Сложные уравнения с ответами 11 класс

Показательные уравнения (11-й класс)

Разделы: Математика

Класс: 11

Данная тема – “Показательные уравнения” – изучается в 11-м классе по учебнику автора А.Н. Колмогорова или в 10-м классе по учебнику автора С.М. Никольского. После уроков, где решались простейшие показательные уравнения, этот первый, где рассматриваются более сложные уравнения. Чтобы успеть рассмотреть наибольшее количество различных способов решения показательных уравнений, подходит метод коллективного обучения. По исследованиям психологов установлено, что учащиеся лучше, на 40%, усваивают новый материал, если его объясняют одноклассники или сверстники. В математике мало тем, которые можно изучить при использовании метода “коллективного способа обучения”. Темы “Показательные уравнения” и “Логарифмические уравнения” дают возможность применять данный метод и получать хорошие результаты по итогам изучения темы.

Цель дидактическая: сформировать у учащихся общеучебные умения, навыки; навыки самоконтроля, взаимоконтроля.

Цель воспитательная: обеспечить гуманистический характер обучения; обучение учащихся коллективной работе и взаимопомощи.

Цель учебная: научить учащихся решать показательные уравнения различными способами (на данном уроке тремя способами):

а) приведение к линейному виду;
б) приведение к квадратному виду;
в) введение новой переменной.

1. Класс разбит на 6 групп (по 3–4 человека);
2. В каждой группе находится консультант, с которым проведена консультация по решению одного из видов уравнений за день-два до урока;
3. У каждого учащегося в группе есть консультационная карта с образцом решения показательного уравнения одним из способов, задания для самостоятельной работы под руководством консультанта и для самостоятельной работы с целью проверки усвоения нового материала.

1. Постановка цели урока и его план.
2. Работа по группам (10 мин.):
   а) консультант объясняет своей группе, с помощью консультационных карт (задание № 1 – пример), один из способов решения показательного уравнения;
   б) каждому учащемуся для самопроверки дается 4 уравнения на 4–5 мин. (задание № 2, учащийся может обращаться к консультанту за помощью или работать по образцу);
   в) по окончанию времени консультант оценивает каждого члена группы.
3. От каждой группы к доске выходит один учащийся (предпочтительно не консультант) и объясняет свой способ решения показательного уравнения, оставшиеся на карточке уравнения выписываются на доску (эти уравнения для домашнего задания).
4. Обобщение изученного материала под руководством учителя.
5. Самостоятельная работа учащихся (задание № 3 на консультационной карте), где даны три уравнения, которые решаются тремя различными способами.
6. Домашнее задание: от 8 до 12 уравнений, записанных на доске.

1-й способ: показательные уравнения, приводимые к линейному виду.

Уравнение вида: п * а х+в + к * а х+с + р * а х+б = В

I. Пример: 2 * 3 х+1 – 6 * 3 х–1 – 3 х = 9

II. Задания для самопроверки

1. 3 х+2 – 3 х+1 + 3 х = 21
2. 2 х+1 + 3 * 2 х–3 = 76
3. 33 * 2 х–1 – 2 х+1 = 29
4. 2 * З х+1 – 6 * 3 х–1 = 12

III. Показательные уравнения для самостоятельной работы:

1. 3 х + 3 3-х – 12 = 0
2. 4 + 2 х = 2 2х–1
3. 3 2х–1 + 3 2х–2 – 3 2х–4 = 315

Консультационная карта № 2

2-й способ: показательные уравнения, сводящиеся к виду квадратного уравнения.

Уравнения вида: п * а 2х + к * а х + р = 0

I. Пример: 2 2х+1 + 2 х+2 – 16 = О

1. Применим свойство умножения степеней с одинаковым основанием: 2 2х * 2 1 + 2 х * 2 2 –16 = 0
2. Пусть 2 х = а, где а > 0
3. 2а 2 + 4а – 16 = 0
4. Решаем квадратное уравнение и находим корни: а₁ = – 4, а₂ = 2
5. – 4 х = 2
6. х = 1
7. Ответ: 1

II. Задания для самопроверки

1. 2 х+1 + 4 х = 80
2. 4 х –10 * 2 х–1 – 24 = 0
3. 9 х – 8 * 3 х+1 – 81 = 0
4. 2 * 9 х –17 * 3 х = 9

