Е.П. Нелин, В.А. Лазарев
АЛГЕБРА
и начала математического
анализа
10 класс
учреждений. Базовый и
§ 21. РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
Работу выполнила: Мусина В.А. студентка группы 45.3
Системы тригонометрических уравнений решаются с помощью тех же методов, что и алгебраические системы, в частности это исключение неизвестных и замена переменных. Исключить неизвестные можно с помощью одного из двух приемов:из одного уравнения выразить какое-то неизвестное (или функцию от него) и подставить его в другие или преобразовать данные уравнения и потом составить из них комбинации, в которых число неизвестных уменьшается.
Задача 1 . Решите систему уравнений
Из первого уравнения находим и подставляем во второе.
Получаем
Замечание. Если бы для нахождения значения y мы не рассмотрели отдельно формулу (1) со знаком «+» и знаком «–», то вместе с верными решениями получили бы и посторонние решения заданной системы.
Действительно, в таком случае имеем
Тогда, например, при n = 0 получаем
Таким образом, кроме решений, которые вошли в ответ, мы имеем еще две возможности:
Но эти пары значений х и у не являются решениями заданной системы, поскольку они не удовлетворяют первому уравнению.
Поэтому следует запомнить:
Когда решение уравнения cos x = а приходится применять для дальнейших преобразований, то удобно записывать его в виде двух формул: отдельно со знаком «+» и отдельно со знаком «–».
Задача 2 . Решите систему уравнений
Почленно сложим и вычтем эти уравнения. Получим равносильну систему
Представим последнюю систему в виде совокупности двух систем, записывая решения второго уравнения отдельно со знаком «+» и отдельно со знаком «–»:
Почленно складывая и вычитая уравнения этих систем, находим x и y:
Замечание. В запись ответа вошли два параметра n и k, которые независимо друг от друга «пробегают» множество целых чисел. Если попробовать при решении заданной системы воспользоваться только одним параметром, например n, то это приведет к потере решений. Таким образом, в каждом случае, когда система тригонометрических уравнений приводится к системе, состоящей из элементарных тригонометрических уравнений (то есть из уравнений вида sin x = a, cos x = a, tg x = a, ctg x = a), при решении каждого из этих уравнений необходимо использовать свой целочисленный параметр.
Вопросы для контроля
- Какие методы используются для решения систем тригонометрических уравнений?
- Объясните, в каком случае при формальном решении системы уравнений мы можем потерять часть решений, а в каком случае —получить посторонние решения. Решите эту систему.
Упражнения
Решите систему уравнений (1–8).
Решение систем тригонометрических уравнений
Системы тригонометрических уравнений бесконечно разнообразны. При их решении используются как общие методы: подстановки, сложения, замены переменной, так и частные, связанные с особенностями преобразований тригонометрических функций.
В этом параграфе мы рассмотрим только некоторые, наиболее характерные, подходы к решению таких систем.
п.1. Системы, в которых одно из уравнений является линейным
Если одно из уравнений системы является линейным, то система решается методом подстановки.
Например:
Решим систему \( \begin
Из верхнего линейного уравнения выражаем \(y\) через \(x\) и подставляем в нижнее: \begin
п.2. Системы с независимыми уравнениями
Если уравнения системы являются независимыми, то они решаются по отдельности. При этом счетчики периодов обязательно должны быть различными (например, \(k\) и \(n\), для двух независимых уравнений).
Например:
Решим систему \( \begin
Уравнения независимы, решаем каждое из них, а затем методом сложения находим \(x\) и \(y\): \begin
п.3. Системы с произведениями тригонометрических функций
Системы с произведениями тригонометрических функций и приводимые к ним решаются методом сложения.
Например:
Решим систему \( \begin
Добавим и вычтем уравнения и используем формулы косинуса суммы и разности: \begin
п.4. Замена переменных в системах тригонометрических уравнений
Системы двух уравнений с двумя тригонометрическими функциями легко решаются с помощью замены переменных.
