Сколько уравнений в система уравнений идеальной жидкости

Сколько уравнений в система уравнений идеальной жидкости

Уравнения, представляющие собой запись законов сохранения, вместе с дополнительными соотношениями, содержащимися в предыдущей главе, образуют систему уравнений гидромеханики. В главе VI на с. 70 была выписана система уравнений, представляющая собой запись в дифференциальной форме законов сохранения: закона сохранения массы, закона количества движения, закона момента количества движения и закона сохранения энергии.

В этой главе рассматриваем идеальную жидкость. Для нее тензор напряжений имеет вид . В дальнейшем будем рассматривать жидкости без внутреннего момента. Закон моментов при (учитывая вид ) будет удовлетворяться тождественно, поэтому выписывать его не будем.

§ 1. СИСТЕМА УРАВНЕНИИ ГИДРОМЕХАНИКИ ИДЕАЛЬНОЙ НЕТЕПЛОПРОВОДНОИ ЖИДКОСТИ

1. Уравнение неразрывности сохраняет свой вид (I).

2. Уравнения движения сплошной среды — (II). Так как жидкость идеальна, то

При условии (1.1) уравнение (II) примет вид

В проекциях на оси координат

Уравнения (1.2) — уравнения движения идеальной жидкости — носят название уравнений Эйлера.

3. Уравнение энергии — (IV). Так как жидкость нетеплопроводна, то

В силу (1.1) и (1.3) уравнение энергии запишется в виде

(1.4)

К полученным уравнениям надо присоединить уравнение состояния и выражение для внутренней энергии Е через какие-либо две величины из трех (р, р, Т).

Таким образом, система уравнений гидромеханики для идеальной нетеплопроводной жидкости примет вид

Система (1.5) — система шести уравнений для отыскания шести искомых функций: . Пять уравнений — нелинейные уравнения в частных производных первого порядка, одно уравнение — конечное соотношение. Вид зависимости обычно известен. Массовые силы F считаются заданными функциями координат и времени. Объемное поглощение энергии обычно задается как функция р и Т, хотя иногда может зависеть и явным образом от координат и времени. Выпишем систему уравнений (1.5) более подробно:

Здесь .

Этой системе уравнений удовлетворяют все течения идеальной нетеплопроводной жидкости, как установившиеся, так и неустановившиеся, а также относящиеся к обтеканию жидкостью различных тел при разнообразных условиях.

Множество решений весьма широко. Надо научиться ставить условия, которые позволяли бы выбрать нужное решение, соответствующее условиям задачи.

Идеальная жидкость и уравнения, описывающие ее движение

Раздел физики, который изучает особенности движение жидких сред, называется гидродинамикой. Одним из главных математических выражений гидродинамики является уравнение Бернулли для идеальной жидкости. Именно этой теме посвящена статья.

Что такое идеальная жидкость?

Многие знают, что жидкая субстанция представляет собой такое агрегатное состояние материи, которое сохраняет при постоянных внешних условиях объем, но изменяет свою форму при малейшем воздействии на нее. Под идеальной жидкостью понимают такую текучую субстанцию, которая не имеет вязкости и является несжимаемой. Это два главных свойства, которые отличают ее от реальных текучих сред.

Вам будет интересно: Как разобрать предложение по составу? Русский язык

Отметим, что практически все реальные жидкости можно считать несжимаемыми, поскольку для небольшого изменения их объема необходимо огромное внешнее давление. Например, если создать давление в 5 атмосфер (500 кПа), то вода увеличит свою плотность всего на 0,024 %. Что касается вопроса вязкости, то для ряда практических задач, когда в качестве рабочей жидкости рассматривается вода, ею можно пренебречь. Для полноты информации отметим, что динамическая вязкость воды при 20 oC составляет 0,001 Па*с2, что в сравнении с этой величиной для меда (>2000), является мизерным значением.

Важно не путать понятия идеальной жидкости и идеального газа, поскольку последний является легко сжимаемым.

Уравнение непрерывности

В гидродинамике движение идеальной жидкости начинают рассматривать с изучения уравнения непрерывности ее потока. Чтобы понять суть вопроса, необходимо рассмотреть движение жидкости по трубе. Представим, что на входе труба имеет площадь сечения A1, а на выходе A2.

