Сложение вычитание многочленов решение уравнений

Сложение и вычитание многочленов: правило и примеры

Данная статья разбирает такие действия с многочленами как сложение и вычитание многочленов. Сформулируем правило и рассмотрим его применение в решении задач.

Правило сложения и вычитания многочленов

Формулировку правила мы зададим сразу, после чего запишем пояснения.

Для осуществления действия сложения или вычитания многочленов, необходимо:

• записать сумму или разность многочленов в зависимости от поставленной задачи;
• в записанном выражении произвести раскрытие скобок, результатом чего станет многочлен;
• привести полученный во втором шаге многочлен в стандартный вид.

Теперь дадим пояснения по каждому шагу озвученного алгоритма.

Чтобы записать сумму или разность многочленов, необходимо заданные многочлены заключить в скобки и между ними расположить знак плюс или минус соответственно. К примеру, сумма двух многочленов x 3 + 9 · x · y — 2 и 7 − 4 · x · y запишется как ( x 3 + 9 · x · y — 2 ) + ( 7 − 4 · x · y ) , а их разность имеет вид ( x 3 + 9 · x · y — 2 ) − ( 7 − 4 · x · y ) .

Далее, согласно правилу, необходимо раскрыть скобки в полученном выражении: данное действие совершаем, опираясь на правило раскрытия скобок, перед которыми расположен знак плюси правило раскрытия скобок, перед которыми расположен знак минус. В приведенных выше примерах сумма многочленов ( x 3 + 9 · x · y — 2 ) + ( 7 − 4 · x · y ) после раскрытия скобок получит вид x 3 + 9 · x · y — 2 + 7 − 4 · x · y , а разность ( x 3 + 9 · x · y — 2 ) − ( 7 − 4 · x · y ) станет выглядеть так: x 3 + 9 · x · y — 2 − 7 + 4 · x · y . Мы явно видим, что в итоге получены многочлены.

Последним шагом алгоритма приведем многочлен к стандартному виду. Продолжая рассматриваемые примеры, получим: x 3 + 9 · x · y — 2 + 7 − 4 · x · y = x 3 + 5 · x · y + 5 и x 3 + 9 · x · y — 2 − 7 + 4 · x · y = x 3 + 13 · x · y — 9 .

Мы рассмотрели все действия согласно сформулированному правилу и можем указать важный вывод, что итогом сложения или вычитания является многочлен.

Примеры сложения и вычитания

Разберем типичные задачи на сложение и вычитание многочленов.

Заданы многочлены x 2 + 5 · x + 2 и x 2 − 5 · x + 3 . Необходимо найти их сумму и разность.

Решение

Первым действием найдем сумму исходных многочленов. Запишем ее: ( x 2 + 5 · x + 2 ) + ( x 2 − 5 · x + 3 ) . Раскроем скобки и получим: x 2 + 5 · x + 2 + x 2 − 5 · x + 3 . Чтобы привести полученный многочлен к стандартному виду, совершим действие приведения подобных членов: 2 · x 2 + 5 .

Кратко решение оформляется так:

( x 2 + 5 · x + 2 ) + ( x 2 − 5 · x + 3 ) = x 2 + 5 · x + 2 + x 2 − 5 · x + 3 = = ( x 2 + x 2 ) + ( 5 · x − 5 · x ) + ( 2 + 3 ) = 2 · x 2 + 5

Произведем вычитание многочленов:

( x 2 + 5 · x + 2 ) − ( x 2 − 5 · x + 3 ) = x 2 + 5 · x + 2 − x 2 + 5 · x − 3 = = ( x 2 − x 2 ) + ( 5 · x + 5 · x ) + ( 2 − 3 ) = 10 · x − 1

Ответ: ( x 2 + 5 · x + 2 ) + ( x 2 − 5 · x + 3 ) = 2 · x 2 + 5 и ( x 2 + 5 · x + 2 ) − ( x 2 − 5 · x + 3 ) = 10 · x − 1 .

Одночлен – частный случай многочлена, поэтому правило сложения и вычитания, рассматриваемое в данной статье, применимо и для сложения и вычитания одночленов; для сложения и вычитания одночлена и многочлена и, наконец, для вычитания одночлена из многочлена и наоборот.

Необходимо вычесть из одночлена 17 · a · b 2 многочлен b 4 + b 3 + 11 · a · b 2 − 2 .

Решение

Сделаем запись разности ( 17 · a · b 2 ) − ( b 4 + b 3 + 11 · a · b 2 − 2 ) . Раскроем скобки и получим многочлен вида: 17 · a · b 2 − b 4 − b 3 − 11 · a · b 2 + 2 . Далее приводим многочлен к стандартному виду путем приведения подобных членов: 6 · a · b 2 − b 4 − b 3 + 2 , что и будет являться разностью исходных данных.

Ответ: ( 15 · a · b 2 ) − ( b 4 + b 3 + 11 · a · b 2 − 7 ) = 6 · a · b 2 − b 4 − b 3 + 2 .

