Смешанная задача для неоднородного уравнения

Об одной смешанной задаче для неоднородного волнового уравнения Текст научной статьи по специальности « Математика»

Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Корнев В.В., Хромов А.П.

Текст научной работы на тему «Об одной смешанной задаче для неоднородного волнового уравнения»

Наряду с уравнениями (1) с коэффициентамир^= 0,1, рассмотрим уравнения того же вида с коэффициентами р^-(),7з(•). ‘ = 0,1, при тех же условиях склейки (2). Соответствующие данные рассеяния обозначим 3 .

Теорема 3. При выполнении условий Со,С\ из 3 = 3 следует, ро(жо) = ро(жо)7 7о(хо) = ^о(жо) для п.в. жо Е (0, то). Таким образом,, при, выполнении условии, Со,С\ данные рассеяния однозначно определяют, коэффициенты уравнения (1) на луче.

Работа выполнена при, финансовой поддержке Минобрнауки, РФ (проект № 1.Ц36.20ЦК) и РФФИ (проекты № 16-01-00015, № 15-0104864).

1. Юрко В. А. Обратная задача для пучков дифференциальных операторов // Мат. еб. 2000. Т. 191, № 10. С. 137-160.

2. Юрко В. А. Введение в теорию обратных спектральных задач. М, : Физматлит, 2007.

3. Марченко В. А. Операторы Штурма-Лиувилля и их приложения. Киев : Наук, думка, 1977.

УДК 517.95, 517.984

В. В. Корнев, А. П. Хромов

ОБ ОДНОЙ СМЕШАННОЙ ЗАДАЧЕ ДЛЯ НЕОДНОРОДНОГО ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ

Рассмотрим неоднородное волновое уравнение:

= — ^(х)и(х, *) +1 (х, *), (х, Ь) Е Я = [0,1] X [0, Т] (1)

и(ж, 0) = ^>(ж), и£(ж, 0) = 0. (3)

Считаем, что д(ж), ^(ж), /(ж,Ь) — комплекснозначные функции, причем д(ж) Е Ь[0,1], (р(ж) Е Ь2[0,1]. В работе [1] получен следующий результат: Теорема 1. Если /(ж, Ь) Е Ь2(Я), то ряд формального решения, задачи (1) — (3) по методу Фурье сходится почти всюду в Я к обобщенном,у решению этой задачи.

Следующая теорема позволяет перенести этот результат и на случай суммируемой функции /(х,Ь)\

Теорема 2. Если /(х,1) Е Ь(О) и д(х) = ^(х) = 07 то ряд формального решения задачи (1) — (3) по методу Фурье

u(x,t) = 2V^— an(r) sin nnx sin nn(t — r) dr (4)

сходится при, (x,t) E Q, и для его суммы справедлива формула

u(x,t) = 1 j dr J Ф(п, r) dr¡, (5)

где an(r) = f f (£,r) sinnn^d^, Ф(п,г) — 2-периодическая по n на всей 0

оси, нечетная на [—1,1> и Ф(п, r) = f (n, r) при, n E [0,1]. Доказательство. Преобразуем ряд (4):

u(x,t) = Y i an(r)( — sin nnx sin nn(t — r) j dr =

^^ / an(r) \ sinnnndn I dr.

Следовательно, соотношение (4) можно записать в виде

u(x,t)= lim / (т) dr, (6)

где (r) = f I J2 an(r) sin пщ) dr\.

Заметим, что ряд

есть ряд Фурье функции 2Ф(п,т) то системе (TO=0 на отрезке [— 1,1]. Тригонометрический ряд Фурье можно интегрировать

почленно [2, с. 123] по любому интервалу [a, b], т.е.

J -Ф(п,т) dn = ^^ ап(т)J sin nnndn.

Поэтому почти при всех т Е [0, t] существует предел

lim (т)= I -Ф(п,т) dn. (8)

Убедимся, что в (6) можно перейти к пределу под знаком интеграла. Для этого, полагая а = ж — Ь + т и Ь = ж + Ь — т, преобразуем ^ (т):

(т) = ^^ ап(т) / sin nnndn =

= V^ an (т) (—i (cos nnb — cos nna). (9)

По теореме Лебега об интегрировании тригонометрических рядов Фурье [2, с. 122] ряд ( — ОпЛ / cos nnn сходится равномерно на всей оси

Ф1(п,т) = Фо(п,т) — — Фб(^,т) d£,

где Ф0(п, т) = If Ф(£, т) d£. 2о

По формуле Дирихле имеем

£ (— опт) cos nnb = — / ф1 (П + b) dn(s) Ass (10)

где (й) — ядро Дирихле.

Представляя функцию Ф1 стандартным образом в виде разности монотонных функций и применяя к интегралу в правой части (10) известную теорему о среднем, из формул (9), (10) с использованием неравен-

Метод Фурье для уравнения теплопроводности

Содержание:

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по математике:

Займемся решением первой смешанной задачи для уравнения теплопроводности: найти решение и(х, t) уравнения удовлетворяющее начальному условию и граничным условиям Начнем с простейшей задачи: найти решение u(x,t) однородного уравнения удовлетворяющее начальному условию и нулевым (однородным) граничным условиям Метод Фурье для уравнения теплопроводности.

