Скоростные уравнения для четырехуровневой системы

Скоростные уравнения для четырехуровневой системы

Как было установлено ранее, для того чтобы могла возникнуть лазерная генерация, необходимо в активной среде создать инверсную разность населенностей на уровнях лазерного перехода. То есть необходимо, чтобы населенность верхнего уровня превышала населенность нижнего уровня. Это делается с помощью подвода внешней энергии, или выражаясь по другому, осуществляется накачка среды.

С точки зрения количества уровней, вовлеченных в процесс накачки и лазерного излучения, и их расположения друг относительно друга, встречаются различные варианты, но наиболее распространенными являются два, — трехуровневая и четырехуровневая системы. Работа большинства реальных лазеров, имеющих даже большее количество уровней, с теоретической точки зрения сводится к одной из двух указанных систем.

Ниже разбирается трехуровневая и четырехуровневая системы и выводятся вражения для инверсной разности населенностей лазерных уровней как функции параметров системы и интенсивностей излучений накачки и лазерной генерации. Используется метод балансных уравнений, который приемлемо работает в задачах, не требующих учета фазовых соотношений между различными физическими величинами.

Балансные уравнения описывают равновесие, устанавившееся между скоростями прихода и ухода атомов с уровня на уровень и количеством излученных и поглощенных фотонов поля в единицу времени.

Трехуровневая система

Схематически трехуровневая система и основные переходы в ней представлены на рис. 1. Лазерный переход образуется уровнями с номерами 1 и 2. Накачка за счет подвода внешней энергии происходит с уровня 1 на уровень 3 со скоростью, определяемой плотностью вероятности W . Отметим, что уровень 3 не является верхним лазерным уровнем. В реальных системах, в отсутствие накачки, то есть при термодинамическом равновесии, заселен только нижний уровень 1. Уровни 2 и 3 практически пустые, то есть N₂ = N₃=0 .

Обязательным свойством используемой среды является быстрая безызлучательная релаксация атомов с уровня 3 на уровень 2, так что в любой момент времени все переведенные накачкой атомы на уровень 3 сразу же оказываются на уровне 2, а сам уровень 3 остается пустым. Кроме того верхний лазерный уровень 2 должен накапливать атомы. Иначе нельзя будет создать инверсную разность населенностей. Это значит, что уровень 2 должен быть метастабильным, то есть иметь очень большое время безызлучательной релаксации .

Легко видеть, что для создания инверсной разности населенности на лазерном переходе необходимо возбудить более половины атомов, находящихся на самом нижнем уровне. Это является причиной неэффективности трехуровневой системы.

Может возникнуть вопрос, почему нельзя накачивать сразу второй уровень. Зачем нужен дополнительно третий? Дело в том, что накачка с 1-го на второй уровень действует двояко. Она не только возбуждает атомы за счет вынужденных переходов с первого уровня, но и возвращает возбужденные атомы со второго уровня на первый также за счет вынужденных переходов. И вероятности этих процессов одинаковы. То есть наряду с накачкой происходит и депопуляция верхнего уровня 2 на нижний уровень 1. При наличии третьего уровня с очень быстрым временем распада, большая часть возбужденных атомов успевает переместиться на верхний лазерный уровень, где излучение накачки, в силу резонансной природы взаимодействия поля и атомов, уже не влияет на состояние этих атомов и не может спустить их вниз.

Перейдем к составлению балансных уравнений и выводу выражения для инверсной населенности в стационарном режиме.

