Сложные задачи на квадратные уравнения 8 класс

Сложные задачи на квадратные уравнения 8 класс

Найдите корни уравнения .

Если корней несколько, запишите их в ответ без пробелов в порядке возрастания.

Решите уравнение .

Если корней несколько, запишите их в ответ без пробелов в порядке возрастания.

По теореме, обратной теореме Виета, сумма корней равна 1, а их произведение −6.

Тем самым, это числа −2 и 3.

Решите уравнение .

Если корней несколько, запишите их в ответ без пробелов в порядке возрастания.

Запишем уравнение в виде По теореме, обратной теореме Виета, сумма корней равна −3, а их произведение −4.

Решение задач с помощью квадратных уравнений

Алгоритм решения текстовых задач с помощью квадратных уравнений

Шаг 1. Проанализировать условие задачи, обозначить одно из неизвестных буквой (переменной). Если это удобно, обозначить все неизвестные разными буквами и выбрать «основную» переменную.

Шаг 2. Выразить другие неизвестные через основную переменную.

Шаг 3. Записать уравнение.

Шаг 4. Решить полученное уравнение.

Шаг 5. Истолковать результат в соответствии с условием задачи.

Найдите периметр прямоугольника, длина которого на 5 см больше ширины, а площадь равна 165 см2.

Шаг 1. Пусть x – ширина прямоугольника (в см).

Шаг 2. Тогда его длина (x+5), и площадь: S = x(x+5)

Шаг 3. По условию получаем уравнение: x(x+5) = 165

$$ x^2+5x-165 = 0 \Rightarrow (x+16)(x-11) = 0 \Rightarrow \left[ \begin x_1 = -16 \\ x_2 = 11 \end \right. $$

Шаг 5. Для ширины прямоугольника выбираем положительный корень x = 11.

Тогда длина x+5 = 16. Периметр: P = 2(11+16) = 54 (см).

Примеры

Пример 1. Найдите два числа, если их сумма равна 36, а произведение 315.

Пусть $x_1$ и $x_2$ — искомые числа.

Известно, что $x_1+x_2 = 36, x_1 x_2 = 315$.

По теореме Виета данные два числа являются корнями уравнения

$$ x^2+bx+c = 0, b = -(x_1+x_2 ) = -36, c = x_1 x_2 = 315$$

$$ D = 36^2-4 \cdot 315 = 1296-1260 = 36 = 6^2 $$

$$ x = \frac<36 \pm 6> <2>= \left[ \begin x_1 = 15 \\ x_2 = 21 \end \right. $$

Пример 2. Найдите два числа, если их разность равна 9, а произведение 162.

Пусть x и y — искомые числа. Пусть $x \gt y$.

По условию $x-y = 9 \Rightarrow y = x-9. $

Произведение xy = x(x-9) = 162

$$ D = 9^2-4 \cdot (-162) = 81+648 = 729 = 27^2 $$

$$ x = \frac<9 \pm 27> <2>= \left[ \begin x_1 = -9 \\ x_2 = 18 \end \right. $$

Получаем две пары чисел: $ \left[ \begin <\left\< \begin x_1 = -9 \\ y_1=-9-9=-18 \end \right.> \\ <\left\< \begin x_2 = 18 \\ y_2 = 18-9=9 \end \right.> \end \right. $

Ответ: -9 и-18; или 18 и 9

Пример 3. Задача из «Арифметики» Магницкого (1703 год)

Найдите число, зная, что прибавив к его квадрату 108, получим число в 24 раза больше данного.

Пусть x — искомое число.

По условию $x^2+108 = 24x$

$$ x^2-24x+108 = 0 \Rightarrow (x-6)(x-18) = 0 \Rightarrow \left[ \begin x_1 = 6 \\ x_2 = 18 \end \right. $$

Пример 4. Найдите три последовательных целых числа, сумма квадратов которых равна 590.

