Калькулятор дробей
Онлайн калькулятор дробей позволяет производить простейшие арифметические операции с дробями: сложение дробей, вычитание дробей, умножение дробей, деление дробей. Чтобы произвести вычисления, заполните поля соответствующие числителям и знаменателям двух дробей. Если дробь имеет вид «смешанной дроби», то также заполните поле, соответствующее целой части дроби. Если у дроби нет целой части, т.е. дробь имеет вид «простой дроби», то оставьте данное поле пустым. Затем нажмите кнопку «Вычислить».
Вид дроби: простые дроби смешанные дроби
| Дробь 1 | Дробь 2 | Результат | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Линейное уравнение выглядит так | ах + b = 0, где a и b — действительные числа. Что поможет в решении:
|
|---|---|
| Квадратное уравнение выглядит так: | ax 2 + bx + c = 0, где коэффициенты a, b и c — произвольные числа, a ≠ 0. |
Понятие дробного уравнения
Дробное уравнение — это уравнение с дробями. Да, вот так просто. Но это еще не все. Чаще всего неизвестная стоит в знаменателе. Например, вот так:
Такие уравнения еще называют дробно-рациональными. В них всегда есть хотя бы одна дробь с переменной в знаменателе.
Если вы видите в знаменателях числа, то это уравнения либо линейные, либо квадратные. Решать все равно нужно, поэтому идем дальше. Примеры:
На алгебре в 8 классе можно встретить такое понятие, как область допустимых значений — это множество значений переменной, при которых это уравнение имеет смысл. Его используют, чтобы проверить корни и убедиться, что решение правильное.
Мы уже знаем все важные термины, их определения и наконец подошли к самому главному — сейчас узнаем как решить дробное уравнение.
Как решать уравнения с дробями
1. Метод пропорции
Чтобы решить уравнение методом пропорции, нужно привести дроби к общему знаменателю. А само правило звучит так: произведение крайних членов пропорции равно произведению средних. Проверим, как это работает.
Итак, у нас есть линейное уравнение с дробями:
В левой части стоит одна дробь — оставим без преобразований. В правой части видим сумму, которую нужно упростить так, чтобы осталась одна дробь.
После того, как в левой и правой части осталась одна дробь, можно применить метод пропорции и перемножить крест-накрест числители и знаменатели.
2. Метод избавления от дробей
Возьмем то же самое уравнение, но попробуем решить его по-другому.
В уравнении есть две дроби, от которых мы очень хотим избавиться. Вот, как это сделать:
- подобрать число, которое можно разделить на каждый из знаменателей без остатка;
- умножить на это число каждый член уравнения.
Ищем самое маленькое число, которое делится на 5 и 9 и без остатка — 45 как раз подходит. Умножаем каждый член уравнения на 45 и избавляемся от знаменателей. Вуаля!
Вот так просто мы получили тот же ответ, что и в прошлый раз.
Что еще важно учитывать при решении
- если значение переменной обращает знаменатель в 0, значит это неверное значение;
- делить и умножать уравнение на 0 нельзя.
Универсальный алгоритм решения
Определить область допустимых значений.
Найти общий знаменатель.
Умножить каждый член уравнения на общий знаменатель и сократить полученные дроби. Знаменатели при этом пропадут.
Раскрыть скобки, если нужно и привести подобные слагаемые.
Решить полученное уравнение.
Сравнить полученные корни с областью допустимых значений.
Записать ответ, который прошел проверку.
Курсы по математике от Skysmart помогут закрепить материал и разобраться в сложных темах.
Примеры решения дробных уравнений
Чтобы стать успешным в любом деле, нужно чаще практиковаться. Мы уже знаем, как решаются дробные уравнения — давайте перейдем к решению задачек.
Пример 1. Решить дробное уравнение: 1/x + 2 = 5.
- Вспомним правило х ≠ 0. Это значит, что область допустимых значений: х — любое число, кроме нуля.
- Отсчитываем справа налево в числителе дробной части три знака и ставим запятую.
- Избавимся от знаменателя. Умножим каждый член уравнения на х.
Решим обычное уравнение.
Пример 2. Найти корень уравнения
- Область допустимых значений: х ≠ −2.
- Умножим обе части уравнения на выражение, которое сократит оба знаменателя: 2(х+2)
- Избавимся от знаменателя. Умножим каждый член уравнения на х.
Переведем новый множитель в числитель..
Сократим левую часть на (х+2), а правую на 2.
Пример 3. Решить дробное уравнение: 
- Найти общий знаменатель:
Умножим обе части уравнения на общий знаменатель. Сократим. Получилось:
Выполним возможные преобразования. Получилось квадратное уравнение:
Решим полученное квадратное уравнение:
Получили два возможных корня:
Если x = −3, то знаменатель равен нулю:
Если x = 3 — знаменатель тоже равен нулю.
Сложение и вычитание алгебраических дробей
Сложение и вычитание с одинаковыми знаменателями
Чтобы выполнить сложение или вычитание алгебраических дробей с одинаковыми знаменателями, надо найти сумму или разность числителей, а знаменатель оставить без изменений.
