшее показательное уравнение a x =b при b или b=0 не имеет решений, можно сделать на основании метода оценки.
• Преобразование простейшего показательного уравнения a x =b при b>0 к виду a x =a c проводится в соответствии методом решения уравнений через преобразования, а следующий переход к равенству x=c делается в согласии с методом уравнивания показателей, который по сути является методом освобождения от внешней функции.
• Простейшее показательное уравнение a x =b при b>0 можно решать и методом логарифмирования, подразумевающим переход от a x =b к log_aa x =log_ab . А следующий переход от уравнения log_aa x =log_ab к x=log_ab , дающий нам конечный результат, проводится в согласии с методом решения уравнений через преобразования.

Примеры решений

В предыдущих пунктах мы разобрали теорию решения простейших показательных уравнений и записали алгоритм. Давайте перейдем к практике, и разберем решения нескольких характерных примеров.

Сначала покажем решения уравнений a x =b , где a>0 , a≠1 , а число b в правой части — отрицательное. Выше мы показали, что такие уравнения не имеют решений.

б)

в)

Теперь покажем решения простейших показательных уравнения с нулями в правых частях. Такие уравнения тоже не имеют решений.

б)

Теперь давайте рассмотрим примеры решения простейших показательных уравнений, отвечающих виду a x =a c . Их единственное решение очевидно: x=c .

Решите показательные уравнения:

а)

б)

в)

г)

В предыдущем примере мы имели дело с очень удобными для решения простейшими показательными уравнениями, имеющими вид a x =a c . Давайте рассмотрим решения чуть более сложных уравнений, которые изначально имеют вид, отличный от a x =a c , но могут быть приведены к нему посредством преобразования числовых выражений, находящихся в правых частях.

б)

в)

г)

Но иногда число или числовое выражение в правой части уравнения невозможно представить в виде степени с нужным основанием без использования логарифма. Так что стоит остановиться на случаях, когда без логарифмов не обойтись.

б)

На простейшие показательные уравнения внешне похожи уравнения a f(x) =b , где f(x) – некоторое выражение с переменной x . Например, 2 x−1 =2 2 , . Про их решение мы поговорим чуть позже. До этого нужно разобрать алгоритм решения показательных уравнений.