Смешанная краевая задача для волнового уравнения

Основные типы уравнений математической физики

Основные типы уравнений

К основным уравнениям математической физики относятся следующие дифференциальные уравнения в частных производных второго порядка.

1. Волновое уравнение:

.

Это уравнение является простейшим уравнением гиперболического типа. К его исследованию приводит изучение процессов поперечных колебаний струны, продольных колебаний стержня, электрических колебаний в проводах и т. д.

2. Уравнение теплопроводности, или уравнение Фурье:

.

Это уравнение является простейшим уравнением параболического типа. К его исследованию приводит рассмотрение процессов распространения тепла, фильтрации жидкости и газа в пористой среде, изучение некоторых вопросов теории вероятностей и т. д.

3. Уравнение Лапласа:

.

Это уравнение относится к простейшим уравнениям эллиптического типа. К его исследованию приводит изучение задач об электрических и магнитных полях, о стационарном тепловом состоянии, задач гидродинамики и т. д.

В выписанных уравнениях искомая функция u зависит от двух переменных t, x или x, y. Рассматриваются также уравнения и для функций с большим числом переменных. Например, волновое уравнение с тремя независимыми переменными имеет вид

,

и уравнение Лапласа

.

Уравнение колебаний струны.

Формулировка краевой задачи

В математической физике струной называют гибкую упругую нить. Пусть струна в начальный момент времени расположена на отрезке 0≤x≤l оси Ox. Предположим, что ее концы закреплены в точках x=0 и x=l. Если струну отклонить от первоначального положения, а потом предоставить самой себе или придать ее точкам некоторую скорость, то точки струны будут совершать движение. Задача заключается в определении формы струны в любой момент времени и в определении закона движения каждой точки струны в зависимости от времени.

Если предположить, что движение точек струны происходит перпендикулярно оси Ox и в одной плоскости, то процесс колебания струны описывается одной функцией u(x,t), которая определяет величину перемещения точки струны с абсциссой x в момент t.

Доказано, что при отсутствии внешней силы функция u(x,t) должна удовлетворять дифференциальному уравнению в частных производных второго порядка

.

Для полного определения движения струны одного уравнения недостаточно. Искомая функция u(x,t) должна удовлетворять граничным условиям, указывающим, что делается на концах струны (при x=0 и x=l), и начальным условиям, описывающим состояние струны в начальный момент (t=0). Совокупность граничных и начальных условий называется краевыми условиями.

Пусть, например, концы струны при x=0 и x=l неподвижны. Тогда при любом t должны выполняться равенства

Это – граничные условия для рассматриваемой задачи. В начальный момент t=0 струна имеет определенную форму, которую мы ей придали. Пусть эта форма определяется функцией f(x), т. е.

Далее в начальный момент должна быть задана скорость в каждой точке струны, которая определяется функцией φ(x), т. е.

.

Эти два условия называются начальными условиями.

Колебания бесконечной струны.

Формула Даламбера решения задачи Коши

для волнового уравнения

Прежде чем решать задачу о колебаниях закрепленной струны, рассмотрим более простую задачу – о колебаниях бесконечной струны. Если представить очень длинную струну, то ясно, что на колебания, возникающие в ее средней части, концы струны не будут оказывать заметного влияния.

Рассматривая свободные колебания, мы должны решить однородное уравнение

при начальных условиях

, ,

где функции f(x) и g(x) заданы на всей числовой оси. Такая задача называется задачей с начальными условиями или задачей Коши.

Преобразуем волновое уравнение к каноническому виду, содержащему смешанную производную. Уравнение характеристик

распадается на два уравнения:

интегралами которых служат прямые

Введем новые переменные ξ=x – at, η=x + at и запишем волновое уравнение для переменных ξ и η.

, ,

,

,

и подставляя их в исходное уравнение, видим, что уравнение колебания струны в новых координатах будет

.

Интегрируя полученное равенство по η при фиксированном ξ, придем к равенству . Интегрируя это равенство по ξ при фиксированном η, получим

,

где φ и ψ являются функциями только переменных ξ и η соответственно. Следовательно, общим решением исходного уравнения является функция

. (8)

Найдем функции φ и ψ так, чтобы удовлетворялись начальные условия:

.

,

.

Интегрируя последнее равенство, получим:

,

где х0 и С – постоянные. Из системы уравнений

Таким образом, мы определили функции φ и ψ через заданные функции f и g, причем полученные равенства должны иметь место для любого значения аргумента. Подставляя в (8) найденные значения φ и ψ, будем иметь

.

Найденное решение называется формулой Даламбера решения задачи Коши для волнового уравнения

Пример. Решить уравнение при начальных условиях , .