Например:
Решим систему \( \begin
Замена переменных: \(a=tgx,\ b=siny\) \begin
\(b=-5\lt-1\) не подходит. Остается вторая пара решений: \(\begin
Возвращаемся к исходным переменным: \begin
п.5. Примеры
Пример 1. Решите систему уравнений: a) \( \begin
Из верхнего линейного уравнения выражаем \(y\) через \(x\) и подставляем в нижнее: \begin
б) \( \begin
Добавим и вычтем уравнения и используем формулы синуса суммы и разности: \begin
в) \( \begin
Используем формулу произведения косинусов: $$ cosxcosy=\frac12(cos(x+y)+cos(x-y)) $$ Получаем: \begin
Ответ: \( \left\< \begin
г) \( \begin
Из верхнего линейного уравнения выражаем \(y\) через \(x\) и подставляем в нижнее: \begin
Пример 2*. Решите систему уравнений:
a) \( \begin
Первое уравнение является независимым. Решаем его, чтобы найти \(x\): \begin
Семейство решений \(x=\frac\pi2+\pi k\) не подходит по требованию ОДЗ (закрашенные сектора). Остается только: \begin |
Подставляем полученный \(x\) во второе уравнение: \begin
б) \( \begin
Рассмотрим произведение: $$ tg\left(\frac\pi4+x\right)\cdot tg\left(\frac\pi4-x\right)=\frac<1+tgx><1-tgx>\cdot \frac<1-tgx><1+tgx>=1 $$ Умножим уравнения и получим: \begin
в) \begin
\(1+sinxsiny\geq 0\) — это требование всегда выполняется.
Возведем первое уравнение в квадрат: \begin
Получаем две пары решений.
Ответ: \(\left\<\left(-\frac\pi3+2\pi n;\ \frac\pi3+2\pi k\right),\ \left(\frac\pi3+2\pi n;\ -\frac\pi3+2\pi k\right)\right\>\)
Способы решения тригонометрических уравнений
Министерство образования и молодёжной политики Чувашской Республики
Муниципальное образовательное учреждение
«Средняя общеобразовательная школа №6 г. Чебоксары»
Способы решения тригонометрических уравнений
МОУ «Средняя общеобразовательная школа №6
Методическая разработка по теме «Способы решения тригонометрических уравнений». В средней школе на изучение данной темы отводится незначительное количество часов. Эта разработка изучит, расширит и углубит математические знания по данной теме.
На экзаменах по математике для поступающих в ВУЗы, олимпиадах часто встречаются задания на решение тригонометрических уравнений.
Все приводимые способы направлены на развитие познавательного интереса к предмету, знакомящие учащихся с новыми идеями и методами, расширяющие представления об изучаемой теме в основной школе.
Уравнения, предлагаемые в данной разработке, интересны, красивы, носят прикладной характер, что позволяет повысить учебную мотивацию учащихся и интерес к предмету и вызвать желание узнать больше.
Основные цели методической разработки:
· знакомство учащихся с основными приемами и методами решения тригонометрических уравнений;
· развитие навыков применения теоретических сведений по данной теме на практике в различных проявлениях;
· развитие творческих способностей;
· повышение интереса к предмету;
· повторение и обобщение знаний по теме «Способы решения тригонометрических уравнений;
· оказание помощи учащимся систематизировании уравнений и нахождении рациональных приемов решения.
Особенность методической разработки.
Использование материала в работе даст положительные результаты при подготовке школьников к сдаче ЕГЭ по математике.
1. Уравнения, приводимые к алгебраическим. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . .4
2. Уравнения, решаемые разложением на множители. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5
3. Однородные уравнения. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
4. Уравнения, решаемые с помощью формул сложения тригонометрических функций. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
5. Уравнения, решаемые с помощью формул сложения углов и разложения произведения тригонометрических функций в сумму. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7
6. Уравнения, решаемые с помощью формул понижения степени. . . . . . . . . . . .8
7. Уравнения вида .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9
8. Уравнения смешанного типа. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
9. Задания для промежуточного и итогового контроля результатов обучения. .13
10. Тригонометрическое уравнение на ЕГЭ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
11. Литература. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1. Уравнение .
Если для любого t. Если , то формула корней уравнения такова:
2. Уравнение .
При уравнение не имеет решений, так как для любого . Если |a|≤1,то формула для записи всех решений уравнения такова: Удобно записывать не двумя, а одной формулой:
3. Уравнение . Решение данного уравнения имеет вид:.