Обозначим суммарную плотность атомов на трех уровнях как N , . Будем полагать, что N = const , то есть, что атомы не выходят за пределы трех рассматриваемых уровней, и что N₃ = 0 в силу быстрой релаксации на уровень 2. Тогда имеем

Балансные уравнения должны быть составлены порознь для уровней 1 и 2. Однако в силу линейной зависимости N₁ и N₂ нужно оставить только одно. В данном случае мы оставляем уравнение для верхнего уровня

Равенство производной нулю означает, что рассматривается стационарное состояние, характерное для лазера, работающего в непрерывном режиме. После исключения N₁ и замены N₂ на ΔN с помощью соотношений (1) и (2) получаем выражение для ΔN :

Выражение (4) приведено к такой форме, чтобы величина W₂₁ , единственная, зависящая от интенсивности созданного данной средой лазерного излучения, встречалась бы только в одном множителе . Этот множитель меньше или равен 1. Единице он равняется только в случае отсутствия лазерной генерации. Тогда величина

есть максимально возможная разность населенностей, создаваемая накачкой. Она еще называется ненасыщенной разностью населенностей.

Из выражения (5) следует, что в трехуровневой системе инверсная разность населенностей может быть создана только, если

то есть, когда скорость накачки больше скорости релаксации населенности верхнего лазерного уровня. Формула (6) утверждает, что атомов на уровень 2 должно приходить за счет накачки больше, чем уходить за счет процессов релаксации.

Зависимость населенностей уровней и инверсной разности населенности от мощности накачки иллюстрируется Рис.2.

Закрашенная серым цветом область соответствует наличию инверсной разности населенностей, когда желтая линия лежит выше голубой.

Четырехуровневая система

В четырехуровневой системе убирается один из главных недостатков трехуровневой системы, — термическая заселенность нижнего лазерного уровня. В данной системе нижний лазерный уровень уже не совпадает с основным уровнем, с которого происходит накачка. Он лежит значительно выше по энергии, поэтому в реальных рабочих условиях практически не заселен (Рис. 3).

Ко всем параметрам четырехуровневой системы предъявляются те же требования, что и к трехуровневой. Дополнительно требуется быстрая безызлучательная релаксация нижнего лазерного уровня 1 в основное состояние 0.

Для этой системы мы имеем следующие условия для населенностей и разности населенностей:

И одно балансное уроавнение

из которого для стационарного случая легко выводится выражение для ΔN :

Ненасыщенная разность населенностей оказывается равной

Как видно из этого выражения в отличие от трехуровневой системы (5) инверсная разность населенностей теоретически может быть получена при самых малых уровнях накачки W .

Квазитрехуровневая система

Некоторые лазеры работают по так называемой квазитрехуровневой системе, которая близка к четырехуровневой. Схемы уровней у них одинаковые. Отличие заключается в том, что нижний лазерный уровень за счет релаксационных процессов опустошается не мгновенно, а за конечное время. Так что постоянная τ ₁₀ равна не 0, а конечной величине (рис. 3). Для такой системы должно быть справедливым и .

Не приводя выкладок выпишем выражения для населенностей.

Из последнего выражения следует, что в такой системе инверсная разность населенностей возможна, если выполняется условие .

На Рис.5 показан график зависимостей населенностей квазитрехуровневой системы от мощности накачки для частного случая, когда отношение .

Параметр τ_s

Разность населенностей как для трехуровневой (4) так и четырехуровневой систем (8) может быть записана единым образом

Здесь величина τ_s определяется как

для трехуровневой системы, и как

для четырехуровневой системы.

Величине τ_s можно придать определенный физический смысл, который выявляется, если рассмотреть общее решение балансных уравнений (3) или (7) в отсутствие лазерного излучения, то есть когда W₂₁ = 0.

Для этого рассмотрим поведение инвертированной среды, когда внезапно исчезает лазерная генерация и система начинает переходить в стационарное состояние, соответствующее наличию только постоянной накачки. Воспользуемся уравнением (7) для четырехуровневой системы, которое перепишем следующим образом:

Решение этого уравнения имеет вид

Здесь разность населенностей в момент выключения лазерной генерации.

Как видим, решение включает в себя два слагаемых. Первое экспоненциально уменьшается во времени до нуля, второе равно стационарному значению разности населенностей (9), которое достигается за счет накачки в отсутствие лазерной генерации. Первый член это переходной член и скорость его изменения определяется исключительно величиной τ_s .