III. Показательные уравнения для самостоятельной работы

1. 3 х + 3 3–х – 12 = 0
2. 4 + 2 х = 2 2х–1
3. 3 2х–1 + 3 2х–2 – 3 2х–4 = 315

3-й способ: показательные уравнения вида: п * а х+в + к * а –х+с = В

I. Пример: 3 х + 3 3–х – 12 = 0

1. Применим свойство степени: а –в = 1/а в
2. 3 х + 3 3 * 3 –х – 12 = 0
3. 3 х + 27/3 х – 12 = 0
4. Пусть 3 х = а, где а > 0
5. а + 27/а –12 = 0
6. а 2 – 12 а + 27 = 0
7. Решаем квадратное уравнение, находим корни уравнения: а = 9, а = 3
8. Возвращаемся к первоначальной переменной:
   3 х = 9 3 х = 3
   3 х = 3 2 3 х = 3 1
   х = 2 х = 1
9. Ответ: 2; 1.

II. Задания для самопроверки

1. 5 х + 5 2–х = 26
2. 2 х+2 – 2 2–х =15
3. 7 х –14 * 7 –х = 5
4. 6 х – 35 = 36/6 х

III. Показательные уравнения для самостоятельной работы

1. 3 х + 3 3–х – 12 = 0
2. 4 + 2 х = 2 2х –1
3. 3 2х–1 + 3 2х–2 – 3 2х–4 = 315

План- конспект открытого урока по математике в 11 классе «Решение сложных комбинированных уравнений»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

МКОУ «Усишинская СОШ №3»

План- конспект открытого урока

по математике в 11 классе

«Решение сложных комбинированных уравнений»

Урок разработала и провела :

Чатаева Патимат Магомедовна,

учитель алгебры и геометрии

МКОУ «Усишинская СОШ №3»

Тип урока: семинарское занятие.

закрепить навыки решения сложных уравнений различными методами.

I Организационный момент:

а) готовность класса к уроку;

б) сообщение цели и задач урока.

ІI Актуализация опорных знаний со слабыми и средними учащимися, работа наиболее подготовленных учащихся по индивидуальным карточкам.

Дать определение уравнения и его корня, равносильности двух уравнений.

Арифметическое выражение, содержащее неизвестную переменную и знаки равенства называют уравнением. Значение переменной, превращающее уравнение в верное равенство, называют корнем уравнения. Два уравнения называют равносильными, если любой корень первого уравнения является корнем второго уравнения и любой корень второго уравнения является корнем первого уравнения.

Дать определение равносильности преобразования уравнения и перечислить основные равносильные преобразования.

Замену одного уравнения другим, равносильным ему уравнением называют равносильным преобразованием уравнения.

Равносильными преобразованиями уравнения являются:

перенос члена уравнения с противоположным знаком из одной части уравнения в другую;

умножение (деление) обеих частей уравнения на отличную от нуля число;

возведение уравнения в нечетную степень;

извлечение корня нечетной степени с обеих частей уравнения:

логарифмирование показательного уравнения;

применение тождеств, т. е равенств, справедливых для любого числа.

Рассказать, какие равносильные преобразования нужно выполнить, чтобы решить следующие уравнения:

;

Дайте определение уравнения – следствия и перечислите преобразования, приводящие к уравнению следствия.

Пусть даны два уравнения. Если любой корень первого уравнения является корнем второго уравнения, то второе уравнение называют уравнением- следствием первого.

Замену уравнения другим уравнением, которое является его следствием, называют переходом к уравнению- следствию.

При переходе к уравнению- следствия возможно появление лишних корней, посторонних для исходного уравнения, поэтому проверка полученных корней является обязательной частью решения уравнения.

Преобразованиями, приводящими к уравнению- следствия является:

возведение уравнения в четную степень;

потенцирование логарифмического уравнения;

освобождение уравнения от знаменателя;

приведение подобных членов;

применение формул (тригонометрических, логарифмических и других).

Расскажите, каким способом приводится следующие уравнения к уравнению — следствия:

;

;

.

Сложные уравнения можно решить, приводя их к системам. Правила перехода от уравнений к равносильным системам:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

М-область существования

8.

9.

10.

11.

Запишите системы, равносильные уравнениям:

1.

2.

3.

4 .

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

Решение уравнений с применением формул.

Каким способом можно решить данное уравнение:

Очень часто можно встретить уравнение, которое имеет дополнительное условие, например:

Как можно упростить решение такого типа уравнения?

Учитывая, что левая часть уравнения неотрицательное число получаем значит, множество решений данного уравнения есть . Левая часть уравнения для любого есть отрицательное число, значит, рассматривается только одно уравнение . Решается квадратное уравнение, находим и выбираем те, которые принадлежат множеству М.