Используя формулу Даламбера, сразу получаем

.

Решение волнового уравнения

методом разделения переменных

Метод разделения переменных применяется для решения многих задач математической физики. Пусть требуется найти решение волнового уравнения

, (9)

удовлетворяющее краевым условиям

u(x,0)=f(x), . (12),(13)

Частное решение уравнения (9), удовлетворяющее граничным условиям (10) и (11), ищут в виде произведения двух функций:

Подставляя функцию u(x,t) в уравнение (9) и преобразовывая его, получим

.

В левой части этого уравнения стоит функция, которая не зависит от x, а в правой – функция, не зависящая от t. Равенство возможно только в том случае, когда левая и правая части не зависят ни от x, ни от t, т. е. равны постоянному числу. Обозначим

, где λ>0. (14)

Из этих уравнений получаем два однородных дифференциальных уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

и . (15)

Общее решение этих уравнений

,

,

где A, B, C, D – произвольные постоянные.

Постоянные A и B подбирают так, чтобы выполнялись условия (10) и (11), из которых следует, что X(0)=X(l)=0, так как T(t)≠0 (в противном случае u(x,t)=0). Учитывая полученные равенства, находим

А=0 и .

Так как B≠0 (иначе, было бы X=0 и u=0, что противоречит условию), то должно выполняться равенство

,

.

Найденные значения λ называют собственными значениями для данной краевой задачи. Соответствующие им функции X(x) называются собственными функциями.

Заметим, что, если в равенстве (14) вместо – λ взять число λ (λ>0), то первое из уравнений (15) будет иметь решение в виде

.

Отличное от нуля решение в такой форме не может удовлетворять граничным условиям (10) и (11).

Зная , можем записать

.

Для каждого n получаем решение уравнения (9)

.

Так как исходное уравнение (9) линейное и однородное, то сумма решений также является решением, и потому функция

(16)

будет решением дифференциального уравнения (9), удовлетворяющим граничным условиям (10) и (11).

Найденное частное решение должно еще удовлетворять начальным условиям (12) и (13). Из условия (12) получим

.

Далее, дифференцируя члены ряда (16) по переменной t, из условия (13) будем иметь

.

Правые части двух последних равенств есть ряды Фурье для функций f(x) и φ(x), разложенных по синусам на интервале (0, l). Поэтому

. (17)

Итак, ряд (16), для которого коэффициенты Cn и Dn определяются по выписанным формулам, если он допускает двукратное почленное дифференцирование, представляет решение уравнения (9), удовлетворяющее граничным и начальным условиям.

Пример. Найти решение краевой задачи для волнового уравнения

, 0

СМЕШАННАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ОДНОРОДНОГО ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ С НЕНУЛЕВОЙ НАЧАЛЬНОЙ СКОРОСТЬЮ С СУММИРУЕМЫМ ПОТЕНЦИАЛОМ Текст научной статьи по специальности « Математика»

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Курдюмов Виталий Павлович, Хромов Август Петрович, Халова Виктория Анатольевна

Для смешанной задачи, определяемой волновым уравнением с суммируемым потенциалом, однопорядковыми граничными условиями с производной и нулевым начальным положением, исследуются свойства формального решения по методу Фурье в зависимости от гладкости начальной скорости u′t(x, 0) = ψ(x). В основе исследования — идея А. Н. Крылова об ускорении сходимости рядов Фурье и метод контурного интегрирования резольвенты оператора соответствующей спектральной задачи. Получено классическое решение при ψ(x) ∈ W1p (1 формальное решение является обобщенным решением смешанной задачи.

Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Курдюмов Виталий Павлович, Хромов Август Петрович, Халова Виктория Анатольевна

MIXED PROBLEM FOR A HOMOGENEOUS WAVE EQUATION WITH A NONZERO INITIAL VELOCITY AND A SUMMABLE POTENTIAL

For a mixed problem defined by a wave equation with a summable potential equal-order boundary conditions with a derivative and a zero initial position, the properties of the formal solution by the Fourier method are investigated depending on the smoothness of the initial velocity u′t(x, 0) = ψ(x). The research is based on the idea of A. N. Krylov on accelerating the convergence of Fourier series and on the method of contour integrating the resolvent of the operator of the corresponding spectral problem. The classical solution is obtained for ψ(x) ∈ W1p (1 formal solution is a generalized solution of the mixed problem.

