Об одной краевой задаче для уравнения смешанного параболо- гиперболического типа второго порядка с условием производной от смещения в области гиперболичности Текст научной статьи по специальности « Математика»
Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Балкизов Жираслан Анатольевич
Исследована краевая задача со смещением для неоднородного уравнения смешанного параболо-гиперболического типа второго порядка с волновым оператором в области гиперболичности, когда в качестве граничного условия задана линейная комбинация с переменными коэффициентами производных от значений искомой функции на обеих характеристиках. Доказаны теоремы о существовании и единственности регулярного решения исследуемой задачи. В случае, когда коэффициенты, входящие в исследуемую задачу, являются постоянными действительными числами, решение выписано в явном виде.
Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Балкизов Жираслан Анатольевич
On one boundary-value problem for an equation of mixed parabolic-hyperbolic type of the second order under condition of a displacement derivative in the field of hyperbolicity
In this paper we investigate a boundary-value problem with a displacement for a nonhomogeneous equation of a mixed parabolic-hyperbolic type of the second order with a wave operator in the hyperbolic part of domain, where a linear combination with variable coefficients of the derivatives of the values of the desired function on both characteristics is given as the boundary condition. Theorems on the existence and uniqueness of a regular solution of the problem are proved. In the case when the coefficients entering the problem under investigation are constant real numbers, the solution is written out in explicit form.
Текст научной работы на тему «Об одной краевой задаче для уравнения смешанного параболо- гиперболического типа второго порядка с условием производной от смещения в области гиперболичности»
УДК 517.956.6 ББК 22.161.626 Б 20
Балкизов Жираслан Анатольевич
Кандидат физико-математических наук, ведущий научный сотрудник отдела уравнений смешанного типа института прикладной математики и автоматизации, филиал Кабардино-Балкарского научного центра Российской академии наук, Нальчик, тел. (8866) 2426611, e-mail: Giraslan@yandex.ru
Об одной краевой задаче для уравнения смешанного параболо-гиперболического типа второго порядка с условием производной от смещения в области гиперболичности
Аннотация. Исследована краевая задача со смещением для неоднородного уравнения смешанного пара-боло-гиперболического типа второго порядка с волновым оператором в области гиперболичности, когда в качестве граничного условия задана линейная комбинация с переменными коэффициентами производных от значений искомой функции на обеих характеристиках. Доказаны теоремы о существовании и единственности регулярного решения исследуемой задачи. В случае, когда коэффициенты, входящие в исследуемую задачу, являются постоянными действительными числами, решение выписано в явном виде.
Ключевые слова: краевая задача со смещением, уравнение смешанного параболо-гиперболического типа, существование и единственность решения задачи.
Balkizov Zhiraslan Anatolyevich
Candidate of Physics and Mathematics, Leading Researcher of the Department of Mixed Type Equations of Institute of Applied Mathematics and Automation, Branch of Kabardino-Balkarian Scientific Center, Russian Academy of Sciences, Nalchik, ph. (8866) 2426611, e-mail: Giraslan@yandex.ru
On one boundary-value problem for an equation of mixed parabolic-hyperbolic type of the second order under condition of a displacement derivative
in the field of hyperbolicity
Abstract. In this paper we investigate a boundary-value problem with a displacement for a nonhomogeneous equation of a mixed parabolic-hyperbolic type of the second order with a wave operator in the hyperbolic part of domain, where a linear combination with variable coefficients of the derivatives of the values of the desired function on both characteristics is given as the boundary condition. Theorems on the existence and uniqueness of a regular solution of the problem are proved. In the case when the coefficients entering the problem under investigation are constant real numbers, the solution is written out in explicit form.
Keywords: boundary-value problem with displacement, equation of mixed parabolic-hyperbolic type, existence and uniqueness of the solution of the problem.
В монографии [1] отмечено, что проблема поиска корректных краевых задач для уравнений смешанного типа в многомерных областях, когда поверхность параболического вырождения является пространственно ориентированной, приводит к краевым задачам со смещением. Впервые задача со смещением в гиперболической части области для уравнения Лав-рентьева-Бицадзе была сформулирована и исследована в работе [2]. В работах [3], [4] были введены понятие краевой задачи со смещением и исследован ряд нелокальных краевых задач с разными смещениями для гиперболических уравнений и уравнений смешанного типа. В отличие от задачи Трикоми в задачах со смещением задается нелокальное условие, связывающее значение искомого решения или его производной, вообще говоря, дробного порядка, в трех точках, две из которых лежат на граничных характеристиках из разных семейств, а третья — на линии вырождения уравнения.
Частными случаями задач со смещением являются такие нелокальные задачи, как задача Бицадзе-Самарского, задача Дезина, задача Карлемана, задача Стеклова, задача Франкля и т. д. В настоящее время исследованию краевых задач со смещением для различных типов и различных порядков уравнений уделяют внимание много авторов. В первую очередь это связано с применением их при исследовании задач биологической синергетики, трансзвуковой газовой динамики. Подобные граничные условия возникают также при изучении вопросов
тепло- и массообмена в капиллярно-пористых средах, при математическом моделировании задач газовой динамики и нелокальных физических процессов, при изучении процессов размножения клеток, в теории распространения электромагнитного поля в неоднородной среде 6. Достаточно полная библиография научных работ, посвященных исследованиям краевых задач со смещениями, приведена в монографиях [1, 8-9], а также в диссертациях 10.
В данной работе исследована краевая задача со смещением для неоднородного уравнения смешанного параболо-гиперболического типа второго порядка с волновым оператором в области гиперболичности, когда в качестве граничного условия задана линейная комбинация с переменными коэффициентами производных от значений искомой функции на обеих характеристиках. Доказаны теоремы о существовании и единственности регулярного решения исследуемой задачи. В случае, когда коэффициенты, входящие в исследуемую задачу, являются постоянными действительными числами, решение выписано в явном виде. Среди работ, близко примыкающих к исследуемой, отметим работы 14.
На евклидовой плоскости независимых переменных х и у рассмотрим уравнение
где I = I(х, у) — заданная функция, и = и(х, у) — искомая функция.
Уравнение (1) при у > 0 совпадает с уравнением теплопроводности
а при у 0, при у > 0 . Обозначим = Пп<у 0>, 3 = <(х,0):0 и (г, у ) = 0 (4)
Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.