Скорость колебаний по заданному уравнению

I. Механика

Тестирование онлайн

Гармоническое колебание

Это периодическое колебание, при котором координата, скорость, ускорение, характеризующие движение, изменяются по закону синуса или косинуса.

График гармонического колебания

График устанавливает зависимость смещения тела со временем. Установим к пружинному маятнику карандаш, за маятником бумажную ленту, которая равномерно перемещается. Или математический маятник заставим оставлять след. На бумаге отобразится график движения.

Графиком гармонического колебания является синусоида (или косинусоида). По графику колебаний можно определить все характеристики колебательного движения.

Уравнение гармонического колебания

Уравнение гармонического колебания устанавливает зависимость координаты тела от времени

График косинуса в начальный момент имеет максимальное значение, а график синуса имеет в начальный момент нулевое значение. Если колебание начинаем исследовать из положения равновесия, то колебание будет повторять синусоиду. Если колебание начинаем рассматривать из положения максимального отклонения, то колебание опишет косинус. Или такое колебание можно описать формулой синуса с начальной фазой .

Изменение скорости и ускорения при гармоническом колебании

Не только координата тела изменяется со временем по закону синуса или косинуса. Но и такие величины, как сила, скорость и ускорение, тоже изменяются аналогично. Сила и ускорение максимальные, когда колеблющееся тело находится в крайних положениях, где смещение максимально, и равны нулю, когда тело проходит через положение равновесия. Скорость, наоборот, в крайних положениях равна нулю, а при прохождении телом положения равновесия — достигает максимального значения.

Если колебание описывать по закону косинуса

Если колебание описывать по закону синуса

Максимальные значения скорости и ускорения

Проанализировав уравнения зависимости v(t) и a(t), можно догадаться, что максимальные значения скорость и ускорение принимают в том случае, когда тригонометрический множитель равен 1 или -1. Определяются по формуле

Как получить зависимости v(t) и a(t)

Формулы зависимостей скорости от времени и ускорения от времени можно получить математически, зная зависимость координаты от времени. Аналогично равноускоренному движению, зависимость v(t) — это первая производная x(t). А зависимость a(t) — это вторая производная x(t).

При нахождении производной предполагаем, что переменной (то есть x в математике) является t, остальные физические величины воспринимаем как постоянные.

Уравнение гармонических колебаний

п.1. Гармонические колебания как простейший периодический процесс

Например:
1) Вращение Луны вокруг Земли, Земли и других планет вокруг Солнца, Солнечной системы в целом вокруг центра Галактики;
2) Колебания атомов в молекуле, колебания электромагнитного поля;
3) Сокращения сердечной мышцы, колебания маятника часов, движение поршня в двигателе внутреннего сгорания, смена дня и ночи, приливы и отливы.

Например:
1) Период вращения минутной стрелки часов T=1 час
Период вращения Земли вокруг своей оси T=1 сут=24 ч
Период вращения Земли вокруг Солнца T=1 год=365 сут
2) Период колебаний атомов в двухатомных молекулах T=10 -14 с
Период вращения Солнца вокруг центра Галактики T=240 млн.лет.≈7,6·10 15 с

Если состояние системы характеризуется некоторой функцией от времени \(s=x(t)\), то для периодического процесса выполняется равенство: \(x(t+T)=x(t)\).
Простейшими периодическими функциями являются тригонометрические функции \(sin⁡t\) и \(cos⁡t\) с периодом \(T=2\pi\).

Множитель \(\omega\) перед аргументом \(t\) тригонометрической функции сокращает её период в \(\omega\) раз (см. §8 данного справочника). Поэтому:

Например:
Запишем закон колебаний математического маятника – шарика на нити, если в начальный момент времени он был отклонен на 5 см, а затем отпущен. При подсчете за 10 с он совершил 20 колебаний.
Отклонение в начальный момент соответствует амплитудному значению A=5 см при \(t_0=0\), значит, будем описывать колебания по закону косинуса с начальной фазой \(\varphi_0=0\). По условию за t=10 с зафиксировано N=20 колебаний, откуда частота: \begin \nu=\frac Nt,\ \ \omega=2\pi\nu=2\pi\frac Nt\\ \omega=2\pi\cdot\frac<20><10>=4\pi\ \text <(рад/с)>\end Получаем закон колебаний: \(x(t)=5cos(4\pi t)\)