Пример 1. Выполните сложение алгебраических дробей:
| а) | a + 3 | + | a — 3 | ; |
| b | b |
| б) | 2b — 1 | + | b + 4 | . |
| 2 | 2 |
Решение: Складываем числители дробей и выполняем приведение подобных членов (если они есть):
| а) | a + 3 | + | a — 3 | = | (a + 3) + (a — 3) | = |
| b | b | b |
| = | a + 3 + a — 3 | = | 2a | ; | |
| b | b |
| б) | 2b — 1 | + | b + 4 | = | (2b — 1) + (b + 4) | = |
| 2 | 2 | 2 |
| = | 2b — 1 + b + 4 | = | 3b + 3 | . | |
| 2 | 2 |
Пример 2. Выполните вычитание алгебраических дробей:
| а) | x + 5 | — | 5x | ; |
| 3 | 3 |
| б) | a + b | — | a + 4 | . |
| a — 5 | a — 5 |
Решение: Вычитаем из числителя первой дроби числитель второй дроби и выполняем приведение подобных членов (если они есть):
| а) | x + 5 | — | 5x | = | x + 5 — 5x | = | 5 — 4x | ; |
| 3 | 3 | 3 | 3 |
| б) | a + b | — | a + 4 | = | (a + b) — (a + 4) | = |
| a — 5 | a — 5 | a — 5 |
| = | a + b — a — 4 | = | b — 4 | . |
| a — 5 | a — 5 |
Сложение и вычитание алгебраических дробей с одинаковыми знаменателями в виде общих формул:
| a | + | b | = | a + b | и | a | — | b | = | a — b | , |
| c | c | c | c | c | c |
Если дроби имеют знаменатели, состоящие из противоположных выражений, то есть выражений, отличающихся только знаком, надо тождественно преобразовать одну из дробей, чтобы привести их к общему знаменателю. Преобразование выполняется в соответствии с правилами знаков:
| a | = | —a | . |
| b | —b |
Данное преобразование можно рассматривать как умножение числителя и знаменателя дроби на -1. Следовательно, если числитель и знаменатель алгебраической дроби заменить на противоположные выражения, то получится дробь, равная данной. Полученную дробь можно переписать, поставив один из минусов перед дробью:
| a | = | —a | = — | a | = — | —a | . |
| b | —b | —b | b |
Также, любую отрицательную дробь можно сделать положительной, перенеся минус, стоящий перед дробью, в числитель или знаменатель:
| — | a | = | —a | = | a | . |
| b | b | —b |
Пример 1. Найдите сумму дробей:
| 5a | + | 3a | . |
| b — c | c — b |
Решение: Чтобы выполнить сложение, поменяем знаки перед второй дробью и в её знаменателе на противоположные:
| 5a | + | 3a | = | 5a | — | 3a | = |
| b — c | c — b | b — c | -(c — b) |
| = | 5a | — | 3a | = | 2a | . |
| b — c | b — c | b — c |
Пример 2. Найдите разность дробей:
| n + 5 | — | 2n | . |
| n 2 — m | m — n 2 |
Решение: Чтобы выполнить вычитание, перенесём знак минус, стоящий перед второй дробью, в её знаменатель:
| n + 5 | — | 2n | = | n + 5 | + | 2n | = |
| n 2 — m | m — n 2 | n 2 — m | -(m — n 2 ) |
| = | n + 5 | + | 2n | = | 3n + 5 | . |
| n 2 — m | n 2 — m | n 2 — m |
Сложение и вычитание с разными знаменателями
Чтобы найти сумму или разность алгебраических дробей с разными знаменателями, надо:
- найти общий знаменатель,
- привести алгебраические дроби к общему знаменателю,
- выполнить сложение или вычитание,
- сократить полученную дробь, если это возможно.
Пример 1. Выполните сложение дробей:
| 2a | + | b | . |
| a + b | a — b |
Решение: Находим общий знаменатель. Он будет равен произведению знаменателей данных дробей:
Как находить общий знаменатель, Вы можете узнать на странице Приведение алгебраических дробей к общему знаменателю . Далее умножаем числитель каждой дроби на дополнительный множитель:
Общий знаменатель можно свернуть в разность квадратов. В итоге у нас получится:
| 2a | + | b | = | 2a 2 — 2ab | + | ab + b 2 | = |
| a + b | a — b | a 2 — b 2 | a 2 — b 2 |
| = | 2a 2 — 2ab + ab + b 2 | = | 2a 2 — ab + b 2 | . |
| a 2 — b 2 | a 2 — b 2 |
Пример 2. Выполните вычитание дробей:
| b | — | 2 | . |
| a 2 — ab | a — b |
Решение: Разложим знаменатель первой дроби на множители:
Так как данное выражение делится на знаменатель второй дроби, то возьмём его в качестве общего знаменателя. Значит, теперь нам надо умножить числитель второй дроби на дополнительный множитель a:
| b | — | 2 | = |
| a 2 — ab | a — b |
| = | b | — | 2a | = | b — 2a | . |
| a(a — b) | a(a — b) | a(a — b) |
Пример 3. Выполните сложение:
| x + | x 2 |
| 1 — x | . |
Решение: Запишем первое слагаемое в виде дроби и приведём её к знаменателю 1 — x:
| x + | x 2 | = | x | + | x 2 | = |
| 1 — x | 1 | 1 — x |
| = | x(1 — x) | + | x 2 | = | x — x 2 | + | x 2 | . |
| 1 — x | 1 — x | 1 — x | 1 — x |
Теперь можно выполнить сложение дробей с одинаковыми знаменателями:
| x — x 2 | + | x 2 | = | x — x 2 + x 2 | = | x | . |
| 1 — x | 1 — x | 1 — x | 1 — x |
Точно также можно выполнять сложение и вычитание алгебраических дробей с любыми многочленами.
http://skysmart.ru/articles/mathematic/reshenie-uravnenij-s-drobyami
http://izamorfix.ru/matematika/algebra/sloj_vychit_drob.html