Теперь предположим, что жидкость течет в начале трубы со скоростью v1, это означает, что за время t через сечение A1 пройдет поток объемом V1 = A1*v1*t. Поскольку жидкость является идеальной, то есть несжимаемой, то точно такой же объем воды должен выйти из конца трубы за время t, получаем: V2 = A2*v2*t. Из равенства объемов V1 и V2 следует уравнение непрерывности потока идеальной жидкости:

Из полученного уравнения следует, что если A1>A2, то v1 должно быть меньше, чем v2. Другими словами, уменьшая сечение трубы, мы тем самым увеличиваем скорость выходящего из нее потока жидкости. Очевидно, что этот эффект наблюдал каждый человек в жизни, кто хотя бы раз поливал из шланга клумбы с цветами или огород, так, прикрывая пальцем отверстие шланга, можно наблюдать, как струя бьющей из него воды становится сильнее.

Уравнение непрерывности для разветвленной трубы

Интересно рассмотреть случай движения идеальной жидкости по трубе, которая имеет не один, а два и более выхода, то есть является разветвленной. Например, площадь сечения трубы на входе равна A1, а к выходу она разветвляется на две трубы с сечениями A2 и A3. Определим скорости потоков v2 и v3, если известно, что на вход вода поступает со скоростью v1.

Используя уравнение непрерывности, получаем выражение: A1*v1 = A2*v2 + A3*v3. Чтобы решить это уравнения относительно неизвестных скоростей, нужно понимать, что на выходе, в какой бы трубе не находился поток, он движется с одинаковой скоростью, то есть v2=v3. Этот факт можно понять интуитивно. Если разделить некоторой перегородкой выходную трубу на две части, скорость потока при этом не изменится. Учитывая этот факт, получаем решение: v2 = v3 = A1*v1/(A2 + A3).

Уравнение Бернулли для идеальной жидкости

Швейцарский физик и математик голландского происхождения Даниил Бернулли в своей работе «Гидродинамика» (1734 год) представил уравнение идеальной жидкости, описывающее ее движение. Оно записывается в следующей форме:

P+ ρ*v2/2 + ρ*g*h = const.

Это выражение отражает закон сохранения энергии в случае течения жидкости. Так, первое слагаемое (P) — давление, направленное вдоль вектора перемещения жидкости, которое описывает работу потока, второе слагаемое (ρ*v2/2) — это кинетическая энергия текучей субстанции, и третье слагаемое (ρ*g*h) — это ее потенциальная энергия.

Напомним, что это уравнение справедливо для идеальной жидкости. В действительности же всегда существует трение текучей субстанции о стенки трубы и внутри ее объема, поэтому в приведенное уравнение Бернулли вводят дополнительный член, описывающий эти энергетические потери.

Использование уравнения Бернулли

Интересно привести некоторые изобретения, в которых используются выводы из уравнения Бернулли:

• Дымоход и вытяжки. Из уравнения следует, что чем больше скорость движения текучей субстанции, тем меньше ее давление. Скорость движения воздуха наверху дымохода больше, чем в его основании, поэтому поток дыма из-за разницы давлений всегда стремится вверх.
• Водопроводные трубы. Уравнение помогает понять, как изменится давление воды в трубе, если изменить диаметр последней.
• Самолеты и «Формула-1». Угол расположения крыльев самолета и антикрыла «Формулы-1» обеспечивает разность давления воздуха над и под крылом, что создает поднимающую и прижимающую силу соответственно.

Режимы течения жидкости

Уравнение Бернулли не учитывает режим движения жидкости, который может быть двух типов: ламинарный и турбулентный. Ламинарный поток характеризуется спокойным течением, при котором слои жидкости движутся по относительно плавным траекториям и не смешиваются между собой. Турбулентный режим движения жидкости характеризуется хаотичным перемещением каждой молекулы, составляющей поток. Особенностью турбулентного режима является наличие завихрений.