Будем искать нетривиальные решения уравнения (4), удовлетворяющие граничным условиям (6), в виде Псдстаапя в форме (7) в уравнение (4), получим или откуда имеем два обыжювенных дифференциальных уравнения Чтобы получить нетривиальные решения и(х, *) вида (7), удовлетворяющие граничным условиям (6), необходимо найти нетривиальные решения уравнения (10), удовлетворяющие граничным условиям.

Таким образом, для определения фунмдои Х(х) мы приходим к задаче на собственные значения: найти те значения параметра А, при которых существуют нетривиальные решения задачи Эта задача была рассмотрена в предыдущей главе. Там было показано, что только при существуют нетривиальные решения При А = А„ общее решение уравнения (9) имеет вид удовлетворяют уравнению (4) и граничным условиям (6). Образуем формальный ряд.

Потребовав, чтобы функция и(х> t), определяемая формулой (12), удовлетворяла начальному условию , получим Ряд (13) представляет собой разложение заданной функции в ряд Фурье по синусам в интервале (О, I). Коэффициенты а„ разложения определяются по известным формулам Метод Фурье для уравнения теплопроводности Предположим, что Тогдаряд (13) с коэффициентами, определяемыми по формулам (14), будет сходиться к функции абсолютно и равномерно.

Так как при то ряд при также сходится абсолютно и равномерно.

Поэтому функция и(х, t) — сумма ряда (12) — непрерывна в области и удовлетворяет начальному и граничному условиям. Остается показать, что функция и(х, t) удовлетворяет уравнению (4) в области 0. Для этого достаточно показать, что ряды, полученные из (12) почленным дифференцированием по t один раз и почленным дифференцированием по х два раза, также абсолютно и равномерно сходятся при.

Но это следует из того, что при любом t > 0 если п достаточно велико. Единственность решения задачи (4)-(6) и непрерывная зависимость решения от начальной функции были уже установлены ранее. Таким образом, для t > 0 задача (4)-(6) поставлена корректно; напротив, для отрицательных t зада ча эта некорректна. Замечание.

В отличие отдомового уравнения уравнение неомметрично огноситн о времени t: если заменить t на -t, то получаем уравнение другого вида описывает необратимые процессы: Мы можем предсказать, каким станет данное и через промежуток времени данной t, но мы не можем с уверенностью сказать, какн м было это и за время t до рассматриваемого момента. Это раолич иемежду предсказание м и предысторией типично для параболического ура внения и не имеет места, например, для волнового уравн сния; в случае последнего заглянуть в прошлое так же легко, как и в будущее.

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Пример:

Найти распределение температуры в однородном стерве длины ж, если начальная температура стержня и на концах стержня поддерживается нулевая температура. 4 Задача сводится к решению уравнения при начальном условии и граничных условиях Применяя метод Фурье, ищем нетривиальные решения уравнения (15), удовлетворяющие граничным условиям (17), в виде Подставляя u(x,t) в форме (18) в уравнение (15) и разделяя переменные, получим откуда Собственные значения задачи . собственные функции Хп(х) = мп пх.

При А = А„ общее решение уравнения (19) имеет вид Tn(t) = апе а п\ так что Решение задачи (15)—(17) ищем в виде ряда Потребовав выполнения начального условия (16), получим откуда . Поэтому решением исходной задачи будет фунхция 2. Рассмотрим теперь следующую задачу: найти решение гх(ж, t) неоднородного уравнения _ удовДстворя ющее начальному условию и однородным граничным услови м Предположим, что функци / непрерывна, имеет непрерывную производ-ную и при всех t > 0 выполняется условие .

Решение задач:

Решение задачи (1)-(3) будем искать в виде где определим как решение задачи а функци — как решение задачи Задача (8)—(10) рассмотрена в п. 1. Будем искать решение v(x, t) задачи (5)-(7) в виде ряда по собстве нным функциям < краевой задачи . Подсгааяяя t) в виде в уравнение (5), получим Разложим функцию /ОМ) в ряд Фурье по синусам, где Сравнивая два разложения (12) и (13) функции /(х, t) в ряд Фурье, получаем ! Пользуясь начальным условием для v(x, t).

Находим, что Решения уравнений (15) при начальных условиях (16) имеют вид: Подставляя найденные выражения для Tn(t) в ряд (11), получим решение Функция будет решением исходной задачи (1)-(3). 3. Рассмотрим задачу: найти в области решение уравнения при начальном условии и неоднородных граничных условиях Непосредственно метод Фурье неприменим из-за неоднородности условий (20).

Введем новую неизвестную функцию v(x, t), положив где Тогда решение задачи (18)—(20) сведется к решению задачи (1)-(3), рассмотренной в п. 2, для функции v(x, J). Упражнения 1. Задан бесконечный однородный стержень. Покажи те, что если начальная температура то влобой момент температура стержня 2. Ко|рцы стержня длиной ж поддерживаются при температуре, равной нулю. Начальная температура определяется формулой Определите температуру стержня для любого момента времени t > 0. 3.

Концы стержня длиной I поддерживаются при температуре, равной нулю. Начальная температура стержня определяется формулой Определите температуру стержня для любого момента времени t > 0. 4. Концы стержня длиной I поддерживаются при температуре, равной нулю. Начальное распределение температуры Определите температуру стержня для любого момента времени t > 0. Ответы

Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔

Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.

Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.

Сайт предназначен для облегчения образовательного путешествия студентам очникам и заочникам по вопросам обучения . Наталья Брильёнова не предлагает и не оказывает товары и услуги.