Системы уравнений по-шагам
Результат
Примеры систем уравнений
- Метод Гаусса
- Метод Крамера
- Прямой метод
- Система нелинейных уравнений
Указанные выше примеры содержат также:
- квадратные корни sqrt(x),
кубические корни cbrt(x) - тригонометрические функции:
синус sin(x), косинус cos(x), тангенс tan(x), котангенс ctan(x) - показательные функции и экспоненты exp(x)
- обратные тригонометрические функции:
арксинус asin(x), арккосинус acos(x), арктангенс atan(x), арккотангенс actan(x) - натуральные логарифмы ln(x),
десятичные логарифмы log(x) - гиперболические функции:
гиперболический синус sh(x), гиперболический косинус ch(x), гиперболический тангенс и котангенс tanh(x), ctanh(x) - обратные гиперболические функции:
asinh(x), acosh(x), atanh(x), actanh(x) - число Пи pi
- комплексное число i
Правила ввода
Можно делать следующие операции
2*x — умножение 3/x — деление x^3 — возведение в степень x + 7 — сложение x — 6 — вычитание Действительные числа вводить в виде 7.5, не 7,5
Чтобы увидеть подробное решение,
помогите рассказать об этом сайте:
Решение задач по математике онлайн
//mailru,yandex,google,vkontakte,odnoklassniki,instagram,wargaming,facebook,twitter,liveid,steam,soundcloud,lastfm, // echo( ‘
Калькулятор онлайн.
Решение показательных уравнений.
Этот математический калькулятор онлайн поможет вам решить показательное уравнение. Программа для решения показательного уравнения не просто даёт ответ задачи, она приводит подробное решение с пояснениями, т.е. отображает процесс получения результата.
Данная программа может быть полезна учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре. А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением.
Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается.
Обязательно ознакомьтесь с правилами ввода функций. Это сэкономит ваше время и нервы.
Правила ввода функций >> Почему решение на английском языке? >> С 9 января 2019 года вводится новый порядок получения подробного решения некоторых задач. Ознакомтесь с новыми правилами >> —> Введите показательное уравнение
Решить уравнение
Немного теории.
Показательная функция, её свойства и график
Напомним основные свойства степени. Пусть а > 0, b > 0, n, m — любые действительные числа. Тогда
1) a n a m = a n+m
4) (ab) n = a n b n
7) a n > 1, если a > 1, n > 0
8) a n m , если a > 1, n n > a m , если 0 x , где a — заданное положительное число, x — переменная. Такие функции называют показательными. Это название объясняется тем, что аргументом показательной функции является показатель степени, а основанием степени — заданное число.
Определение. Показательной функцией называется функция вида y = a x , где а — заданное число, a > 0, \( a \neq 1\)
Показательная функция обладает следующими свойствами
1) Область определения показательной функции — множество всех действительных чисел.
Это свойство следует из того, что степень a x где a > 0, определена для всех действительных чисел x.
2) Множество значений показательной функции — множество всех положительных чисел.
Чтобы убедиться в этом, нужно показать, что уравнение a x = b, где а > 0, \( a \neq 1\), не имеет корней, если \( b \leqslant 0\), и имеет корень при любом b > 0.
3) Показательная функция у = a x является возрастающей на множестве всех действительных чисел, если a > 1, и убывающей, если 0 x при a > 0 и при 0 x при a > 0 проходит через точку (0; 1) и расположен выше оси Oх.
Если х x при a > 0.
Если х > 0 и |х| увеличивается, то график быстро поднимается вверх.
График функции у = a x при 0 0 и увеличивается, то график быстро приближается к оси Ох (не пересекая её). Таким образом, ось Ох является горизонтальной асимптотой графика.
Если х
Показательные уравнения
Рассмотрим несколько примеров показательных уравнений, т.е. уравнений, в которых неизвестное содержится в показателе степени. Решение показательных уравнений часто сводится к решению уравнения a x = a b где а > 0, \( a \neq 1\), х — неизвестное. Это уравнение решается с помощью свойства степени: степени с одинаковым основанием а > 0, \( a \neq 1\) равны тогда и только тогда, когда равны их показатели.
Решить уравнение 2 3x • 3 x = 576
Так как 2 3x = (2 3 ) x = 8 x , 576 = 24 2 , то уравнение можно записать в виде 8 x • 3 x = 24 2 , или в виде 24 x = 24 2 , откуда х = 2.
Ответ х = 2
Решить уравнение 3 х + 1 — 2 • 3 x — 2 = 25
Вынося в левой части за скобки общий множитель 3 х — 2 , получаем 3 х — 2 (3 3 — 2) = 25, 3 х — 2 • 25 = 25,
откуда 3 х — 2 = 1, x — 2 = 0, x = 2
Ответ х = 2
Решить уравнение 3 х = 7 х
Так как \( 7^x \neq 0 \) , то уравнение можно записать в виде \( \frac<3^x> <7^x>= 1 \), откуда \( \left( \frac<3> <7>\right) ^x = 1 \), х = 0
Ответ х = 0
Решить уравнение 9 х — 4 • 3 х — 45 = 0
Заменой 3 х = t данное уравнение сводится к квадратному уравнению t 2 — 4t — 45 = 0. Решая это уравнение, находим его корни: t1 = 9, t2 = -5, откуда 3 х = 9, 3 х = -5.