Самыми сложными считаются уравнения с параметром. Дайте определение уравнения с параметром. Давайте рассмотрим несколько таких уравнений с использованием свойств функций:

а)

имеет ровно три корня.

Для каждого значения a рассмотрим функцию

Она определена на множестве R, четная, поэтому, если — корень уравнения, то — тоже является корнем уравнения.

Уравнение (1) имеет три корня тогда и только тогда, когда оно имеет и еще два отличных от нуля корня, отличающихся знаками.

получаем:

При уравнение примет вид у уравнения только один корень.

При уравнение имеет вид . Это уравнение имеет три корня Ответ:3

б) Найти все значения параметра а, при которых уравнение

. (2)

имеет ровно четыре корня.

Для каждого значения a рассмотрим функцию

Она определена на множестве R, четная.

Уравнение (2) имеет четыре корня, если уравнение имеет ровно два положительных корня, т.к. корнями уравнения (2) будут . Значит дискриминант уравнения (3) должны быть положительными:

в) Для каждого значения параметра a решите уравнение:

При уравнение не имеет решений, т.к. .

При имеем:

Ответ: при уравнение имеет одно решение

г) При каком значении параметра a уравнение не имеет корней:

корень уравнения.

Уравнение не имеет решений, если не выполняется ОДЗ, поэтому

III Выполнения тренировочных упражнений на закрепление навыков и умений решать уравнения.

;

ІV Повторение. Решение заданий типа В1- В12 в интерактивном режиме с сайта www.ege.edu.ru Банк заданий типа В.

V Разбор заданий типа С с индивидуальных карточек на доске.

С1.(В13)

C1.(B1)

C1.(B12)

C1.(B19)

С5. Найти все значения a, такие, что уравнение имеет единственное решение:

С5. Найти все значения a, такие, что уравнение имеет единственное решение:

Найти наибольший корень уравнения:

.

Найти значение р, при которых уравнение

не имеет решений.

Решить уравнение

VI Домашнее задание:

Решить уравнения с параметром (б, г)

Решить № 4, 6, 9 с карточек.

Вариант 9 со сборника ФИПИ — разобрать В1-В12.

Повторить теорию по темам:

§9 Равносильность уравнений системам.

§10 Равносильность уравнений на множествах.

Сложные уравнения

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \([-2; 4]\).

а) Решите уравнение \(4\cdot25^5>-60\cdot5^+1=0\)

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку [-3; -1].

а) Решите уравнение \(25^x-6\cdot 5^+3125=0\)
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \(\left[ \log_<\sqrt7>\sqrt<17>; \log_<\sqrt2>\sqrt7 \right]\)

В ответ запишите корни без пробелов через точку с запятой в порядке возрастания. Сначала на пункт А, затем на пункт Б. Например, «8;13;8»

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \(\left[\log_<6><\dfrac<1><7>>;\log_<6><35>\right]\)

Запишите сначала ответы на пункт а), затем через точку с запятой на пункт б). Ответы запишите без пробелов через точку с запятой по возрастанию, например: «-2;3;-2»

а) Решите уравнение \(24\cdot4^5>-11\cdot2^+6=0\)

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку [-1; 1].

а) Решите уравнение \(\log_5<(x+3)>=\log_<25>(x^4)\)
б) Найдите все корни, принадлежащие отрезку \(\left[ \log_6<\dfrac13>; \log_4<32>\right]\)

а) Решите уравнение \(9^-7\cdot 3^+4=0\)
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \(\left[ \log_<2,5>2;\log_<\sqrt[3]7>2\right]\)

а) Решите уравнение \(27^x-5\cdot 9^x-3^+405=0\)
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \(\left[ \log_<\frac1<\sqrt3>><\sqrt<\sqrt3-\sqrt2>>;\sqrt<2+\sqrt3>\right]\)

а) Решите уравнение \(\log_5(2-x)=\log_<25>\)
​б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \(\left[\log_9<\dfrac1<80>>;\log_<\sqrt[3]7>2\right]\)

В ответ запишите корни без пробелов через точку с запятой в порядке возрастания. Сначала на пункт А, затем на пункт Б. Например, «8;13;8»

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \(\left[-2\pi;-\dfrac<\pi><2>\right]\)

Выберите все верные ответы на пункты а) и б). Запишите их номера по возрастанию, через запятую, без пробелов.