Решение уравнений с дробями
О чем эта статья:
5 класс, 6 класс, 7 класс
Понятие дроби
Прежде чем отвечать на вопрос, как найти десятичную дробь, разберемся в основных определениях, видах дробей и разницей между ними.
Дробь — это рациональное число, представленное в виде a/b, где a — числитель дроби, b — знаменатель. Есть два формата записи:
- обыкновенный вид — ½ или a/b,
- десятичный вид — 0,5.
Дробь — это одна из форм деления, записываемая с помощью дробной черты. Над чертой принято писать делимое (число, которое делим) — числитель. А под чертой всегда находится делитель (на сколько делим), его называют знаменателем. Черта между числителем и знаменателем означает деление.
Дроби бывают двух видов:
- Числовые — состоят из чисел. Например, 2/7 или (1,8 − 0,3)/5.
- Алгебраические — состоят из переменных. Например, (x + y)/(x − y). Значение дроби зависит от данных значений букв.
Дробь называют правильной, когда ее числитель меньше знаменателя. Например, 4/9 и 23/57.
Неправильная дробь — та, у которой числитель больше знаменателя или равен ему. Например, 13/5. Такое число называют смешанным — читается так: «две целых три пятых», а записывается — 2 3/5.
Основные свойства дробей
Дробь не имеет значения, если делитель равен нулю.
Дробь равняется нулю в том случае, если числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля.
Дроби a/b и c/d называют равными, если a × d = b × c.
Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то получится равная ей дробь.
Действия с дробями можно выполнять те же, что и с обычными числами: складывать, вычитать, умножать и делить. Также, дроби можно сравнивать между собой и возводить в степень.
Понятие уравнения
Уравнение — это математическое равенство, в котором неизвестна одна или несколько величин. Наша задача — найти неизвестные числа так, чтобы при их подстановке в пример получилось верное числовое равенство. Давайте на примере:
- Возьмем выражение 4 + 5 = 9. Это верное равенство, потому что 4+5 действительно 9. Если бы вместо 9 стояло любое другое число — мы бы сказали, что числовое равенство неверное.
- Уравнением можно назвать выражение 4 + x = 9, с неизвестной переменной x, значение которой нужно найти. Результат должен быть таким, чтобы знак равенства был оправдан, и левая часть равнялась правой.
Корень уравнения — то самое число, которое уравнивает выражения справа и слева, когда мы подставляем его на место неизвестной. В таком случае афоризм «зри в корень» — очень кстати при усердном решении уравнений.
Равносильные уравнения — это те, в которых совпадают множества решений. Другими словами, у них одни и те же корни.
Решить уравнение значит найти все его корни или убедиться, что корней нет.
Алгебраические уравнения могут быть разными, самые часто встречающиеся — линейные и квадратные. Расскажем и про них.
Линейное уравнение выглядит так | ах + b = 0, где a и b — действительные числа. Что поможет в решении:
|
---|---|
Квадратное уравнение выглядит так: | ax 2 + bx + c = 0, где коэффициенты a, b и c — произвольные числа, a ≠ 0. |
Понятие дробного уравнения
Дробное уравнение — это уравнение с дробями. Да, вот так просто. Но это еще не все. Чаще всего неизвестная стоит в знаменателе. Например, вот так:
Такие уравнения еще называют дробно-рациональными. В них всегда есть хотя бы одна дробь с переменной в знаменателе.
Если вы видите в знаменателях числа, то это уравнения либо линейные, либо квадратные. Решать все равно нужно, поэтому идем дальше. Примеры:
На алгебре в 8 классе можно встретить такое понятие, как область допустимых значений — это множество значений переменной, при которых это уравнение имеет смысл. Его используют, чтобы проверить корни и убедиться, что решение правильное.
Мы уже знаем все важные термины, их определения и наконец подошли к самому главному — сейчас узнаем как решить дробное уравнение.
Как решать уравнения с дробями
1. Метод пропорции
Чтобы решить уравнение методом пропорции, нужно привести дроби к общему знаменателю. А само правило звучит так: произведение крайних членов пропорции равно произведению средних. Проверим, как это работает.