Каким способом будет течь жидкость, зависит от ряда факторов (особенности системы, например, наличия или отсутствия шероховатостей на внутренней поверхности трубы, вязкости субстанции и скорости ее перемещения). Переход между рассматриваемыми режимами движения описывается числами Рейнольдса.

Ярким примером ламинарного течения является медленное движение крови по гладким кровеносным сосудам. Пример турбулентного течения — сильный напор воды из крана.

Механика сплошных сред (стр. 1 )

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах: 1 2 3 4 5 6

Уральский государственный технический университет

кафедра молекулярной физики

МЕХАНИКА СПЛОШНЫХ СРЕД

рАЗДЕЛ 2 — иДЕАЛЬНАЯ среда

7. Идеальная среда.. 68

7.1. Уравнения движения для сжимаемой и несжимаемой идеальной среды.. 68

7.1.1. Замкнутая система уравнений сохранения для идеальной среды.. 68

7.1.2. Движение несжимаемой среды.. 69

7.1.3. Изоэнтропическое движение. 70

7.1.4. Граничные и начальные условия. 71

7.2. Уравнение Бернулли. 72

7.2.1. Потенциальное движение идеальной среды.. 72

7.2.2. Линии тока и траектории. Трубка тока. 73

7.2.3. Скорость истечения идеальной несжимаемой жидкости из сосуда 75

7.2.4. Распределение давления в трубе переменного сечения. 75

7.2.5. Кавитация. 77

7.2.6. Трубка Пито. 78

7.3. Влияние сжимаемости среды.. 80

7.4. Вихревое движение. 83

7.4.1. Сохранение циркуляции скорости. Теорема Томсона. 83

7.4.2. Вихревая трубка. Теорема Гельмгольца. 84

7.4.3. Прямолинейная одиночная вихревая нить. 86

7.4.4. Примеры вихревых движений. 89

7.5. Потенциальное движение. 91

7.5.1. Потенциал скорости. Граничные условия. 91

7.5.2. Функция тока для плоского движения идеальной среды.. 93

7.5.3. Свойства функции тока. 93

7.6. Некоторые методы решения газодинамических задач для идеальной жидкости. 95

7.6.1. Метод конформных отображений. 95

7.6.2. Обтекание плоской пластинки идеальной несжимаемой жидкостью 95

7.6.3. Обтекание цилиндра идеальной несжимаемой жидкостью.. 97

7.6.4. Распределение давления на поверхности цилиндра. 99

Парадокс Даламбера. 99

7.7. Суперпозиция потенциальных потоков. 102

7.7.1. Обтекание бесконечного цилиндра с циркуляцией. 102

7.7.2. Распределение давления. Подъемная сила. 103

7.8. Графоаналитический метод. 107

7.9. Движение бесконечного цилиндра в идеальной несжимаемой среде. 109

7.9.1. Постановка задачи и методика решения. 109

7.9.2. Распределение давления около движущегося цилиндра. 111

7.9.3. Сила сопротивления движущегося шара. Присоединенная масса 113

7.10. Численные методы в механике сплошных идеальных сред.. 116

7.10.2. Краткая характеристика численных методов. 117

7.10.2.1. Метод конечных разностей. 117

7.10.2.2. Метод интегральных соотношений. 117

7.10.2.3. Метод характеристик. 118

7.10.2.4. Метод частиц в ячейках. 118

7.10.2.5. Метод конечных элементов. 119

7.10.2.6. Метод дискретных вихрей. 119

7.10.2.7. Статистические методы.. 120

7.10.3. Основы численных методов. 121

7.10.3.1. Задача интерполирования. 121

7.10.3.2. Интерполяционный многочлен Лагранжа. 121

7.10.3.3. Погрешность интерполирования. 122

7.10.4. Вычисление интегралов. 122

7.10.4.1. Квадратурные формулы Ньютона-Котеса. 122

7.10.4.2. Формула трапеций. 123

7.10.4.3. Формула Симпсона. 123

7.11. Применение метода потоков в механике сплошных идеальных сред.. 125

7.11.1. Общие замечания. 125

7.11.2. Описание метода потоков. 126

7.11.3. Конечно – разностные схемы метода потоков. 130

7.11.3.1. Постановка и решение задачи. 130

7.11.3.2. Обтекание прямоугольного выступа эйлеровым газом. 132

7.11.3.3. Этапы вычислительного цикла. 135

7.11.4. Результаты расчета. 137

7. Идеальная среда

Под жидкостью будем понимать как собственно саму жидкость, так и газ, полагая, что оба эти агрегатных состояния вещества представляют собой сплошную среду.