Текст научной работы на тему «СМЕШАННАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ОДНОРОДНОГО ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ С НЕНУЛЕВОЙ НАЧАЛЬНОЙ СКОРОСТЬЮ С СУММИРУЕМЫМ ПОТЕНЦИАЛОМ»

Смешанная задача для однородного волнового уравнения с ненулевой начальной скоростью с суммируемым потенциалом

В. П. Курдюмов, А. П. Хромов, В. А. Халова

Курдюмов Виталий Павлович, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры дифференциальных уравнений и прикладной математики, Саратовский национальный исследовательский государственный университет имени Н. Г. Чернышевского, Россия, 410012, Саратов, ул. Астраханская, д. 83, Kurdyumov47@yandex.ru

Хромов Август Петрович, доктор физико-математических наук, заведующий кафедрой дифференциальных уравнений и прикладной математики, Саратовский национальный исследовательский государственный университет имени Н. Г. Чернышевского, Россия, 410012, Саратов, ул. Астраханская, д. 83, KhromovAP@sgu.ru

Халова Виктория Анатольевна, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры дифференциальных уравнений и прикладной математики, Саратовский национальный исследовательский государственный университет имени Н. Г. Чернышевского, Россия, 410012, Саратов, ул. Астраханская, д. 83, KhalovaVA@gmail.com

Для смешанной задачи, определяемой волновым уравнением с суммируемым потенциалом, однопорядковыми граничными условиями с производной и нулевым начальным положением, исследуются свойства формального решения по методу Фурье в зависимости от гладкости начальной скорости ut(х, 0) = ф(х). В основе исследования — идея А. Н. Крылова об ускорении сходимости рядов Фурье и метод контурного интегрирования резольвенты оператора соответствующей спектральной задачи. Получено классическое решение при ф(х) g Wp (1 0 и достаточно мало, а п ^ п0 и п0 таково, что при

п ^ п0 внутрь 7п попадает лишь по одному рп. Пусть тп — образ 7п в Л-плоскости (Л = р2, Ивр ^ 0). Формальное решение задачи (1)-(3) возьмем в виде [11,12]

где г > 0 таково, что внутри |Л| = г находятся все собственные значения Лп, для которых п Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

1.2. Будем исследовать ряды Uj(x,t), j = 1, 2,3,4.

Теорема 1. (/67). Ряд и(х,£) сходится абсолютно и равномерно и его сумма есть классическое решение задачи (1)-(3) при q(х) = 0 и ф (х) вместо ф(х) с граничными условиями и’1ж(0, £) = и1х(1,£) = 0 (уравнение (1) выполняется п.в.).

1.3. Исследуем ряд и2(х, £). Обозначим

^2д(х,р) = (VI(х,р) — V?(х,р))(ф1 ) + Мх,р) — V0(х,р))(ф1 ,^2), ^2,2(х, р) = V?(х, р)(ф1, — \?) + (х, р)(ф1, ^2 — *20), / \

J2,k(x,p)sinpt dЛ, k = 1, 2.

Тогда J2(x, p) = J2,i(x, p) + J2,2(x, p) и

u2 (x, t) = u2)i(x, t) + u2,2(x, t). (12)

Лемма 2. Обозначим через 0(x) одну из функций cos x или sin x, через ви(р) — скалярное произведение вида (m(x)0(px),0(nnx)), где m(x) — одна из функций

(x), (x) / q(r) dr, / (t)q (I±x) dr, через ви(р) — некоторые суммы из ви(р),

умноженные на постоянные числа из некоторого конечного набора таких чисел. Если p = nn + р, где р е 70, то справедливы формулы

Доказательство аналогично лемме 9 из [5].

Лемма 3. ([5, лемма 3]). Если р € 7п, то

Лемма 4. ([8, лемма 19]). Пусть /(х) € [0,1] (1 0 не зависит от щ, n2, f (x) и p G 70,

Лемма 5. Ряд и2)1 (х,Ь) и ряды, получающиеся из него почленным дифференцированием по х и дважды по Ь, сходятся абсолютно и равномерно по х € [0,1] и Ь € [0, Т] при любом Т > 0.

Доказательство следует из формулы (11) по леммам 2-4.

Лемма 6. Функции и2д(х,Ь), дхи2д(х,Ь) абсолютно непрерывны по х, причем п.в. по х € [0,1] и при любом Ь имеет место равенство

q (x)a2,i (x,t) + b2,i (x,t),

Ряды а2)1 (х,Ь) и 62)1 (х,Ь) сходятся абсолютно и равномерно по х € [0,1] и Ь € [0,1]. Множество х, где имеет место (13), можно взять одним и тем же для всех Ь и имеет меру, равную единице.

