Уравнение с одним неизвестным
Уравнение вида ax = b, где x — неизвестное, a и b — числа, называется уравнением с одним неизвестным или линейным уравнением.
Число a называется коэффициентом при неизвестном, а число b — свободным членом.
Если в уравнении ax = b коэффициент не равен нулю (a ≠ 0), то, разделив обе части уравнения на a, получим . Значит, уравнение ax = b, в котором a ≠ 0, имеет единственный корень .
Если в уравнении ax = b коэффициент равен нулю (a = 0), а свободный член не равен нулю (b ≠ 0), то уравнение не имеет корней, так как равенство 0x = b, где b ≠ 0, не является верным ни при каком значении x.
Если в уравнении ax = b и коэффициент, и свободный член равны нулю (a = 0 и b = 0), то уравнение имеет бесконечное множество корней, так как равенство 0x = 0 верно при любом значении x.
Решение уравнений с одним неизвестным
Все уравнения с одним неизвестным решаются одинаково с помощью преобразований, которые могут выполняться в любом порядке. Список возможных преобразований, которые могут быть использованы для решения уравнений:
- освобождение от дробных членов;
- раскрытие скобок;
- перенос всех членов, содержащих неизвестное, в одну часть, а известные — в другую (члены с неизвестными, как правило, переносят в левую часть уравнения);
- сделать приведение подобных членов;
- разделить обе части уравнения на коэффициент при неизвестном.
Пример 1. Решить уравнение
- Освобождаем уравнение от дробных членов:
20x — 28 — 24 = 9x + 36.
20x — 9x = 36 + 28 + 24.
Выполняем приведение подобных членов:
Делим обе части уравнения на коэффициент при неизвестном (на 11):
Делаем проверку, подставив в данное уравнение вместо x его значение:
Уравнение обратилось в верное равенство, следовательно, корень был найден верно.
Пример 2. Решить уравнение
- Это уравнение проще решить, не раскрывая скобок, поэтому делим обе части уравнения на 5:
Выполняем приведение подобных членов:
5(11 — 2) = 45; 5 · 9 = 45; 45 = 45. |
Обычно все рассуждения при решении уравнения производят устно, а само решение записывается так:
Математика
52. Более сложные примеры уравнений.
Пример 1 .
5/(x – 1) – 3/(x + 1) = 15/(x 2 – 1)
Общий знаменатель есть x 2 – 1, так как x 2 – 1 = (x + 1)(x – 1). Умножим обе части этого уравнения на x 2 – 1. Получим:
или, после сокращения,
5(x + 1) – 3(x – 1) = 15
5x + 5 – 3x + 3 = 15
Рассмотрим еще уравнение:
5/(x-1) – 3/(x+1) = 4(x 2 – 1)
Решая, как выше, получим:
5(x + 1) – 3(x – 1) = 4
5x + 5 – 3x – 3 = 4 или 2x = 2 и x = 1.
Посмотрим, оправдываются ли наши равенства, если заменить в каждом из рассмотренных уравнений x найденным числом.
Для первого примера получим:
Видим, что здесь нет места никаким сомнениям: мы нашли такое число для x, что требуемое равенство оправдалось.
Для второго примера получим:
5/(1-1) – 3/2 = 15/(1-1) или 5/0 – 3/2 = 15/0
Здесь возникают сомнения: мы встречаемся здесь с делением на нуль, которое невозможно. Если в будущем нам удастся придать определенный, хотя бы и косвенный, смысл этому делению, то тогда мы можем согласиться с тем, что найденное решение x – 1 удовлетворяет нашему уравнению. До этой же поры мы должны признать, что наше уравнение вовсе не имеет решения, имеющего прямой смысл.
Подобные случаи могут иметь место тогда, когда неизвестное входит как-либо в знаменатели дробей, имеющихся в уравнении, причем некоторые из этих знаменателей, при найденном решении, обращаются в нуль.
(x + 3)/(x – 1) = (2x + 3)/(2x – 2)
Можно сразу видеть, что данное уравнение имеет форму пропорции: отношение числа x + 3 к числу x – 1 равно отношению числа 2x + 3 к числу 2x – 2. Пусть кто-либо, в виду такого обстоятельства, решит применить сюда для освобождения уравнения от дробей основное свойство пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних). Тогда он получит:
(x + 3) (2x – 2) = (2x + 3) (x – 1)
2x 2 + 6x – 2x – 6 = 2x 2 + 3x – 2x – 3.
Здесь может возбудить опасения, что мы не справимся с этим уравнением, то обстоятельство, что в уравнение входят члены с x 2 . Однако, мы можем от обеих частей уравнения вычесть по 2x 2 — от этого уравнение не нарушится; тогда члены с x 2 уничтожатся, и мы получим:
6x – 2x – 6 = 3x – 2x – 3
Перенесем неизвестные члены влево, известные вправо — получим:
Вспоминая данное уравнение
(x + 3)/(x – 1) = (2x + 3)/(2x – 2)
мы сейчас же подметим, что найденное значение для x (x = 1) обращает в нуль знаменателей каждой дроби; от такого решения мы, пока не рассмотрели вопроса о делении на нуль, должны отказаться.
Если мы подметим еще, что применение свойства пропорции усложнило дело и что можно было бы получить более простое уравнение, умножая обе части данного на общий знаменатель, а именно на 2(x – 1) — ведь 2x – 2 = 2 (x – 1), то получим:
2(x + 3) = 2x – 3 или 2x + 6 = 2x – 3 или 6 = –3,
Это обстоятельство указывает, что данное уравнение не имеет таких, имеющих прямой смысл решений, которые не обращали бы знаменателей данного уравнения в нуль.
