Сложные уравнения и их решения

топ 5 самых сложных уравнений и неравенств ЕГЭ

Линейные уравнения

Линейные уравнения – уравнения типа ax=bax=b a x = b .

Например, 103x+18=4103x+18=4 1 3 x + 1 8 = 4 .

Для решения таких уравнений необходимо перенести неизвестные в одну сторону, числовые значения в другую, затем привести подобные и выразить неизвестное.

Решить уравнение 4x–8=2+3x+44x – 8 = 2 + 3x + 4 4 x – 8 = 2 + 3 x + 4

Решение

1. Перенесем неизвестные в левую часть, числа – в правую (с противоположными знаками):

4x–3x=2+4+84x – 3x = 2 + 4 + 8 4 x – 3 x = 2 + 4 + 8

1. Приведем подобные (сложим и вычтем неизвестные и числа):

x=14x = 14 x = 1 4

Ответ: x=14x = 14 x = 1 4

Противоположный знак – знак обратный исходному при переноси числа или выражения через знак =. Для знака плюс, противоположным будет знак «–» и наоборот, для частного произведение и соответственно для произведения — частное.

Выразить xx x в уравнении 18x+2x–4=10x+1618x + 2x – 4 = 10x + 16 1 8 x + 2 x – 4 = 1 x + 1 6

Решение

1. Перенесем неизвестные в левую часть, числа – в правую

18x+2x–10x=16+418x + 2x – 10x = 16 + 4 1 8 x + 2 x – 1 x = 1 6 + 4

10∗x=2010*x = 20 1 ∗ x = 2

x=20/10=2x = 20/10 = 2 x = 2 / 1 = 2

Ответ: x=2x = 2 x = 2 .

Примеры решения задач

Задание Решить уравнение Решение Расставим порядок действий: Отметим, что выражение, определяющее неизвестную в данном уравнении — . В данном случае последним действием является вычитание, поэтому необходимо найти неизвестное уменьшаемое: к разности надо прибавить вычитаемое: Получили простейшее уравнение с неизвестным множителем. Чтобы найти неизвестный множитель, надо произведение поделить на известный множитель: Ответ

Также некоторые сложные уравнения можно решать следующим образом, который основывается на свойствах арифметических действий.

Задание Решить уравнение Решение Упростим выражение, стоящее в левой части заданного уравнения, используя свойства вычитания: чтобы от суммы отнять число, необходимо это число вычесть из одного из слагаемых суммы и результат прибавить к другому слагаемому. То есть вначале отнимем от пяти два и результат прибавим ко второму слагаемому : Далее определяем порядок выполнения операций: Чтобы найти неизвестное слагаемое , необходимо от суммы 27 отнять известное слагаемое 3: Далее найдем решение простого уравнения, используя правило нахождения неизвестного множителя: чтобы найти неизвестный множитель, надо произведение поделить на известный множитель. Тогда или . Ответ

Урок математики во 2 классе

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Урок 93. Сложные уравнения и их решение

Школа: КГУ «Гимназия №5»

Ф.И.О. педагога: Винник О.В.

Количество присутствующих: 26

Количество отсутствующих: 2

2.2.2.2. Решать уравнения сложной структуры вида:

Все учащиеся будут:

решать уравнения сложной структуры через компоненты по алгоритму

Многие учащиеся будут:

составлять и решать уравнения сложной структуры: по записи и рисунку

Некоторые учащиеся будут:

уметь применять навык решения составного уравнения при решении составных задач алгебраическим способом

формулировать правило о порядке выполнения действий в выражениях. Использовать названия компонентов действий при объяснении решения уравнений.

Предметная лексика и терминология:

Уравнение, порядок действий, названия компонентов при сложении и вычитании, умножении и делении, упрощение уравнений.

Серия полезных фраз для диалога/письма Обсуждение:

Что значит «упростить уравнение»?

Можете ли вы назвать неизвестный компонент в уравнении?

Как найти неизвестный компонент?

Запись решения уравнения и его проверки.

Уравнение, названия компонентов, связь компонентов и результатов сложения и вычитания, умножения и деления

Готов ли ты начать урок?

Всё ль на месте?

Всё ль в порядке?

Книжка, ручка и тетрадка?

С усердием трудитесь!

Минутка чистописания: 28 (характеристика числа)

(И) Математический диктант

Сумма чисел 6 и Х

Разность чисел 45 и 9

Частное чисел 24 и 4

Произведение чисел 4 и Х

Делимое 45, делитель Х

Слагаемое 5 и слагаемое Х

Уменьшаемое 23, вычитаемое 14

Сумму чисел 4 и 3 взяли 4 раза

(П) Взаимопроверка по образцу

Карта ФО ученика с заданиями

Карточки на доске

Постановка цели (проблемная ситуация) –

— Разделите выражения на группы ( числовые и буквенные выражения)

— Какое математическое задание их может объединить?

— Кто может определить тему урока и его цель?

— Что такое уравнение?

— Чему будем учиться на уроке?