Таким образом, определяет время релаксации разности населенностей ΔN к стационарному значению в отсутствие лазерного излучения.

Анализ трехуровневой системы приводит к такому же результату, но со значением τ_s , даваемым формулой (11).

Балансные уравнения для разности населенностей и плотности фотонов для нестационарного случая

Если лазер работает в каком-либо нестационарном режиме, например в импульсном режиме или подвергается переходным процессам, протекающим при включении или выключении накачки, то происходит изменение во времени не только населенностей уровней, но и количества фотонов в модах. В этом случае необходимо иметь уравнения, описывающие изменение упомянутых величин. Для населенностей желательно иметь уравнения не для каждого уровня по отдельности, а для разности населенностей лазерного перехода, как основной величины, определяющей параметры лазерной генерации. Оказывается, что для трехуровневой и четырехуровневой систем вполне возможно составить такие уравнения. Математические преобразования оказываются не очень сложными.

Трехуровневая система

Перепишем уравнение (3) в следующем виде

где скорость накачки и вероятность индуцированных переходов. Если теперь воспользоваться выражением (2) и определением (5) и подставить их в (15), то выражение (15) примет вид

Это же выражение можно получить и другим способом с меньшим количеством математических преобразований. Если в (15) положить и , то такое уравнение будет соответсвовать случаю создания максимальной инверсной населенности без лазерного излучения, когда все величины снабжаются подстрочным индексом 0. То есть в этом случае (15) редуцируется в

Подставляя (17) в (15) приводим последнее соотношение к форме

Теперь остается с помощью (2) только заменить в этом выражении на и учесть, что .

Отметим наличие множителя 2 в последнем слагаемом. Этот множитель показывает, что так как нижний уровень лазерного перехода не опустошается, то любой переход с излучением одного фотона изменяет разность населенностей на две единицы. Это происходит в силу того, что переход атома уменьшает населенность одного уровня на 1, а населенность другого увеличивает тоже на 1, а их разность при этом изменяется на величину, равную 2.

Выражение (16) полезно записать таким образом, чтобы в нем явно фигурировала вторая неизвестная переменная балансных уравнений, связанная с фотонами, например плотность фотонов n_p . Хотя это может быть интенсивность излучения, плотность потока фотонов или количество фотонов в моде. Отметим, что разные авторы используют для описания параметров электромагнитного поля в балансных уравнениях разные величины (Svelto, Quimby).

Величина поля входит в вероятность индуцированных переходов W_i . Из раздела Фотоны и атомы следует, что

Если теперь воспользоваться определением пороговой разности населенностей ΔN_t и объединить его с выражением (19), то мы получим

где ΔN_t это пороговая разность населенностей, то есть минимальное значение инверсной населенности, при которой возможна лазерная генерация, τ_p время жизни фотона в резонаторе лазера.

После подстановки (20) в (18) получаем окончательную форму балансного уравнения для разности населенностей.

Четырехуровневая система

Для четырехуровневой системы вывод балансного уравнения для разности населенностей оказывается технически еще проще, чем для трехуровневой, так как в соответствующем уравнении (7), которое удобно переписать как

присутствует только N₂ , причем

Подставляя эти выражения в (22) и используя (20), получаем

Мы видим, что полученное уравнение весьма похоже на балансное уравнение для трехуровневой системы с одним отличием. Отсутствует множитель 2 в крайнем правом слагаемом. Физически это объясняется тем, что в четырехуровневой системе эффективно опустошается нижний уровень. Поэтому любой переход атома с излучением уменьшает населенность верхнего уровня лазерного перехода на 1, но не изменяет населенность нижнего, так как атом на нем не задерживается.