Идеальной жидкостью называют жидкость, у которой отсутствует вязкое трение и объёмная вязкость (h = 0, z = 0), теплопроводность (l = 0), а модуль сдвига равен 0 (m = 0). Несмотря на то, что это весьма идеализированная модель сплошной среды, многие характерные черты движения жидкостей могут быть изучены при помощи этой простейшей модели, по крайней мере, вдали от поверхности обтекаемых тел.

7.1. Уравнения движения для сжимаемой и несжимаемой идеальной среды

7.1.1. Замкнутая система уравнений сохранения для идеальной среды

В пренебрежении вязкостью для идеальной ньютоновской среды общий тензор напряжений согласно (6.11.2) имеет простой вид:

. (7.1.1)

Поэтому уравнение движения идеальной среды в соответствии с уравнением (6.4.9) можно записать в следующей форме:

(7.1.2)

Вообще говоря, можно было бы ослабить условие идеальности и полагать, что вязкость жидкости настолько мала, что . Однако это условие заведомо не выполняется вблизи поверхности обтекаемых тел.

Уравнение (7.1.2) называют уравнением Эйлера. Уравнение непрерывности движения (6.3.5), конечно, сохранит свой вид. Уравнение сохранения внутренней энергии согласно уравнению (6.7.7) и уравнению (6.7.1) можно записать в виде

, (7.1.3)

поскольку

Из второго уравнения системы – уравнения сохранения энтропии (6.7.10) следует физически очевидный результат:

, (7.1.4)

т. е. энтропия единицы массы индивидуальной частицы идеальной жидкости сохраняется в процессе движения. Этот результат очевиден, т. к. сделанные выше предположения лишили жидкость механизмов возрастания энтропии.

Таким образом, система уравнений сохранения для идеальной жидкости имеет вид:

(7.1.5)

Таким образом, имеется пять уравнений для нахождения семи неизвестных искомых функций (если внешние силы заданы): Для замыкания системы уравнений (7.1.5.) до полной необходимо добавить термическое уравнение состояния:

Внутренняя энергия eвн также может быть определена из калорического уравнения состояния:

7.1.2. Движение несжимаемой среды

Условием несжимаемости среды, как отмечалось ранее, является уравнение . В этом случае из уравнения непрерывности (6.3.3) следует, что dρ/dt =0, т. е. массовая плотность не зависит ни от координат физического пространства хi , ни от времени t. Тогда в уравнении Эйлера (7.1.2) плотность ρ можно внести под знак производной и уравнение записать в векторном виде

(7.1.6)

Для изоэнтропических движений несжимаемой среды уравнение (7.1.6) можно преобразовать к виду, содержащему только скорость. Для этого предположим, что внешние силы являются потенциальными, т. е. . Воспользуемся известной формулой из векторного анализа вида

(7.1.7)

После подстановки (7.1.7) в уравнение движения (7.1.6) получим:

(7.1.8)

Применив операцию rot к обеим частям уравнения (7.1.8) и учитывая, что rotѺ0, имеем:

(7.1.9)

Данное уравнение называют уравнением Эйлера в форме Громека. Это уравнение замечательно тем, что оно содержит только вектор скорости. Таким образом, в случае течений несжимаемых сред, если массовые силы являются потенциальными, скорости могут быть найдены независимо от других параметров течения.

При заданных краевых и начальных условиях решение уравнения (7.1.9) существует и оно единственное, т. е. задача становится чисто кинематической. Для отыскания других переменных характеристик течения необходимо, зная , вернуться к исходной форме уравнения движения Эйлера (7.1.6). Например, плотность может быть найдена из уравнения непрерывности, а — из уравнения движения Эйлера (7.1.6).