Материалы образовательного портала «Билим ленд», урок «Решение уравнений усложнённой структуры»

(Г) Повторение компонентов математических действий и способов их нахождения.

1 группа – как найти делимое?

2 группа – как найти делитель?

3 группа – как найти множитель?

4 группа – как найти слагаемое?

5 группа – как найти уменьшаемое?

6 группа – как найти вычитаемое?

7 группа – что такое уравнение?

Дети ищут ответ на вопрос и приклеивают ответ на карточку, спикер защищает ответ группы

Знакомство с алгоритмом решения сложного уравнения.

Подумайте, какую часть можно упростить.

Выполните возможные вычисления.

Запишите полученное простое уравнение.

Решите уравнение по алгоритму.

(П) Первичное закрепление с проговариванием

— Выберите уравнение усложнённой структуры и решите его с объяснением товарищу

1) Реши уравнение: Х – 49 = 36:4

2) Запиши уравнение и реши:

Сумма чисел 28 и а равна произведению чисел 4и9

3) Составь уравнение и реши:

Презентация на портале «Билим ленд» — видеобъяснение

Задание на закрепление из урока портала «Билим ленд»

(П,К) Решение задачи разными способами

На ярмарку национальных блюд приготовили 4 стола по 8 блюд на каждом. Продали несколько блюд. Осталось ещё 15 блюд. Сколько блюд продали?

— по действиям (арифметический способ)

— при помощи уравнения (алгебраический способ)

Для проведения рефлексии предлагает детям соотнести свои умения с целями: кто за урок понял, что он может:

— Знаю, что значит упростить уравнение.

— Могу упростить уравнение.

— Могу назвать неизвестный компонент.

— Знаю, как найти неизвестный компонент.

— Могу решить уравнение и выполнить проверку.

(К) Стратегия «Большой палец»

— Могу поделиться знаниями с другими

— Кое-что осталось неясным, надо доработать

— Ничего не понял на уроке

Домашнее задание : стр. 65 №2 (2,3 столбики)

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

• Сейчас обучается 932 человека из 80 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

• Сейчас обучается 682 человека из 75 регионов

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

• Сейчас обучается 308 человек из 69 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Дистанционные курсы для педагогов

Самые массовые международные дистанционные

Школьные Инфоконкурсы 2022

33 конкурса для учеников 1–11 классов и дошкольников от проекта «Инфоурок»

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 573 426 материалов в базе

Другие материалы

• 11.03.2019
• 285
• 1

• 11.03.2019
• 1320
• 55

• 11.03.2019
• 186
• 0

• 11.03.2019
• 586
• 14

• 11.03.2019
• 887
• 6

• 11.03.2019
• 2810
• 23

• 11.03.2019
• 155
• 0

• 11.03.2019
• 2294
• 48

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Добавить в избранное

• 11.03.2019 3203
• DOCX 66.5 кбайт
• 16 скачиваний
• Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Винник Оксана Владимировна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

• На сайте: 5 лет и 2 месяца
• Подписчики: 0
• Всего просмотров: 4201
• Всего материалов: 2

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

Инфоурок стал резидентом Сколково

Время чтения: 2 минуты

Полный перевод школ на дистанционное обучение не планируется

Время чтения: 1 минута

Тринадцатилетняя школьница из Индии разработала приложение против буллинга

Время чтения: 1 минута

ЕГЭ в 2022 году будут сдавать почти 737 тыс. человек

Время чтения: 2 минуты

В Забайкалье в 2022 году обеспечат интернетом 83 школы

Время чтения: 1 минута

В школах Хабаровского края введут уроки спортивной борьбы

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Математика

52. Более сложные примеры уравнений.
Пример 1 .

5/(x – 1) – 3/(x + 1) = 15/(x 2 – 1)

Общий знаменатель есть x 2 – 1, так как x 2 – 1 = (x + 1)(x – 1). Умножим обе части этого уравнения на x 2 – 1. Получим:

или, после сокращения,

5(x + 1) – 3(x – 1) = 15

5x + 5 – 3x + 3 = 15

Рассмотрим еще уравнение:

5/(x-1) – 3/(x+1) = 4(x 2 – 1)

Решая, как выше, получим:

5(x + 1) – 3(x – 1) = 4
5x + 5 – 3x – 3 = 4 или 2x = 2 и x = 1.

Посмотрим, оправдываются ли наши равенства, если заменить в каждом из рассмотренных уравнений x найденным числом.

Для первого примера получим:

Видим, что здесь нет места никаким сомнениям: мы нашли такое число для x, что требуемое равенство оправдалось.

Для второго примера получим:

5/(1-1) – 3/2 = 15/(1-1) или 5/0 – 3/2 = 15/0

Здесь возникают сомнения: мы встречаемся здесь с делением на нуль, которое невозможно. Если в будущем нам удастся придать определенный, хотя бы и косвенный, смысл этому делению, то тогда мы можем согласиться с тем, что найденное решение x – 1 удовлетворяет нашему уравнению. До этой же поры мы должны признать, что наше уравнение вовсе не имеет решения, имеющего прямой смысл.