Решим теперь уравнение:
(3x + 5)/(x – 1) = (2x + 18)/(2x – 2)
Умножим обе части уравнения 2(x – 1), т. е. на общий знаменатель, получим:
Найденное решение не обращает в нуль знаменатель и имеет прямой смысл:
или 11 = 11
Если бы кто-либо, вместо умножения обеих частей на 2(x – 1), воспользовался бы свойством пропорции, то получил бы:
(3x + 5)(2x – 2) = (2x + 18)(x – 1) или
6x 2 + 4x – 10 = 2x 2 + 16x – 18.
Здесь уже члены с x 2 не уничтожались бы. Перенеся все неизвестные члены в левую часть, а известные в правую, получили бы
Это уравнение мы теперь решить не сумеем. В дальнейшем мы научимся решать такие уравнения и найдем для него два решения: 1) можно взять x = 2 и 2) можно взять x = 1. Легко проверить оба решения:
1) 2 2 – 3 · 2 = –2 и 2) 1 2 – 3 · 1 = –2
Если мы вспомним начальное уравнение
(3x + 5) / (x – 1) = (2x + 18) / (2x – 2),
то увидим, что теперь мы получим оба его решения: 1) x = 2 есть то решение, которое имеет прямой смысл и не обращает знаменателя в нуль, 2) x = 1 есть то решение, которое обращает знаменателя в нуль и не имеет прямого смысла.
Найдем общего знаменателя дробей, входящих в это уравнение, для чего разложим на множители каждого из знаменателей:
1) x 2 – 5x + 6 = x 2 – 3x – 2x + 6 = x(x – 3) – 2(x – 3) = (x – 3)(x – 2),
2) x 2 – x – 2 = x 2 – 2x + x – 2 = x (x – 2) + (x – 2) = (x – 2)(x + 1),
3) x 2 – 2x – 3 = x 2 – 3x + x – 3 = x (x – 3) + (x – 3) = (x – 3) (x + 1).
Общий знаменатель равен (x – 3)(x – 2)(x + 1).
Умножим обе части данного уравнения (а его мы теперь можем переписать в виде:
на общего знаменателя (x – 3) (x – 2) (x + 1). Тогда, после сокращения каждой дроби получим:
3(x + 1) – 2(x – 3) = 2(x – 2) или
3x + 3 – 2x + 6 = 2x – 4.
Это решение имеет прямой смысл: оно не обращает в нуль ни одного из знаменателей.
Если бы мы взяли уравнение:
то, поступая совершенно так же, как выше, получили бы
3(x + 1) – 2(x – 3) = x – 2
3x + 3 – 2x + 6 = x – 2
3x – 2x – x = –3 – 6 – 2,
откуда получили бы
что невозможно. Это обстоятельство показывает, что нельзя найти для последнего уравнения решения, имеющего прямой смысл.
Решение уравнений с одним неизвестным (переменной)
В данной публикации мы рассмотрим определение и общий вид записи уравнения с одним неизвестным, а также приведем алгоритм его решения с практическими примерами для лучшего понимания.
Определение и запись уравнения
Математическое выражение вида ax + b = 0 называется уравнением с одним неизвестным (переменной) или линейным уравнением. Здесь:
- a и b – любые числа: a – коэффициент при неизвестном, b – свободный коэф.
Уравнение можно представить в равнозначном виде . После этого мы смотрим на коэффициенты.
- При a ≠ 0 единственный корень .
- При a = 0 уравнение примет вид . В таком случае:
- если b ≠ 0 , корней нет;
- если b = 0 , корнем является любое число, т.к. выражение верно при любом значении x .
Алгоритм и примеры решения уравнений с одим неизвестным
Простые варианты
Рассмотрим простые примеры при a = 1 и наличии всего одного свободного коэффициента.
» data-lang=»default» data-override=»<"emptyTable":"","info":"","infoEmpty":"","infoFiltered":"","lengthMenu":"","search":"","zeroRecords":"","exportLabel":"","file":"default">» data-merged=»[]» data-responsive-mode=»2″ data-from-history=»0″>
Пример Решение Объяснение слагаемое от суммы отнимается известное слагаемое уменьшаемое разность прибавляется к вычитаемому вычитаемое из уменьшаемого вычитается разность множитель произведение делится на известный множитель делимое частное умножается на делитель делитель делимое делится на частное Сложные варианты
При решении более сложного уравнения с одной переменной, очень часто требуется сначала его упростить, прежде чем находить корень. Для этого могут применяться следующие приемы:
- раскрытие скобок;
- перенос всех неизвестных в одну сторону от знака “равно” (обычно в левую), а известных в другую (правую, соответственно).
Пример: решим уравнение .
- Раскрываем скобки:
6x + 18 – 3x = 2 + x . - Переносим все неизвестные влево, а известные вправо (не забываем при переносе менять знак на противоположный):
6x – 3x – x = 2 – 18 . - Выполняем приведение подобных членов:
2x = -16 . - Делим обе части уравнения на число 2 (коэффициент при неизвестной):
x = -8 .
источники:http://maths-public.ru/algebra1/equations-examples
http://microexcel.ru/uravnenie-s-odnoy-peremennoy/