Если ввести аксиальный вектор w соотношением , то уравнение Громека можно записать в виде

. (7.1.10)

7.1.3. Изоэнтропическое движение

Уравнение сохранения энтропии (7.1.4) свидетельствует о том, что, если в начальный момент времени во всех точках объёма, занятого идеальной средой, энтропия была одинакова, то она останется той же самой во всех точках и во все последующие моменты времени. Тогда из уравнения (7.1.4) можно записать:

Движение жидкости с постоянным значением энтропии называют изоэнтропическим.

Используя условие изоэнтропичности движения (7.1.4), уравнению движения идеальной жидкости (7.1.2) можно придать другой вид. Для этого воспользуемся определением малого изменения энтальпии единицы массы и основным термодинамическим равенством (4.2.1) для замены малого изменения внутренней энергии в виде:

где — удельный объём жидкости.

Так как для изоэнтропического движения dS = 0, то имеем:

(7.1.11)

Эти соотношения означают, что при движении идеальной среды индивидуальная частица испытывает сжатие при увеличении давления. Тогда уравнение движения в системе уравнений сохранения (7.1.5) принимает вид:

(7.1.12)

7.1.4. Граничные и начальные условия

Поскольку идеальная среда не имеет вязкости, то её соседние слои могут иметь какие угодно скорости. Так, например, среда может двигаться вдоль обтекаемой твёрдой поверхности с любой скоростью. Поэтому единственным физическим ограничением для скорости среды, обтекающей некоторую твердую поверхность, есть условие не протекания или условие не накопления вещества на поверхности. Это условие ограничивает лишь нормальную к поверхности обтекаемого тела компоненту скорости среды. Так, на неподвижной поверхности нормальная компонента скорости жидкости должна быть равна нулю, а на поверхности, движущейся со скоростью u, нормальные компоненты скорости поверхности и жидкости должны быть равны, т. е.

(7.1.12)

В качестве начальных или, как уже было сказано выше, краевых условий необходимо задать все искомые функции в некоторый момент времени в рассматриваемой области движения или на её поверхности.

7.2. Уравнение Бернулли

7.2.1. Потенциальное движение идеальной среды

Движение жидкости, при котором во всем занятом движущейся жидкостью пространстве , называют потенциальным.

Рассмотрим в качестве массовой силы силу тяжести. Тогда, если ось z направлена в противоположную ускорению силы тяжести сторону, можно записать:

Тогда для стационарного () и потенциального () движения идеальной несжимаемой среды в поле тяжести из уравнения (7.1.8) следует

(7.2.1)

В любой точке потока последнее равенство может выполняться только тогда, когда выражение в скобках равно некоторой постоянной во всем поле течения среды, не зависящей от координат, т. е.

(7.2.2)

Уравнение (7.2.2) есть первый интеграл уравнения движения Эйлера (7.1.2), и его называют уравнением Бернулли для несжимаемой идеальной жидкости. Уравнение Бернулли по физическому смыслу является уравнением сохранения полной энергии единицы массы. Действительно, в нём слагаемые есть кинетическая энергия, потенциальная энергия и работа сил давления по изменению объема единицы массы, соответственно.

Для сжимаемой среды при изоэнтропическом движении массовая плотность не зависит от радиуса-вектора r и Поэтому в соответствии с (7.1.11) можно записать

.

Используя эту замену в (7.2.2), получаем уравнение Бернулли для несжимаемой жидкости при изоэнтропическом движении в форме

(7.2.3)

7.2.2. Линии тока и траектории. Трубка тока

Линия тока — это линия, касательная к которой в точке касания даёт направление скорости индивидуальной частицы. Траектория — это линия или кривая, описываемая индивидуальной частицей при своём движении. При установившемся движении линии тока и траектории совпадают. При неустановившемся движении это, вообще говоря, разные линии.