Исходные многочлены могут быть представлены как в стандартном, так и в нестандартном виде: действия сложения и вычитания могут совершаться и в том, и в том состоянии данных, на результат вычисления это никоим образом не повлияет. Единственное, чем могут отличаться результаты, полученные от сложения или вычитания многочленов нестандартного вида и многочленов в стандартном виде – это порядок следования членов многочлена-результата сложения или вычитания.

Заданы многочлены 5 + 3 · a · 2 + 4 и a 2 − 2 · a + 2 · a 2 + 6 . Необходимо найти их сумму.

Решение

Решим задачу двумя способами.

1. Осуществим сложение многочленов в исходном виде: ( 5 + 3 · a · 2 + 4 ) + ( a 2 − 2 · a + 2 · a 2 + 6 ) = = 5 + 3 · a · 2 + 4 + a 2 − 2 · a + 2 · a 2 + 6 = 5 + 6 · a + 4 + a 2 − 2 · a + 2 · a 2 + 6 = = ( 5 + 4 + 6 ) + ( 6 · a − 2 · a ) + ( a 2 + 2 · a 2 ) = 15 + 4 · a + 3 · a 2
2. Первоначально запишем исходные многочлены в стандартном виде: 5 + 3 · a · 2 + 4 = 1 + 6 · a + 4 = ( 5 + 4 ) + 6 · a = 9 + 6 · a и a 2 − 2 · a + 2 · a 2 + 6 = ( a 2 + 2 · a 2 ) − 2 · a + 6 = 3 · a 2 − 2 · a + 6 .

Теперь произведём сложение:

( 9 + 6 · a ) + ( 3 · a 2 − 2 · a + 6 ) = 9 + 6 · a + 3 · a 2 − 2 · a + 6 = = ( 9 + 6 ) + ( 6 · a − 2 · a ) + 3 · a 2 = 15 + 4 · a + 3 · a 2

Явно видно, что оба способа дали один и тот же итог.

Ответ: ( 5 + 3 · a · 2 + 4 ) + ( a 2 − 2 · a + 2 · a 2 + 6 ) = 15 + 4 · a + 3 · a 2 .

По такой же схеме, как во всех указанных примерах, производится сложение или вычитание трех и более многочленов.

Заданы многочлены: 5 · a · b − a · b 2 , 3 · a · b 2 и 2 · a · b 2 − a · b + b . Необходимо выполнить их сложение.

Решение

Осуществляем действия сложения согласно сформулированному выше правилу. Составляем сумму, затем раскрываем скобки и преобразуем полученный многочлен в стандартный вид:

( 5 · a · b − a · b 2 ) + ( 3 · a · b 2 ) + ( 2 · a · b 2 − a · b + b ) = = 5 · a · b − a · b 2 + 3 · a · b 2 + 2 · a · b 2 − a · b + b = 4 · a · b + 4 · a · b 2 + b

Ответ: ( 5 · a · b − a · b 2 ) + ( 3 · a · b 2 ) + ( 2 · a · b 2 − a · b + b ) = 4 · a · b + 4 · a · b 2 + b .

Конспект урока по алгебре «Сложение и вычитание многочленов. Решение упражнений» (7 класс)

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Выберите документ из архива для просмотра:

Выбранный для просмотра документ 7 класс урок Алг №80.docx

7 класс. Предмет Алгебра. Урок №50 Дата14.01.2020

Тема урока: Сложение и вычитание многочленов. Решение упражнений

Тип урока: усвоения умений и навыков

Личностные: ответственное отношение к учебе, умение ясно излагать мнение, умение определять правильность, дружелюбное отношение к другим

Метапредметные: умение ставить цель, планировать, выполнять работу по образцу и алгоритму, строить логические заключения, определять удобные (рациональные) способы решения, анализировать, сравнивать, определять важное; умение работать в паре

Предметные: уметь выполнять сложение и вычитание многочленов, применять при решении уравнений, находить неизвестное слагаемое-многочлен.

Оборудование : карточки, интерактивная доска Activ Board , ФЧ (проверка), таблица, ЭП

2. Проверка ДЗ (сканировать тетрадь)

3. Мотивация. Найти ошибку.

a ) (6 a +2 b )–(4 a – b ) = 6 a +2 b +4 a + b =10 a +3 b Как проверить раскрытие скобок?

б) (2х+7у)+(3х–4)=2х+7у+3х–4=5 x +3 y (записать правильное решение, использовать как образец)

Какие действия? (сложение, вычитание)

Всегда ли они выполнимы для многочленов? (да)

Что является результатом? (многочлен)

1) Алгоритм выполнения сложения и вычитания многочленов (1-раскрыть скобки, 2-привести подобные слагаемые)

2) Правило раскрытия скобок.

3) Как привести подобные слагаемые?