Итак, у нас есть линейное уравнение с дробями:
В левой части стоит одна дробь — оставим без преобразований. В правой части видим сумму, которую нужно упростить так, чтобы осталась одна дробь.
После того, как в левой и правой части осталась одна дробь, можно применить метод пропорции и перемножить крест-накрест числители и знаменатели.
2. Метод избавления от дробей
Возьмем то же самое уравнение, но попробуем решить его по-другому.
В уравнении есть две дроби, от которых мы очень хотим избавиться. Вот, как это сделать:
- подобрать число, которое можно разделить на каждый из знаменателей без остатка;
- умножить на это число каждый член уравнения.
Ищем самое маленькое число, которое делится на 5 и 9 и без остатка — 45 как раз подходит. Умножаем каждый член уравнения на 45 и избавляемся от знаменателей. Вуаля!
Вот так просто мы получили тот же ответ, что и в прошлый раз.
Что еще важно учитывать при решении
- если значение переменной обращает знаменатель в 0, значит это неверное значение;
- делить и умножать уравнение на 0 нельзя.
Универсальный алгоритм решения
Определить область допустимых значений.
Найти общий знаменатель.
Умножить каждый член уравнения на общий знаменатель и сократить полученные дроби. Знаменатели при этом пропадут.
Раскрыть скобки, если нужно и привести подобные слагаемые.
Решить полученное уравнение.
Сравнить полученные корни с областью допустимых значений.
Записать ответ, который прошел проверку.
Курсы по математике от Skysmart помогут закрепить материал и разобраться в сложных темах.
Примеры решения дробных уравнений
Чтобы стать успешным в любом деле, нужно чаще практиковаться. Мы уже знаем, как решаются дробные уравнения — давайте перейдем к решению задачек.
Пример 1. Решить дробное уравнение: 1/x + 2 = 5.
- Вспомним правило х ≠ 0. Это значит, что область допустимых значений: х — любое число, кроме нуля.
- Отсчитываем справа налево в числителе дробной части три знака и ставим запятую.
- Избавимся от знаменателя. Умножим каждый член уравнения на х.
Решим обычное уравнение.
Пример 2. Найти корень уравнения
- Область допустимых значений: х ≠ −2.
- Умножим обе части уравнения на выражение, которое сократит оба знаменателя: 2(х+2)
- Избавимся от знаменателя. Умножим каждый член уравнения на х.
Переведем новый множитель в числитель..
Сократим левую часть на (х+2), а правую на 2.
Пример 3. Решить дробное уравнение:
- Найти общий знаменатель:
Умножим обе части уравнения на общий знаменатель. Сократим. Получилось:
Выполним возможные преобразования. Получилось квадратное уравнение:
Решим полученное квадратное уравнение:
Получили два возможных корня:
Если x = −3, то знаменатель равен нулю:
Если x = 3 — знаменатель тоже равен нулю.
Математика 5 класс. Сложные задачи на дроби. Дидактика репетитора
Предлагаю репетиторам по математике специально подготовленный комплект базовых сложных задач на дроби, рассчитанный для учащихся 5 класса. Ориентировочное время на его проработку на уроке — 60 минут. Регулярно использую данный комплект в ситуациях, когда родителям нужна олимпиадная помощь репетитора по математике (подготовка в Курчатовскую школу, в лицей «Вторая школа» и др.) Большинство задач составлены мной по мотивам известных классических номеров повышенной сложности. Комплект можно также использовать в работе с сильным учеником 4 класса, параллельно осваивающим с репетитором по математике программу учебника Петерсона.
Для подготовки к олимпиадам по математике в 5 классе. Задачи на дроби.
1) Тетя Нюра пожарила блинчики. Ира съела половину приготовленных блинчиков и еще один блинчик. Максим съел половину остатка и еще один блинчик, а Никита съел половину последнего остатка и последний блинчик. Сколько блинчиков пожарила тетя Нюра?
2) Мама испекла пирожки. Маша съела всех испеченных пирожков и еще один. После этого Антон съел всех оставшихся пирожков и еще один. И, наконец, Вера съела последнего остатка и последний пирожок. Сколько пирожков испекла мама?