Пусть n-1,n,n+1 — данные три числа.

$$ 3n^2 = 588 \Rightarrow n^2 = 196 \Rightarrow n = \pm \sqrt <196>= \pm 13 $$

Получаем две последовательности: -14,-13,-12 или 12,13,14

Ответ: -14,-13,-12 или 12,13,14

Пример 5. Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми 700 км, выехал автобус. Из-за непогоды водитель уменьшил обычную скорость на 10 км/ч, и автобус ехал на 1 час 40 минут дольше. Сколько часов автобус обычно тратит на дорогу?

Задачи на составление квадратных уравнений 8 класс

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Задачи на составление квадратных уравнений (8 класс)

Огородный участок, имеющий форму прямоугольника, одна сторона которого на 10 м больше другой, требуется обнести изгородью. Определить длину изгороди, если известно, что площадь участка равна 1200м ² . ( Отв.140 м)

Высота прямоугольника составляет 75% его основания. Найти периметр этого прямоугольника, зная, что площадь прямоугольника равна 48м ² . ( Отв.28 м)

От листа жести, имеющего форму квадрата, отрезали полосу шириной в 3 см, после чего площадь оставшейся части листа стала равна 10 см ² . Определить первоначальные размеры листа жести. ( Отв. 5 см × 5 см)

Колхоз должен был засеять 200 га к определенному сроку, но он засевал ежедневно на 5 га больше, чем намечалось по плану, и поэтому закончил сев на 2 дня раньше срока. Во сколько дней был закончен сев? ( Отв. 8 дней)

В зрительном зале клуба было 320 мест. После того как число мест в каждом ряду увеличили на 4 и добавили еще один ряд, в зрительном зале стало 420 мест. Сколько стало рядов в зрительном зале клуба? ( Отв.21 ряд )

Два автомобиля выезжают одновременно из одного города в другой. Скорость первого на 10 км/ч больше скорости второго, и поэтому первый автомобиль приезжает на место на 1 час раньше второго. Определить скорость того и другого автомобиля, если известно, что расстояние между городами 560 км. ( Отв.80 км/ч и 70 км/ч )

С аэродрома вылетают одновременно в пункт, отстоящий от него на 1600 км, два самолета. Скорость первого из них на 80 км/ч больше скорости второго, а потому он прилетает к месту назначения на час раньше второго. Найти скорость каждого самолета. ( Отв.400 км/ч и 320 км/ч )

Пароход прошел по течению реки 48 км и столько же против течения и затратил на весь путь 5 ч. Определить скорость парохода в стоячей воде, если считать скорость течения реки 4 км/ч. ( Отв.20 км/ч )

Расстояние между двумя пристанями по реке равно 80 км. Пароход проходит этот путь туда и обратно за 8 ч 20 мин. Определить скорость парохода в стоячей воде, считая скорость течения реки 4 км/ч. ( Отв.20 км/ч )

Из пункта А отправили по течению реки плот. Через 5ч 20 мин. Вслед за плотом из того же пункта вышла моторная лодка, которая догнала плот, пройдя 20 км. Сколько километров в час проходил плот, если моторная лодка шла быстрее его на 12 км/ч?

Расстояние по реке от одной пристани до другой, равное 30 км, моторная лодка проходит туда и обратно за 6 ч, затрачивая из этого времени 40 мин. на остановки в пути. Найти собственную скорость моторной лодки ( то есть скорость ее в стоячей воде), если скорость течения реки равна 3 км/ч.

