Сколько решений уравнения находится среди чисел

Сколько решений уравнения находится среди чисел

Цели урока: закрепить и проверить навыки составления и решения системы уравнений по условию задач различной ситуации; выявить проблемы в знаниях по теме системы уравнений как математические модели реальных ситуаций.

Ход урока.

Организационный момент.
Вступительное слово учителя.

Решение тестовых заданий.

Вариант 1
1. Сколько решений уравнения находится среди чисел (5;1), (0;2), (5;-1)? А. 0 Б. 1 В. 2 Г. 3

2. Какая из ниже указанных пар чисел является решением системы уравнений ? А. (0;2) Б. (2;3) В. (6;0) Г. (-1;-6)

3. Укажите значение произведения , если известно, что — решение системы уравнений. . А. -5 Б. 6 В. -6 Г. 5
4. Воспользовавшись графическим методом, ответьте на вопрос: сколько решений имеет система уравнений ? А. 0 Б. 1 В. 2 Г. 3

5. Укажите значение суммы , если известно, что — решение системы уравнений . А. 5 Б. 3 В. 0 Г. 1

6. При каком значении параметра система уравнений имеет три решения? А. 4 Б. 0 В.-4 Г. нет такого параметра.

7. Решите задачу: Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 17см, а периметр треугольника равен 40см. Найдите катеты прямоугольного треугольника. А. 9см и 5см Б. 8см и 15см В. 9см и 14см Г. 10см и 16см

8. Решите задачу: Две трубы, работая совместно, наполняют бассейн за 4 часа. Первая труба в отдельности может наполнить его на 6 часов быстрее, чем вторая. За сколько часов заполняет бассейн первая труба? А. 6ч Б. 5ч В. 4ч Г. 3ч

Вариант 2
1. Сколько решений уравнения находится среди чисел (-3;1), (0;0), (-2;2)? А. 0 Б. 1 В. 2 Г. 3

2. Какая из ниже указанных пар чисел является решением системы уравнений? А. (-3;2) Б. (1;4) В. (3;2) Г. (8;-3)

3. Укажите значение суммы , если известно, что — решение системы уравнений. . А. 1 Б. -3 В. 2 Г. 0

4. Воспользовавшись графическим методом, ответьте на вопрос: сколько решений имеет система уравнений ? А. 0 Б. 1 В. 2 Г. 3

5. Укажите значение произведение , если известно, что — решение системы уравнений А. 12 Б. -12 В. 6 Г. -6

6. При каком значении параметра система уравнений имеет одно решение? А. 1 Б. 0 В.-1 Г. нет такого параметра.

7. Решите задачу: Диагональ прямоугольника равна 26см, а его периметр 68см. Найдите стороны прямоугольника.
А. 29см и 15см Б. 24см и 10см В. 19см и 14см Г. 10см и 16см

8. Решите задачу: Две строительные бригады, работая вместе, могут выполнить определенную работу за 3 дня. Первая бригада, работая одна, выполнит эту работу на 8 дней быстрее, чем вторая. За сколько дней может выполнить работу первая бригада? А. 6 Б. 5 В. 4 Г. 3

Метод подсчёта количества решений

Линейные алгебраические уравнения — одни из самых простых уравнений, которые мы можем решить. Если в уравнении только одна переменная, решение тривиально, в то время как для системы линейных уравнений существует множество способов найти уникальные решения.

В этой статье нас интересует частный случай линейного уравнения с несколькими переменными. Хорошо известно, что подобное уравнение имеет бесконечное число решений. Мы наложим определённые ограничения и в значительной степени сократим количество решений.

Общая форма интересующего нас уравнения:

где n и m — положительные целые числа.

Наша задача — найти число решений этого уравнения, предполагая, что xᵢ являются целыми числами. Это предположение значительно снижает число решений заданного уравнения.

Нам нужен метод

Давайте начнём с частного случая общего уравнения:

Нетрудно найти все решения этого уравнения методом простого счёта. Решения заданы парами (x₁, x₂):

Мы видим, что уравнение имеет шесть решений. Также нетрудно предположить, что, если мы заменим правую часть определённым положительным целым числом m, решения будут выглядеть так:

и мы сможем подсчитать число решений — m+1.

Это было просто, верно?

Теперь возьмём немного более сложный вариант с тремя переменными, скажем:

С несколько большими усилиями, чем в предыдущем примере, находим решения в виде наборов из трёх чисел (x₁, x₂, x₃):

Число решений в этом случае равно 10.