4. Уравнение . Решение данного уравнения имеет вид:
Способы решения тригонометрических уравнений.
I. Уравнения, приводимые к алгебраическим
Пример. Решить уравнение
Решение. Воспользуемся тем, что . Тогда заданное уравнение можно переписать в виде . После понятных преобразований получим . Введем новую переменную . Тогда уравнение примет вид , откуда находим . Значит,. Из этих уравнений находим, соответственно,
Уравнения для самостоятельного решения:
II. Уравнения, решаемые разложением на множители
Смысл этого метода: если уравнение удается преобразовать к виду , то задача сводится к решению двух уравнений, то есть к решению совокупности уравнений: .
Пример. Решить уравнение .
Решение. Имеем . Значит, приходим к совокупности уравнений . Из первого уравнения находим . Из второго уравнения находим .
Уравнения для самостоятельного решения:
III. Однородные уравнения.
Определение. Уравнение вида, где называют однородным тригонометрическим уравнением первой степени, уравнение вида ¸называют однородным тригонометрическим уравнением второй степени.
Итак, дано уравнение . Разделив обе части уравнения почленно на , получим .
Но, внимание! Делить обе части уравнения на одно и то же выражение можно только в том случае, когда мы уверены, что это выражение нигде не обращается в нуль (на 0 делить нельзя). Уверены ли мы, что в рассматриваемом случае отличен от 0? Давайте проанализируем. Предположим, что cos x =0. Тогда однородное уравнение asinx+bcosx=0 примет вид asinx=0¸ то есть sinx=0¸ так как a≠0. Получается, что и cosx=0¸ и sinx=0¸ а это невозможно, так как sinx и cosx обращается в нуль в различных точках. Итак, в однородном тригонометрическом уравнении первой степени деление обеих частей уравнения на cosx— вполне благополучная операция.
Пример 1. Решить уравнение 2sinx-3cosx= 0.
Решение. Разделим обе части уравнения почленно на cosx¸ получим . Рассмотрим теперь однородное тригонометрическое уравнение второй степени . Если коэффициент a отличен от нуля, то есть в уравнении содержится член sin2x с каким-то коэффициентом, отличным от нуля, то, рассуждая как и выше, нетрудно убедиться в том, что при интересующих нас значениях переменной cos x не обращается в нуль, а потому можно обе части уравнения разделить почленно на .
Это — квадратное уравнение относительно новой переменной z= tgx .
Пример 2. Решить уравнение .
Решение. Разделим обе части уравнения почленно на cos2 x, получим Введя новую переменную получим, . Откуда находим z=1, z=2. Значит, либо tgx=1, либо tgx=2. Из первого уравнения находим Из второго уравнения находим .
Уравнения для самостоятельного решения:
IV. Уравнения, решаемые с помощью формул сложения тригонометрических функций.
позволяют сумму или разность синусов или косинусов разложить на множители.
Пример. Решить уравнения: sin5x + sinx=0;
Решение. Преобразовав сумму синусов в произведение, получим
Значит, либо , откуда находим , либо cos2x=0, откуда находим
Уравнения для самостоятельного решения:
V. Уравнения, решаемые с помощью формул сложения углов и разложения произведения тригонометрических функций в сумму
при решении тригонометрических уравнений.
Уравнения для самостоятельного решения:
VI. Уравнения, решаемые с помощью формул понижения степени
Пример. Решить уравнение
Уравнения для самостоятельного решения:
VII. Уравнения вида
Преобразование выражения Итак, Аналогично можно выражение преобразовать к виду .
Пример.
Здесь Имеем Введём вспомогательный аргумент , удовлетворяющий соотношениям например, . Тогда
Уравнения для самостоятельного решения:
VIII. Уравнения смешанного типа
1. Решите уравнения:
Выбор корней проведём на тригонометрической окружности
y
Ответ:
а)
Ответ:
в)
Ответ:
б)
Ответ:
г)
Ответ:
2. Решите уравнения.
y
Не удовлетворяет условию
Выберем те значения x, которые удовлетворяют условию
Ответ:
а)
Ответ:
в)
Ответ:
б)
Ответ:
г)
Ответ:
3. Решите уравнение.
