Случай при котором уравнение разрешенное относительно производной

Дифференциальные уравнения первого порядка

Далее в тексте – функции своих аргументов. Штрих ′ означает производную по аргументу. – постоянные.

Дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной

Как решать дифференциальные уравнения первого порядка

Пусть мы имеем дифференциальное уравнение первого порядка, разрешенное относительно производной:
.
Разделив это уравнение на , при , мы получим уравнение вида:
,
где .

Далее смотрим, не относятся ли эти уравнения к одному из перечисленных ниже типов. Если нет, то перепишем уравнение в форме дифференциалов. Для этого пишем и умножаем уравнение на . Получаем уравнение в форме дифференциалов:
.

Если это уравнение не является уравнением в полных дифференциалах, то считаем, что в этом уравнении – независимая переменная, а – это функция от . Разделим уравнение на :
.
Далее смотрим, не относится ли это уравнение к одному из, перечисленных ниже типов учитывая, что и поменялись местами.

Если и для этого уравнения не найден тип, то смотрим, нельзя ли упростить уравнение простой подстановкой. Например, если уравнение имеет вид:
,
то замечаем, что . Тогда делаем подстановку . После этого уравнение примет более простой вид:
.

Если и это не помогает, то пытаемся найти интегрирующий множитель ⇓.

Уравнения с разделяющимися переменными

Уравнения, приводящиеся к уравнениям с разделяющимися переменными

Делаем подстановку . Тогда
;
.
Далее разделяем переменные и интегрируем.
Подробнее >>>

Однородные уравнения

Решаем подстановкой:
,
где – функция от . Тогда
;
.
Разделяем переменные и интегрируем.
Подробнее >>>

Уравнения, приводящиеся к однородным

Вводим переменные и :
;
.
Постоянные и выбираем так, чтобы свободные члены обратились в нуль:
;
.
В результате получаем однородное уравнение в переменных и .
Подробнее >>>

Обобщенные однородные уравнения

Делаем подстановку . Получаем однородное уравнение в переменных и .
Подробнее >>>

Линейные дифференциальные уравнения

Есть три метода решения линейных уравнений.

1) Метод интегрирующего множителя.
Умножаем уравнение на интегрирующий множитель :
;
.
Далее интегрируем.
Подробнее >>>

2) Метод Бернулли.
Ищем решение в виде произведения двух функций и от переменной :
.
;
.
Одну из этих функций мы можем выбрать произвольным образом. Поэтому в качестве выбираем любое не нулевое решение уравнения:
.
Определив , получаем уравнение с разделяющимися переменными для .
Подробнее >>>

3) Метод вариации постоянной (Лагранжа).
Здесь мы сначала решаем однородное уравнение:

Общее решение однородного уравнения имеет вид:
,
где – постоянная. Далее мы заменяем постоянную на функцию , зависящую от переменной :
.
Подставляем в исходное уравнение. В результате получаем уравнение, из которого определяем .
Подробнее >>>

Уравнения Бернулли

Подстановкой уравнение Бернулли приводится к линейному уравнению.

Также это уравнение можно решать методом Бернулли. То есть ищем решение в виде произведения двух функций, зависящих от переменной :
.
Подставляем в исходное уравнение:
;
.
В качестве выбираем любое не нулевое решение уравнения:
.
Определив , получаем уравнение с разделяющимися переменными для .

Уравнения Риккати

Оно не решается в общем виде. Подстановкой

уравнение Риккати приводится к виду:
,
где – постоянная; ; .
Далее, подстановкой:

оно приводится к виду:
,
где .

Свойства уравнения Риккати и некоторые частные случаи его решения представлены на странице
Дифференциальное уравнение Риккати >>>

Уравнения Якоби

Уравнения в полных дифференциалах

При условии
.
При выполнении этого условия, выражение в левой части равенства является дифференциалом некоторой функции:
.
Тогда
.
Отсюда получаем интеграл дифференциального уравнения:
.

Для нахождения функции , наиболее удобным способом является метод последовательного выделения дифференциала. Для этого используют формулы:
;
;
;
.
Подробнее >>>

Интегрирующий множитель

Если дифференциальное уравнение первого порядка не приводится ни к одному из перечисленных типов, то можно попытаться найти интегрирующий множитель . Интегрирующий множитель – это такая функция , при умножении на которую, дифференциальное уравнение становится уравнением в полных дифференциалах. Дифференциальное уравнение первого порядка имеет бесконечное число интегрирующих множителей. Однако, общих методов для нахождения интегрирующего множителя нет.
Подробнее >>>

Уравнения, не решенные относительно производной y’

Уравнения, допускающие решение относительно производной y’

Сначала нужно попытаться разрешить уравнение относительно производной . Если это возможно, то уравнение может быть приведено к одному из перечисленных выше типов.