Для визуализации течения в экспериментах вводят в движущуюся жидкость мелкие, легкие частицы, которые при соответствующем освещении довольно ярко светятся. Если сфотографировать поле течения с небольшой выдержкой, то на фотографии можно наблюдать множество коротких черточек, «прочерчиваемых» за короткое время экспозиции на фотопластинке множеством светящихся частиц порошка. Можно подобрать к некоторому последовательному ряду чёрточек кривые, к которым эти чёрточки являются касательными, эти кривые и будут линиями тока в жидкости в данный момент времени. В другой момент времени неустановившегося движения линии тока могут быть другими. Если же значительно увеличить время экспозиции, то каждая частица «прочертит» на фотопластинке непрерывную линию через всё поле течения, охватываемое объективом. Эти линии и являются траекториями частиц жидкости.

Касательные к линии тока в различных её точках дают направление скорости различных индивидуальных частиц в данный момент времени. Касательные к траектории в различных её точках дают направление скорости одной и той же индивидуальной частицы в различные моменты времени.

Если в жидкости взять некоторый замкнутый контур и через все его точки провести линии тока, то они составят некоторую трубку, которую называют трубкой тока. Трубка тока замечательна тем, что по определению через её боковую поверхность нет потока жидкости. Жидкость в трубку тока может поступать только через её торцы. Элемент длины линии тока dr и скорость частицы u являются векторами коллинеарными, для которых отношение соответствующих компонент есть величина постоянная. Поэтому уравнение линии тока имеет вид

(7.2.4)

Рассмотрим стационарное (), не потенциальное (), изоэнтропическое () движение сжимаемой жидкости в поле потенциальных сил (). Спроектируем уравнение (7.1.9) на линию тока. Для этого умножим скалярно правую и левую часть уравнения (7.1.9) на единичный вектор l, касательный к линии тока:

l = l . Но векторное произведение в левой части данного уравнения представляет собой вектор, перпендикулярный вектору , а, следовательно, и l. Поэтому их скалярное произведение равно нулю. Тогда имеем:

l (7.2.5)

Здесь означает производную вдоль направления единичного вектора l. Следовательно, для данной линии тока справедливо уравнение Бернулли вида

(7.2.6)

Это уравнение является уравнением Бернулли для линии тока при стационарном, потенциальном движении идеальной сжимаемой жидкости в поле потенциальных сил тяжести. Уравнение (7.2.6) отличается от уравнения (7.2.2) только тем, что в случае не потенциального () движения жидкости в потенциальном поле силы тяжести константа в правой части уравнения (7.2.2) постоянна во всём поле течения жидкости. Тогда как в уравнении (7.2.6) константа в правой части является постоянной лишь для данной линии тока при не потенциальном движении, когда , в поле потенциальных сил тяжести и может иметь другое значение для другой линии тока. Для несжимаемой же жидкости при не потенциальном движении для линии тока уравнение Бернулли имеет вид:

(7.2.7)

Следует заметить, что возможно получить уравнение Бернулли в виде (7.2.7) каждый раз, когда удаётся выразить слагаемое (1/r) в виде градиента некоторой функции. Так, для изоэнтропического движения сжимаемой идеальной жидкости , а для несжимаемой идеальной жидкости Очевидно, что это можно сделать и при изотермическом движении, когда Тогда выражение можно выразить в виде градиента некоторой функции Ф(Р) в виде

Такие движения называются баротропными, а функцию Ф(P) называют баротропным потенциалом. Для баротропных движений уравнение Бернулли имеет вид

(7.2.8)

7.2.3. Скорость истечения идеальной несжимаемой жидкости из сосуда

Уравнение Бернулли имеет самое широкое применение на практике. Рассмотрим несколько примеров. В качестве первого примера рассмотрим стационарное истечение идеальной несжимаемой жидкости из сосуда (рис.7.1). Если полагать, что сосуд достаточно велик, а отверстие мало, то можно считать, что при истечении уровень жидкости не изменяется заметно в течение достаточно продолжительного промежутка времени. Пусть на поверхность жидкости в сосуде действует давление (например, атмосферное). Будем также полагать, что струя вытекает в пространство, где внешнее давление также равно (истечение в атмосферу). Обобщение на различные давления не составляет труда. Проведем некоторую гипотетическую линию тока и выберем на ней две точки: одну на поверхности жидкости в сосуде (точка 1), другую внутри отверстия (точка 2).