Данное уравнение равносильно системе:
Решим второе уравнение системы:
не удовлетворяет условию
Выберем те значения х, которые удовлетворяют условию .
Ответ:
4. Решите уравнения.
Число корней на .
Выбор корней проведём на тригонометрической окружности.
Число решений на равно 5.
а)
Найти число решений на .
б) .
Найти число решений на
в)
Найти число решений на .
г) .
Найти число решений на .
5. Основной идеей решения следующих заданий является выражение синуса или косинуса через тангенс или котангенс половинного аргумента (или наоборот). При этом следует иметь в виду, что в формулах область определения «левых частей» равенств – все действительные числа, а область определения «правых частей» — .
Поэтому переход от одного уравнения к другому с использованием этих формул, вообще говоря, сужает ОДЗ на множество π.
Аналогичная ситуация с формулами
Вообще, использование формул, у которых ОДЗ «левых» и «правых» частей не совпадают, может привести либо к потере, либо к появлению посторонних корней.
Примерами таких формул являются:
Ответ:
а) . Ответ: .
в) .
Ответ: .
б) . Ответ: .
г) .
Ответ: .
IX. Задания для промежуточного контроля результатов обучения (ответы даны в скобках).
Уравнения, приводимые к алгебраическим.
Уравнения, решаемые способом разложения на множители.
Уравнения, решаемые с помощью формул сложения тригонометрических функций.
Уравнения, решаемые с помощью формул сложения углов и разложения произведения тригонометрических функций в сумму.
Уравнения, решаемые с помощью формул понижения степени.
Уравнения вида .
Уравнения смешанного типа.
1.
2.Найти наименьший корень уравнения на интервале
3.
Тест. Решение тригонометрических уравнений.
1. Найдите корни уравнения на интервале .
а) ; б) ; в) .
2. Найдите наибольший отрицательный корень уравнения
а) ; б) ; в) .
3. Решите уравнение: и найдите сумму корней, принадлежащих интервалу
а) ; б) ; в) .
4. Решите уравнение: и найдите сумму корней, принадлежащих интервалу .
а) ; б) ; в) .
Задания для итогового контроля результатов обучения.
1. Решите уравнения:
а) ; б) ;
в) ; г) ;
д) ; е) .
2. Найдите сумму корней управления
на промежутке .
3. Укажите количество корней уравнения
4. Решите уравнения:
а) ;
б) .
1. а) ; б) ; в) ; г) ;
д) ; е) . 2. 16. 3. 3. 4. а) ;
б) .
X. Тригонометрическое уравнение на ЕГЭ.
Решите уравнение . (С2,2007г.)
ОДЗ уравнения:
Используя способ разложения на множители, получим
или .
не удовлетворяет условию ОДЗ уравнения.
.
Используя способ решения однородного уравнения первой степени, получим:
С учетом ОДЗ уравнения решение данного уравнения имеет вид:
1. , , . Углубленное изучение курса алгебры и математического анализа для 10-11 класса, Москва, Просвещение, 1997 г.
2. , . Факультативный курс по математике: Решение задач: Учебное пособие для 11 кл. средней школы – М., Просвещение, 1999.
3. Журнал «Математика в школе», 2006, № 10.
4. , , . Учебно-тренировочные материалы для подготовки к единому государственному экзамену. Математика. – М. Интеллект-Центр, 2002-2007 г.
5. . Математика. Гтовимся к ЕГ, 2005.
6. . Алгебра и начала анализа; Учебник для 10-11 кл. средней школы – 2-е изд. – М. Просвещение, 2000.
7. , , . Алгебра и начала анализа: Учебник для 10-11 кл. средней школы – 4-е изд. – М. Просвещение, 2002.
8. и др. Алгебра и начала анализа.10-11 кл.: В двух частях. Ч.1: Учеб. для общеобразоват. учреждений. Ч2: Задач. Для общеобразоват. учреждений.- 5-е изд.-М.:Мнемозина,2004.
http://reshator.com/sprav/algebra/10-11-klass/reshenie-sistem-trigonometricheskih-uravnenij/
http://pandia.ru/text/80/263/1615.php