Необходимо отметить, что если в уравнениях (21) или (24) n_p положить равным 0, то эти уравнения будут описывать поведение разности населенностей уровней в отсутствие лазерной генерации. Ее величина будет приближаться во времени к стационарному значению по экспоненциальному закону с постоянной . Это поведение отличается от того, которое предсказывается выражением (14), где изменение происходит с постоянной времени . Различие объясняется тем, что в первом случае скорость накачки R зависит от населенности нижнего уровня, которая не есть постоянная величина, а во втором она предполагается постоянной.

Уравнение для плотности фотонов

Количество фотонов в активной среде лазера может изменяться во времени по двум причинам (в пренебрежении спонтанными переходами). Первое, это естественные потери энергии поля за счет потерь в резонаторе, тепловых потерь в среде, а также за счет вывода полезного излучения во внешнее пространство. Второе, обусловлено индуцированными переходами в активной среде с поглощением и излучением. Дифференциальное балансное уравнение для плотности фотонов, учитывающее эти процессы, может быть записано следующим образом

По определению, n_p есть количество фотонов, приходящихся на единицу объема. Первый член это уменьшение n_p в единицу времени за счет всех потерь. Второй это количество излученных (поглощенных) фотонов единицей объема активной среды в единицу времени за счет индуцированных переходов.

Конечную форму балансного уравнения, в которой в явном виде представлены как n_p , так и ΔN , можно получить, если как и ранее вместо W_i подставить выражение (20). В результате получим

Использование уравнений (21), (24), (26) смотрите в разделах, посвященных Q-модуляции.

ЧЕТЫРЕХУРОВНЕВЫЙ ЛАЗЕР

Рассмотрим идеализированную четырехуровневую схему, в которой предполагается только один уровень или полоса накачки (полоса 3 на рис. 7.1), и имеет место быстрый релаксационный переход с этой полосы на верхний лазерный уровень 2, а также быстрая релаксация с нижнего ла­зерного уровня 1 на основной уровень. Данное рассмотрение остается в силе, даже если предположить наличие более чем одной полосы или уровня на­качки, при условии, что релаксация с этих полос на верхний лазерный уровень оказывается такой же быстрой. В этом случае можно принять сле­дующее приближение для населенностей нижнего лазерного уровня и уров­ня (уровней) накачки: = ЛГ3 = 0. Таким образом, мы имеем дело только с

_ — кь,» v г » title=»ЧЕТЫРЕХУРОВНЕВЫЙ ЛАЗЕР» align=»left» width=»80″ height=»29″ />(7.2.14)

Где величина V называется эффективным объемом моды в резонаторе и опре­деляется как

Считается, что диаметр моды не зависит от продольной координаты резонатора. Заметим, что формула (7.2.14) обобщает полученное в разде­ле 5.3 выражение для времени жизни фотона. Следует также заметить, что если верхний лазерный уровень состоит из нескольких сильносвязанных подуровней, и если N2 представляет собой полную населенность верхнего лазерного уровня, то согласно рассуждениям, приведенным в разделе 2.7.2, сечение перехода о, входящее в выражение (7.2.13), можно считать как эффективное сечение перехода, то есть реальное сечение, умноженное на долю населенности верхнего подуровня, с которого возникает лазерная ге­нерация.

Для полученных ранее точных выражений для В и тс, принимая справед­ливость рассмотренных выше приближений, уравнения (7.2.1) описывают как установившееся, так и динамическое поведение четырехуровневого ла­зера. Для простоты введем величину N = N2

N1 = Д^2, описывающую инвер­сию населенности. Из уравнения (7.2.1) получаем:

Эти уравнения, совместно с выражениями для В, тс и Уа (выражения (7.2.13)-(7.2.15) соответственно), описывают как непрерывный, так и не­стационарный режимы работы четырехуровневого лазера.