Тогда для этой линии тока можно записать уравнение Бернулли (7.2.7):

Поскольку поверхность жидкости в сосуде предполагается неподвижной ), из последнего равенства следует:

(7.2.9)

Заметим, что такую же скорость приобретает тело, которое падает в пустоте с высоты h.

7.2.4. Распределение давления в трубе переменного сечения

Рассмотрим стационарное движение идеальной несжимаемой жидкости в трубе переменного сечения, направленное слева направо на Рис.7.2. Действием силы тяжести можно пренебречь. Выберем какую — либо линию тока (например, осевую). На этой линии тока рассмотрим две произвольные точки 1 и 2. Тогда для этих точек на выбранной линии тока можно записать в

соответствии с уравнением Бернулли:

(7.2.10)

Из данного уравнения следует, что в той точке на линии тока, где скорость больше, гидростатическое давление меньше и наоборот. Непрерывность движения жидкости в трубе требует выполнения следующего закона:

(7.2.11)

Данный закон называют также условием не накопления вещества или

условием не разрывности струи в любом сечении трубы. В соответствии с этим законом поток массы при движении идеальной жидкости в трубе переменного сечения есть величина постоянная. Из этого условия следует, что скорость несжимаемой жидкости тем больше, чем меньше сечение трубы, и она максимальна в самом узком сечении трубы. Следовательно, в самом узком месте трубы давление минимально согласно (7.2.9). Если на поверхности трубы установить манометрические трубки, то жидкость в них будет находиться на разных уровнях. Самый низкий уровень манометрической жидкости, следовательно, будет в самом узком сечении трубы.

В качестве примеров, которые могут быть просто объяснены при помощи установленного вывода, можно привести следующие. Например, капитанам судов запрещается проводить сближение судов, идущих параллельным курсом, до некоторого минимального расстояния. Действительно, при этом вода между двумя судами приобретает некоторую дополнительную скорость за счёт сужения канала, образованного бортами судов, а давление воды между судами оказывается меньшим, чем вне них.

Поэтому возникают силы, равные разности сил давлений на внешние и внутренние борта судов и стремящиеся сблизить суда, что может привести к их столкновению (рис.7.3а). Хорошо известен экспериментальный факт, что, если продувать воздух между двумя параллельными листами бумаги, то они будут стремиться сблизиться (рис.7.3б).Действие пульверизатора также легко понять на основании полученного выше вывода. Если в отсутствие обдува жидкость в трубочке и флаконе была на одном уровне, то при продувании воздуха около верхнего торца трубочки давление атмосферного воздуха уменьшается, а внутри флакона атмосферное давление сохраняется, если имеется дополнительный канал в пробке. За счёт разности давлений жидкость выталкивается вверх по трубочке и разбрызгивается потоком воздуха (рис.7.3в).

При сильных и порывистых ветрах иногда наблюдается непривычное на первый взгляд явление. Крыша дома вместе с верхним венцом бревен поднимается вверх, а затем уже опрокидывается ветром. Нетрудно понять, почему это происходит. Если перед порывом ветра давление снаружи крыши и на чердаке дома уравниваются, то при резком порыве ветра над крышей создаётся меньшее давление, чем на чердаке, и если через щели между крышей и последним венцом коробки дома эта разность давления не успеет выровняться. Крышу поднимет создавшаяся значительная результирующая сила, направленная вверх и равная произведению разности давления на площадь, а затем ветром крыша сбрасывается с дома (рис.7.3г).

7.2.5. Кавитация

Если увеличивать скорость движения жидкости по трубе (рис.7.2) или при том же самом расходе жидкости уменьшить самое узкое сечение трубы, то можно в этом сечении получить отрицательное давление. Действительно, из уравнения Бернулли и закона не накопления вещества в сечениях S1 и Smin трубы можно записать

(7.2.12)

Из этих уравнений легко получить выражение для минимального давления в самом узком сечении трубы :

(7.2.13)

Из данного соотношения видно, что если второе слагаемое в правой части по абсолютной величине будет больше, чем , то минимальное давление окажется «отрицательным», т. е. частицы жидкости, проходящее сечение трубы с «отрицательным» давлением будут подвергаться растяжению (такую жидкость называют «растянутой»). Однако, как отмечалось выше, жидкость не может находиться в растянутом состоянии длительное время. Она «вскипит» или, как говорят, сплошность жидкости нарушится в результате выделения пузырьков растворенного в ней газа. Так как при падении давления до «отрицательных» значений в жидкости выделяются пузырьки, заполненные паром жидкости или газом, растворённым в ней, или тем и другим в той или иной концентрации, то возникает так называемое явление кавитации, т. е. явление нарушения сплошности движущейся среды.