3) Папа пошел в магазин. На первую покупку он истратил всех своих денег и еще одну монету. На вторую покупку он истратил остатка и еще одну монету. На последнюю покупку он снова истратил остатка и последнюю монету. Сколько монет было у папы?
4) Андрей прочитал книгу за 2 дня. Во второй день он прочел того, что он прочитал в первый день. Сколько страниц он прочитал во второй день, если во всей книге 80 страниц?
5) Турист проехал намеченный путь за 2 дня. В первый день он проехал того, что проехал во второй. Сколько километров он проехал во второй день, если весь путь составил 140км?
6) Столб врыт в землю. Часть столба, находящаяся в земле, составляет той части, которая находится над землей. Найдите глубину, на которую врыт столб, если его длина составляет 3м40см.
7) Полина прочитала книги, а Софья — такой же книги. Сколько страниц в этой книге, если Полина прочла больше Софьи на 63 страницы?
8) В первый день в магазине продали всей завезенной вишни, а во второй — всей завезенной вишни. Сколько килограммов вишни завезли, если во второй день продали на 90 кг больше, чем в первый?
9) Имеются две одинаковые бочки с водой. Из первой вылили бочки, а из второй — бочки. Сколько литров воды было в каждой бочке, если из второй бочки вылили на 220литров воды больше, чем из первой.
10) Количество отсутствующих учеников в классе составляет числа присутствующих. Когда из этого класса вышло 6 учеников, число отсутствующих составило числа присутствующих. Сколько всего учеников в этом классе?
11) Преподаватель по математике проверял тетради с итоговой контрольной работой за 6 класс. До обеда число проверенных работ составляло числа не проверенных. После обеда он проверил еще 4 работы, и число проверенных составило от числа не проверенных. Сколько всего имелось работ?
12) В коробке лежат красные и белые шары. Количество красных шаров составляет числа белых. После того как 12 белых шаров покрасили в красный цвет, количество красных составило числа белых. Сколько шаров в коробке?
13) После того как почтальон проехал 1 км и еще половину оставшегося пути до почты, ему осталось проехать всего пути и еще 1 км. Чему равен путь почтальона?
14) После того как черепаха проползла 10 см и еще оставшегося пути, ей осталось проползти всей дистанции и последние 10 см. Чему равна длина дистанции черепахи?
15) После того как туристы проехали 2 км на машине и еще остатка всего маршрута, им осталось до конца маршрута проехать всего пути и последние 3 км. Найдите длину туристического маршрута?
Пояснение репетитора по математике: данные задачи представляют собой полноценный комплект упражнений для одного урока с сильным учеником 4 — 5 класса по теме: «задачи на дроби». Он представлен пятью блоками полуолимпиадных номеров, рассчитанных на решение без применения уравнений. Рекомендую репетиторам по математике разбирать одну задачу самостоятельно, другую оставлять для самостоятельную работы ученика в присутствии репетитора, а еще одну задавать на дом. В каждом блоке для этого имеется соответствующее количество задач.
Колпаков А.Н Репетитор по математике в Москве. Строгино
Здравствуйте, Александр Николаевич!
Во-первых, спасибо Вам огромное за Ваш труд, за Ваш сайт!
Выложенное Вами в открытый доступ — неоценимая помощь в достойной качественной дополнительной подготовке наших детей при постижении математики.. Пользуюсь — не нарадуюсь!
Правда, в данном наборе («Для подготовки к олимпиадам по математике в 5 классе. Задачи на дроби.») сын задал вопрос, ответ на который хочу у Вас уточнить.
В задаче №6 в каких единицах требуется найти «высоту столба»? В относительных? Т.е., пять семнадцатых?
Да, большое спасибо за найденный пропуск. В задаче №6 известна длина целого столба — 3м 40 см. Все исправлено, решайте на здоровье!
Ещё бы ответы для самопроверки! А так очень даже ничего, хочу сказать, что какое надо иметь терпение, чтобы проделать ТАКУЮ работу! И всё для нас. СПАСИБО ОГРОМНОЕ.