Уравнение 3 х = 9 имеет корень х = 2, а уравнение 3 х = -5 не имеет корней, так как показательная функция не может принимать отрицательные значения.
Ответ х = 2
Решить уравнение 3 • 2 х + 1 + 2 • 5 x — 2 = 5 х + 2 х — 2
Запишем уравнение в виде
3 • 2 х + 1 — 2 x — 2 = 5 х — 2 • 5 х — 2 , откуда
2 х — 2 (3 • 2 3 — 1) = 5 х — 2 ( 5 2 — 2 )
2 х — 2 • 23 = 5 х — 2 • 23
\( \left( \frac<2> <5>\right) ^
x — 2 = 0
Ответ х = 2
Решить уравнение 3 |х — 1| = 3 |х + 3|
Так как 3 > 0, \( 3 \neq 1\), то исходное уравнение равносильно уравнению |x-1| = |x+3|
Возводя это уравнение в квадрат, получаем его следствие (х — 1) 2 = (х + 3) 2 , откуда
х 2 — 2х + 1 = х 2 + 6х + 9, 8x = -8, х = -1
Проверка показывает, что х = -1 — корень исходного уравнения.
Ответ х = -1
Решение систем линейных уравнений с параметрами
Разделы: Математика
Цель:
- повторить решение систем линейных уравнений с двумя переменными
- дать определение системы линейных уравнений с параметрами
- научит решать системы линейных уравнений с параметрами.
Ход урока
- Организационный момент
- Повторение
- Объяснение новой темы
- Закрепление
- Итог урока
- Домашнее задание
2. Повторение:
I. Линейное уравнение с одной переменной:
1. Дайте определение линейного уравнения с одной переменной
[Уравнение вида ax=b, где х – переменная, а и b некоторые числа, называется линейным уравнением с одной переменной]
2. Сколько корней может иметь линейное уравнение?
[- Если а=0, b0, то уравнение не имеет решений, х
— Если а=0, b=0, то х R
— Если а0, то уравнение имеет единственное решение, х =
3. Выясните, сколько корней имеет уравнение (по вариантам)
I ряд – I вариант |
Ответ: много корней
Ответ: корней нет
Ответ: единственный корень
II. Линейное уравнение с 2 –мя переменными и система линейных уравнений с 2- мя переменными.
1. Дайте определение линейного уравнения с двумя переменными. Приведите пример.
[Линейным уравнением с двумя переменными называются уравнения вида ах +by=с, где х и у – переменные, а, b и с – некоторые числа. Например, х-у=5]
2. Что называется решением уравнения с двумя переменными?
[Решением уравнения с двумя переменными называются пара значений переменных, обращающие это уравнение в верное равенство.]
3. Является ли пара значений переменных х = 7, у = 3 решением уравнения 2х + у = 17?
4. Что называется графиком уравнения с двумя переменными?
[Графиком уравнения с двумя переменными называется множество всех точек координатной плоскости, координаты которых является решениями этого уравнения.]
5. Выясните, что представляет собой график уравнения:
[Выразим переменную у через х: у=-1,5х+3
Формулой у=-1,5х+3 является линейная функция, графиком которой служит прямая. Так как, уравнения 3х+2у=6 и у=-1,5х+3 равносильны, то эта прямая является и графиком уравнения 3х+2у=6]
6. Что является графиком уравнения ах+bу=с с переменными х и у, где а0 или b0?
[Графиком линейного уравнения с двумя переменными, в котором хотя бы один из коэффициентов при переменных не равен нулю, является прямая.]
7. Что называется решением системы уравнений с двумя переменными?
[Решением системы уравнений с двумя переменными называется пара значений переменных, обращающая каждое уравнение системы в верное равенство]
8. Что значит решить систему уравнений?
[Решить систему уравнений – значит найти все ее решения или доказать, что решений нет.]
9. Выясните, всегда ли имеет такая система решения и если имеет, то сколько (графическим способом).
10. Сколько решений может иметь система двух линейных уравнений с двумя переменными?
[Единственное решение, если прямые пересекаются; не имеет решений, если прямые параллельны; бесконечно много, если прямые совпадают]
11. Каким уравнением обычно задается прямая?
12. Установите связь между угловыми коэффициентами и свободными членами:
I вариант:
|
k1 = k2, b1b2, нет решений;
- y=-х+8
- y=2x-1,
k1k2, одно решение;
- y=-x-1
- y=-x-1,
k1 = k2, b1 = b2, много решений.
Вывод:
- Если угловые коэффициенты прямых являющихся графиками этих функций различны, то эти прямые пересекаются и система имеет единственное решение.
- Если угловые коэффициенты прямых одинаковы, а точки пересечения с осью у различны, то прямые параллельны, а система не имеет решений.
- Если угловые коэффициенты и точки пересечения с осью у одинаковы, то прямые совпадают и система имеет бесконечно много решений.