Прежде чем перейти к дальнейшему рассмотрению, сделаем несколько замечаний применительно к уравнениям (7.2.16). Во-первых, как мы уже указывали вначале, результаты справедливы только для случая, когда энер­гия накачки и плотность энергии моды распределены однородно внутри ак­тивной среды. Данное утверждение приводит к достаточно жестким ограни­чениям в плане применимости рассматриваемых уравнений. Однако резуль­таты, полученные в рамках этой упрощенной модели, являются весьма полезными для понимания основных принципов работы лазера. Более того, по крайней мере, для непрерывного режима работы лазера гораздо более сложные пространственно-зависимые уравнения приводят к аналогичным результатам, обоснованность которых объясняется путем сравнение с резуль­татами пространственно-независимой модели.

Во-вторых, необходимо отметить, что рассматриваемая здесь модель ско­ростных уравнений применима лишь в случае одномодовой генерации лазера. Действительно, для п генерирующих мод мы должны записать 2п дифферен­циальных уравнений, как для амплитуды, так и фазы поля рассматриваемых

Мод, для того чтобы учесть вклад каждой из них. В самом деле, при определен — ^ ных условиях синхронизации между фазами различных мод может возник­нуть эффект синхронизации мод, рассматриваемый в главе 8, который не мо­жет быть описан только в рамках модели скоростных уравнений. Однако ко­гда в лазере генерируется большое число мод, фазы которых могут быть 1 произвольными, можно в первом приближении считать суммарную интенсив — | ность пучка как сумму интенсивностей всех мод. Таким образом, для однород — ] ного поперечного профиля накачки необходимо иметь однородный профиль | всего пучка, образованный суперпозицией различных генерирующих мод. | Следовательно, в случае генерации многих мод с различными продольными распределениями, суммарная плотность энергии не обязательно будет иметь четкую пространственную картину, характерную для стоячей волны. В этом I случае ситуация может быть значительно упрощена путем рассмотрения только одного скоростного уравнения для полного числа фотонов ф, просуммирован­ного по всем модам; и, таким образом, уравнения (7.2.16) могут все еще быть применимы в приближенной форме.

В-третьих, необходимо отметить, что в выражении (7.2.3) по умолчанию предполагалось, что во время лазерной генерации инверсия населенности не зависит от продольной координаты г. На самом деле, при больших значениях усиления оба встречных пучка в резонаторе показывают сильную зависимость от координаты 2, так же как и инверсия населенности. При таких условиях режим работы лазера следует трактовать, основываясь на рассмотрении «про­ход за проходом», впервые предложенным Ригродом (так называемый анализ Ригрода) [5]. Однако в случае непрерывного лазера, когда можно применить формулу (7.2.9), выражение для выходной мощности, полученное Ригро­дом, совпадает с полученным здесь результатом, если при этом использовать более простой подход при определении параметра у. С другой стороны, для импульсного лазера выражение (7.2.9) применимо только при небольших значениях превышения накачки над порогом. В противном случае мы не можем использовать уравнения (7.2.16) и для описания режимов работы ла­зера должны использовать рассмотрение Ригрода [5].

Четвертое, и возможно наиболее серьезное, замечание касается того, что

ПРИНЦИПЫ ЛАЗЕРОВ

Лазерная резка и гравировка в Киеве

Гравировка по металлу проводится на профессиональном оборудовании. Гравировка с высокой детализацией применяется для оформления подарков, памятных вещей.

ПРОСТРАНСТВЕННАЯ И ВРЕМЕННАЯ КОГЕРЕНТНОСТЬ ТЕПЛОВЫХ ИСТОЧНИКОВ СВЕТА

В данном разделе приводится краткое описание когерентных свойств света, который излучается обычной лампой (лампой накаливания или га­зонаполненной лампой). Поскольку свет в этом случае обусловлен спон­танным излучением многих атомов, по существу …

УРАВНЕНИЕ ИОНИЗАЦИОННОГО БАЛАНСА

В результате соударений частиц с электронами в объеме электрического разряда происходит постоянное образование электронов и ионов. Ударная ио­низация осуществляется присутствующими в разряде горячими электронами, т. е. теми, энергия которых больше …