Легко представить, что метод прямого счёта может стать очень утомительным для уравнения с большим количеством переменных. Он также становится утомительным, если целое число в правой части уравнения становится больше — например, если в правой части у нас будет 8, а не 3, решений будет уже 45. Разумеется, не хотелось бы искать все эти решения методом прямого счёта.

Значит, нужен эффективный метод.

Разрабатываем метод

Существует ещё один способ, которым можно решить предыдущие два уравнения. Давайте снова начнём с этого уравнения:

Одним из решений было (5, 0). Давайте преобразуем его в:

Мы разложили решение на нули и единицы, соответствующие каждому числу. Ненулевую часть (в данном случае 5) мы разложили на соответствующее число единиц, а ноль преобразовали в ноль. Таким же образом мы можем разложить и другое решение:

Мы поменяли прежнее расположение нуля, чтобы получить новое решение. Итак, два числа в парах (обозначенные красным и голубым) разделены нулём (чёрный) в разложенном виде. Таким же образом запишем оставшиеся решения:

Записав решения таким образом, видим закономерность. Кажется, все решения — это просто перестановки нулей и единиц. Вопрос о том, сколько существует решений, становится эквивалентным вопросу как много таких перестановок нулей и единиц может быть сделано, начиная с любой из конфигураций.

В данном случае у нас есть 6 местоположений в разложенной конфигурации для размещения нулей и единиц. Мы можем выбрать простейшее решение в качестве начальной конфигурации:

Теперь всё, что нам нужно найти, это общее число способов, которыми можно заполнить шесть местоположений пятью единицами и одним нулём.

Подобные задачи подсчёта мы можем решить различными способами, но наиболее эффективным будет способ, разработанный в такой области математики как комбинаторика, которая даёт нам формулу для числа способов перестановки r объектов в n местоположений:

где n! (читается как “n факториал”) определяется как произведение всех целых чисел от 1 до n, т.е. n! = 1 × 2 × 3 × ⋅ ⋅ ⋅ × n. Мы также определяем 0! = 1.

Эта формула обычно записывается в компактной форме как:

Теперь, возвращаясь к задаче, мы можем использовать эту формулу для нахождения числа способов перестановки пяти единиц в шести местоположениях:

Это то же самое число, что мы получили методом прямого счёта!

Выглядит многообещающе, поэтому давайте проверим, сможем ли мы найти таким способом число решений второго линейного уравнения:

Некоторые решения можно записать в разложенном виде:

В этот раз нам нужно заполнить тремя единицами и двумя нулями пять местоположений. Используя формулу мы можем найти число способов расположения чисел:

И опять то же число, что мы получили методом прямого счёта. Мы можем также найти число решений для нерешённого случая, где в правой части уравнения 8 вместо 3. Одним из решений будет:

а нам нужно найти число способов разместить 8 единиц в 10 местоположениях, и это будет:

как и утверждалось выше.

Если мы уверены в том, что этот метод работает для всех случаев, нам нужна общая формула. Напомним, что общее уравнение имеет вид:

Простейшее решение этого уравнения:

Поскольку существует n переменных, количество нулей в этом решении равно n-1. Таким образом, разложение выглядит так:

В разложенной конфигурации видим m и n-1 нулей (как утверждалось выше).

Следовательно, общее число местоположений, которые нужно заполнить, равно (m+n-1). Единственное, что остаётся — найти число способов, которыми можно заполнить m+n-1 местоположений m единиц, что определяется по формуле:

Открытый урок «Решение систем уравнений»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

«Актуальность создания школьных служб примирения/медиации в образовательных организациях»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Решение систем уравнений

Обобщить, систематизировать и углубить знания учащихся по изучаемой теме ; актуализировать умения и навыки решения систем уравнений с двумя неизвестными первой и второй степени

Способствовать формированию умений применять разные способы решения систем уравнений.

Развитие творческих способностей учеников путем решения систем уравнений повышенной сложности

Побуждать учеников к самоконтролю, взаимоконтролю, самоанализу своей учебной деятельности.

I. Организационный момент.

Французский писатель Анатоль Франс заметил “Чтобы переварить знания надо поглощать их с аппетитом” , последуем совету писателя, будем на уроке активны, внимательны , будем “поглощать” знания с большим желанием, ведь они вам скоро пригодятся. Умение решать системы уравнений позволяет существенно расширить класс текстовых задач и перед нами стоит задача: повторить способы решения систем уравнений, проверить свое умение самостоятельно применять полученные знания.