Уравнения, допускающие разложение на множители

Если удастся уравнение разложить на множители:
,
то задача сводится к последовательному решению более простых уравнений:
;
;

;
Подробнее >>>

Уравнения, не содержащие x и y

Уравнения, не содержащие x или y

или
Ищем решение в параметрическом виде. Вводим параметр . Полагаем . Тогда
или .
Далее интегрируем уравнение:
;
.
В результате получаем выражение второй переменной через параметр .

Более общие уравнения:
или
также решаются в параметрическом виде. Для этого нужно подобрать такую функцию , чтобы из исходного уравнения можно было выразить или через параметр .
Чтобы выразить вторую переменную через параметр , интегрируем уравнение:
;
.
Подробнее >>>

Уравнения, разрешенные относительно y

Уравнения Клеро

Такое уравнение имеет общее решение

Подробнее >>>

Уравнения Лагранжа

Решение ищем в параметрическом виде. Полагаем , где – параметр.
Подробнее >>>

Уравнения, приводящиеся к уравнению Бернулли

Эти уравнения приводятся к уравнению Бернулли, если искать их решения в параметрическом виде, введя параметр и делая подстановку .
Подробнее >>>

Использованная литература:
В.В. Степанов, Курс дифференциальных уравнений, «ЛКИ», 2015.
Н.М. Гюнтер, Р.О. Кузьмин, Сборник задач по высшей математике, «Лань», 2003.

Автор: Олег Одинцов . Опубликовано: 20-05-2016

Дифференциальные уравнения 1-го порядка,
не разрешенные относительно производной

Уравнения 1-го порядка n-ой степени относительно производной

Пусть имеем дифференциальное уравнение

Решаем это уравнение относительно . Пусть

— вещественные решения уравнения (1).

Общий интеграл уравнения (1) выразится совокупностью интегралов:

где есть интеграл уравнения .

Таким образом, через каждую точку области, в которой принимает вещественные значения, проходит интегральных линий.

Пример 1. Решить уравнение .

Решение. Разрешим это уравнение относительно :

Пример 2. Решить уравнение .

Решение. Разрешим уравнение относительно переменной :

Положим , где — параметр; тогда получим Дифференцируя, найдем . Но так как , то будем иметь

Рассмотрим два случая:

1) , откуда , где — произвольная постоянная. Подставляя значение , получаем общее решение данного уравнения:

В равенстве нельзя заменить на и интегрировать полученное уравнение (так как при этом появится вторая произвольная постоянная, чего не может быть, поскольку рассматриваемое дифференциальное уравнение является уравнением первого порядка).

2) , откуда . Подставляя, получим еще одно решение .

Проверим, нарушится ли свойство единственности в каждой точке решения , т.е. является ли оно особым (см. часть 1.11). Для этого возьмем на интегральной кривой произвольную точку , где . Будем теперь искать решение, которое содержится в общем решении и график которого проходит через точку . Подставляя координаты этой точки в общее решение , будем иметь

откуда . Это значение постоянной подставим в . Тогда получим частное решение

которое не совпадает с решением . Для этих решений имеем соответственно . При обе производные совпадают. Следовательно, в точке нарушается свойство единственности, т. е. через эту точку проходят две интегральные кривые с одной и той же касательной. Так как произвольно, то единственность нарушается в каждой точке решения , а это означает, что оно является особым.

2°. Уравнения вида f(y,y’)=0 и f(x,y’)=0

Если уравнения и легко разрешимы относительно , то, разрешая их, получим уравнения с разделяющимися переменными. Рассмотрим случаи, когда эти уравнения не разрешимы относительно .

А. Уравнение вида разрешимо относительно :

Полагаем , тогда . Дифференцируя это уравнение и заменяя на , получим

Получаем общее решение уравнения в параметрической форме

Пример 3. Решить уравнение , где — постоянные.

Решение. Положим , тогда , или . Отсюда и .

Общим решением будет .

Б. Если уравнение вида неразрешимо (или трудно разрешимо) как относительно , так и относительно , но допускает выражение и через некоторый параметр :

то поступаем следующим образом. Имеем . С другой стороны, , так что и ; отсюда

Таким образом, получаем общее решение данного дифференциального уравнения в параметрической форме

Пример 4. Решить уравнение .

Решение. Полагаем , тогда имеем

Отсюда , общее решение .

В. Уравнение вида . Пусть это уравнение разрешимо относительно , то есть .

Полагая , получим . Но и, следовательно, , так что

Таким образом — общее решение уравнения в параметрической форме ( — параметр).

Замечание. В формулах нельзя рассматривать как производную. В них является просто параметром.

Пример 5. Решить уравнение .

Решение. Положим , тогда

Итак, — общее решение.

Аналогично случаю Б можно пытаться решать уравнение методом введения параметра .