Явление кавитации играет очень важную роль в инженерной практике. Дело в том, что пузырьки газа, проходя самое узкое сечение трубы, попадают далее в область более высокого давления и схлапываются. Если такие пузырьки попадают на поверхность тела, то при их схлапывании возникают довольно значительные локальные давления, которые, в свою очередь, приводят к эрозии, т. е. разрушению, материала поверхности. Аналогичные явления возникают при быстром движении тел в жидкости, например, при вращении гребных винтов пароходов или лопаток гидротурбин. При этом так же образуются области «растянутой» жидкости, в которых выделяются пузырьки. Кавитация приводит к чрезвычайно быстрому их износу и выходу из строя и по настоящее время является предметом интенсивного изучения. Практически можно считать, что кавитация возникает тогда, когда в жидкости давление падает до давления насыщенных паров при данной температуре, т. е. когда

7.2.6. Трубка Пито

При обтекании тупого тела идеальной жидкостью на его поверхности всегда можно указать точку, в которой вектор скорости набегающего потока направлен по нормали и в которой скорость равна нулю (точка А на рис.7.4).

Рис. 7.4

Проведем в эту точку линию тока, которая, очевидно, начинается вдали от тела и заканчивается в точке А, которую называют точкой полного торможения потока или критической точкой, а линию тока – критической. Для этой линии тока можно записать уравнение Бернулли, которое для несжимаемой жидкости в отсутствии поля потенциальных сил имеет вид

(7.2.14)

Из этого уравнения следует

(7.2.15)

Как видно из (7.2.15), давление в критической точке определяется суммой давления в набегающем потоке и некоторой добавки, обязанной своим возникновением торможению жидкости в критической точке. Эту добавку, равную , называют скоростным напором. Последнюю формулу можно использовать для измерения скорости движения жидкости или скорости движения тела в неподвижной несжимаемой жидкости.

Прибор, при помощи которого проводят измерение скорости потока, используя эту формулу, называют трубкой Пито или трубкой Прандтля. Схематичное изображение такой трубки представлено на рис 7.5.Торцевое отверстие трубки Пито представляет собой «точку» полного торможения потока, в которой давление соответствует давлению полного торможения. Другой же торец U-образной манометрической трубки воспринимает через отверстие в боковой поверхности корпуса трубки статистическое давление в потоке . Очевидно, разность давлений уравновешивается давлением столба манометрической жидкости, равным . Тогда согласно (7.2.13) имеем

(7.2.16)

В формуле (7.2.16) g — ускорение силы тяжести, — плотность манометрической жидкости, r — плотность жидкости, скорость которой измеряется. В частности, это может быть и плотность газа, если измеряется скорость газа.

Рис. 7.5. Принципиальная схема трубки Пито

Таким образом, помещая трубку Пито в поток движущейся жидкости или газа и измеряя создаваемый перепад давления каким-либо манометром, можно довольно просто измерить их скорость. В результате длительного экспериментального и теоретического изучения в настоящее время выработан определенный стандарт, гарантирующий процентную точность в оптимальном диапазоне измерения скоростей. Рекомендации этого стандарта приведены на рис.7.5. Как видно из рисунка, давление в отверстии на боковой поверхности трубки будет равно давлению вдали от трубки в невозмущенном потоке лишь на расстоянии 3d от торца трубки. Любое другое расположение этого отверстия не гарантирует стандартную точность. Причины этого будут яснее при последующем изучении движений идеальной жидкости. Помещая трубку Пито на самолете, можно измерить скорость полета самолета относительно воздуха.