II. Устная работа.

1. Выразите одну переменную через другую из уравнения:

а) 5 х + 2 у = –6; б) ху – 3 = 0.

2. Определите, из какого уравнения системы какую переменную удобнее выразить:

а) б) в)

3. Сколько решений уравнения ( x +2) 2 + y 2 =2 y находится среди пар чисел пар чисел

III. Формирование умений и навыков.

Перед решением упражнений следует повторить основные способы решения систем уравнений с двумя неизвестными (выступления учащихся с использованием презентации)

1) способ подстановки;

2) способ сложения;

IV . Работа в группах

Задание Тест 1 (повторить функции и их графики)

Тестовая работа № 1

Функции и их графики.

1. Гиперболой является график функции №:
а) 3; б) 4; в) 1.

2. Записать решение уравнения, графиком которого является парабола № 7:

а) -9; 1; б) -1; 9; в) 0; 2.

3. Графиком прямой пропорциональности является линия №:

4. Функцию № 1 можно записать формулой, где k > 0

а) ; б) ; в) .

5. Указать сколько решений имеет
система уравнений, изображенная в виде графиков 7 и 8:

а) 1; б) 2; в) не имеет

Тестовая работа № 1

Функции и их графики.

1. Гиперболой является график функции №:
а) 2; б) 7; в) 1.

2. Записать решение уравнения, графиком которого является парабола № 6:

а) 0; 5; б) -1; 5; в) -5; 1.

3. Графиком прямой пропорциональности является линия №:

4. Функцию № 1 можно записать формулой, где a > 0

а) ; б) ; в) .

5. Указать, сколько решений имеет система уравнений, изображенная в виде графиков 7 и 8:

а) 2; б) 1; в) не имеет.

Карточки-задания к тестовой работе №1

Вариант I Вариант 2

№ 958 (а), № 962 (а), № 972 (б), № 973 (д), Дополнительно: № 976*.

VI . Физминутка (гимнастика для глаз)

I группа (8 человек) – выполняет

Задание 1 тест в системе онлайн персонально за компьютером

Задание 2 с помощью программы «Построение графиков функции»

Выполнить тест в системе онлайн, результат занести в оценочный лист.

а) С помощью графиков определите, сколько решений имеет система уравнений:

Варианты ответов: 1) 1 ; 2) 3 ; 3) 4 ; 4) 0.

б) Высота над землей подброшенного вверх мяча меняется по закону , где h — высота в метрах, t — время в секундах, прошедшее с момента броска. Сколько секунд мяч будет находиться на высоте не менее 4 метров?

Варианты ответов: 1) 1 ; 2) 0,6 ; 3) 4 ; 4) 1,4.

II группа – работает в парах, затем индивидуально по разноуровневым карточкам

Работа в парах с консультантом (оставшиеся учащиеся разбивается на пары “сильный-слабый”)

Каждая пара получает карточку – помощник. Более слабый ученик рассказывает как решать систему уравнений, а консультант корректирует его решение, если надо рассказывает сам.

Вторую половину карточки ученик заполняет без консультанта, на следующем этапе урока.

Образец (составить при работе с консультантом)

Решите систему уравнений:

Решите систему уравнений:

После работы в парах каждый работает индивидуально по разноуровневым карточкам

Задание 1: Решить систему уравнений

Решить систему уравнений:

а) б)

Решить систему уравнений:

а) б)

а)

а)

а)

а)

б)

б)

б)

б)

в)

в)

в)

в)

3адание 2: (образецы карточек)

1. На рисунке жирными точками показано суточное количество осадков, выпадавших в Томске с 8 по 24 января 2005 года. По горизонтали указываются числа месяца, по вертикали — количество осадков, выпавших в соответствующий день, в миллиметрах. Для наглядности жирные точки на рисунке соединены линией. Определите по рисунку, какого числа за данный период впервые выпало ровно 1,5 миллиметра осадков.

5. На графике показан процесс разогрева двигателя внутреннего сгорания при температуре окружающего воздуха . На оси абсцисс откладывается время в минутах, прошедшее от запуска двигателя, на оси ординат – температура двигателя в градусах Цельсия. К двигателю можно подключить нагрузку, когда температура двигателя достигнет . Какое наименьшее количество минут потребуется выждать, прежде, чем подключить нагрузку к двигателю?

Учитель подводит итоги урока, оценивает работу учащихся, собирает оценочные листы учащихся.