Доказательство аналогично приведенному в теореме 5 из [7]. 1.4. Теперь рассмотрим и2,2(х,Ь). Так как в силу (10) имеем

Wi, zj — zj) = 1 (^i, — zj + z0» + q(x)zj) = p^(^, zj — zj)+

+-(^q, zj — z0) + 1(^iq,zj), j = 1, 2,

U2,2(x, t) = u2i2(x, t) + U2,2(x, t) + U2,2(x, t),

(х, р) = V? (х, р)(ф?-> qs-1, г )+ +г-2(М^’У-11г22-> — г?2″»), з = 1,2, •Л® (х, р) = V? (х, р)(ф q, г?) + V? (х, р)(ф q, г?).

1.5. Исследуем ряды и2^2(х, Ь) (з = 1,2). Так же, как и леммы 9, 11 из [7], доказываются две следующие леммы.

Лемма 7. При | Im p| ^ h имеет место формула

A(x,p) = -psin x + 2cos px J q(e) de+ 1/ )

Лемма 8. Пусть 0(х), (м) и (м) — те же, что и в лемме 2, где т(х)

теперь — одна из функций (х), (х) / q(т) ^т, / (т) (т±ж) ^т. £сли р = пп + м,

, — г?’) = 0(вп(м)) + О (£) , М, г2 — г?’) = ±0(Д,(м)) + О (р,) .

Лемма 9. Ряды ^(х,^ (з = 1,2) и ряды, получающиеся из них почленным дифференцированием два раза по х и Ь, сходятся абсолютно и равномерно по х £ [0,1] и Ь £ [0, Т], и их суммы удовлетворяют уравнению (1) при q(х) = 0.

Доказательство. Первое утверждение леммы следует из (15) на основании лемм 4, 8 и леммы 2 из [9] так же, как и в лемме 11 из [5], а второе — из формулы

(12 — ^ (V?(х,р)*п рЬ) =0, з = 1, 2. (16)

\ 0 настолько мала, что все контуры расположены вне друг друга. Так же, как и лемма 11, доказывается следующая лемма.

Лемма 13. Для суммы ряда из>1 (х,£) имеет место формула

из,1 (х,*)= / ¿т / Р(п) ¿Т1 — (р, 1) / ¿Т / 5(Г1) ¿Т1 +

+6 (р. ^Е^ — 3х2 — ¿2 — 2

где Р(х) = 1 _р(х), р5(х) — нечетное 2-периодическое продолжение функции

р(х) = / ) х £ [0,1]; 5(х) — та же, что и в лемме 11.

Так как для ряда из,2(х,£) выполняется лемма 9, то в силу (16), (22) и леммы 13 для ряда из(х,£) выполняется лемма 12.

1.9. Наконец, рассмотрим ряд и4(х, £). Обозначим /4,к(х,р) = /2,к(х,р) (к = 1,2) с функцией р(х) в /2,к(х,р) вместо (х). Тогда

Л(х, р) = /4,1 (х, р) + /4,2(х, р)

и4(х, £) = и4д(х, £) + и4,2(х, £), (23)

где и4,к(х, £) определяются как и и2,к(х, £) в (11), но через /4,к(х,р) вместо /2,к(х,р). Из [9, лемма 2] и леммы 3 легко следует выполнение леммы 5 для рядов и4,к(х,£), к = 1, 2, и, кроме того, ряд (х,£) можно дважды почленно дифференцировать по х.

Легко видеть, что для функций и4д(х, £), дХи4,2(х, справделива и лемма 6, но с функцией л—(#Лр) вместо (ЯЛ) в определении а2)1 (х,£) и с функцией /4д(х,р) вместо /2д(х,р) в Ь21 (х,£).

Теорема 3. Функция и4(х, г) непрерывно дифференцируема по х е [0,1] и г е [0,т], дМх^ ^д^^ абсолютно непрерывна по х (по г) и п.в. по х е [0,1] и любом г

д2 u4 (x,t) д2 u4 (x, t) 1

Доказательство. По формуле (11) для u4 д(x, t) и лемме 5

Отсюда и из леммы 6 следует, что п.в. по х G [0,1] и любом t

д 2U4 (x,t) д 2U4 (x,t)

причем по лемме 2 из [5]

Р J4,i(x, p) p dA = 62,1 (x, t).

Так как ряд и42(х, г) можно два раза почленно дифференцировать по х, то в силу (16)

д2И4,2(х,г) _ д2^4,2(х,г)

Тогда из (23) и (25) следует (24) □

1.10. Имеет место следующая теорема.

Теорема 4. Если д(х) е Ь[0,1] и ф(х) е [0,1], то формальное решение задачи (1)-(3) является и ее классическим решением.