Спасибо! Низкий поклон! Я сама пытаюсь сыну без репетитора помочь в математике, так как у нас в гимназии дают сложные задачи на контрольных, но в четверти только по учебнику занимаются )) сейчас хоть понимаю, чего ожидать ! Ещё раз спасибо и Дай Бог здоровья и терпения !
Уважаемый Александр Николаевич!
Огромная просьба по поводу задач 10-12: не знаю как объяснить такие задачи ребенку 8 лет. Сама решаю их с помощью стандартных уравнений. Но ряд алгебраических действий в ходе решения полученных уравнений не понятен детям 8-ми лет.
Пробовала, например, делить кол-во детей на 30 кусочков (задача 10), чтобы взять один кусочек за икс и составить линейное уравнение, но у нас не получилось. Если есть возможность, оставьте свои руководства к пользованию по поводу алгоритма решения указанных задач. С уважением, Екатерина.
Здравствуйте, Екатерина. Забудьте про такие задачи как минимум еще на 2 года. Они явно не соответствуют возрасту Вашего ребенка. Я разбираю их только с сильными детьми 4 — 5 класса. Вообще тема «дроби» понимается многими родителями и даже некоторыми неквалифицированными репетиторами по математике как единое целое, которое нужно пройти в тот момент, когда эти дроби появляются в программе. Это абсолютно не педагогично 🙂 Изучение дробей совершенно оправдано растянуто в программе по математике аж до 6 класса. Сначала дроби с единицей в числителе, потом произвольные дроби, затем задачи на отдельные действия с числителем и знаменателем, затем проценты, затем задачи на полные действия с дробями (с умножением на дробь и делением на дробь) и только потом уравнения с дробями и всякие хитрые методы. Вы всего лишь во втором (ну или в третьем) классе. Уровень знаний и уровень мышления второклассника никак не соответствует сюжетной сложности и информационному объему каждой представленной задачи. Забудьте.
Здравствуйте, уважаемый Александр Николаевич! Спасибо за подборку задач, сын (перешёл в 6-й класс) прорешивает летом. С прошлого года ребенок перешёл в математическую школу, во многом благодаря тому, что прошлым летом прорешал курс Петерсон за 4 кл. В течение года учиться было легче, был запас знаний, но за учебный год просел, и сейчас я не знаю какие пособия подобрать ему для дальнейшей подотовки. Пока сама ищу задания из интернета. Посоветуйте, плз, более-менее систематизированный материал на его возраст. Мы в СПб, школа идёт по собственной программе, разработанной математиками школы.
Здравствуйте, Юлия! Программы, разработанные математиками школы, у меня обычно вызывают гневное возмущение. Как правило, они не подкреплены никакими методическими обоснованиями и традициями. Их никто по-настоящему не проверяет и доверять им только потому, что это математическая школа — довольно опасно. Приходится править эти самоделки под нормальную последовательность изложения. Репетитор по математике и без того нагружен проблемами возраста и личных нюансов ребенка, а тут еще и школьный произвол. Очень часто я в таких программах вижу переоценку уровня ребенка в сторону завышения. В итоге задачи чрезмерно сложные, не редко вызывающие прямое отторжение от математики. Вы решали задачи по Петерсон? Хороший в целом учебник, если из него выбросить лишние разделы. Чтобы советовать Вам сейчас какой либо материал, нужно сначала выяснить что и как в этих доморощенных программах рассматривалось. Найдите толкового репетитора по математике у себя в Питере и с ним уже детально корректируйте дидактику занятий.
Я в шоке. Забрела на сайт случайно, но отлипнуть не могу. Такой широты и глубины тренера ещё поискать надо. Я всех наставников называю тренерами и отношусь соответственно — как к Сенсею. Так вот этот тренер, конечно, высший класс из многих кого я знаю. Мы многое повидали: Мехмат Мгу, и физмат школы, и курсы разные, и репетиторы, а тут такой глубокий человек с таким тщательным пониманием и работой на РЕЗУЛЬТАТ. Многие тупо сосут деньги клиента и по большому счету не проф. репетиторы — просто владеют предметом и очень нужны деньги. Тут же человек в предмете + педагогика на высоте. Браво, Маэстро.