3°. Уравнения Лагранжа

Уравнение Лагранжа имеет вид

Полагая , дифференцируя по и заменяя на , приводим это уравнение к линейному относительно как функции . Находя решение этого последнего уравнения , получаем общее решение исходного уравнения в параметрической форме:

Кроме того, уравнение Лагранжа может иметь еще особые решения вида , где — корень уравнения .

Пример 6. Проинтегрировать уравнение .

Решение. Полагаем , тогда . Дифференцируя, находим

Получили уравнение первого порядка, линейное относительно ; решая его, находим

Подставляя найденное значение в выражение для , получим окончательно

Уравнения Клеро

Уравнение Клеро имеет вид .

Метод решения тот же, что и для уравнения Лагранжа. Общее решение уравнения Клеро имеет вид

Уравнение Клеро может иметь еще особое решение, которое получается исключением из уравнений .

Пример 7. Проинтегрировать уравнение .

Решение. Полагая , получаем . Дифференцируя последнее уравнение и заменяя на , найдем

Приравнивая нулю первый множитель, получаем , откуда и общее решение исходного уравнения есть , однопараметрическое семейство прямых. Приравнивая нулю второй множитель, будем иметь . Исключая из этого уравнения и из уравнения , получим — это тоже решение нашего уравнения (особое решение).

С геометрической точки зрения кривая есть огибающая семейства прямых, даваемых общим решением (рис. 14).

Математика. Шпоры. Решение оду. Постановка задачи Коши для оду 1ого порядка разрешенных и неразрешенных относительно производной для норм систем оду и т д

Название	Решение оду. Постановка задачи Коши для оду 1ого порядка разрешенных и неразрешенных относительно производной для норм систем оду и т д
Анкор	Математика. Шпоры.doc
Дата	24.12.2017
Размер	0.93 Mb.
Формат файла
Имя файла	Математика. Шпоры.doc
Тип	Решение #12746
Категория	Математика
страница	1 из 4

Подборка по базе: Практическое занятие 6 РЕШЕНИЕ.docx, Задачи по римскому праву с решением.doc, 4 задачи.docx, Практические (ситуационные ) задачи.doc, Итоговое задание решение.docx, Ситуационные задачи хирургия.docx, Ишемический инсульт Неврология задачи.docx, Психология Задачи к семинарам.doc, 15 урок Решение задач.pptx, Вопросы и задачи УЧР 2021 год.odt

Определение ОДУ. Порядок ОДУ. Решение ОДУ. Постановка задачи Коши для ОДУ 1ого порядка разрешенных и неразрешенных относительно производной для норм систем ОДУ ..и т.д.

Решением ОДУ называется функция y(x), имеющая непрерывные производные нужного порядка, исходя из уравнений, при постановке которые уравнение превращается в точку. Решением дифференциального уравнения порядка n называется функция y(x) , имеющая на некотором интервале (a, b) производные y ‘( x ), y »( x ). y ( n ) ( x ) до порядка n включительно и удовлетворяющая этому уравнению. Частное решение диф.ур.-ф-ция превращающая ур.в подмножество. Общее решение-все множество частных результатов.

Задача Коши-нахождение решения ДУ, удовлетворяющего начальным условиям.

ОДУ первого порядка, разрешённое относительно производной

Система n ОДУ первого порядка, разрешённая относительно производных (нормальная система n-го порядка)

ОДУ n-го порядка, разрешённое относительно старшей производной

Общий вид ОДУ без выделения вектора произвольных постоянных C таков (см. п. 1.1.2):

F(t, J ( m ) x) = 0.

Если (1) можно разрешить относительно старших производных, т. е. привести к виду

x ( m ) = f(t, J ( m –1) x),

то путем увеличения числа неизвестных скалярных функций (см. п. 1.4.5) уравнение (2) всегда можно привести к нормальному виду

xў = f(t, x).

Поэтому в дальнейшем основным объектом изучения будет именно нормальная система (НС).

Задача Коши, или начальная задача для уравнения (2) — это система, состоящая из (2) и начального условия

J ( m –1) x(t₀) = y₀ О R | m | ,

где t₀ О R — начальный момент, y₀ — начальное значение. Для (НС) начальное условие записывается в виде

x(t₀) = x₀ О R n . (НУ)

Геометрический смысл задачи Коши (НС), (НУ) заключается в том, чтобы во множестве всех интегральных кривых системы (НС) найти ту, которая проходит через точку(t₀, x₀) (см. рис. 1).

График решения ОДУ y=f(x) называется интегральной кривой ДУ. Нахождение множества решений ДУ называют интегрированием ДУ

2)Уравнения с разделяющимися переменными.

1. Уравнения с разделёнными переменными. Так называются уравнения вида удовлетворяющее начальному условию

f(x) dx + g(y) dy = 0.