п.2. Перемещение, скорость и ускорение при гармоническом движении

Пусть \(x(t)\) — координата тела, участвующего в периодическом движении по закону: $$ x(t)=Acos⁡\omega t $$ Найдем скорость как первую производную от координаты: $$ v(t)=x'(t)=-A\omega sin\omega t=A\omega cos⁡\left(\omega t+\frac\pi 2\right) $$ Мы видим, что колебания скорости происходят с той же частотой, что и колебания координаты, но опережают их по фазе на \(\frac\pi 2\). Амплитудное значение скорости: $$ v_m=A\omega $$ Найдем ускорение как первую производную от скорости (и соответственно, вторую производную от координаты): $$ a(t)=v'(t)=x»(t)=-A\omega^2 cos\omega t=A\omega^2 cos⁡(\omega t+\pi) $$ Колебания ускорения также происходят с той же частотой, опережая колебания скорости на \(\frac\pi 2\) и колебания координаты на \(\pi\). Амплитудное значение ускорения: $$ a_m=A\omega^2 $$ Например:
При A=2 и \(\omega=\frac12\) получаем такие синусоиды:

Из уравнения для ускорения получаем: $$ x»(t)=-A\omega^2cos\omega t=-\omega^2(Acos\omega t)=-\omega^2 x(t) $$ Откуда следует:

Решением этого уравнения в общем виде будут: $$ x(t)=Asin⁡(\omega t+\varphi_0)\ \text<или>\ x(t)=A cos⁡(\omega t+\varphi_0) $$ Для каждой из систем физический смысл \(x(t)\) и \(\omega\) будет разным.

п.3. Примеры

Пример 1. Получите уравнение гармонических колебаний для горизонтального пружинного маятника с массой m и жесткостью пружины k. Чему равна циклическая частота этих колебаний?

Горизонтальный пружинный маятник – это грузик массой m, прикрепленный к пружине жесткостью k. Грузик может перемещаться в горизонтальном направлении без трения.

По вертикали на грузик действую сила тяжести и реакция опоры, равнодействующая которых равна нулю.
По горизонтали на грузик действует только сила упругости: \(F=-k\cdot x(t)\)
Самое время вспомнить о втором законе Ньютона. Сила, действующая на грузик, приводит его в движение с ускорением a: \begin F=ma=m\cdot x»(t)\\ m\cdot x»(t)=-k\cdot x(t) \end Уравнение движения грузика: $$ x»(t)+\frac km x(t)=0 $$ что является уравнением гармонических колебаний с частотой: \(\omega=\sqrt<\frac km>\)
Общее решение уравнения: \(x(t)=Acos\left(\sqrt<\frac km>+\varphi_0\right)\)
Амплитудные значения скорости и ускорения: $$ v_m=A\sqrt<\frac km>,\ \ a_m=A\frac km $$ Ответ: \(\omega=\sqrt<\frac km>\)

Пример 2. Получите уравнение гармонических колебаний для малых углов отклонений математического маятника на нити длиной l при ускорении свободного падения g. Чему равна циклическая частота этих колебаний?

Математический маятник – это шарик, который можно считать материальной точкой, на длинной невесомой нерастяжимой нити длиной l в поле тяготения с ускорением свободного падения g.

Пример 3. Получите уравнение гармонических колебаний для L-контура.
Чему равна циклическая частота этих колебаний?

LC-контур – это электрическая цепь, состоящая из катушки индуктивностью L и конденсатора емкостью C. Модель является идеальной, т.к. предполагает, что в цепи полностью отсутствует активное сопротивление R, и колебания не затухают со временем.

Напряжение на конденсаторе \(U_C(t)=\frac\). Ток, протекающий через катушку, создает ЭДС \(\varepsilon_L(t)=-L\frac<\triangle I><\triangle t>\). При переходе к пределу \(\triangle t\rightarrow 0\) получаем производную \(\varepsilon_L(t)=-LI'(t)\). По второму закону Кирхгофа для замкнутого контура: \begin U_c(t)=\varepsilon_L(t)\Rightarrow \frac=-LI'(t)\Rightarrow \frac+LI'(t)=0 \end Вспомним, что \(Q'(t)=I(t)\) – ток равен производной от заряда по времени.
Тогда первая производная от тока равна второй производной от заряда \(I'(t)=Q»(t)\).
\begin \frac+LQ»(t)=0 \end Получаем уравнение гармонических колебаний: $$ Q»(t)=\frac<1>Q(t)=0,\ \ \omega=\frac<1><\sqrt> $$ Общее решение уравнения: \(Q(t)=Q_m cos\left(\frac<1><\sqrt>t+\varphi_0\right)\)
Напряжение на конденсаторе: $$ U_C(t)=\frac=\fraccos\left(\frac<1><\sqrt>t+\varphi_0\right) $$ Амплитудное значение напряжения: \(U_m=\frac\)
Ток как скорость изменения заряда: $$ I(t)=Q'(t)=-\frac<\sqrt>sin\left(\frac<1><\sqrt>t+\varphi_0\right)=\frac<\sqrt>cos\left(\frac<1><\sqrt>t+\varphi_0+\frac\pi 2\right) $$ Амплитудное значение тока: \(I_m=\frac<\sqrt>\)
Ток опережает колебания заряда и напряжения на \(\frac\pi 2\)

17. Механика Читать 0 мин.