Здравствуйте! Как Вы посоветуете начинать решать , к примеру, 5-ую задачу и ей подобные? Логически через деление на части (5+2=7 частей всего) или введение переменной x? Буду признательна за ответ.
Здравствуйте, Надежда! Смотря какой учебник по математике принят за основу. Пока школьная программа не добралась до пересмотра всех действий с рациональными дробями (а именно до умножения дробей) рекомендую репетитору по математике использовать для объяснений именно части, то есть долю от всего пути. К середине 6 классе, когда все положительные рациональные дроби и уравнения с ними будут рассмотрены, репетитор вправе перейти на введение переменной. В этот момент полезно показать оба решения и сравнить ответы.
Тренажер по теме «Уравнение» 5 класс
материал по алгебре (5 класс) по теме
Данный тренажер составлен в помощь учителям, работающим по учебнику «Математика 5» под редакцией И. И. Зубаревой и А.Г. Мордковича
Скачать:
Вложение | Размер |
---|---|
reshite_uravnenie.doc | 79.5 КБ |
Предварительный просмотр:
Практикум по математике 5 класс по теме: «Уравнение»
учебник под редакцией Зубаревой и Мордковича
- (128 + 49) — x = 28
- x — (133 + 75) = 32
- 145 — (x + 45) = 50
- (39 + x) — 27 = 22
- 500 – (120 – х) = 479-99
- 220 + (х — 120) =997 -736
- 472 – (z — 444) = 302
- 6x + 131 = 437
- 490 – y · 7 = 350
- k : 16 – 109 = 231
- 8 · (х — 7) = 1080
- (k + 11): 23 = 27
- 900 : (210 +х) =36
- 40 + х : 70 = 54
- 142 – (123 — х) + 14 =111
- 67 – 36 : х = 55
- 24 : (х +2) = 60 : 15
- 17 + 6·(х — 5) = 47
- 40 – 3 · (х + 2) = 10
- 2 · (х — 12) +19 = 19
- 63 : (2х — 1) = 21 : 3
- 248 : (41 – 2х) = 8
- 18 · (7х + 26) = 1854
- 336:(5х+1)=6
- 21· (5х+14)=2499
II. Решите уравнение (самостоятельно):
- 55 – 8х = 7; 5) (60a — 30) : 5 = 18;
- 27 : y + 29 = 38; 6) 92 + 56 : (14 — b) = 100;
- (t — 25): 20 = 9; 7) (c : 9) • 15 — 47 = 28;
- 6 • (18 — k) = 54; 8) (410 – d) : 7 + 70 = 120.
По теме: методические разработки, презентации и конспекты
Математический тренажер для 5 класса, Жохов В.И.
Тренажёр может быть использован для устного счета. Предназначен для выработки вычислительных навыков.
Математический тренажер, 5 — 6 класс
Математические тренажеры предназначены как для работы в классе, так и для самостоятельной работы ученика дома. Основное их назначение — формировать у учеников прочые навыки вычислений, эффе.
Занимательная математика. Математический тренажер для 5 класса. Электронный образовательный ресурс. Разработан в программе Smart Notebook 11
ФИО учителя: Заховалко Елена Владимировна, учитель математики ГБОУ СОШ №519 Московского района г. Санкт-Петербурга.Класс: 5 классТема: Занимательная математика. (Математический тренажер для 5 класса. .
Тест-тренажер. Причастие. 7 класс
Тест-тренажер. Причастие. 7 класс.
Тренажер для 3 класса
Тренажер для 3 класса.
Интерактивный тренажер. Словосочетание. 5 класс. ФГОС (Самолёт)
Интерактивный тренажер помогает лучше усвоить, понять тему «Словосочетание», проверить её усвоение.
Тренажер для 9 класса. Подготовка к ОГЭ.
Тренажер для слабоуспевающих обучаемых. 9 класс подготовка к ОГЭ.
http://ankolpakov.ru/matematika-5-klass-slozhnye-zadachi-na-drobi-didaktika-repetitora-po-matematike/
http://nsportal.ru/shkola/algebra/library/2011/10/30/trenazher-po-teme-uravnenie-5-klass