Пусть y(x) — решение этого уравнения, т.е. f(x)dx + g(y(x))dy(x) = 0. Интегрируя это тождество, получим — общий интеграл (общее решение) этого уравнения.
Пример: решить задачу Коши Исходное уравнение — с разделёнными переменными, интегрируя его, получим . Соотношение (x-1) 2 + y 3 = C — общее решение (общий интеграл) уравнения; для того, чтобы найти частное решение, удовлетворяющее начальному условию, надо подставить в общее решения данные значения x₀ и y₀, и найти значение постоянной C на этом решении: (2-1) 2 + 1 3 = 2 C = 2. Таким образом, решение поставленной задачи: (x-1) 2 + y 3 = 2.

2. Так называются уравнения вида

или (1)

f₁(x) g₁(y) dx + f₂(x) g₂(y) dy = 0 (2)

Эти уравнения легко сводятся к уравнению с разделёнными переменными:

Записываем уравнение (1) в форме , затем делим на g(y) и умножаем на dx: .

Уравнение (2) делим на f₂(x) g₁(y): .

Эти уравнения — с разделёнными переменными. Интегрируя, получим общие интегралы:

В обоих случаях возможна потеря решений: деление на функцию может привести к уравнению, которое неэквивалентно данному.

y = y₃, …, очевидно, являются решениями исходного уравнения.

В обоих случаях эти решения могут содержаться в общем решении, но могут и не содержаться в нём; последнее может случиться, если на этих решениях нарушаются условия теоремы существования и единственности решения задачи Коши.

7)ОДУ высших порядков. Простейшие случаи, допускающие понижение порядка уравнения..

Дифференциальным уравнением порядка n называется уравнение вида: .

В некоторых случаях это уравнение можно разрешить относительно y ( n ) : .

Так же как и уравнение первого порядка, уравнения высших порядков имеют бесконечное количество решений.

Уравнения, допускающие понижение порядка.

Понижение порядка диф ур-ния – основной метод решения ур-ний высших порядков. Этот метод дает возможность сравнительно легко находить решение, однако, он применим далеко не ко всем ур-ниям. Рассмотрим случаи, когда возможно понижение порядка.

Если f(x) – ф-ция непрерывная на некотором промежутке a 3.Линейное однородное уравнение первого порядка

Общее решение: .

Линейное неоднородное уравнение первого порядка

Метод Лагранжа (метод вариации произвольных постоянных)

Постановка задачи. Найти решение задачи Коши для линейного неоднородного уравнения с постоянными коэффициентами(1)

. (2)

1. Записываем соответствующее однородное уравнение с постоянными коэффициентами

. (3)

Находим фундаментальную систему решений и и общее решение однородного уравнения

2. Применяем метод Лагранжа (метод вариации произвольных постоянных).

Если известна фундаментальная система решений и однородного уравнения (3), то общее решение соответствующего неоднородного уравнения (1) может быть найдено по формуле

где функции и определяются из системы линейных алгебраических уравнений

(4)

Интегрируя, находим функции и и записываем общее решение неоднородного уравнения.

3. Используя начальные условия (2), находим решение задачи Коши

Метод Бернулли.
Дифференциальное уравнение Бернулли имеет вид . При n = 1 это дифференциальное уравнение становится уравнением с разделяющимися переменными .

Одним из методов решения дифференциального уравнения Бернулли является сведение его к линейному неоднородному дифференциальному уравнению первого порядка введением новой переменной . Действительно, при такой замене имеем и дифференциальное уравнение Бернулли примет вид

После решения этого уравнения и проведения обратной замены получаем искомое решение.

4.Структура решения линейного неоднородного ОДУ.

Теорема (о структуре общего решения неоднородного дифференциального уравнения). Общее решение неоднородного дифференциального уравнения есть сумма какого-либо его частного решения и общего решения соответствующего ему однородного уравнения:

где – частное решение ДУ(1), y ₀ – общее решение соответствующего однородного ДУ (2):

y ( n ) + a ₁ y ( n -1) + . +a _n y = 0,

Докажем теорему для уравнения второго порядка

y // + py / + qy = f ( x ). (4)

Рассмотрим соответствующее однородное ДУ:

y // + py / + q = 0. (5)

Обозначим y ₁, y ₂ его линейно независимые частные решения и y ₀ = c ₁ y ₁ + c ₂ y ₂ – его общее решение.)

Пусть – какое-то частное решение ДУ (4). Покажем, что решение (3) удовлетворяет ДУ (4). Подставим формулу (3) в ДУ (4) (предва-рительно найдём производные):

Получаем тождественное равенство, так как первая скобка обращается в нуль в силу того, что y ₀– общее решение однородного ДУ(5), а вторая скобка равна правой части, так как – частное решение ДУ (4). Теорема доказана.