17.547. Механические колебания

Колебания ― это процесс, при котором состояние системы изменяется, повторяясь во времени, и смещаясь то в одну, то в другую сторону относительно состояния равновесия.

Период ― это время, через которое повторяются показатели системы, т. е. система совершает одно полное колебание. Период изменяется в секундах.

Частота ― величина обратная периоду: число полных колебаний за единицу времени. Частота измеряется в герцах [Гц] = [c-1]. Частота равна v = $\frac<1>$ , где

Если известно, что тело совершает N колебаний за время t, то частоту его колебаний можно определить как v = $\frac$ , где

N ― количество колебаний;

Для описания колебательных систем, совершающих круговые процессы, удобно использовать круговую (циклическую) частоту. Циклическая частота показывает количество полных колебаний, которые происходят за 2π секунд и равна ω = 2πvили ω = $\frac<2\pi>$ , где

ω ― циклическая частота [рад/с];

Гармонические колебания ― колебания, в которых физические величины изменяются по закону синуса или косинуса. Кинематическое уравнение гармонических колебаний имеет вид:

ω ― циклическая частота [рад/с];

φ0 ― начальная фаза колебаний, [рад];

Смещение (x) ― это отклонение тела от положения равновесия. Смещение также является координатой тела, если отсчитывать ее от положения равновесия.

Амплитуда колебаний (A) ― максимальное отклонение колеблющейся величины от положения равновесия, т. е. максимальное смещение равно амплитуде колебаний xmax = A.

Начальная фаза колебаний (φ0) определяет смещение в начальный момент времени, выраженное в радианах.

Фаза колебаний (φ) или полная фаза колебаний, определяет смещение в данный момент времени, выраженное в радианах. Фаза колебаний равна φ = ωt + φ0, где

φ ― полная фаза колебаний [рад];

φ0 ― начальная фаза колебаний, [рад];

ω ― циклическая частота [рад/с];

Пример анализа гармонических колебаний точки

Рассмотрим гармонические колебания, в которых уравнение движения точки имеет вид x(t) = Asin(ωt), где

ω ― циклическая частота [рад/с].

Из уравнения x(t) = Asin(ωt) следует, что начального смещения нет (φ0 = 0) и колебания начинаются из положения равновесия. Смещение x достигает максимального значения xmax и равно амплитуде xmax = A, в тот момент, когда модуль синуса равен единице |sin(ωt)| = 1. Когда x = A фаза колебаний равна φ = $\frac<\pi> <2>+2\pi n$ когда x = –A фаза колебаний принимает значения φ = $\frac<3\pi> <2>+2\pi n$ , где n = 0, 1 , 2, … N.

График колебания координаты точки имеет вид:

Определим уравнение и график колебания скорости. Скорость ― это производная координаты по времени: v = xt‘, где

v ― скорость движения точки [м/с];

Так как закон изменения координаты нам известен x(t) = Asin(ωt), скорость движения колеблющейся точки: v = xt‘ = |Asin(ωt)|’t = Acos(ωt).

Уравнение скорости точки равно v(t) = Acos(ωt), где

v ― скорость движения точки [м/с];

ω ― циклическая частота [рад/с];

Сравнив уравнение v(t) = Aωcos(ωt) с кинематическим уравнением гармонических колебаний, легко заметить, что Aω ― амплитуда изменения скорости, а ωt ― фаза колебаний скорости. Таким образом, максимальное значение скорости равно vmax = Aω, и оно достигается при | cos(ωt) | = 1, т. е. тогда, когда фаза колебаний скорости равна φ = πn, где n = 0, 1, 2, … N.

График колебания скорости точки имеет вид:

Аналогично определяются уравнение и график колебания ускорения точки, которая движется по гармоническому закону.

Ускорение ― это производная скорости по времени: a = vt‘, где

a ― ускорение движения точки [м/с2];

v ― скорость движения точки [м/с];

Так как закон изменения скорости был определен выше v(t) = Aωcos(ωt), определим ускорения движения колеблющейся точки: a = vt‘ = [Aωcos(ωt)]t‘ = –Aω2sin(ωt).

Уравнение ускорения точки равно a(t) = –Aω2sin(ωt), где

a ― ускорение движения точки [м/с2];

ω ― циклическая частота [рад/с];

Модуль ускорения точки максимален, когда |sin(ωt)| = 1 ― тогда же, когда достигает максимума смещение точки. Максимальное ускорение, т. е. амплитуда ускорения точки равна amax = Aω2.