Подобные случаи могут иметь место тогда, когда неизвестное входит как-либо в знаменатели дробей, имеющихся в уравнении, причем некоторые из этих знаменателей, при найденном решении, обращаются в нуль.

(x + 3)/(x – 1) = (2x + 3)/(2x – 2)

Можно сразу видеть, что данное уравнение имеет форму пропорции: отношение числа x + 3 к числу x – 1 равно отношению числа 2x + 3 к числу 2x – 2. Пусть кто-либо, в виду такого обстоятельства, решит применить сюда для освобождения уравнения от дробей основное свойство пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних). Тогда он получит:

(x + 3) (2x – 2) = (2x + 3) (x – 1)

2x 2 + 6x – 2x – 6 = 2x 2 + 3x – 2x – 3.

Здесь может возбудить опасения, что мы не справимся с этим уравнением, то обстоятельство, что в уравнение входят члены с x 2 . Однако, мы можем от обеих частей уравнения вычесть по 2x 2 — от этого уравнение не нарушится; тогда члены с x 2 уничтожатся, и мы получим:

6x – 2x – 6 = 3x – 2x – 3

Перенесем неизвестные члены влево, известные вправо — получим:

Вспоминая данное уравнение

(x + 3)/(x – 1) = (2x + 3)/(2x – 2)

мы сейчас же подметим, что найденное значение для x (x = 1) обращает в нуль знаменателей каждой дроби; от такого решения мы, пока не рассмотрели вопроса о делении на нуль, должны отказаться.

Если мы подметим еще, что применение свойства пропорции усложнило дело и что можно было бы получить более простое уравнение, умножая обе части данного на общий знаменатель, а именно на 2(x – 1) — ведь 2x – 2 = 2 (x – 1), то получим:

2(x + 3) = 2x – 3 или 2x + 6 = 2x – 3 или 6 = –3,

Это обстоятельство указывает, что данное уравнение не имеет таких, имеющих прямой смысл решений, которые не обращали бы знаменателей данного уравнения в нуль.
Решим теперь уравнение:

(3x + 5)/(x – 1) = (2x + 18)/(2x – 2)

Умножим обе части уравнения 2(x – 1), т. е. на общий знаменатель, получим:

Найденное решение не обращает в нуль знаменатель и имеет прямой смысл:

или 11 = 11

Если бы кто-либо, вместо умножения обеих частей на 2(x – 1), воспользовался бы свойством пропорции, то получил бы:

(3x + 5)(2x – 2) = (2x + 18)(x – 1) или
6x 2 + 4x – 10 = 2x 2 + 16x – 18.

Здесь уже члены с x 2 не уничтожались бы. Перенеся все неизвестные члены в левую часть, а известные в правую, получили бы

Это уравнение мы теперь решить не сумеем. В дальнейшем мы научимся решать такие уравнения и найдем для него два решения: 1) можно взять x = 2 и 2) можно взять x = 1. Легко проверить оба решения:

1) 2 2 – 3 · 2 = –2 и 2) 1 2 – 3 · 1 = –2

Если мы вспомним начальное уравнение

(3x + 5) / (x – 1) = (2x + 18) / (2x – 2),

то увидим, что теперь мы получим оба его решения: 1) x = 2 есть то решение, которое имеет прямой смысл и не обращает знаменателя в нуль, 2) x = 1 есть то решение, которое обращает знаменателя в нуль и не имеет прямого смысла.

Найдем общего знаменателя дробей, входящих в это уравнение, для чего разложим на множители каждого из знаменателей:

1) x 2 – 5x + 6 = x 2 – 3x – 2x + 6 = x(x – 3) – 2(x – 3) = (x – 3)(x – 2),

2) x 2 – x – 2 = x 2 – 2x + x – 2 = x (x – 2) + (x – 2) = (x – 2)(x + 1),

3) x 2 – 2x – 3 = x 2 – 3x + x – 3 = x (x – 3) + (x – 3) = (x – 3) (x + 1).

Общий знаменатель равен (x – 3)(x – 2)(x + 1).

Умножим обе части данного уравнения (а его мы теперь можем переписать в виде:

на общего знаменателя (x – 3) (x – 2) (x + 1). Тогда, после сокращения каждой дроби получим:

3(x + 1) – 2(x – 3) = 2(x – 2) или
3x + 3 – 2x + 6 = 2x – 4.

Это решение имеет прямой смысл: оно не обращает в нуль ни одного из знаменателей.

Если бы мы взяли уравнение:

то, поступая совершенно так же, как выше, получили бы

3(x + 1) – 2(x – 3) = x – 2

3x + 3 – 2x + 6 = x – 2

3x – 2x – x = –3 – 6 – 2,

откуда получили бы

что невозможно. Это обстоятельство показывает, что нельзя найти для последнего уравнения решения, имеющего прямой смысл.