5. Тема, цель, критерии (9 баллов + 1 балл)

6. Применение знаний в стандартных условиях

Выполните сложение или вычитание многочленов ( 3 балла ). Взаимопроверка по ФЧ(шторка)

2) активное упражнение (объединиться в группы подобных слагаемых и выполнить приведение подобных)

7х 2 у 2 –7 х 2 у 2 +1,2 х 2 у 2 –1,2 х 2 у 2 =0

9ху 2 –9ху 2 +2,1ху 2 –2,1ху 2 =0

9х 2 у–9х 2 у+2,1х 2 у –2,1х 2 у =0

8. Перенос знаний в новые условия

1) №593а – проблемная ситуация, обратное действие, нахождение неизвестного слагаемого (способы: подбор или вычитание)

Нужно найти такие одночлены, которые в сумме с одночленами из левой части дадут одночлены, равные стоящим в правой части. Получаем их: х 2 , 11 ху , — у 2 .

Значит, вместо М нужно записать многочлен х 2 + 11 ху – у 2 .

? Может ли сумма многочленов быть равной 0? (ДА, если…)

? Может ли разность многочленов быть равной 0? (ДА, если…)

2). Запишите во втором столбце многочлен, сумма которого с многочленом из первого столбца равна многочлену из третьего столбца. ( 4 балла ). На ФЧ правильные ответы сгруппированы со звездочкой.

План решения? (1-раскрыть скобки, 2- перенести слагаемые, 3-привести подобные слагаемые, 4-решить полученное уравнение)

а) (23+3х)+(8х–41)=15, 23+3х+8х–41=15, 3х+8х=15-23+41, 11х=33, х=3

б) самостоятельно (19+2х)–(5х–11)=25, 19+2х–5х+11=25, 2х–5х=25–19–11, –3х= –5, х=5/3

в) (доп) (3,2 у – 1,8) – (5,2 у + 3,4) = –5,8;

3,2 у – 1,8 – 5,2 у – 3,4 = –5,8;

3,2 у – 5,2 у = 1,8 + 3,4 – 5,8;

4) резерв ЭП к учебнику (анимация) сложение и вычитание 3-х многочленов.

III. Итоги урока.

– Как раскрыть скобки, перед которыми стоит знак «+»? знак «–»?

– Как выполнить сложение или вычитание многочленов?

— Где можно применить?

Домашнее задание: № 593(в); № 606(а,г); №607(а)*

Выбранный для просмотра документ карточки.docx

Краткое описание документа:

Разработка урока усвоения умений и навыков по алгебре «Сложение и вычитание многочленов» (7 класс. Ю.Н.Макарычев). В архиве прилагается раздаточный материал (карточки) и флипчарт для осуществления проверки с помощью интерактивной доски Activ Board. Планируемые предметные результаты: уметь выполнять сложение и вычитание многочленов, применять при решении уравнений, находить неизвестное слагаемое-многочлен.

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

• Сейчас обучается 930 человек из 80 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

• Сейчас обучается 687 человек из 75 регионов

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

• Сейчас обучается 304 человека из 68 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Дистанционные курсы для педагогов

«Взбодрись! Нейрогимнастика для успешной учёбы и комфортной жизни»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 593 340 материалов в базе

Материал подходит для УМК

«Алгебра», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г. и др.

13. Сложение и вычитание многочленов

Самые массовые международные дистанционные

Школьные Инфоконкурсы 2022

33 конкурса для учеников 1–11 классов и дошкольников от проекта «Инфоурок»

«Психологические методы развития навыков эффективного общения и чтения на английском языке у младших школьников»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Другие материалы

• 13.01.2020
• 105
• 0

• 13.01.2020
• 463
• 9

• 12.01.2020
• 163
• 1

• 11.01.2020
• 129
• 0

• 11.01.2020
• 173
• 0

• 10.01.2020
• 252
• 2

• 09.01.2020
• 1253
• 11

• 09.01.2020
• 162
• 1

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Добавить в избранное

• 13.01.2020 596
• RAR 135.7 кбайт
• 23 скачивания
• Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Царук Ольга Николаевна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

• На сайте: 5 лет и 5 месяцев
• Подписчики: 1
• Всего просмотров: 52317
• Всего материалов: 13

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

Университет им. Герцена и РАО создадут портрет современного школьника

Время чтения: 2 минуты

Минпросвещения упростит процедуру подачи документов в детский сад

Время чтения: 1 минута

Новые курсы: функциональная грамотность, ФГОС НОО, инклюзивное обучение и другие

Время чтения: 15 минут

В приграничных пунктах Брянской области на день приостановили занятия в школах

Время чтения: 0 минут

В Белгородской области отменяют занятия в школах и детсадах на границе с Украиной

Время чтения: 0 минут

Курские власти перевели на дистант школьников в районах на границе с Украиной

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Сложение и вычитание многочленов. Типовые задачи

Этот видеоурок доступен по абонементу

У вас уже есть абонемент? Войти

На данном уроке будут изучены операции сложения и вычитания многочленов, сформулированы правила для сложения и вычитания. Рассмотрены примеры и решены некоторые типовые задачи и уравнения, закреплены навыки выполнения этих операций.

Если у вас возникнет сложность в понимании темы, рекомендуем посмотреть урок «Упрощение выражений»