Две молотилки обмолачивают собранную пшеницу за 4 дня. Если бы одна из них обмолотила половину всей пшеницы, а затем вторая остальную часть, то вся работа была бы окончена за 9 дней. За сколько дней каждая молотилка в отдельности могла бы обмолотить всю пшеницу? ( Отв.12 дней и 6 дней)

Двое рабочих, выполняя определенное задание вместе, могли бы закончить его за 12 дней. Если сначала будет работать только один из них, а когда он выполнит половину всей работы, его сменит второй рабочий, то все задание будет выполнено за 25 дней. За сколько дней каждый рабочий в отдельности может выполнить все задание? ( Отв.30 дней и 20 дней)

С аэродрома одновременно вылетают два самолета: один по направлению на юг со скоростью 192 км/, а другой по направлению на восток со скоростью 256 км/ч. На каком расстоянии друг от друга будут находиться самолеты через 3 ч? ( Отв.960 км)

Из двух городов, расстояние между которыми 900 км, отправляются навстречу друг другу два поезда и встречаются на середине пути. Определить скорость каждого поезда , если первый вышел на 1 ч позднее второго и со скоростью, на 5 км/ч большей, чем скорость второго поезда. ( Отв.50 км/ч и 45 км/ч)

Два автомобиля вышли одновременно из городов А и В навстречу друг другу. Через час автомобили встретились и, не останавливаясь, продолжали путь с той же скоростью. Первый прибыл в город В на 27 мин. позже, чем второй прибыл в город А. Определить скорость каждого автомобиля, если известно, что расстояние между городами 90 км. ( Отв.40 км/ч и 50 км/ч)

Два поезда выходят из двух городов, расстояние между которыми равно 360 км, и идут навстречу друг другу. Они могут встретиться на середине пути, если второй поезд выйдет со станции на 1,5 ч раньше первого. Если же они выйдут со станции одновременно, то через 5 ч расстояние между ними будет равно 90 км. Найти скорость каждого поезда. Отв.30 км/ч и 24 км/ч)

Два велосипедиста выезжают одновременно навстречу друг другу из пунктов А и В, расстояние между которыми 28 км, и через час встречаются. Не останавливаясь, они продолжают путь с той же скоростью, и первый пребывает в пункт В на 35 мин. скорее, чем второй в пункт А. Определить скорость каждого велосипедиста. ( Отв.16 км/ч и 12 км/ч)

Из двух пунктов А и В, расстояние между которыми 24 км, отправлены в одно и то же время два автомобиля навстречу друг другу. После и встречи автомобиль , вышедший из А, приходит в В через 16 мин., а другой автомобиль приходит в А через 4 мин. определить скорость каждого автомобиля. ( Отв.60 км/ч и 120 км/ч)

Поезд был задержан в пути на 6 мин., и ликвидировал опоздание на перегоне в 20 км, пройдя его со скоростью, на 10 км/ч больше той, которая полагалась по расписанию. Определить скорость поезда на этом перегоне по расписанию. ( Отв.40 км/ч)

На середине пути между станциями А и В поезд был задержан на 10 мин. Чтобы прийти в В по расписанию, машинисту пришлось первоначальную скорость поезда увеличить на 6 км/ч. Найти первоначальную скорость поезда, если известно, что расстояние между станциями равно 60 км. ( Отв.30 км/ч )

Поезд должен был пройти 840 км. В середине пути он был задержан на 30 мин., и поэтому, чтобы прибыть вовремя, он должен был увеличить скорость на 2 км/ч. Сколько времени поезд затратил на весь путь? ( Отв.21 ч )

По плану тракторист должен в течение двух дней вспахать прямоугольный участок земли, длина которого 400м, а ширина 300м. Тракторист начал пахоту с краев участка, постепенно приближаясь к середине. На каком расстоянии от края участка должен остановиться тракторист, вспахав половину участка? ( Отв.50 м)

Клумба, имеющая форму прямоугольника со сторонами 2 м и 4 м, окружена дорожкой, имеющей везде одинаковую ширину. Определить ширину этой дорожки, если ее площадь в 9 раз больше площади клумбы. ( Отв.3 м)

От нити, равной периметру некоторого квадрата, отрезано с одного конца 36 см. Укороченная таким образом нить представляет периметр другого квадрата, площадь которого в 2,25 раза меньше площади первого. Определить первоначальную длину нити. ( Отв.108 см)