Доказательство. Для формального решения задачи (1)-(3)

Г-1- (R g)Sin^dA A — Mo Р

на основании лемм 1-4 заключаем, что ряды в (26) и полученные из них почленным дифференцированием по х или г сходятся абсолютно и равномерно. Поэтому и(х,г) удовлетворяет граничным условиям и и(х, 0) _ 0. Почленно дифференцируя ряд (6) в точке г _ 0, как и в [5, теорема 6], получим ^(х, 0) _ ф(х). А в силу (7) из теорем 1-3 и леммы 12 для и3(х,г) следует, что и(х, г) удовлетворяет уравнению (1) п.в. □

Замечание. В теореме 4 так же, как в [8], с привлечением теоремы Хаусдорфа-Юнга [13, с. 211] можно вместо ф(х) е [0,1] предполагать, что ф(х) абсолютно непрерывна и ф'(х) е [0,1] при 1 Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Keywords: Fourier method, formal solution, wave equation, resolvent.

Received: 11.06.2019 / Accepted: 28.06.2019 / Published: 30.11.2020

This is an open access article distributed under the terms of Creative Commons Attribution License (CC-BY 4.0)

1. Krylov A. N. O nekotorykh differentsial’nykh uravneniyakh matematicheskoj fiziki, imeyushchikh prilozheniya v tekhnicheskikh voprosakh [On Some Differential Equations of Mathematical Physics Having Applications in Engineering]. Moscow, Leningrad, GITTL, 1950. 368 p. (in Russian).

2. Chernyatin V. A. Obosnovanie metoda Fur’e v smeshannoi zadache dlya uravnenii v chastnykh proizvodnykh [Justification of the Fourier Method in a Mixed Problem for Partial Differential Equations]. Moscow, Moscow Univ. Press, 1991. 112 p. (in Russian).

3. Burlutskaya M. S., Khromov A. P. Resolvent approach in the Fourier method. Dokl. Math. 2014, vol. 90, iss. 2, pp. 545-548. DOI: https://doi.org/10.1134/S1064562414060076

4. Khromov A. P. Behavior of the formal solution to a mixed problem for the wave equation. Comput. Math. and Math. Phys., 2016, vol. 56, iss. 2, pp. 243-255. DOI: https://doi.org/10.1134/S0965542516020135

5. Gurevich A. P., Kurdyumov V. P., Khromov A. P. Justification of Fourier Method in a Mixed Problem for Wave Equation with Non-zero Velocity. Izv. Saratov Univ. (N.S.), Ser. Math. Mech. Inform., 2016, vol. 16, iss. 1, pp. 13-29 (in Russian). DOI: https://doi.org/10.18500/1816-9791-2016-16-1-13-29

6. Kurdyumov V. P., Khromov A. P., Khalova V. A. A Mixed Problem for a Wave Equation with a Nonzero Initial Velocity. Izv. Saratov Univ. (N.S.), Ser. Math. Mech. Inform., 2018, vol. 18, iss. 2, pp. 157-171 (in Russian). DOI: https://doi.org/10.18500/1816-9791-2018-18-2-157-171

7. Khromov A. P. Mixed problem for a homogeneous wave equation with a nonzero initial velocity. Comput. Math. and Math. Phys2018, vol. 58, no. 9, pp. 1531-1543. DOI: https://doi.org/10.1134/S0965542518090099

8. Khromov A. P. On the convergence of the formal Fourier solution of the wave equation with a summable potential. Comput. Math. and Math. Phys., 2016, vol. 56, iss. 10, pp. 1778-1792. DOI: https://doi.org/10.1134/S0965542516100110

9. Burlutskaya M. S., Khromov A. P. Mixed problem for the wave equation with integrable potential in the case of two-point boundary conditions of distinct orders. Diff. Equat., 2017, vol. 53, iss. 4, pp. 497-508. DOI: https://doi.org/10.1134/S0012266117040085

10. Naymark M. A. Lineinye differentsial’nye operatory [Linear Differential Operators]. Moscow, Nauka, 1969. 526 p. (in Russian).

11. Rasulov M. L. Metod konturnogo integrala [The Method of Contour Integral]. Moscow, Nauka, 1964. 462 p. (in Russian).

12. Vagabov A. I. Vvedenie v spektral’nuyu teoriyu differentsial’nykh operatorov [Introduction to the Spectral Theory of Differential Operators]. Rostov-na-Donu, Izd-vo Rostovskogo universiteta, 1994. 160 p. (in Russian).

13. Bari N. K. Trigonometricheskie ryady [Trigonometric Series]. Moscow, Gos. izd-vo fiz.-mat. lit., 1961. 936 p. (in Russian).