На доске таблица, которую постепенно заполняет учитель вместе с учениками.
III. Объяснение новой темы.
где A1, A2, B1,B2, C1 C2 – выражения, зависящие от параметров, а х и у – неизвестные, называется системой двух линейных алгебраических уравнений с двумя неизвестными в параметрах.
Возможны следующие случаи:
1) Если , то система имеет единственное решение
2) Если , то система не имеет решений
3) Если , то система имеет бесконечно много решений.
IV. Закрепление
Пример 1.
При каких значениях параметра а система
- 2х — 3у = 7
- ах — 6у = 14
а) имеет бесконечное множество решений;
б) имеет единственное решение
а) , а=4
б) , а?4
а) если а=4, то система имеет бесконечное множество решений;
б) если а4, то решение единственное.
Пример 2.
Решите систему уравнений
- x+(m+1)y=1
- x+2y=n
Решение: а) , т.е. при m1 система имеет единственное решение.
б) , т.е. при m=1 (2=m+1) и n1 исходная система решений не имеет
в) , при m=1 и n=1 система имеет бесконечно много решений.
Ответ: а) если m=1 и n1, то решений нет
б) m=1 и n=1, то решение бесконечное множество
- у — любое
- x=n-2y
в) если m1 и n — любое, то
y= x=
Пример 3.
Для всех значений параметра а решить систему уравнений
- ах-3ау=2а+3
- х+ау=1
Решение: Из II уравнения найдем х=1-ау и подставим в I уравнение
1) а=0. Тогда уравнение имеет вид 0*у=3 [у ]
Следовательно, при а=0 система не имеет решений
Следовательно, у . При этом х=1-ау=1+3у
3) а0 и а-3. Тогда у=-, х=1-а(-=1+1=2
1) если а=0, то (х; у)
2) если а=-3, то х=1+3у, у
3) если а0 и а?-3, то х=2, у=-
Рассмотрим II способ решения системы (1).
Решим систему (1) методом алгебраического сложения: вначале умножим первое уравнение системы на В2, второе на – В1 и сложим почленно эти уравнения, исключив, таким образом, переменную у:
Т.к. А1В2-А2В10, то х =
т.к. А2В1-А1В2 0 у =
Для удобства решения системы (1) введем обозначения:
— главный определитель
Теперь решение системы (1) можно записать с помощью определителей:
х= ; у=
Приведенные формулы называют формулами Крамера.
— Если , то система (1) имеет единственное решение: х=; у=
— Если , или , , то система (1) не имеет решений
— Если , , , , то система (1) имеет бесконечное множество решений.
В этом случае систему надо исследовать дополнительно. При этом, как правило, она сводится к одному линейному уравнению. В случае часто бывает удобно исследовать систему следующим образом: решая уравнение , найдем конкретные значения параметров или выразим один из параметров через остальные и подставим эти значения параметров в систему. Тогда получим систему с конкретными числовыми коэффициентами или с меньшим числом параметров, которую надо и исследовать.
Если коэффициенты А1, А2, В1, В2, системы зависят от нескольких параметров, то исследовать систему удобно с помощью определителей системы.
Пример 4.
Для всех значений параметра а решить систему уравнений
- (а+5)х+(2а+3)у=3а+2
- (3а+10)х+(5а+6)у=2а+4
Решение: Найдем определитель системы:
= (а+5)(5а+6) – (3а+10) (2а+3)= 5а 2 +31а+30-6а 2 -29а-30=-а 2 +2а=а(2-а)
= (3а+2) (5а+6) –(2а+4)(2а+3)=15а 2 +28а+12-4а 2 -14а-12=11а 2 +14а=а(11а+14)
=(а+5) (2а+4)-(3а+10)(3а+2)=2а 2 +14а+20-9а 2 -36а-20=-7а 2 -22а=-а(7а+22)
1) Тогда
х= у=
2) или а=2
При а=0 определители
Тогда система имеет вид:
- 5х+3у=2 5х+3у=2
- 10х+6у=4
При а=2 Этого достаточно, чтобы утверждать, что система не имеет решений.
1) если а и а, то х= у=
2) если а=0, то х,
3) если а=2, то (х; у)
Пример 5.
Для всех значений параметров а и b решить систему уравнений
Решение: = =а+1-2b
= = b -6; = 3a+3-b
1) . Тогда
х= у=
2)
Подставив выражение параметра а в систему, получим:
- 2bx+2y=b 2bx+2y=b
- bx+y=3 2bx+2y=6
Если b6, то система не имеет решений, т.к. в этом случае I и II уравнения системы противоречат друг другу.
Если b=6, а=2b-1=2*6-1=11, то система равносильна одному уравнению
12х+2у=6 у=3-6х
1) если , (а), то x=, y=
2) если b, a, то система не имеет решений
3) если b=6, а=11, то х, у=3-6х
Итог урока: Повторить по таблице и поставить оценки.
При каких значениях параметра система уравнений
- 3х-2у=5
- 6х-4у=b
а) имеет бесконечное множество решений
б) не имеет решений
б) b10
http://www.math-solution.ru/math-task/exponential-equality
http://urok.1sept.ru/articles/550012