Продажа шагающий экскаватор 20/90

Цена договорная
Используются в горнодобывающей промышленности при добыче полезных ископаемых (уголь, сланцы, руды черных и
цветных металлов, золото, сырье для химической промышленности, огнеупоров и др.) открытым способом. Их назначение – вскрышные работы с укладкой породы в выработанное пространство или на борт карьера. Экскаваторы способны
перемещать горную массу на большие расстояния. При разработке пород повышенной прочности требуется частичное или
сплошное рыхление взрыванием.
Вместимость ковша, м3 20
Длина стрелы, м 90
Угол наклона стрелы, град 32
Концевая нагрузка (max.) тс 63
Продолжительность рабочего цикла (грунт первой категории), с 60
Высота выгрузки, м 38,5
Глубина копания, м 42,5
Радиус выгрузки, м 83
Просвет под задней частью платформы, м 1,61
Диаметр опорной базы, м 14,5
Удельное давление на грунт при работе и передвижении, МПа 0,105/0,24
Размеры башмака (длина и ширина), м 13 х 2,5
Рабочая масса, т 1690
Мощность механизма подъема, кВт 2х1120
Мощность механизма поворота, кВт 4х250
Мощность механизма тяги, кВт 2х1120
Мощность механизма хода, кВт 2х400
Мощность сетевого двигателя, кВ 2х1600
Напряжение питающей сети, кВ 6
Более детальную информацию можете получить по телефону (063)0416788

Четырехуровневые системы.

Как уже говорилось в лекции 2, энергетически более выгодными оказываются активные среды, работающие по четырехуровневой схеме (рисунок 3.9)

В этой схеме рабочим лазерным переходом является переход между уровнями 3 и 2. Если энергия 2 уровня велика настолько, что выполняется соотношение Е₂-Е₁>>k_БT, то тепловое заселение уровня 2 мало. В этом случае для создания инверсной населенности достаточно перевести из основного состояния на верхний лазерный уровень незначительную часть активных частиц.

где W₁₄ ― вероятность вынужденных переходов под действием излучения накачки; W=W₃₂― вероятность вынужденных переходов между лазерными уровнями; w₁₂и w₂₁ ― вероятности безызлучательных переходов между уровнями 1 и 2 (в условиях термодинамического равновесия

τ ₄₃ ― время жизни уровня 4, определяемое релаксацией активных центров на уровень 3; τ =τ₃₂ ― время жизни верхнего лазерного состояния.

В четырехуровневой системе очень быстро происходит релаксация с уровней 4 и 2, поэтому будем считать, что на них не происходит накопления населенностей. В этом случае система уравнений (3.22)―(3.30), как и в случае трехуровневой схемы, может быть сведена к одному уравнению для инверсной населенности Δ=N₃ — N₂ ≈ N₃. В итоге получаем систему из двух уравнений (двухуровневая модель):

Решая эту систему применительно к случаю непрерывной генерации в предположении равномерного заполнения активной среды излучением, легко получить выражение для выходной мощности излучения, подобное (3.24)

.(3.33)

Из сравнения формул (3.24) и (3.33) следует, что существенное различие между трех- и четырехуровневым лазерами заключается в следующем. Пороговая мощность накачки в четырехуровневом лазере определяется в основном потерями в оптическом резонаторе, тогда как в трехуровневом лазере значительная часть мощности расходуется на уравнивание населенностей основного и верхнего лазерного уровней. В связи с этим пороговый уровень накачки четырехуровневых лазеров оказывается гораздо ниже. Это позволяет достаточно просто получать с их помощью непрерывный режим работы.

Литература к лекции 3.

1. А.Л. Микаэлян, М.Л. Тер-Микаелян, Ю.Г.Турков. «Оптические генераторы на твердом теле».

2. Н.В.Карлов. «Лекции по квантовой электронике».

Дата добавления: 2017-01-26 ; просмотров: 1382 ; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