График колебания ускорения точки имеет вид:

Во время гармонических колебаний, формы энергии колебательной системы все время находятся в процессе взаимной трансформации. В механической колебательной системе преобразуется механическая энергия: потенциальная энергия ― в кинетическую, а затем кинетическая энергия ― вновь в потенциальную. Полная механическая энергия колеблющейся системы постоянна, и в любой момент времени справедлив закон сохранения энергии E = EП + EK, где

E ― полная механическая энергия системы, E = const, [Дж];

EП ― потенциальная энергия системы, изменяющаяся во времени, [Дж];

EK ― кинетическая энергия системы, изменяющаяся во времени, [Дж].

Рассмотрим изменение потенциальной энергии пружинного маятника, который колеблется по гармоническому уравнению x(t) = Asin(ωt).

Потенциальная энергия деформированной пружины равна EП = $\frac<2>$ , где

EП ― потенциальная энергия деформированной пружины, [Дж];

k ― коэффициент упругости пружины [Н/м];

x ― деформация пружины (величина ее удлинения или сжатия) [м].

У пружинного маятника деформация пружины ― переменная величина, которая зависит от времени. Кинематическое уравнение движения точки, принадлежащей этому маятнику ― x(t) = Asin(ωt). Следовательно, потенциальную энергию пружинного маятника можно записать как EП = $\frac<2>$ = $\frac<2>$ = $\frac <2>\cdot A^2 \sin^2 (\omega t)$ .

Уравнение потенциальной энергии пружинного маятника EП = $\frac <2>\cdot A^2 \sin^2 (\omega t)$ , где

EП ― потенциальная энергия пружинного маятника, [Дж];

k ― коэффициент упругости пружины [Н/м];

ω ― циклическая частота [рад/с];

Амплитуда потенциальной энергии пружинного маятника равна EПmax = $\frac<2>A^2$ , где

EПmax ― максимальная потенциальная энергия пружинного маятника, [Дж];

k ― коэффициент упругости пружины [Н/м];

Потенциальная энергия пружинного маятника равна нулю, когда sin(ωt) = 0 ― когда маятник проходит положение равновесия, и максимальна, когда sin(ωt) = 1 ― когда маятник находится в крайних положениях, т. е. когда его смещение равно амплитуде.

График колебаний потенциальной энергии пружинного маятника:

Рассмотрим изменение кинетической энергии маятника. Кинетическая энергия тела равна Eк = $\frac<2>$ , где

Eк ― кинетическая энергия тела, [Дж];

v ― скорость движения тела, [м/с].

У тела, которое совершает колебательные движения, скорость ― переменная величина.

Выше было показано, что если уравнение движения точки имеет вид x(t) = Asin(ωt), то уравнение скорости точки v(t) = Aωcos(ωt). Таким образом, кинетическая энергия маятника равна Eк = $\frac<2>$ = $\frac <2>\cdot (A\omega\cos(\omega t))^2$ = $\frac <2>\cdot A^2 \omega^2 \cos^2 (\omega t)$ .

Уравнение кинетической энергии маятника Eк = $\frac <2>\cdot A^2 \omega^2 \cos^2 (\omega t)$ , где

Eк ― кинетическая энергия маятника, [Дж];

ω ― циклическая частота [рад/с];

Амплитуда кинетической энергии маятника равна EКmax = $\frac <2>\cdot A^2 \omega^2$ , где

EКmax ― максимальная кинетическая энергия маятника, [Дж];

ω ― циклическая частота [рад/с].

Максимальная кинетическая энергия маятника достигается тогда, когда cos2(ωt) = 1 ― маятник проходит положение равновесия, и она равна нулю, когда маятник находится в крайнем положении.

График колебаний кинетической энергии маятника:

Математический маятник ― это колебательная система, состоящая из материальной точки, подвешенной на нерастяжимой нити или стержне.

Период колебаний математического маятника равен T = $2\pi \sqrt<\frac>$ , где

l ― длина нити математического маятника [м];

g ― ускорение свободного падения [м/с2].

Период колебаний пружинного маятника равен T = $2\pi \sqrt<\frac>$ , где

Существует особый тип колебаний ― вынужденные колебания. Вынужденные колебания происходят только под постоянным периодическим внешним воздействием и их характеристики зависят от характеристик этого воздействия.

Если частота внешнего воздействия, которое вызывает вынужденные колебания, совпадает с собственной внутренней частотой колебательной системы ― возникает явление резонанса. При резонансе резко возрастает амплитуда колебаний системы. Частота, при которой возникает явление резонанса, называется резонансной частотой.

На рисунке показан график резонансной кривой ― увеличение амплитуды при совпадении частоты внешнего воздействия с внутренней частотой системы.